Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Понижение кратности интеграла алгебраически точной дифференциальной формы с квазиэллиптическим знаменателем 17
1.1. Основные определения и формулировка результата Циха-Ермолаевой 17
1.2. Алгоритм 21
1.2.1. Построение многогранника Ньютона и двойственного ему веера 22
1.2.2. Простое разбиение веера нормалей 23
1.2.3. Проверка квазиэллиптичности полинома и условия неравенства его нулю в Шп 25
1.2.4. Проверка абсолютной сходимости интеграла 38
1.2.5. Нахождение рациональной первообразной 40
1.2.6. Основной алгоритм 42
1.3. Реализация алгоритма и примеры вычислений 44
Глава 2. Когомологическое приведение рациональных дифференциальных форм 51
2.1. Теорема Лейнартаса-Южакова 53
2.2. Некоторые возможности упрощения числителя коэффициента рациональной дифференциальной формы 54
2.3. Расширенные алгоритмы Бухбергера 56
2.3.1. Основные определения 5
2.3.2. Алгоритмы Бухбергера 61
2.3.3. Расширенные алгоритмы Бухбергера 64
2.3.4. Реализация алгоритмов и примеры вычислений 69
2.4. Метод когомологического приведения 72
2.5. Реализация и примеры вычислений 76
Заключение 82
Приложение 83
Список литературы 118
Литература
- Построение многогранника Ньютона и двойственного ему веера
- Проверка абсолютной сходимости интеграла
- Некоторые возможности упрощения числителя коэффициента рациональной дифференциальной формы
- Расширенные алгоритмы Бухбергера
Введение к работе
Необходимость в вычислении интегралов от рациональных функций многих неременных возникает в различных областях математики и теоретической физики, в частности, в квантовой теории поля. В конце 50-х годов было обнаружено, что к ним приводятся фейнмановские интегралы [16, 19]. В 80-х годах было замечено, что некоторые интегралы такого типа, а именно интегралы со значениями из поля рациональных чисел, выражают топологические заряды инстантонных полей [15]. В 90-х годах интегралы от рациональных функций, зависящие от параметров, были рассмотрены как обобщения интегрального представления Эйлера для бета-функции [2, 35] в многомерной теории гипергеометрических функций.
Несмотря на то, что асимптотика и характер ветвления интегралов от рациональных функций с параметрами были хорошо изучены в работах [3, 13, 16], для многомерного случая до недавнего времени были вычислены лишь единичные примеры интегралов такого вида [6, 14].
Один из способов вычисления интегралов от рациональных функций в одномерном случае заключается в нахождении первообразной для подынтегральной функции и последующем применении формулы Ньютона-Лейбница. Для вычисления первообразной подынтегральное выражение раскладывается на простейшие дроби, для которых первообразные легко вычисляются и представляют собой рациональную либо трансцендентную функцию/
В многомерном случае, в соответствии с леммой Пуанкаре, для подынтегрального выражения интеграла, рассматриваемого как дифференциальная форма ы, всегда существует (п — 1)-форма (р, удовлетворяющая свойству dip = ш, и называемая первообразной, которая,
как и в одномерном случае, раскладывается в сумму рациональной формы tpi и "обобщенного арктангенса-логарифма" щ. Таким образом, всякая рациональная n-форма ш представляется в виде суммы dtfi -\-d(f2 = ші +^2, где форма и і имеет рациональную первообразную (такие дифференциальные формы называются алгебраически точными).
