Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Выбор математической модели для расчета дисперсионных соотношений 14
1.1. Турбулентность в нейтральной жидкости и в плазме 14
1.2. Экспериментальное наблюдение дрейфовых волн 18
1.3. Зависимость транспорта от параметров дрейфовых волн 22
1.3.1. Распределение полей в области волновой турбулентности 23
1.3.2. Влияние характеристик дрейфовых волн на транспорт 27
1.4. Методы получения дисперсионных соотношений 38
38
1.4.1. Гидродинамическое приближение. Качественный механизм развития дрейфовых волн
1.4.2. Кинетическое описание неустойчивостей 43
1.4.3. Гирокинетические модели 49
1.5. Выбор способа расчета 54
1.6. Результаты главы 1 58
ГЛАВА 2. Порядок расчета дисперсионных соотношений 59
2.1. Метод фазовых интегралов (ВКБ) 61
2.2. Применение формул связи для расчета собственных значений. 64
2.2.1. Локальность ВКБ-решений, линии Стокса и сопряженные линии Стокса
2.2.2. Ветвление функции ^JQ 70
2.2.3. Алгоритм построения линий Стокса и сопряженных линий 73 Стокса
2.2.4. Формулы связи 66
2.3. Две точки поворота 77
2.4. Алгоритм расчета 79
2.5. Тестовый расчет для квантового гармонического осциллятора. Раздельный расчет точек поворота и собственного значения
2.6. Начальные приближения для решения итерационного уравнения
2.6.1. Приближенный гармонический осциллятор 90
2.6.2. Расчет собственных значений для двух точек поворота 94
2.7. Результаты главы 2 95
ГЛАВА 3. Расчет нулей аналитической функции на комплексной плоскости
3.1. Базовый метод поиска нулей 98
3.2. Замечания о точности и сходимости метода 114
3.2. Поиск нескольких нулей 119
3.3. Модификация алгоритма: поиск полюсов 120
3.4. Заключение по главе 3 125
ГЛАВА 4. Применение разработанной модели для расчета неустойчивости, вызванной ионным температурным градиентом
4.1. Модель неустойчивости для плоской геометрии 127
4.2. Тороидальная геометрия 132
4.2.1. Получение начального приближения для расчета частоты 133
4.2.2. Влияние тороидальности на дисперсионное соотношение 136
4.2.3. Учет кривизны магнитного поля 141
4.3. Построение поперечного профиля амплитуды волны 144
4.3.1. Получение собственных функций гармонического осциллятора
4.3.2. Решение уравнения Вебера для определения профиля амплитуды волны
4.3.3. Поведение собственной функции гармонического осциллятора на комплексной плоскости
4.3.4. Аппроксимация профиля произвольной волны при помощи собственных функций гармонического осциллятора
4.3.5. Расчет профиля волны для тороидальной геометрии 157
4.4. Влияние параметров плазмы и конфигурации поля на устойчивость lTG-моды
4.4.1. Зависимость дисперсионного соотношения от є 159
4.4.2. Влияние параметра К на устойчивость плазмы по отношению к ITG-моде
4.4.3. Зависимость частот от характеристик магнитного поля 165
4.4.4. Влияние шира параллельной скорости на дисперсионные соотношения
4.5. Результаты главы 4 171
ГЛАВА 5. Изучение устойчивости плазмы установки т-10 по отношению к ITG-моде 174
5.1. Расчет линейного инкремента ITG-моды для разрядов с различными плотностями плазмы
5.1.1. Разряд 33944 174
5.1.2. Разряд 33948 183
5.1.3. Разряд 33952 189
5.1.4. Анализ результатов расчетов 193
5.2. Оценка времени удержания по коэффициенту диффузии 196
5.3. Выводы по главе 5 201
Заключение 203
Список литературы
- Экспериментальное наблюдение дрейфовых волн
- Локальность ВКБ-решений, линии Стокса и сопряженные линии Стокса
- Замечания о точности и сходимости метода
- Получение начального приближения для расчета частоты
Введение к работе
Актуальность исследования, его практическая значимость
