Введение к работе
Актуальность темы. Диссертация посвящена изучению устойчивости в равномерной метрике некоторых обратных задач для дифференциальных уравнений 2-го порядка параболического и эллиптического типов при наличии априорной информации о неотрицательности их решений. В центре внимания находятся задачи типа обратной по времени задачи теплопроводности. Эта задача является классическим примером некорректно поставленной задачи, она возникает в целом ряде теоретических и прикладных исследований.
Современная теория решения некорректно поставленных задач, основы которой и главные результаты связаны с именами А. Е Тихонова, Н. Ы. Лаврентьева, R К. Исакова, их учеников и последователей, берет свое начало с работы А. Н. Тихонова (1943)* где предложен обизій подход к изучению устойчивости обратных задач на основе теорема о непрерывности обратного отображения. В соответствии с этим подходом яажнэйкее значение при исследовании обратных задач имеет априорная информация об искомом решении. В ряде случаев сна позволяет выделить компактное множество в пространстве возможных решений - множество корректности, ка котором задача является условно корректной. Априорная информация может иметь различный характер. Так, для выделения компактного множества il М. Лаврентьевым в задаче аналитического продоляения использовано условие, равномерной ограниченности; A. В. Гончарский и А. Г. Ягола при решении обратных задач астрофизики в дополнение к ограниченности привлекали условие монотонности, выпуклости возможных решений.
Указание априорных, естественных с точки зрения приложений, условий, вводящих задачу в класс корректности, является
*) Тихонов А. а Об устойчивости обратных задач. - Докл. АН СССР, 1943, т. 39,5,0.195-198.
важной и актуальной проблемой.
Цель работы состоит в доказательстве устойчивости в равномерной метрике задач типа обратной теплопроводности в классе положительных функций и построении алгоритма приближенного ресения обратной по времени задачи теплопроводности, иепользу-юпрго априорную информацию о положительности.
Методика исследования. Доказательства устойчивости изучаемых обратных задач основаны на использовании известной теоремы об устойчивости обратного отображения и свойств положительных классических решений уравнений параболического и эллиптического типов. Центральное место занимает получение неравенств типа Харнака.
Научная новизна. Новыми являются доказанные а работе теоремы об устойчивости по норме пространства С обратной задачи теплопроводности в классе положительных функций; об устойчивости на множестве положительных функций обратной задачи для линейного параболического уравнения 2-го порядка с гладкими коэффициентами; распространение аналогичных результатов об устойчивости положительных решений на класс обратных задач с оператором, обладающим подугрупповым свойством по "времеюпга-добной" переменной; алгоритм решения обратной задачи теплопроводности, использующий условие положительности решения.
Практическая и теоретическая ценность. Результаты работы могут быть использованы в дальнейшем развитии теории некорректно поставленных задач, а также в приложениях при решении обратных задач математической физики. Выполнение априорного условия неотрицательности функции легко можно контролировать при реализации численных алгоритмов.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались ва Всесоюзных школах-семинарах по теории и прилоявшшм некорректно поставленных задач (Усть-Нарва,Самарканд.Саратов), ва Всесо-
юзноя конференции по обратным задачам и идентификации процессов теплообмена (Уфа),на научных семинарах МГУ по теории некорректных задач.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы (79 наименований). Работа изложена на 85 страницах машинописного текста
Похожие диссертации на Об устойчивости некоторых обратных задач в классе положительных решений