Для алгебраически точных форм понижение кратности интегрирования по К", п > 1 производится в классе рациональных форм и достигается несколькими заменами переменных. Причем, каждая такая замена переменных есть переход к другим координатам некоторой компактификации X пространства Ж, построенной по знаменателю подынтегрального выражения. Дальнейшее вычисление интеграла основано на интерпретации множества Жп в виде цепи интегрирования в этой компактификации и последующем применении формулы Сток-са. Для решения данной задачи оказалось удобно использовать то-рическую компактификацию пространства Жп, так как в этом случае функции перехода от одних локальных координат к другим являются мономами Лорана. Торическое многообразие ассоциируется с веером в пространстве сопряженном с Ж, который представляет собой набор конусов, удовлетворяющих определенным требованиям. Понятие веера и гладкого торического многообразия, ассоциированного с ним, ввел в 1970 г. М. Демазюр. Позже такие многообразия изучались в работах [17, 18] и [24]-[26]. В 1973 г. в работе [37] было впервые рассмотрено торическое многообразие с особенностями, которое в последствии изучалось в монографиях Т. Оды [39] и У. Фултона [34], а также в работе В.И. Данилова [8]. В данных работах торическое многообразие рассматривалось как обобщение афішного пространства и определялось с помощью склейки некоторых афинных многообразий Ua (координатных окрестностей), каждое из которых является множеством
смежных классов точек пространства Cn = С по некоторому отношению эквивалентности. Однако, в 1991 году М. Оден [27] предложила интерпретировать торическое многообразие в виде факторпростран-ства некоторого открытого (по Зарисскому) подмножества афипного пространства по действию некоторой алгебраической группы. Данный подход к построению торических многообразий был успешно применен в работах В.В. Батырева и Д. Кокса [28]-[30] и [32]. В контексте данного подхода торическое многообразие выступает как обобщение проективного пространства.
Применяя торические компактификации пространства R", А.К. Цих [21] получил формулу понижения кратности интеграла для алгебраически точной подынтегральной формы с эллиптическим знаменателем. Его метод был обобщен в совместной работе Т.О. Ермолаевой и А.К. Циха [10] на случай квазиэллиптического знаменателя.
Понижение кратности интегрирования для форм, которые не являются алгебраически точными, осуществляется только в классе алгебраических форм, и для его реализации используются многомерные вычеты [1, 7, 13, 20]. Например, в работах [20, 23] рассматривались случаи, когда знаменатель Q раскладывается в произведение линейных множителей над полем С, а в работе О.Н. Жданова [11] этот результат был обобщен на случай п переменных. Важную роль при решении данной задачи играет приведение интеграла к более простому виду. Одним из способов такого упрощения является понижение порядка полюсов подынтегральной формы, которое достигается заменой исходной формы на когомологичиую ей форму более простого вида. Теорема Лейиартаса-Южакова [1] позволяет уменьшить количество полярных дивизоров знаменателя формы до размерности пространства, а их порядок понизить до единицы.
Однако, данные методы дают лишь теоретическую возможность для вычисления интегралов от рациональных функций, и существенной проблемой является недостаточная конструктивность самих методов. Таким образом, возникает потребность уточнить и дополнить имеющиеся методы, с тем, чтобы преобразовать их к виду, допускающему алгоритмизацию и компьютерную реализацию.
Цель исследования состоит в разработке алгоритмов вычисления кратных интегралов от рациональных функций и реализации этих алгоритмов в системе компьютерной алгебры Maple 9. Задачи исследования были следующие: разработать и реализовать алгоритм понижения кратности интеграла по пространству W1 от алгебраически точной рациональной дифференциальной формы с квазиэллиптическим знаменателем; реализовать алгоритм цилиндрического алгебраического разбиения; разработать и реализовать алгоритм простого разбиения конического полиэдра; разработать и реализовать алгоритм когомологического приведения рациональной дифференциальной формы; доказать необходимые предложения, касающиеся упрощения рациональных дифференциальных форм; реализовать расширенные алгоритмы Бухбергера построения нормальной формы и базиса Гребнера.