Идея создания и использования для нужд энергетики термоядерных установок [I] принадлежит отечественным ученым и относится к середине прошлого века. Однако её техническое воплощение оказалось исключительно сложной задачей, включающей множество разделов прикладной и фундаментальной науки, разработки качественно новой технической базы, задачей, требующей широкого международного сотрудничества, в котором важную роль играли советские, а теперь, играют российские ученые. К настоящему времени, после нескольких десятилетий исследований, разработан проект реактора ITER [2], предшественник проекта коммерческого реактора. Принято решение о его строительстве. Таким образом, в области ядерного синтеза происходит последовательное продвижение в сторону создания рабочего реактора, причем одним из важнейших направлений исследований является изучение феномена переноса энергии и вещества в плазме термоядерных установок. В простейшем виде требования к удержанию плазмы выражаются в форме критерия Лоусона, представляющего собой произведение концентрации плазмы на время её удержания. Для обеспечения самоподдерживающейся реакции дейтерия и трития нужно достигнуть значений пт>Ю20м'}сек при температурах порядка 10*К. Потеря вещества приводит к падению концентрации, поэтому интенсивность переноса и связанное с ним время удержания служит одним из критериев качества работы установки и непосредственно влияет на экономические характеристики перспективного реактора. Поэтому в мире в настоящее время ведутся многочисленные интенсивные экспериментальные и теоретические работы по этой проблематике.
Среди процессов, определяющих перенос в высокотемпературной плазме, особо выделяется транспорт, инициируемый волновой турбулентностью. Причем многочисленные исследования показывают, что микронеустойчивости дрейфового типа [3] являются основным процессом, ответственным за развитие турбулентности в плазме. Уже длительное время идут интенсивные экспериментальные и теоретические исследования этого феномена. В результате последних разработаны математические модели, описывающие физические механизмы неустойчивостей, вызывающих турбулентность. Однако, как правило, сложность изучаемых процессов лишает специалистов возможности непосредственно анализировать результаты аналитических расчетов. Аналогично, экспериментальные данные требуют предварительного анализа и обработки, только затем они могут быть сверены с теоретическими результатами. Посредником, позволяющим довести до конкретных цифр теоретические разработки и оценить эксперимент, служит численный расчет, который в данном случае дает возможность получить частотный спектр турбулентности и зависимость инкремента нарастания неустойчивости различных параметров (температура ионов и электронов, их концентрация и градиент этих величин, магнитное поле, его кривизна и т.д.). Роль численного расчета определяет постоянную потребность в разработке компьютерных моделей.
Экспериментальные исследования переноса в высокотемпературной плазме, удерживаемой магнитным полем, ведутся в Институте ядерного синтеза РНЦ «Курчатовский Институт». Для их обеспечения, а также для теоретического анализа транспорта, связанного с волновой турбулентностью, требуется оценка свойств самой волновой турбулентности, в том числе, дисперсионного соотношения, пространственной локализации и др. Эта необходимость определяет актуальность данной работы и её практическую ценность. В соответствии с выше сказанным, объект исследования данной работы - высокотемпературная магнито-удерживаемая плазма. Предметом исследования являются характеристики плазменной турбулентности, вызываемой электростатическими неустойчивостями дрейфового типа. Методология исследования - теоретический анализ, построение модели и численный расчет в соответствии с ней.
Цель и задачи исследования
Таким образом, для настоящей диссертационной работы ставится следующая цель: основываясь на созданных гирокинетических теориях плазменной турбулентности, создать компьютерную модель, предназначенную для оценки дисперсионных соотношений, и демонстрация его пригодности для анализа зависимости характеристик исследуемой волновой турбулентности от параметров плазмы и удерживающего её магнитного поля, демонстрация его применимости для оценки экспериментальных работ и получения дисперсионных кривых в рамках теоретических разработок.
