Введение к работе
Объектом предлагаемого исследования являются разностные схемы, аппроксимирующие сингулярно возмущенные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка и начально-краевые задачи для параболических уравнений с одной пространственной переменной, и сходящиеся равномерно относительно параметра при старшей производной.
Актуальность. Характерной особенностью асимптотических разложений решений задач с параметром є при старшей производной является то, что они содержат так называемые погранслойные слагаемые. Иными словами, при малых є неиспользованные в вырожденной задаче граничные условия приводят к образованию в окрестностях границ пограничных слоев, где решение исходной задачи претерпевает сильные изменения. Использование для этого класса сингулярно возмущенных краевых задач классических сеточных методов, разработанных для задач с гладкими решениями, не позволяет получать приближенные решения, сходящиеся равномерно относительно параметра.
Проблеме построения специальных численных методов, обладающих свойством равномерной относительно параметра сходимости, посвящено большое количество работ, в которых можно выделить два основных подхода к решению указанных задач: а) основанный на методах подгонки (работы A.M. Ильина, Г.И. Шишкина, М.В. Алексеев-ского, Р.Б. Келлога и А. Цзань, Е. Дулана, Дж. Миллера и У. Шил-дерса, а также Б.М. Багаева и В.В. Шайдурова, Ю.П: Боглаева) и б) использующий специальным образом сгущающиеся сетки (работы Н.С. Бахвалова, В.Д. Лисейкина и Н.Н. Яненко, Г.И. Шишкина, К.В. Емельянова, И.А. Блатова). Но, как отметил Г.И. Шишкин1, применение подгоночных схем ограничено, поскольку для некоторых начально-краевых задач для параболических уравнений не существует схем метода подгонки, сходящихся равномерно относительно параметра.
1 Шишкин Г.И. Сеточные аппроксимации сингулярно возмущенных эллиптических и параболических уравнений. Екатеринбург, Изд-во РАН УрО, 1992.
В работах Г.И. Шишкина для обеспечения равномерной относительно параметра сходимости предложены кусочно-равномерные сетки, сгущающиеся в пограничных слоях. Отметим, что сетки, сгущающиеся гладко в пограничных слоях, бывают сложны для построения (см. работы В.Д. ЛисейкинаиН.Н. Яненко2,К.В. Емельянова3). Следует также отметить, что методика построения сетки, предложенной Н.С. Бахваловым4, на случай уравнений с первыми производными непосредственно перенесена быть не может, поскольку, как показано Г.И. Шишкиным1, для таких уравнений вообще не существует сеток, на которых погрешность аппроксимации классических схем была бы равномерно по параметру ограниченной.
Используемый Г.И. Шишкиным математический аппарат доказательства сходимости (принцип максимума для разностных уравнений) не позволяет получить оценки высокого порядка на неравномерных сетках — на кусочно-равномерных сетках полученные им порядки сходимости не превосходят единицы. Вышеупомянутая техника, тесно связанная с наличием у исследуемой схемы свойства монотонности, к тому же не стимулирует аппроксимировать входящие в уравнения первые производные иначе, нежели направленными разностями, то есть также с порядком не выше первого.
Вышеизложенное определило основную цель исследования, которая состоит в том, чтобы в частности для обыкновенных дифференциальных уравнений с полным вырождением и параболических уравнений, вырождающихся при є —> 0 в обыкновенные дифференциальные уравнения, не содержащие производных по пространственным переменным, получить неулучшаемые оценки на сгущающихся в пограничных слоях кусочно-равномерных сетках, а для обыкновенных дифференциальных уравнений, вырождающихся при є — 0 в
2Лисейкин В.Д., Яненко Н.Н. О равномерно сходящемся алгоритме численного решения обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с малым параметром при старшей производной// Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск. 1981, Т 12, N 2, С. 45 — 56.
3Емельянов К.В. Применение оптимальных разностных сеток к решению задач с сингулярным возмущением// Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1994, Т 34, N 6, С. 936 — 943.
4Бахвалов Н.С. К оптимизации методов решения краевых задач при наличии пограничного слоя// Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1969, Т 9, N 4, С. 841 — 859.
уравнения первого порядка, построить равномерно по параметру сходящиеся монотонные схемы, имеющие более высокую точность, чем предложенные ранее, а также получить более точные, нежели ранее известные (см. работы Г.И. Шишкина5, В.Д. Лисейкинаи Н.Н. Янен-ко2), формулы для вычисления производных.
Научная новизна диссертации заключается в следующем:
Установлено, что классические разностные схемы на кусочно-равномерной сетке Шишкина для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с полным вырождением и для параболического уравнения, вырождающегося при є —» 0 в обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка, не содержащее производных по пространственной переменной имеют равномерную по є точность 0(N~2 In2 JV) и 0(т + N~2 In2 N) соответственно, где т — шаг сетки по времени, а N — число узлов сетки по пространственной переменной.
Построены модификации известной монотонной схемы Самарского, аппроксимирующие первую и третью краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка общего вида, вырождающихся при є — 0 в уравнения первого порядка, и установлено, что они имеют на кусочно-равномерных сетках Шишкина, сгущающихся в пограничных слоях, равномерную по є точность 0(N~2ln N); отмечено также, что точность немодифицированной схемы Самарского оценивается на указанной сетке величиной 0(N~X).
Указаны формулы для вычисления (по полученному решению модифицированной схемы Самарского) "потока" — величины —ep(x)du/dx на границе и во внутренних точках с той же точностью 0(N~2 In2 JV).
Теоретическая и практическая ценность. Описанные в диссертации результаты имеют теоретическую направленность. Применение для получения априорных оценок сеточных решений сингулярно возмущенных задач математического аппарата функций Грина имеет целью дальнейшее его развитие в направлении исследования задач с болыпым числом независимых переменных. С помощью вышеуказанной техники получены оценки скорости сходимости более
5Шишкин Г.И. Численное решение эллиптических уравнений с малым параметром при старших производных. II. Аппроксимация производных// Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск. 1979, Т. 10, N 1, С. 5 — 16.
высокого порядка для ранее известных схем, а также исследованы построенные в работе схемы, имеющие большую точность, чем предложенные ранее.
Структура диссертации. Диссертация состоит из Введения, двух глав и списка цитированной литературы, содержащего 36 названий.
Методологическую основу диссертации составляют работы А.А. Самарского, Г.И. Шишкина, М.И. Вишика и Л.А. Люстерника.
Апробация. Результаты диссертации докладовались и обсуждались на семинаре проф. Ю.А. Дубинского в Московском энергетическом институте и на следующих научных конференциях:
Международное совещание по программированию и математическим методам решения физических задач. Дубна, 1993.
VIII научная конференция "Современные проблемы вычислительной математики и математической физики". Москва, МГУ, 1994.
По результатам диссертации автором опубликовано пять работ. Благодарности. Автор глубоко признателен профессору В.Б. Андрееву за помощь в написании этой работы.
