Введение к работе
Целью диссертационной работы является получение достаточно простых условий существования оператора обратного оператору уравнения
U - банахово пространство, г/ - линейны'* ограниченный опора-тор и апостериорной оценке нормы этого оператора при наибольшем диапазоне изменения // \-\ Ц и разработка методой и алгоритмов получения апосгериорннк оценок норм обратшх операторов применительно к следующим яраевнм задачам,
hi-/
'--б
/]. (tj (S- 4_,...jItl/ - хотя бы один раз яепрернш/о дилере ицяруемне функции.
хотя он «ва:кды непрерывно дифференцируемая фуїдашч.
з. у. "(±j + я W х ЧЪ) + ntj -х (tj^i tj. Ъ±ца3Ы
-,4 -
Xfa)^X(b)-o <\11)9Гс) Cz
4. В x =x4t) - A tt)xitj = i/f tj
/,,.., AH'
матрица размерности in Ь-f/i, причем её элементы хотя
бы один раз непрерывно дифференцируемы; X(i) CJ I tj векторы размерности hi,
Актуальность темы
При рассмотрении оценок погрешности приближённых методов решения различных линейных функциональных уравнения возникает необходимость получения оценки норны оператора обратного к заданному линейному оператору. Широко распространённые методы априорных оценок часто оказываются или невозможны или дают завышенные результаты. Поэтому удобнее использовать апостериорные оценки пори обратных операторов. Гак как оти оценки основаны на непосредственном получении оценки нормы обратного оператора. Число робот, в которых рассматриваются методы апостериорных оценок,весьма,ограничено. Поэтому задача получения новых апостериорных оценок является актуальной.
Научная новизна работы
Результаты диссертации являются новыми и получены автором самостоятельно. Существует незначительное число раоот, в которых рвссыетриадюгся методы апостериорных оценок норм обратных операторов. В работах Самокиша Б.А. и Сыолянской Н.А. были пост-
Самокиш Б.А., Сыолякокая Н.А. Об апостериорных оценках решений краевых задач 10 приложении общей теории приближенных методов анализа к получению апостериорных оценок решений кра-
- б -
роены алгоритмы вычисления оценок норм обратных операторов краевых задач для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка на основе схемы, изложенной в общей теории приближённых методов Л.В.Канторошгаа. Исходная краевая задача аппроксимируется разностной. Однако охема Л.В.Канторовича можег давать завышенные оценки. В работах Зива А.Д. получены алгоритмы апостериорных оценок норм обратных операторов краевых задач для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго и четвертого порядков, систем линейных дифференциальных уравнений первого и второго порядков на основе схемы Л.В.Канторовича и двух новых методов .-^Первый метод состоит в продолжении аппроксимирующего оператора на всю область задания точного и непосредственном применении теоремы Банаха. Второй метод заключается в предсгавлании решения задачи в виде сумми двух слагаемых - первое слагаемое явно выражается через праную часть уравнения, а второе имеет производную на порядок выше, чом исходное уравнение - и регуляризации правой части уравнения. Эти два метода аналитически проще чем схема Л.В.Канторовича и часто дают возможность получить более точные оценки. Исходная краевая задача аппроксимируется разностной. В работах Зиі!О.А.Д. указано на громоздкость получаемых в них вычислений при составлении алгоритмов оценок норм обратных операторов.
евых задач. Деп. в ВИНИТИ 15.04.76 г. № 1274-76. , Самокиш Б.А., Смоленская Н.А. Об апоотариорннх оценках реше» ний краевых задач П Численная апостериорная оценка обратного оператора первой краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка.'Дел. в ВИНИТИ 15.04,76, If. 1275-76.
Зив А.Д. Апостериорная оценка обратного оператора для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с вырождением. В об. Методы вычислений 1978т. Jf II, с.118-141.
Зив А .Д., Самокиш Б.А. Об апостериорной оценке обратного оператора вырожденной двухточечной краевой задачи. Еурнал вн-числ.мотам, и мат.физики. 1380, т.20, №1, 0.77-83.
Зив А.Д. Методы апостериорной оценки решения краевых задач для систем первого порядка,. № 30*15-81. Дпп. от 22 июня 1983 г., ВИНИТИ, Л., 1981/
В работе Павлова В.. і* получено два способа апостериорной оценки нормы обратного оператора краевой задачи для обыкновенного линейного дифференциального уравнения второго порядка при использовании метода моментов. Они опираются на схему л.В.Канторовича и на метод продолжения аппроксимирующего оператора на вою область задания точного и непосредственном применении теоремы Ьанаха. Не выписаны подробно алгоритмы оценок нормы обратного оператора.
Для оценки норми обратного оператора в случае линейного ,. функционального уравнения второго рода известны теорема Банаха о сжатии, две теоремы о близких уравнениях, георема Л.В.Канторович а. Но первые три теоремы могут использоваться при довольно "узком диапазоне изменения It Н It , теорема Л.В.Канторовича трудна для использования.