При разработке метода понижения кратности интеграла от рациональной функции использовались формулы А.К. Циха и Т.О. Ермолаевой [10]. Проверка квазиэллиптичности знаменателя, осуществляемая в ходе этого метода, потребовала привлечения алгоритма цилиндрического алгебраического разбиения, предложенного в 1973 году Г. Коллинзом [31], сделавшим эффективным вычислительно чрезвычайно трудоемкий алгоритм Тарского 1948 года. При описании торической компактификации пространства Rn существенную роль играет построение многогранника Ньютона, соответствующего знаменателю подынтегрального выражения, и двойственного ему веера. Эти построения
осуществляются при помощи алгоритма Моцкина-Бургера [22] и его
реализации, выполненной П. Буровским [4]. Алгоритм когомологиче-
'* ского приведения разработан на основе теоремы Лейнартаса-Южакова
[1] и, существенным образом, использует теорию базисов Гребнера, разработанную Б. Бухбергером [5].
Перейдем к непосредственному описанию содержания диссертации.
В главе 1 представляется метод понижения кратности интеграла
7= i?Vr\dx= fn^U'",XnW---dx^ (0-1)
J Q{%) J Q{xu...,xn)
** от рациональной алгебраически точной дифференциальной формы с
квазиэллиптическим знаменателем, приводится алгоритм, и описывается его реализация в системе компьютерной алгебры Maple 9.
Первый раздел главы 1 (нумеруется 1.1) является вводным. В нем, следуя работам А.К. Циха и Т.О. Ермолаевой [9, 10, 12], приводят-ся некоторые определения и условные обозначения, необходимые для описания формулы понижения кратности интеграла. Помимо классических определений многогранника Ньютона, конуса, конического полиэдра и алгебраически точной дифференциальной формы, вводятся новые, а именно, определение квазиэллиптического полинома, обобщающее понятие эллиптического полинома, а также определение рациональной первообразной, не имеющей полюса на бесконечности, для рациональной дифференциальной формы. Далее в разделе описыва-ется способ сопоставления знаменателю подынтегрального выражения из интеграла (0.1), точнее, его многограннику Ньютона Д, торической компактификации пространства W1 и формулируется теорема из [10], обеспечивающая возможность понижения кратности интеграла вида
(0.1), в случае, когда подынтегральное выражение является алгебраически точной дифференциальной формой, знаменатель которой ква-зиэллиптичен и не обращается в пуль на Мп, а интеграл сходится абсолютно.
Более подробно, будем рассматривать интегралы вида (0.1), где Р (х) и Q (х) - полиномы с комплексными коэффициентами. Пусть полином Q — Q(x) = J2 са%а ~ Y, cau...,anxai -хап, где под N понимается множество целых неотрицательных чисел. Сопоставим ему многогранник Ньютона Д — Д (Q). Напомним, что многогранником Ньютона полинома Q (х) называется выпуклая оболочка показателей мономов, входящих в этот полином с ненулевыми коэффициентами. Срезкой Qv полинома Q в направлении ковектора v G К"* (здесь Шп* означает сопряженное пространство к R") будем называть полином Qv = Yl саХа, где Av = < w Є Д : {w, v) = min {и, v)>- грань Д
aGAv { иєА )
в направлении v.
Определение 0.1. Полипом Q называется квазиэллиптическим,
если для любого ненулевого ковектора v Жн* срезка Qv не обращается в нуль в торе (R\{0})n.
Далее будем считать, что знаменатель подынтегрального выражения Q в интеграле (0.1) является квазиэллиитическим полипомом и не обращается в нуль на R".
Обозначим символом д веер, двойственный многограннику Д, а Ёд - простое подразбиение веера Ед. Пусть v1,..., vd - образующие Ед id ~ число гиперграней многогранника Д), a vd+l,... ,vd+r ~ векторы, добавленные в результате простого подразбиения.
Каждому вектору vk, 1 < k < d ставится в соответствие матрица Си = Ckx...kn„xk — (ykl ^..., vkn~l, wfc), столбцами которой служат векторы v S—jW п~1, порождающие вместе с vk n-мерный симплициаль-ный конус в Ед. С каждой матрицей Ск свяжем биномиальную замену
переменных х = уСк, которая в терминах координат запишется так: Хі = Уі1 Уп-і уп1, г = 1,...,п.
