Введение к работе
Актуальность темы. Вопросы, связанные с процессом диффузии частиц в турбулентной плазме влаги в почвогрунтах, а также с процессом распространения тепла в тонком нагретом стержне, если задан закон изменения общего количества тепла стержня, приводят к нагруженным дифференциальным уравнениям и нелокальным задачам для дифференциальных уравнений математической физики.
В работе Нахушева A.M.1 впервые указана связь нелокальных задач с нагруженными уравнениями: нелокальные задачи типа Бицадзе-Самарского для уравнений Лапласа и теплопроводности сведены к локальным задачам для нагруженных уравнений. Этот факт используется в ряде работ для численного решения нелокальных задач математической физики.
К первым работам с неклассическими граничными условиями для общих параболических уравнений относятся, по-видимому, работы Cannon J.R.2 и Камынина Л.И.3. После появления работы Бицадзе А.В. и Самарского А.А.4, внимание математиков все чаще стали привлекать нелокальные задачи математической физики. Различные классы нелокальных задач для дифференциальных уравнений с частными производными изучались в работах Самарского А.А., Ионкина Н.И., Ильина В.А., Моисеева Е.И., Чудновского А.Ф., Шополова Н.Н., Гордезиани Д.Г., Нахушева A.M., Шханукова М.Х., Керефова А.А., Митрополь-ского Ю.А., Березовского А.А., Муравей Л.А., Филиновского А.В., Житарашу Н.В., Эйдельмана С.Д., Солдатова А.П., Гулина А.В., Марозовой В.А. и др.
Использование дробных производных для описания и изучения физических процессов стохастического переноса стало в последние годы одной из популярных областей физики, многие проблемы фильтрации жидкости в сильнопористых (фрактальных) средах приводят также к необходимости изучения краевых задач для уравнений в частных производных дробного порядка.
К первым работам по теории дифференциальных уравнений дробного порядка следует отнести работы L. O'Shaughnessy5, S. Mandelbrojt 6. В работах МА. Bassam, A.Z.A1. Abedeen, H.L. Arora, получены ряд результатов, аналогичных теоремам из теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Численным методам решения краевых задач для уравнения диффузии дробного порядка
^^Нахушев A.M. Нагруженные уравнения. Дифференц. уравнения. 1983. Т. 19. №5. С. 86-94.
2Cannon J.R. The solution of the heat equation subject to the specificationof energy. Quart. Appl. Math. 21(1963). Pp. 155-160.
3Камынин Л.А. Об одной краевой задаче теории теплопроводности с неклассическими граничными условиями. ЖВМ и МФ. 1964. Т.4. єб. С. 1006-1024.
4Бицадзе А.В., Самарский А.А. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач. ДАН СССР. 1969. Т.185. є4. С. 739-740.
50'Shaughnessy L., Problem 433. Amer. Math. Month. 1918. Vol. 25. P. 172-173.
6Mandelbrojt S. Sulla generalizzazione del calcolo delie variazione Atti Reale Accad. Naz. Lincei. Rend CI. sci. fis. mat. e natur. Ser. 6. 1925. Vol. 1. P. 151-156.
посвящены работы Головизнина В.М., Кисилчва В.П., Короткина И.А., Юркова Ю.П. . Локально - одномерным схемам для уравнения дробного порядка посвящена работа Лафишевой М.М. и Шханукова М.Х.8.
Цель работы. Постановка и исследование краевых задач для нагруженного уравнения теплопроводности в дифференциальной и разностной трактовках, нелокальных краевых задач типа Бицадзе - Самарского и Самарского - Ион-кина для уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами в дифференциальной и разностной трактовках; краевых задач для волнового уравнения с дробной производной по времени в дифференциальной и разностной трактовках, сходимости разностных схем для обобщенного уравнения переноса. Выполнение основной цели работы потребовало получение аналогов теорем вложения, построение разностного аналога регуляризованной дробной производной порядка а, 0 < а < 1, со вторым порядком аппроксимации.