Для реализации поставленных задач требуется: проанализировать существующие теоретические модели плазменной турбулентности по их информативности, удобству численной реализации и требованиям к компьютерным ресурсам и выбрать наиболее подходящую; адаптировать выбранную модель для её численной реализации и разработать алгоритм, пригодный для расчета дисперсионных соотношений волн различного типа, распространяющихся в плазме, исходя из располагаемых компьютерных ресурсов; создать соответствующий компьютерный код; протестировать созданную программу; продемонстрировать возможность расчета дисперсионных соотношений на примере неустойчивости, возбуждаемой градиентом ионной температуры (ITG-мода); разработать процедуру оценки коэффициента диффузии, связанной с действием указанной неустойчивости; применить разработанный код для обработки экспериментальных данных, полученных на установке Т-10: оценить зависимость переноса, инициируемого ITG-модой, от плотности плазмы, соотношения электронной и ионной температур, оценить распределение ITG-неустойчивости по малому радиусу тора.
Содержание диссертации
Изложение работы разделено на следующие главы:
Экспериментальное наблюдение дрейфовых волн
Интерес к дрейфовым волнам [3] вызван их вкладом в перенос энергии и вещества. Физические механизмы, приводящие к их возбуждению, описаны в разделе 1.4. Здесь же приведена краткая история их наблюдения.
Достоверное установление корреляции между транспортом в плазме и определенной неустойчивостью - трудноразрешимая проблема, тем не менее, на протяжении 90-х годов дрейфовые волны, главным образом ITG-мода (или т], -мода - электростатическая неустойчивость (волна), возбуждающаяся в магнитно-удерживаемой плазме при существовании градиента ионной температуры; относится к низкочастотным неустоичивостям с частотами порядка диамагнитной частоты, т.е. примерно 1МГц), привлекали значительное внимание. Они считались и в настоящее время считаются наиболее вероятной причиной для процессов, приводящих к повышенному переносу в плазме.
Исторически первыми колебаниями, обратившими на себя внимание были столкновительные дрейфовые волны [8,9], чей инкремент нарастания определяется электрической проводимостью и температуропроводностью , в этом случае согласование между наблюдаемыми в эксперименте колебаниями потенциала и плотности, и величинами, предсказанными теорией, позволило заключить, что полученные волны относятся к дрейфовому типу. Множество волн дрейфового типа было получено и идентифицировано на установке CLM (Columbia Linear Machine - установка магнитного удержания плазмы открытого типа, построенная в Колумбийской лаборатории физики плазмы - Columbia Plasma Physics Laboratory): моды на запертых электронах [10] и ионах [11]. После доработки, на этой же установке были идентифицированы ITG-моды [12], позже там же были зафиксированы ITG-колебания, возбуждаемые не только градиентом температуры, но и кривизной магнитного поля [13 ] - т.н. тороидальная ITG-мода.
Дрейфовые волны замечены на многополюсных установках магнитного удержания (Multipole confinement machines) [14] и в стеллараторах различных типов [15], что внушает уверенность в их универсальном характере, поскольку данные волны также наблюдаются в широком диапазоне магнитных полей, в том числе в широком диапазоне изменения шира магнитного поля (в установках типа токамак магнитные силовые линии по спирали обходят малую ось тора, при этом шаг спирали меняется по малому радиусу тора, поэтому магнитные силовые линии на разных радиусах перекрещены под некоторым углом, который определяется величиной магнитного шира -—, тут г - малый д dr радиус тора). Последний играет существенную роль в удержании плазмы, так как вероятно ответственен за улучшенный режим удержания [16, 17, 18], открытый для токамака. Улучшенный режим удержания связан с образованием в некотором радиальном слое внутреннего транспортного барьера (internal transport barrier, ЇТВ) [19, 20,21]. В последние годы продолжают предприниматься попытки [22, 23] описать появление внутреннего транспортного барьера в терминах дрейфовой волновой турбулентности в присутствии градиента ионной температуры. И действительно, тщательный анализ [24] показывает, что мелкомасштабные неустойчивости, возбуждаемые градиентом ионной и электронной температуры, сильно повышают ионную и электронную теплопроводность, а их подавление влечет снижение транспорта частиц и теплопроводности, причем образование внутреннего транспортного барьера связано с этими процессами. Попутно важно отметить, что в той же работе приводится несколько примеров одновременного использования линейных и нелинейных расчетных моделей (требующих значительных вычислительных затрат, включая мощные компьютеры, «распараллеливание» расчетов и др.), приводящих к сходным результатам. -20 Большие окраинные флуктуации и теплопроводность также могут найти объяснение в наличии тороидальной ITG-моды [25].