На подынтегральное выражение в (0.1) будем смотреть как на дифференциальную форму, и записывать ее в виде
uj^^U'",Xn\dx1A...Adxn. - (0.2)
Дифференциальная форма (0.2) называется алгебраически точной, если найдется рациональная (п — 1)-форма <р, дифференциал dtp которой равен w. Форму ip, удовлетворяющую такому условию, назовем рациональной первообразной для формы ш.
Будем говорить, что форма ц> не имеет полюса на бесконечности, если для каждого 1 < k < d форма <р (уСк) не имеет полюса на гиперплоскости уп = 0.
Введем обозначения: \vk\ = v± + ... + г^,
{
\vkl 1—1 !,.fcn—і |_п "1
(Уи.^Уп^еЖ^-.уі ' -...-yU ' 0|.
В указанных обозначениях справедлива следующая теорема из [10].
Теорема 0.1. Пусть Q - квазиэллиптический полином, не обращающийся в нуль паШп, и интеграл (0.1) абсолютно сходится. Если
рациональная первообразная <р подынтегральной формы (0.2) не имеет полюса па бесконечности, то для интеграла (0.1) верна формула
і = (-1)" * (Ja - jG ) Ь> (vCt)] L=o, (о-з)
где коэффициенты s^ принимают значения 0 или ±2 по формуле Sk — (l + (-l)l"'l)-detCt.
Построение многогранника Ньютона и двойственного ему веера
Фактически на протяжении всего основного алгоритма, в частности, при проверке условий квазиэллиптичности знаменателя, алгебраической точности подынтегральной формы и абсолютной сходимости интеграла, нам понадобятся алгоритмы построения многогранника Ньютона (алгоритм NewtonPolyhedron) и двойственного ему веера нормалей (алгоритм NormalFan).
Алгоритмы построения многогранника Ньютона полинома и двойственного ему веера осуществляются в два этапа. На первом этапе определяется носитель полинома, а на втором этапе находится его выпуклая оболочка. Для построения выпуклой оболочки множества точек n-мерного пространства используется алгоритм, базирующийся на алгоритме Моцкина-Бургера и описанный в [22], и его реализация П. Буровским в виде Maple-программ Convexhull и FullConvexhull программного пакета convexhull, представленного в [4].
Программа Convexhull по заданному списку точек и размерности пространства строит список точек исходного множества, попадающих на каждую из гиперграней выпуклой оболочки точек исходного списка, и список образующих нормальных конусов соответствующих гиперграней. Программа FullConvexhull строит описание граней всех размерностей и нормальных конусов к ним.
Для построения многогранника Ньютона и двойственного ему вектора нормалей (алгоритмы NewtonPolyhedron и NormalFan соответственно) мы будем пользоваться какой-либо из этих программ в зависимости от полноты требуемых данных.
Если исходный интеграл берется по пространству Ж2, то подключение пакета convexhull не требуется. Для построения многогранника Ньютона (это будет выпуклый многоугольник) используется стандартная Maple-про грамма convexhull программного модуля simplex. Для
построения веера нормалей векторы, получающиеся при обходе многоугольника против часовой стрелки, поворачиваются на угол 90 (если (х, у) - координаты вектора-"стороны" многоугольника, то {—у, х) - координаты внутренней нормали к этой стороне) и минимизируются (то есть для каждого вектора вычисляется наименьший общий делитель его координат, и все координаты на него делятся).
В данном разделе рассматривается алгоритм PrimitiveNormalFan, преобразующий веер нормалей в примитивный веер нормалей в результате простого подразбиения. На входе в алгоритм множество конусов , образующих веер, на выходе - множество примитивных конусов, организующих простое подразбиение веера Е.