Методы исследования. В работе используется метод энергетических неравенств и свойства функции Грина при получении априорных оценок для решений рассматриваемых дифференциальных и разностных задач, методы теории дифференциальных уравнений с частными производными и операторов дробного интегро-дифференцирования.
Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты:
Для решений краевых задач нагруженного стационарного и нестационарного уравнения теплопроводности с конвекцией получены априорные оценки в дифференциальной и разностной трактовках, откуда следует устойчивость и сходимость рассматриваемых разностных схем.
Для решений нелокальных краевых задач первого и второго рода (типа Бицадзе-Самарского и Самарского-Ионкина) для уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами получены априорные оценки в дифференциальной и разностной трактовках.
Для решений краевых задач волнового уравнения с дробной производной по времени получены априорные оценки в дифференциальной и разностной трактовках. Построен разностный аналог регуляризованной дробной производной второго порядка аппроксимации.
На основе общей теории устойчивости трехслойных разностных схем получены условия сходимости разностных схем для обобщенного уравнения переноса (уравнения "быстрой"диффузии). Построены трехслойные факторизованные схемы для двумерной задачи.
7Головизнин В.М., Кисилев В.П., Короткий И.А., Юрков Ю.П. Некоторые особенности вычислительных алгоритмов для уравнений дробной диффузии: Препринт IBRAE -2002-01. М.: ИБРАЭ РАН, 2002.
8Лафишева М.М., Шхануков М.Х. Локально-одномерная разностная схема для уравнения диффузии дробного порядка ЖВМ и МФ. 2008. Т. 48. №10. С. 1878-1887.
На защиту выносятся:
Доказательство единственности и непрерывной зависимости от правой части и начальных условий решений краевых задач нагруженного стационарного и нестационарного уравнения теплопроводности с конвекцией. Устойчивость и сходимость разностных схем.
Доказательство единственности и непрерывной зависимости от входных данных решений нелокальных краевых задач первого и второго рода (типа Бицадзе-Самарского и Самарского-Ионкина) для уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами. Устойчивость и сходимость разностных схем.
Доказательство единственности и непрерывной зависимости от правой части и начальных условий решений краевых задач волнового уравнения с дробной производной по времени. Устойчивость и сходимость разностных схем.
Устойчивость и сходимость разностных схем для обобщенного уравнения переноса.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Является продолжением развития теории нагруженных уравнений и нелокальных краевых задач для стационарного и не стационарного уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами.
Методы исследования могут быть применены для решения широкого класса краевых задач для дифференциальных уравнений параболического и гиперболического типа. Разностные схемы построенные для рассматриваемых задач могут быть использованы при решении прикладных задач, приводящих к таким уравнениям.
Апробация результатов. Основные результаты диссертации представлены в виде докладов:
на третьей школе молодых ученых "Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики" (Нальчик-Эльбрус, 2005 г.);
на второй научной конференции "Математическое моделирование и краевые задачи"(Самара, 2005 г.);
на третьей международной конференции "Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики" (Нальчик, 2006 г.);
на международной конференции "Анализ и особенности" посвященной 70-ти летию Владимира Игоревича Арнольда (МИАН, Москва, 2007г.);
на пятой школе молодых ученых "Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики" (Нальчик-Эльбрус, 2007 г.);
на семинарах НИИ прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН в 2006-2009 гг. (руковод. - д. ф.-м. н., проф. Нахушев A.M.);
на семинарах кафедры вычислительной математики КБГУ в 2006-2009 гг. (руковод. - д. ф.-м. н., проф. Шхануков-Лафишев М.Х.).
Публикации. Основные результаты работы опубликованы в работах [1]-[14]. Из них [11] и [12] опубликованы в изданиях, включенных в список изданий, рекомендованных ВАК для публикации основных результатов кандидатских диссертаций.
Структура и объем работы. Диссертационная работа изложена на 103 страницах и состоит из введения, двух глав, списка литературы, состоящий из 118 наименований.