Исследование дрейфовых колебаний - обширная область, эти неустойчивости могут модифицироваться под действием множества факторов: используемая в данной работе модель включает учет шира параллельной скорости (или PVS, parallel velocity shear - изменение по малому радиусу тора проекции скорости течения плазмы на направление магнитного поля, которое, вообще говоря, может являться самостоятельным дестабилизирующим механизмом [26]), как фактора, возбуждающего неустойчивость. Примеси, присутствующие в плазме (точнее говоря, профиль их плотности), также могут влиять на устойчивость -моды [27] (хотя эта зависимость, кажется, не так велика). ITG-мода, по-видимому, изменяется под действием моды на запертых электронах [28], появление которой снимает пороговое значение по т/,
Кроме того, в настоящее время на повестке дня стоит вопрос о предсказании режимов работы ITER, в этом отношении дрейфовые (в основном ITG и ETG) колебания также служат объектом пристального изучения [29].
Подводя итог сказанному, можно сделать следующий вывод: несмотря на большое количество работ, посвященных данной тематике, остается огромное множество неразрешенных вопросов. Главной проблемой является неспособность построенных к настоящему моменту теорий полноценно объяснить дрейфовые волны, наблюдаемые в лабораторной плазме. Остается неясным, как развивается дрейфовая турбулентность на нелинейной стадии. Непонятно, как на неё влияет тороидальность, течения в плазме, наличие в ней примесей. И, наконец, если дрейфовая турбулентность действительно является причиной существенного радиального транспорта, то как она может быть подавлена?
Локальность ВКБ-решений, линии Стокса и сопряженные линии Стокса
Вычисленная таким образом возмущенная амплитуда подставляется в уравнения Максвелла. Из уравнения после подстановки в а него возмущенной функции распределения можно теоретически получить уравнение, определяющее дисперсионное соотношение.
К сожалению, в большинстве случаев, представляющих практический интерес (наличие неоднородного магнитного поля с широм, присутствие электрического поля, учет равновесных течений, конечной температуры ионов
и т.д.), воспользоваться этой методикой не удается, так как даже вычисление траектории представляет собой трудноразрешимую задачу. В простых конфигурациях расчет движения частиц не вызывает затруднений (см. например [44]). Но в сложных полях ситуация меняется. Например, предпринималась попытка рассчитать в общем случае движение частицы в магнитном поле с широм [46], ради расчета пришлось «пожертвовать» электрическим полем, но полученный результат не сводится к движению в однородном магнитном поле при ослаблении шира. В данном случае, для локального приближения, когда ценны именно незначительные градиенты, этот недостаток имеет решающее значение. Но, даже забыв о нем, проинтегрировать равновесную функцию распределения по предложенной в [46] кривой представляется невозможным, поскольку даже в простых модельных случаях [43] ради интегрирования вдоль траектории приходится жертвовать большей частью слагаемых, описывающих эту кривую, сохраняя только те, что обладают наибольшим порядком или описывают основные гармоники. Хотя сама траектория получена приближенным методом возмущений.
В линейном приближении можно оставить уравнение в интегральной форме и решать его в таком виде, как делается в работе Донга и Хортона [47].
Таким образом, основные результаты классической кинетики, там, где удалось провести интегрирование, получены в основном для сильно упрощенных задач. Тем не менее, в отдельных случаях сочетание уравнения Власова с уравнениями Максвелла позволяют свести описание к обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка относительно потенциала, например для нелинейных электростатических волн, обнаруженных Бернштейном, Грином и Крускалом (БГК-моды, [48]) (1.25)
В первом уравнении суммирование происходит для ионной и электронной компонент, второе уравнение записывается для каждой из этих компонент отдельно. Суть предложения Бернстейна и его коллег состояла в том, что локальный максимум или минимум потенциала может согласовываться с избытком электронов или ионов, так что если функция распределения по скоростям непрерывна, то часть частиц будет заперта в потенциальных ямах.
Выбирая различные приближения для функции распределения [43], можно получить дифференциальное уравнение второго порядка: E = —2-V +qa pu - энергия частицы, р0(х) - равновесный электростатический потенциал, /ай(Е) - равновесная функция распределения частицы сорта а. Если выбираемое приближение /а0{Е) поставить в зависимость от потенциала р0(х), то можно простейшим возможным образом учесть самосогласованность.