Алгоритм состоит из двух этапов. На первом этапе исходное множество конусов S преобразуется во множество симплициальных конусов Е (напомним, что конус называется симнлициальным, если число его образующих равно размерности пространства) следующим образом: пусть Со — (VQ, ..., VQ1) - не симплициальный конус, то есть т п, т тогда находим вектор v = Yl v\ минимизируем его (то есть, сокращаем все его координаты vl на их наибольший общий делитель) и добавляем ко всем группам из (п — 1) векторов множества {VQ,...,V}, образующих конусы размерности п — 1 из веера . Данная процедура применяется ко всем несимплициальньтм конусам множества S, начиная с разбиения конусов размерности 3 и заканчивая разбиением конусов размерности п. В результате, мы получим множество симплициальных конусов Е . Заметим, что, так как в пространстве Ж2 все конусы сим-плициальны, то в случае интегрирования по пространству R2 первый этап автоматически опускается.
Второй этап: пока во множестве найдется конус Со = М,..., г$), такой, что матрица, составленная из векторов VQ,...,VQ, не является унимодулярной (модуль определителя унимодулярной матрицы равен 1), находим точку р с целыми координатами, лежащую внутри параллелепипеда (или на его гранях, но не совпадающую ни с одной его вершиной), построенного на векторах VQ,. .., v$; проводим из начала координат в точку р вектор v; конструируем множество конусов С — {СІ}, где СІ — (v1,..., г?1-1, и, vz+1..., г п), і = 1,..., п; исключаем из множества С конусы, размерность которых меньше размерности пространства; добавляем оставшиеся в С конусы к множеству , а конус Со из этого множества исключаем.
В результате повторений такой процедуры мы получим множество примитивных конусов, которые и образуют примитивный веер. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.1. Описанный выше алгоритм корректен.
Доказательство. Хорошо известно, что модуль определителя матрицы, составленной из минимальных целочисленных образующих рационального симплициального конуса максимальной размерности п равен объему фундаментального параллелепипеда подрешетки N, порожденной этими образующими в IIі. Это же целое число дает порядок факторгруппы IIі fN. Выбирая точку внутри фундаментального параллелепипеда (или на его границе) и разбивая затем конус на симплициаль-ные конуса с этим вектором в качестве одного из ребер, мы получаем конуса со строго меньшим объемом фундаментального параллелепипеда. Поэтому процесс разбиения остановится через конечное число шагов. С другой стороны, очевидно, (см., например, доказательство леммы Гордана в [8]) что если рассматриваемый набор образующих конуса не порождает всю решетку Zn, то внутри фундаментального параллелепипеда или на его границе обязательно найдется точка из Zn, отличная от вершин параллелепипеда. D
Проверка абсолютной сходимости интеграла
Находим корни полиномов из множеств proji и proj2- Получаем единственный корень х = 0.,Таким образом, R разбивается на следующие компоненты: (—оо,0),0,(0,оо). Множество "пробных" точек будет следующее: {—1,0,1}. Этап расширения.
Подставляем "пробные" точки в исходный полином / вместо переменной х. Получаем множество полиномов: {—1 + 2у2 — ЪуА + у, у6,1 + 2у2 + Зу4 + yQ}. Действительные корни первого полинома: Л/6 /(108 + 12л/б9)з ((108 + 12\Щ1 + 12 + 6(108 + 12л/б9) ) 6(108 + 12 69)3 [З := -а
Корень второго полинома, очевидно, нуль. Третий полином корней не имеет. Итоговое множество "пробных" точек для пространства Ж2 следующее: {(-1,а - 1), (-1,а) , (-1,0), (-1,/3), (-1,/? + 1), (0,0)}. Выбрасываем из этого множества точки (—1,0) и (0,0), так как они не принадлежат тору (R\ {0})п. Оставшиеся точки подставляем в исходный полином: /(-1,о:-1) 148.8369981, /(-1,а) =-0, /(-1,/3) = 0, /(-1,/3+1) и 148.8369981. Так как в некоторых из этих точек полином / обращается в нуль, то он не является квазиэллиптическим. ТЕОРЕМА 1.1. Если Q - квазиэллиптический полином, не обращающийся в нуль па Жп, то интеграл (1.1) абсолютно сходится тогда и только тогда, когда I + А (Р) С Д (Q), то есть, когда сдвиг многогранника А (Р) вдоль вектора I = (1,...,1) Мп лежит во внутренности Д (Q) многогранника Д (Q).
