Введение к работе
АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕШ. В диссертационной работе, в основной, рассматриваются сингулярные интегральные уравнения вида
aCt^W + ГГ ^ ^^ ^Л - -*&\ tfe Ц ч I ;
о интегралы понимается з смысле глазного значения по Копя. Такие уравнения появилась вслед за интегральным уравнениями Зрвдгсяь-иа в трудах А.Пуанкаре и Д.Гильберта в начала нашего столетия. Общие свойства этих уравнения, известные теперь гак теоремы Не-тера, были установлены Ф.Нэтером в 1321 году. После того хал в тридцатых годах были найдены тесные связи рассматриваемых уравнений с различными задачами математической фязагш, а тагге установлена их связь с граничными задачаыя теории фустцаЯ ккпяек-сного переменного, началось интенсизноз развитие теории тагах уравнений. Весомый вклад в становление этой таорзз внесла Т.Кар-леман, И.Плеиель, Ф.Д.Гахов, С.Г.Ыихлнн, И.Н.Венуа, В.Д.Куарад-зе, Н.И.аусхелкпзили, Б.В.Хзеделидза.
Начиная с тридцатых годов, гогдаепэ не было полной лености в теории сингулярных уравнений, стали разрабатываться пряЗ-лкленные иетоды их регения (_ У.А.Лаврентьев, И.В.Келдыз, Г.І^дьт-хопп } . К настоязецу эременн число внзедгях в свет публигагзй, поевкдекных ресениа назааяной проблемы, огрокяо. 3 больганстзе этих публикаций на сингулярные уравнения переносятся kstozs ре-
- с
еєкхя уравнений іредгольма (^ метод механических квадратур, метод колгокацкк, метод Ралеркхна н др.^ . Приблкзенное репение, как правило, находится из системы линейных алгебраических уравнений, к которой сводится сингулярное уравнение. Естественное требование, предъявляемое к системе, - система должна наследовать свойства сингулярного уравнения. К сожалению, на наш взгляд, системы, построенные применявшимися ранее методами наследовали не все свойства уравнения. Более того, на коэффициенты уравнения,а также на лхнив интегрирования, налагается жесткие условия, продиктованные спецификой метода, а не свойствами самого уравнения. Приведем один из последних результатов, полученный методом механических квадратур. Полагая в уравнении (, I ^ L- 1ГЧ* і и записывая гто уравнение в форме
г х '
(^предполагается, что уравнение (.1 ) вещественно-значно) , а затек переходя к новой неизвестной функции a0*-^ по правилу
пржолжжэнное решение задачі
\ %
в предположении, что ьСч) - многочлен, оудеи искать в виде
ГДв _
Pt*>
О Л^>-
Чо-х^ - ортогональный многочлен по весу 9L*>> на \_ -І, l\ , "^ц^ *~і >*-ч"""і гі^ - аго нули. Неизвестны» числа u. , ^~ЧЦ***^, наЯдец из системы
R-Л w
\
Здесь 'Х-^ й~ 4^>"-->n~;**--> " нуя* ыногочдена
ортогонального по весу W^— " t*!>\ N «Д^-V \*^ J на I -I, I] .
Ясно, что задача построения схстем ортогонагіша многочленов по весовым фушпиям 5^ и ^^х>) » а затеи нахождения нулей этих систем естъ задача весьма трудная. Автору неаэ&естко ни одного содераательнола прхнзра, ревизованного на npaxnrze по
zxzub :cl. Кроне того, очевидно, что эта схема непригодна для уравнений, у которых «Ч.'*) и ь0*") - компяексно-зяачные функ-,_'ик. Схема СЗ) эффективна дашь для уравнений, у которых а. и
ъ - вещественные константы. 3 этой частном случав весовые функции 9^ и ^W вырождаются в веса Якобк. Имеется достаточно большое число статей, в которых исследуется такой случай.
Таким образом, разработка аффективных методов приближенного решения сингулярных уравнений с переменными коэффициентами, и особенно с хомплексно-значными коэффициентами, является весьма актуальной задачей.
Как ухе указывалось выше, имеется тесная связь между уравнениями СІ^ЛіО и граничными задачами теории аналитических функций : уравнения { І^ - с задачей линейного сопряжения, уравнения ( 2 ) - с задачей Рииана-Гильберта. На базе теории этих задач найдена в явной форме решения характеристических уравнений. Кроме того, эти задачи имеют и самостоятельный интерес. Так, на основе задачи линейного сопряжения Н.И.Чусхелиивили и его последователями были решены многие важные задачи плоской теории упругости. Задача Ркмана-Гильберта, являвшаяся обобщением известной задачи Дирихле, также имеет прикладное значение.
Построение приближенных ренений названных основных граничных задач теории аналитических функций также представляет определенный интерес.
НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Научная новизна результатов работы состоит в ток, что предлагаемые алгоритмы решения сингулярных интегральных уравнений одинаково применимы как к уравнениям"с вещественными коэффициентами, так и к уравнениям с комплексными коэф?ици-ентахх. Существовавшие до исследований диссертанта алгоритмы были ориентированы на случай вещественных уравнений. Вторым досто-
инством алгоритмов работы является их достаточно хорогая реализуемость на практике. Конкретизируем полученные результаты :
дт» характеристических сингулярных интегральных операторов с ядрами Коши и Гильберта с переменными коэффициентами в наеденной симметричной по отношению х операции обращения форма этих операторов с помощью вычетов получены общие, так назкзаемке "спектральные соотношения", а именно формулы, по которым многочлены или рациональные функции преобразуйся оператором в многочлены или рациональные фунхции; найденные соотнесения явяявтая весьма пироким обобщением давно известных "спектральных соотноаенкй" длл названных операторов с постоянными коэффициентами;
на основе полученных "спектральных соотношений" построен ряд новых вычислительных схем для интегральных уравнений с ядром Коои с произвольным индексом в случае окружности и с ядром Гильберта в периодическом случае; дано обоснование схем;
на базе тех не "спектральных соотноаенкй" построены аналогичные вычислительные схемы для интегральных уравнений с ядром Коши с переменными коэффициентами я произвольным индексом в случае разомкнутого контура; дано обоснование схем;
разработана новая вычислительная схема для интегро-диффе-ренциального уравнения Прандтля;
на базе теории сплайнов построены равномерно сходязиеся квадратурные формулы для сингулярного интеграла с ядроа Копя я интеграла типа Копи по гладкой разомкнутой дуга я найдены неулуч-иаемке порядковые оценки погрешностей этих фораул;
на базе теории ортогональных многочленов построены равномерно сходящиеся и сходящиеся поточечно квадратурные и к7ба?УР" ные формулы для сингулярных хятегралов с ядрам! Коза с весовой функцией чебышевсяого типа;
- б -
с использованием полученных квадратурных формул для интегралов типа Копи построены приближенные методы решения двух основных скалярных граничных задач теории аналитических функции: задачи линейного сопряжения и задачи Римана-Гильберта;
найдено общее решение двумерного интегрального уравнения первого рода с мультипликативным ядром Кош, указаны условия единственности решения и построены приближенные методы решения таких уравнения с обоснованием сходимости;
выполнен ряд численных экспериментов на ЭВМ по решению сингулярных интегральных уравнений с ядрами Коши и Гильберта с переменными коэффициентами и произвольным индексом и уравнения Прандтля.
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ. В диссертационной работе разработан новый метод приближенного решения сингулярных интегральных уравнений с ядрами Коши и Гильберта, основанный на полученных автором общих "спектральных соотношениях"; метод позволяет строить эффективные вычислительные схемы для уравнений с переменными комплексно-значными коэффициентами и произвольным индексом, причем линией интегрирования в некоторых случаях может быть совокупность непересекающихся гладких разомкнутых дуг. Некоторые нэ предложенных автором и его учениками алгоритмов доведены до пакета прикладных программ и изданы в виде сборника "математическое обеспечение ЭВМ. - Минск: Из-во АН БССР. - 1939. Вып.4.". Эти программы используются в ряде организаций.
МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЙ. При получении и обосновании результатов диссертации автор иироко использует методы комплексного анализа, особенно теория вычетов, методы теории аппроксимации (как полиномиальной, так и рациональной), методы вычислительной математики, включая теорию разностных схем и теорію некор-
рентных задач.
АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Основные результаты работы докладывались : на семинарах Удтематического института им. СтеклоЕа РАН -отдела теории функций комплексного переменного- руководитель академик А.А.Гончар , отдела теории функций-руководители : академик С.М.Никольский, член-корреспондент Л.Д.Кудрявцев , отдела уравнений с частными производными— руководитель член-корреспондент А.В.Бицадзе ; семинаре Отдела вычислительной математики РАН-руководитель академик Г.й.Марчук ; семинарах Московского государственного университета км. Ломоносова - кафедры вычислительной математики- руководитель академик Н.С.Бахвалов , кафедры теории функций и Функционального анализа-руководитель член-корреспондент П.Л.Ульянов ; семинаре Вычислительного центра РАН-руководители : д.ф.м.н А.А.Абрамов, д.ф.м.н. Б.В.Пальцев ; семинаре ВВИА им. Куковского- руководитель д.ф.м.н. Й.Я.Лифанов ; семинарах Математического института им. Размадзе АН Грузии - отдела теории функций- руководитель академик Б.В.Хведелидзе , отдела математической физики- руководитель член-корреспондент Т.Г.Гегелия ; семинаре Института кибернетики АН Украины-руководитель д.ф.м.н. В.В.Иванов ; семинарах Института математики АН Беларуси; семинарах Белорусского государственного университета.
По результатам диссертации автор выступал с докладами:на международной конференции по численным методам (г. София, 1968г.), международном симпозиуме по механике сплопной среды и родственным вопросам анализа (.г. Тбилиси, 1991г.), всесовзных конференциях "Новые подходы к ресениз дифференциальных уравнений" (_г.Дрогобич, 1987, 1991г.), всесоюзном симпозиуме "Метод дискретных особенностей в задачах, математической физики" (^г. Харьков, 1985г., г. Одесса, 1991г.), заседаниях Саратовской и Воронежской
зимних пкол по теории функций и приближений (1933г., 1969г.), республиканских конференциях Украины и Беларуси.
ПУБЛИКАЦИИ. Основное содержание' диссертации опубликовано в работах ^1 - 44]. Часть результатов & 2.3, 4.3 диссертации получена в совместных работах LI3, 40 J и в равной мере принадлежит азтору диссертации и соавторам.
СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация объемом 313 стр. машинописного текста состоит из введения, четырех глав и приложения. Библиография содержит 155 наименований.