Попытки преодоления описанных проблем, связанных с интегрированием по траекториям, привели к компромиссу между желаемым и возможным, воплотившимся в гирокинетической модели. Практика показала, что этот компромисс был достаточно плодотворным. Суть его состояла в отказе от части информации о траектории частиц в обмен на упрощение математического описания. Из траектории исключается циклотронное вращение, но исключается при помощи осреднения по фазе циклотронного вращения, так что эффекты, связанные с конечностью циклотронного радиуса сохраняются. Развитие метода было инициировано потребностью исследовать низкочастотные колебания.
Линейные гирокинетические уравнения были получены в 1968 году Рузерфордом и Фримэном [49], Тейлором и Хасти [50] с использованием малости отношения характерной частоты к ионной циклотронной частоте, циклотронного радиуса к характерному масштабу пространственного изменения магнитного поля, а также с использованием допущения о малости амплитуды возмущения, Их работы были продолжены Катто [51,52].
Нелинейный вариант уравнений был получен Фримэном и Ченом в 1982 году [53]. Вскоре в более корректной форме они были записаны Ли [54]. В таком виде гирокинетическая модель стала широко применяться для анализа развития микронеустойчивостей в плазме. Позже было показано [55], что для вывода гирокинетических уравнений выгодно применять гамильтонов формализм. Это направление стало быстро развиваться и в настоящее время гамильтонов подход применяется в большинстве гирокинетических вычислений (например, [56,57]).
Использование гирокинетического подхода не исключает полностью проблему интегрирования вдоль характеристик, но облегчает её. Решаемое уравнение имеет тот же физический смысл, что и в обычной кинетике -уравнение Пуассона: -72 = 4лс(п, -«„), в котором концентрации представляют собой интегралы от функции распределения, только теперь она записана в системе координат, связанной с ведущим центром, и осреднена по циклотронному углу. Часто достаточно ввести только гирокинетическое представление для концентрации ионов, так как циклотронный радиус электронов мал
Замечания о точности и сходимости метода
Есть ещё одна причина для уменьшения шага. Очевидно, что в конечном счете мерой погрешности служит длина стороны квадрата, в котором находится искомый ноль. Однако есть вторая величина, которая определяет сходимость, а в результате, точность метода. Это шаг, с которым вычисляется изменение фазы вдоль контура. Если шаг большой (пятая часть стороны квадрата), то можно относительно спокойно искать одиночные нули (или нули единичной кратности) с небольшой точностью для «хороших» функций. Если при этом попытаться повысить точность расчета (например, увеличив число итераций), то это может привести просто к утере нуля на некоторой итерации. Утеря выразится в том, что ни в одной из четвертей квадрата изменение фазы не будет приближаться к 2ти.
Для точных расчетов недостаточно только уменьшать конечную длину стороны квадрата, необходимо также брать более мелкий шаг при обходе вдоль контура. При этом, естественно, время расчета будет возрастать пропорционально произведению этих двух факторов.
Точность метода ухудшается, если на исследуемой области находится несколько нулей или один ноль двойной, тройной и т.д. кратности. Тогда также необходимо уменьшать шаг при обходе вдоль контура, в противном случае ноль тоже может быть утерян на некоторой итерации. Возможным выходом может быть устранение нулей: вместо функции Q(z) вводится функция Q(z)/(z-zo), где ZQ - найденный ноль, этот приём сам по себе является источником погрешности. Но на практике погрешность определяется главным образом поведением функции, поэтому случается, что самый последний найденный ноль бывает самым точным.
Причина для такого усложнения состоит в виде функции Q(z). Например, для функции Q{z) = (z-2if на рисунке 3.16 приведены результаты отображения на плоскость Q двух квадратных контуров с одинаковым шагом: рисунок а -контур с центром в точке (0.9,0.9) и стороной 2, не содержащий ноль 2І, рисунок б - контур с центром в точке (0.9,2.9) и стороной 2, внутри которого находится ноль третьего порядка. Как явствует из рисунков, определить, какой из контуров содержит ноль на глаз затруднительно. В данном примере, расчет показал, что изменение фазы ближе к 2ти как раз в том случае, когда оно таковым быть не должно. Обход по первому контуру (с минимальным разрывом 1.8 я и постоянным шагом А/20) дает значение вычета 6.193, по второму - 6.185. Постоянный шаг снова взят намеренно для того, чтобы показать, что неаккуратное интегрирование не только приводит к потере нуля, но и может привести к появлению фиктивного нуля.
