Введение к работе
Актуальность темы
При численном анализе математических моделей в различных областях физики и техники (геофизика, оптика, теплофизика и другие) часто возникает необходимость решения интегральных уравнений первого рода, линейных или нелинейных. Интегральные уравнения первого рода с математической точки зрения формулируются в форме более общей задачи решения операторного уравнения первого рода.
В работах А.Н.Тихонова, М.М.Лаврентьева, В.К.Иванова разработана теория некорректно поставленных задач и основные подходы к конструированию эффективных регуляризирующих алгоритмов их решения. Одним из подходов к построению регуляризирующих алгоритмов для решения интегральных уравнений первого рода является использование различных итерационных процедур, таких как, например, методы простой итерации, градиентного спуска, сопряженных направлений в сочетании с критериями останова итераций в зависимости от уровня погрешности исходных данных. Предложенный и обоснованный М.М.Лаврентьевым для простейших итерационных процедур типа простой итерации, этот подход в дальнейшем получил развитие в работах О.М.Алифанова, А.Б.Бакушинского, Г.М.Вайникко, С.Ф.Гилязова, В.А.Морозова, А.С.Немировского, С.В.Румянцева, Л.Сарва.
В последние годы в работах В.В.Васина, M.Hanke, A.Neubauer, O.Scherzer доказана сходимость регуляризирующих итерационных алгоритмов на основе методов градиентного спуска и сопряженных направлений для специальных классов нелинейных уравнений первого рода при возмущении правой части.
В то же время вопросы сходимости регуляризирующих итерационных алгоритмов для решения некорректных уравнений первого рода пока исследованы недостаточно, дальнейшее их изучение является актуальным.
Цель работы
Целью работы является обоснование сходимости регуляризи-
рующих итерационных алгоритмов на основе метода градиентного спуска, метода сопряженных градиентов и проекции сопряженных градиентов для решения специальных классов интегральных уравнений первого рода: линейных с самосопряженным незнакоопределенным оператором, нелинейных с оператором, дифференцируемым по Фреше, при наличии погрешностей в операторе и правой части.
Научная новизна работы
В диссертации получены следующие новые результаты:
-
Обоснован регуляризирующий метод сопряженных градиентов для решения линейных операторных уравнений с самосопряженным оператором. Получены достаточные условия слабой и сильной сходимости в гильбертовом пространстве.
-
Исследован регуляризирующий метод градиентного спуска для решения нелинейных операторных уравнений с оператором, дифференцируемым по Фреше. Доказана сильная сходимость при условия согласования номера итерации с уровнем погрешности исходных данных.
-
Получена оценка погрешности аппроксимации решения нелинейного операторного уравнения регуляризирующий методом градиентного спуска. Обоснован апостериорный способ выбора номера итераций в зависимости от уровня погрешности исходных данных.
-
Исследован регуляризирующий метод проекции сопряженных направлений для решения нелинейных операторных уравнений с ограничениями на решение в виде принадлежности выпуклому замкнутому множеству. Получены достаточные условия сильной и слабой сходимости в гильбертовом пространстве.
-
Доказана сильная сходимость регуляризирующего метода проекции сопряженных направлений в применении к реше-
нию линейных операторных уравнений с ограничениями на решение в виде принадлежности шару.
6. Проведено численное исследование на модельных задачах (линейные и нелинейные интегральные уравнения с гладкими решениями) регуляризирующих методов сопряженных градиентов. Численно изучена зависимость погрешности аппроксимации гладкого решения от соотношения шагов сеток для решения и его производной.
Практическая ценность работы
Полученные результаты позволяют обоснованно расширить сферу применения регуляризирующих итерационных алгоритмов, основанных на методах градиентного спуска и сопряженных направлений. Развитая в работе техника теоретического анализа регуляризирующих итерационных алгоритмов для нелинейных уравнений первого рода может быть использована в дальнейших исследованиях свойств таких алгоритмов при менее сильных ограничениях на оператор уравнения.
Апробация работы
Основные результаты диссертации докладывались на следу-щих конференциях и семинарах:
Семинар в Institute for Mathematical Modelling of Danish Technical University, апрель 1997 года, Copenhagen, Denmark.
Научная конференция "Ломоносовские чтения", апрель 1997 года, Москва.
Конференция "Современные проблемы механики сплошной среды", октябрь 1997 года, Ростов-на-Дону.
Семинар кафедры математического моделирования Кубанского государственного университета под руководством академика РАН, профессора В.А.Бабешко, октябрь 1997 года, Краснодар.
XV научная конференция молодых ученых ВУЗов юга России, март 1998 года, Краснодар.
Научно-исследовательский семинар НИВЦ МГУ "Современные проблемы численного анализа" под руководством профессора В.А.Морозова, апрель 1998 года, Москва.
Семинар по численным методам для интегральных уравнений под руководством профессора И.К.Лифанова и профессора Е.В.Захарова, ВМК МГУ, сентябрь 1998 года, Москва.
Семинар "Математическое моделирование и обратные задачи в технических системах" под руководством профессора О.М.Алифанова, МАИ, сентябрь 1998 года, Москва.
Публикации
По теме диссертации опубликовано 7 работ, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем работы. Работа содержит введение, четыре главы, заключение, содержащее перечень основных результатов, приложение и список литературы (51 наим.). В состав работы входят 5 иллюстраций. Объем работы — 111 листов.
Похожие диссертации на Регуляризирующие итерационные алгоритмы для решений некоторых классов интегральных уравнений первого рода