к для линейных интегральных уравнений Фредгольма второго іодп известны теорема об оценке погрешности метода замени ядра нп вырожденное и теорема об оценке нормы обратного оператора с использованием метода механических квадратур и второй теоремы о близких уравнениях, изложенные в книге'Деуговета И.К.
Но первая теорема трудна для реализации, так как удачный выбор близкого вырожденного .ядра требует известного искусства вычислителя. Вторая теорема мокет быть реализована только при выполнении большого числа условий.
В диссертации получено пять оценок норм операторов обратных операторам линейных уравнений второго рода при достаточно простых условиях для широкого крута банаховых пространств при произвольной // Н II и довольно широком диапазоне её иэ-
Зив АД. Апостериорная оценка решения краевой задачи для дифференциального уравнения четвёртого порядка, к 3017-81. Деп. от 22 июня 1981 г. БШШТИ, Л., 1981.
Зив А.Д. Оценка решения краевых задач для систем второго порядка. № 3018-81, Деп. от 22 июня 1981 г. ВИНИТИ, Д., I9SI.
Павлов Н.Б. Апостериорные оценки обратных операторов с помощью проекционных методов, дурнал вычислительной математик и математической физики. 1987, т.27, К 8, с.1249-1252. Лвуговет U.K. Приближенное, решение линейных функциональных уравнений. Л., 1985.
менения. Сделаны обобщения теоремы Банаха и двух известных теорем о близких уравнениях второго рода, указаны случаи получения оценки нормы обратного оператора более точной, чем в теореме Банаха, получены оценки нормы оператора обратного оператору линейного уравнения Фредгольма второго рода.
В данной работа предложена такжв схема получения оцеьок норм обратных операторов краевых задач для линейных обыкновен-. них дифференциальных уравнений /п. -го порядка (/ю- ~>,Z ) и систем линейных обыкновенных.дифференциальных уравнений первого порядка с помощью указанной модификации проекционных методов (методы Б.Г.Галёркина и одного из важных в практическом отношении вариантов метода моментов) и одной из общих теорем функционального анализа. Указанная теорема при поставленных условиях не реализуется при использовании, проекционных методов в обычной форме. Получены также подробные алгоритмы оценок норм обратных операторов краевых задач для обыкновенных линейных дифференциальных уравнений /?г~го порядка ( Пт,>^% ).
В данной работе предложена также схема и подробный алгоритм оценки нормы обратного оператора краевой задачи для обыкновенного линейного дифференциального уравнения второго порядка с помощью предложенного полиномиального метода, используемой ранее теореме функционального анализа и оценке нормы оператора . заданного в интегральной форме л рассматриваемого как оператор из пространства L2 С &J Ь 1 в Lz С#» Ь 1 . При получении оценки нормы обратного оператора по предложенным алгоритмам не требуется получения решений поставленных краевых задач в отличие от методов Самокиша Б.А. и Смолянской Н.А., Зива А.Д. и нет трудоёмкой операции получения минимального собственного значения матрицы в отличив от методов Павлова Н.Б.
Общая методика исследования
Используются*две теоремы о существовании обратного оператора и оценки его нормы; общая теория приближенных методов Л'.В. Канторовича, теорема о наилучшем приближении функции для пространства t- д f'1 - * .Л '-.
На защиту выносятся пять новых оценок норм операторов обратных операторам лвяейвых,функциональных уравнений второго рода, результаты,' полученные, при., модификации проекционных методов решения линейных дифференциальных уравнений7п -го порядка
- є -
( hi ~>s 2s ) и систем линейных дифференциальных уравнений первого порядка, полученный полиномиальны!! метод решения линейного дифференциального уравнения второго порядка и результати, полученные при его использовании.
Практичеокая ценность работы 8аключавгоя в том, что её результаты могут быть непосредственно использованы при получении численных оценок погрешностей приближённого решения краевых задач, использованы также при получении оценок погрешностей приближённого решения линейных интегральных уравнений Фредголь-fea второго рода.
Реализация работы
Это-вычислительные алгоритмы получения апостериорных оценок, реализованные в ряде примеров,на нахождение оценок норм обратных операторов.
Апробация работы'
Основные результаты диссертации докладывались на: Городском оешнаре "Дифференциальные уравнения и уравнения математической физики Р.Г.П.У. иЫ. А.И.Герцена (1990 г.), научном семинаре кафедры математики и методов математического моделирования В.В.М.У, им. Ы.Ф.Фрукзе (1991 г.), научной конференции Санкт-Петербургского Инженерно-Строительного института (1992 г.), на конференции "Герценовские чтения" в Р.Г.П.У. им. А.И.Герцена (1993 гі).
Публикации,
По теме диссертации опубликовано 9 работ, список которых помещай в конце автореферата.
Структура и объем диссертации