Причин для появления этой проблемы может быть несколько: прежде всего, в машинном представлении чисел. Вообще задача поиска нуля с точки зрения действий над приближенными числами является задачей повышенной сложности. Общеизвестно, что при создании вычислительных алгоритмов рекомендуется избегать вычитания близких чисел. Однако в данном примере приходится иметь дело именно с вычитанием близких чисел. Поскольку вычисление функций Q(z) эквивалентно вычислению их разложения в степенной ряд (компьютер именно так их и считает), то подобная ситуация с вычитанием возникает постоянно, как только расчет начинает сходиться к нулю. Положение усугубляется при работе с быстроизменяющимися нелинейными функциями. Так в приведенном примере погрешности аргумента Дг соответствует погрешность функции Az3.
Для более качественного расчета требуется уменьшать шаг обхода по контуру, но это также не исключает ошибки. В дополнение к величине изменения фазы при обходе вдоль контура можно ввести ещё один критерий наличия нуля - сходимость. Этот критерий не гарантирует сохранение всех нулей, но почти исключает появление фиктивных нулей. Расчёт не будет сходиться к фиктивному нулю, на некоторой итерации этот ноль будет потерян. Можно также смещать задаваемый контур, чтобы отодвинуть контур от нуля. По мере приближения к искомому нулю возрастает вероятность ситуации, когда ноль близок к контуру, или даже лежит на контуре. В этом случае в программе произойдет ошибка, так как аргумент нуля неопределен. Это же случится, если неудачно выбраны начальные условия, например Re(r)» 0+Х(±2""-л) или 1ш(г)« у0+(±2 " -А), где z - ноль, х0+іуо - центр исходного контура, А - его сторона. Также ошибка возникнет, если контур пересечет полюс, поскольку аргумент бесконечности неопределен. «Плавающий» контур может исключить эти проблемы.
Иначе можно поставить условие, что число нулей не должно уменьшаться с итерациями, в противном случае повторять итерацию, предварительно смещая контур. Это позволит сохранить нули, возможно включая фиктивные (или фиктивное увеличение порядка нуля). В созданной программе делается именно так, потому что после окончания расчета каждая найденная точка проверяется еще раз при помощи логарифмического вычета, находится порядок нуля, сами нули упорядочиваются либо по величие своего аргумента, либо по величине действительной части (это нужно для отслеживания перемещения нулей по мере изменения частоты). Фиктивный ноль легко отсеивается на этой стадии, так же легко исправляется ошибка порядка нуля (если она была допущена).
Тем не менее, смещение контура вместе с условием неуменьшения количества нулей иногда может приводить к зацикливанию, когда размер контура устремляется к бесконечности. Кроме того, особо нужно предусмотреть случай, когда контур пересечет ноль, когда попытка вычислить arg(Q(z)) приведет к ошибке, хотя это редко встречается на практике (по большей части во время отладки, когда для простоты вводятся круглые числа).
Получение начального приближения для расчета частоты
Расчет практично начинать с наиболее простых случаев. Затем, постепенно усложняя задачу, можно использовать уже полученные результаты в качестве начального приближения. Здесь наиболее простой является ситуация, когда тороидальность отсутствует а=0 и также нет шира параллельной скорости v=0. Тогда задача сводится к расчету осциллятора (с двумя точками поворота), её отличие от задачи, рассмотренной в разделе 4.1, состоит в применяемой системе координат. Добавление шира параллельной скорости приводит к появлению на диаграмме Стокса полюса второго порядка и двух новых точек поворота. Учет тороидальности вызывает искажение диаграммы (как ниже показано на рис.4.5) и вводит новые точки поворота.