На се основе составлен алгоритм AbsoluteConvergence (Q, Р, ж) Input: Р = Р(хх,...,хп) - полином, зависящий от п переменных, числитель подынтегральной формы интеграла (1-1); Q — Q (жі,... }хп) — полином, зависящий от п переменных, знаменатель подынтегральной формы интеграла (1.1); х = [хі,..., хп] - список переменных; Output: true, если интеграл (1.1) сходится абсолютно, false - в противном случае;; 1. А (Р) :— NewtonPoIyhedron (Р, х) (используется программа Convexhull); 2. verticesP - список вершин многогранника Ньютона Д (Р); 3. образовать список verticesP _1, сдвинув все вершины списка verticesP на вектор / (увеличить все координаты всех точек списка verticesP на 1); 4. Д( 2) := NewtonPoIyhedron (Q, х) (используется программа Convexhull); {д п_1) (Q),..., Д п_1) (Q)} - гиперграни Д (Q) 5. {г?і,..., Vd\ := NormalFan (Q, ж) - веер нормалей, двойственный A (Q); 6. для каждой точки р Є verticesP __1 и каждой гиперграни Afc (Q) вычислить скалярное произведение вектора с началом в произвольной точке гиперграни Ад." (Q) и с концом в точке р, и вектора vk, 1 k d; 7. if (все скалярные произведения строго положительны) then t :— true else t := false end if; return t end.
Алгоритм нахождения рациональной первообразной, не растущей на бесконечности, (RationalPrimitivc) основывается на многомерном аналоге метода неопределенных коэффициентов Остроградского и осуществляется в три этапа: определяются степени мономов, входящих в состав коэффициентов числителя первообразной, выписываются полиномы с неопределенными коэффициентами и найденными степенями и решается уравнение на коэффициенты. В качестве входных данных для данного алгоритма выступают полиномы Р (х), Q (х) и список переменных х. Если исходная дифференциальная форма алгебраически точна и имеет не растущую па бесконечности рациональную первообразную, то алгоритм возвращает значение этой первообразной в виде списка её коэффициентов, в противпом случае, возвращается список из п пулей.
Рассмотрим теперь все этапы алгоритма более подробно. Допустим, что дифференциальная форма ",Xn\dxi... dxn алгебраически точна и tp - ее рациональная первообразная, не растущая на бесконечности.
Представим UJ в виде ш — -=J y dx следующим образом: если най-дется полином Q (х) и натуральное число к, такие, что Q2k (х) — Q (ж), тогда Р(х) — Р(х); если найдется полином Q(x) и натуральное число к 1, такие, что Q2k l (х) = Q(x), тогда Р(х) = Р(х) Q(x); если таких Q(x) и к не существует, тогда Q{x) = Q(x), к — 1, P{x) = P{x)-Q(x).
Некоторые возможности упрощения числителя коэффициента рациональной дифференциальной формы
В настоящей главе рассматриваются задачи, связанные с упрощением рациональных дифференциальных форм, а именно, с их когомологическим приведением, которое, в частности, позволяет уменьшить количество полюсов формы и понизить их порядок. Решение этой задачи позволяет записать интеграл от формы со сложным знаменателем в виде суммы гораздо более простых интегралов, к которым уже можно применять стандартную теорию вычетов и формулу Ньютона-Лейбница, с помощью которой кратность интеграла понижается.
Раздел 2.1 является вводным, в нем даются некоторые определения, и формулируется теорема Лейнартаса-Южакова из [1].
В разделе 2.2 представляются некоторые возможности дальнейшего упрощения рациональной дифференциальной формы, связанные с преобразованием числителя коэффициента формы.
