Введение к работе
Актуальность темы. Одной из актуальных задач современной шчислительной математики является разработка экономичных алгоритмов, позволяющих реально уменьшить время расчетов ва ЭВМ. В іоследнее время решение отой проблемы связывают не только о улу-шгением разностной аппроксимации дифференциальной задачи я усо-іершенствованием методов решения сеточпнх уравнений, но и с правильным выбором расчетной сетки. В связи с этим к вычислительным >лгоритмаы наряду с традиционными требованиями однородности, сонсервативности предъявляют также и требование адаптивности. *
Разработка методов построения адаптивных сеток находится . в :тадии интенсивного развития- Вследствие этого как принципы построения адаптивных сеток, так и сама терминология в настоящее іремя не являются до конца установившимися. Общим п неоспоримым преимуществом использования гдалтиввых (подстраивающихся к осо— їенностям рассчитываемых решений) сеток является существенное гвеличонио точности метода при минимальном количестве узлов сотій.
В настоящее время могут быть выделены два основных направ-
Г0НИЯ развития метода адаптивных сеток: метод локального уточне-
сия прямоугольных сеток в областях нерегулярностей решения и ме-
од ПОДВВП5ЕЫХ соток. Теоретические и практические проблемы при-
юнения адаптивных сеток при численном решении задач математиче-
кой физики обсуждаются в монографиях А.А.Самарского, ГГ.Н.Ваби-
авича, С.К.Годунова, Г.И.Марчука, В.В.Шайдурова, Е.В.Ворохцово
Н.Н-Яненко, а также в работах Н.В.Арделяна, В.М.Головизнина,
.А.Дарыша, Л.М.Дегтярева, Р.Д.Лазарева, В.И.Махукина, M.Berger
многих других авторов. »
При математическом моделировании эволюционных задач-с осо-внпостями важную роль играет временной шаг. При і ^пользовании ичислите ;ьных методов адаптивного типа в нестационарных зада-ах, когда в отдельных подобластях используются свои времегаше етки, основные проблемы возникают при постановка краевых усло-
вий на внутренних границах. Использующиеся на практике прием вкстраполяции с нижних слоев, либо интерполяции с грубой сеткі приводят к ограничениям на шаги сетки (условная устойчивость тип сходимость).
При исследовании вопросов устойчивости вычислительных методов с использованием адаптивных сеток» как правило, нарушаете! свойство однородности схемы и получение априорных оценок в каждом конкретном случае сопряжено с большими техническими трудностями. При анализе аналогичных проблем для разностных схем (р.с. на адаптивно-временных сетках было установлено, что даже в линейном случае к втим методам непосредственно неприменима обща) теория. Это обусловлено тем, что г.апные методы относятся к схемам с переменными весами. К втим классам вычислительных алгоритмов относятся и другие часто применяемые гибридные р.с. (явио-неявные схемы, шахматная схема, методы вложенных сеток и др.). I связи с этим в настоящее время несомненный интерес представляю! работы но развитию общей теории устойчивости на случай схем < непостоянными весами. Классическими в втом смысле являются работы А.Л.Самарского и Д.В.Гулиьа.
Центральным вопросом теории р.с. является вопрос о сходимости. Использование адаптивных сеток связано с численным решение» нестационарных задач, имеющих весьма ограниченную гладкость исходного решения. Что касается обоснования сходимости р.с, аппроксимирующих нестационарные задачи с негладкими решениями, тс атит вопрос даже в линейном случае изучен недостаточно. При получении априорных оценок точности для р.с. на адапттшпых сетка] дополнительные проблемы связаны с разрывностью весовой функции, а для нелинейных задач — с величием нелинейностей неограниченного роста. В связи с втим актуальной является проблема исследования безусловной сходимости решений р.с. для линойных и нелинейных нестационарных уравнений математической физики в равномерно! метрике при пониженных требованиях к гладкости искомого решения.
Р.с. должна отражать основные свойства непрерывной среды.
Поэтому естественно требовать, чтобы в схеме правде всего выполнялись разпостпые аналоги основных законов сохранения (консерва-тивпыо р.с.)- Пря конструировании вычислительных методов на адаптивных сетках свойство консервативности молет нарушаться. К сожалению, этот вопрос практически но обсуждается в литературе.
Целью работы является построение теории р.с. на адаптивно-временных сетках для краевых задач математической физики.
Оспорныэ результаты работы:
-
Для пестацштортю: ісраевух ваОан лапагжаіческоЛ физшси предложен Г!7!о0 построения р. с. на Оіаюжміеааа: лохаїьно сгуцадэ-vyixca септах по брелеїтой переменной, уОовлепВорякп:,га слеОующал требовазшялг однородность, консервагаивпость, зконоліічноапь, безусловная. усг:юйчнСоспь и сховнлосгъ. Получегм опрнорппо оцолк:.; и сильных нормах как для дттиоЯлыг:, ток и длл яолинойшх иостоцио наріде: задач матоматнчосгссЯ флзиіса. Построоїш и исследованы дта-рацдоялыо методы реализации нелинейных разностных схем на адап-тшшо-вре могших сотках. Предложены простые критерия автоматического способа построения областей адаптации, не используйте an регорпую информацию о приближением реяетга-
-
Для Звухслойних и трехслойных р.о. с аперахорчо-Єесови-xxi jaiosirzsMisu. получены Оосяагючныв условия усгюйчивосгяі по начальная Оаннил и правой часгж. Исследования проведены в продпо-локении, что восоа.э операторы по обладают свойствами коммутируем», jth и лигшпщ-непрерывяости по переменной t.
-
Предложен Овухэтапныа энергетический летоО исследования безусловной схоОи&оаяи разностных схея б С-порле. С помощью данного метода в сочетании с ^-методом В.Н./брашияа для достаточно широкого класса нелинейных задач математической физики с нели неіїгюстяілї неограниченного роста получены новые оценки точности разностны' схом (без соотношении на шаги сетки) при пониженных требованиях к гладкости искомого решения.
4. Для оОномерних и жноголерных уравнений газовой аинадшш. в переменных Лаеранха построены и исслеОовани полностью консервативные р. с, для которых выполнены не только разностные анс ю-ей основних законов сохранения (массы, импульса, балансов отбельных виОов энергий, полной энергии), но и закон сохранения otimponuu.
Научная новизно. Все результаты, сформулированные в виде математических утверждений, часлопных методов, являются новыми.
Практическоо значение. Полученные в роботе результаты могут быть применены при построении и и-зследовагаш эффективных вычислительных методов для численного решения нестационарных задач математической физики с пегладкими решениями.
Апробация работы. Диссертация доложена на научных семинарах ИШ.1 РАН, ИЫ АН Беларуси. Основные результаты докладывались также на международных конференциях: "Математичоское моделирование и прикладная математика" ( Москва-Вильнюс. 1990), "Вторая международная конференция по численному анализу" (Пловдив, 1993); на всесоюзных конференциях и иколох молодых ученых: "Вычислительные методы и математическое моделирование" (Минск,1934)» "Актуальные проблемы вычислительной п прикладной математики" (Новосибирск, 1987), "Математическое моделирование з естествознании и технологии" (Владивосток, 1989) и др.; а такко па семинарах в ИГШ им. М.В.Колдыига TWUI, VS.! АН Болгарии, МГУ, Институте математики и кибернетики АН Литвы, Киевском государственном университете.
Структура диссертация. Диссертация состоит из введения, четырех глав, списка литературы из 353 наименований.
Публикации. Основные результаты опубликованы в 29 работах. Работы в соавторстве выполнены при паритетном участии каждого из исполнителей.