В пределе имеет 4 точки поворота и полюс 2-го порядка, которые могут быть вычислены аналитически: точки поворота являются нулями полинома (который может быть получен при помощи простых преобразований из функции, задаваемой выражением (4.4))
Положение полюса определяется частотой: к = -В. Если скорость течения плазмы вдоль магнитного поля не меняется по малому радиусу и v=0, остаются только две точки поворота. Для kQ = 0.316, что соответствует примерно 105 м", диаграмма Стокса изображена на рис.4.5. В качестве приближения для частоты взято 5 = -0.58 + 0.65/, остальные значения т=1, є= 0,2, rj=5. Рассматривается мода п=0.
Хотя диаграмма повернута вокруг нуля, ситуация достаточно проста: точка А определяет поведение решения при - - », точка В - при к - оо, так что диаграмма сходна с картиной для гармонического осциллятора, соответственно собственное значение находится из уравнения
Задавшись вычисленным значением как исходным приближением, можно восстановить вид дисперсионного соотношения для интересующего диапазона волновых чисел. Эта кривая будут служить ориентиром в более сложных случаях. На рисунках здесь и далее частоты и инкременты неустойчивости Т выражены в единицах со. =—е-— (в отличие от раздела 4.1, где в знаменателе eBLpPs подобного выражения стоял ионный циклотронный радиус).
Уже при малом искривлении плоской геометрии диаграмма Стокса приобретает более сложный, чем диаграмма гармонического осцилятора, вид. Тороидальность математически здесь означает добавление периодической функции, которая при больших к ведет себя как синус с линейно растущей амплитудой, что ведет к появлению бесконечного количества точек поворота, распределенных вдоль действительной оси (рис.4.7).
Таким образом, требуется обосновать выбор пары точек поворота, определяющих поведение решения уравнения (4.3) на «бесконечности». Критерием выбора очевидно является поперечный профиль амплитутуды волны, соответствующий плоской задаче. Анализ решения уравнения в плоской геометрии показывает, что потенциал асимптотически стремится к нулю уже начиная с Л«1.5. Другой выбор будет в данном случае нефизичным, кроме того, при таком выборе не достигается сходимость приближенных собственных значений к какой-либо величине порядка электронной диамагнитной частоты при решении уравнения (4.7). Это, например видно при выборе пары z\ и z\. Тогда с начальным приближением, взятым из плоской задачи при kB = 0.05 (в пределе длинных волн), приближенные значения собственной частоты не стремятся к какому-либо числу.
Выбор определяющей пары точек поворота должен осуществляться на основе диаграммы Стокса. Однако, при построении диаграммы Стокса для некоторого начального приближения по частоте можно получить картину, отличную от той, что соответствует гармоническому осциллятору, например, на рис. 4.8 показан такой случай: точки поворота не соединяются сопряженной линией Стокса, так как диаграмма строится при частоте, отличной от собственной.
При стремлении расширенного полоидального угла к бесконечности поведение решений уже не определяется одной парой точек поворота. Но предположив, что амплитуда стремится к нулю начиная с &«1.5, можно принять, что область асимптотического стремления на диаграмме Стокса будет соответствовать областям, ограниченным сопряженными линиями, исходящими из точек с наименьшей по абсолютной величине действительной частью, то есть точек zl и z2. Этот выбор оправдывается: по мере расчета по уравнению 4.7 с определяющими точками поворота zl и z2 сопряженные линии А и Б, исходящие из этих точек сближаются и сливаются, когда частота подходит к собственному значению.
Диаграмма Стокса также изменяется по мере смещения вдоль оси волновых чисел. Например, ниже, на рис.4.10, в отличие от предыдущего случая, поведение на «бесконечности» определяется только одной парой точек поворота (z\ и z\), так как сопряженные линии, исходящие из точек второй пары (z,2 и z\) не пересекают действительную ось. По мере приближения тороидальности к 1 точки z\ и z\ отдаляются от действительной оси.
Последовательное решение уравнения (4.7) для диапазона волновых чисел с учетом изменения диаграммы Стокса как во время решения при заданном кв, так и при переходе к новым значениям kQ, позволяет восстановить ход кривых дисперсионного соотношения. Причем в данном случае при а 0 аналитическое решение невозмож