Раздел 2.3 посвящен базисам Гребнера и нормальным формам, а также расширенным алгоритмам Бухбергера, которые будут полезны при решении задачи когомологического приведения. В него включены определения моиомиального порядка, нормальной формы, базиса Гребнера и стандартного представления, введенные Б. Бухбергером [5]. Далее описываются алгоритмы нормальной формы и базиса Гребнера. Первый из них позволяет найти нормальную форму исходного полинома относительно исходного множества полиномов и заданного мономиального порядка. Этот алгоритм можно дополнить вычислением коэффициентов разложения разности исходного полинома и его нормальной формы по исходному множеству полиномов, получив тем самым алгоритм, называемый расширенным алгоритмом нормальной формы Бухбергера. Алгоритм базиса Гребнера позволяет по исходному идеалу, заданному набором образующих, построить базис Гребнера относительно заданного мономиалыгого порядка. Данный алгоритм также можно расширить, дополнив вычислением коэффициентов разложения исходных полинохмов по полиномам, образующим базис Гребнера. Основным результатом раздела является алгоритм вычисления нормальной формы полинома относительно базиса Гребнера идеала, заданного набором образующих, и вычисления коэффициентов разложения разности исходного полинома и его нормальной формы по исходному набору образующих идеала. Далее рассматриваются дополнительные возможности улучшения рассмотренных алгоритмов, связанные с редукцией и порядком выбора полиномов и позволяющие упростить полученный результат и промежуточные вычисления. В конце раздела представлена реализация алгоритмов в системе Maple 9 и приведены примеры работы соответствующих Маріе-программ.
В разделе 2.4 представляется основной алгоритм, позволяющий для исходной рациональной дифференциальной формы найти форму более простого вида (количество полюсов итоговой формы меньше либо равно размерности пространства и все полюса первого порядка), кого-мологичную данной, и вычислить когомологический остаток.
Раздел 2.5 посвящен реализации алгоритма из предыдущего раздела и примерам его использования. Пусть Qu-"iQm - неприводимые полиномы от п переменных с комплексными коэффициентами и Sj = {z Є Cn : Qj (z) — 0}, 1 j m - множества нулей этих полиномов.
Предполагается, что многообразия Sj, 1 j т находятся в общем положении- Поскольку общее положение в разных контекстах понимается по-разному, уточним, что, в рамках данного текста, многообразия Sj-, 1 І їтг находятся в общем положении, если пересечение любых к многообразий из этого списка пусто при к п и является гладким многообразием коразмерности к при к п.
Напомним, что две дифференциальные n-формы УИШ называются когомологичпымщ обозначается ш ss cD, если существует дифференциальная (п — 1)-форма (р, такая, что to — и) — dip. Такую дифференциальную форму р мы будем называть когомологическилі остатком приведения формы и; к форме и или, проще, когомологическим остатком.
Расширенные алгоритмы Бухбергера
Основной алгоритм когомологического приведения выглядит следующим образом: CohReduction (ш) Input: ш — n n QI дифференциальная форма; Output: список [и), Л], где а) — дифференциальная форма, когомоло-гичная w, у которой все полиномиальные сомножители знаменателя в первой степени и их число не больше числа переменных, Л — [Лі,..., Лп] — список дифференциальных форм, п таких что (Г Ri — to — 6J; г=1 и := М; Л — список, состоящий из п пулей; while в множестве w есть дифференциальная форма ю , у которой число полиномов в знаменателе больше числа переменных do 1. w :=о; \и/; 2. о; : = си U Number_Reduction (о; ); end while; while в множестве w есть дифференциальная форма ш , у которой в знаменателе есть полином, степень которого больше 1 do 1. выбрать j — номер полинома в знаменателе, степень которого нужно уменьшить; 2. и)х := ш \ш ; 3. LO \ =w UPower_Reduction(u)/,j)[l]; 4. R: - R + Power_Reduction(a/,j) [2] — поэлементное сложение двух списков длины п; end while; и : Y2, шг , где \uf\ — количество элементов множества со ; г=1 return [tD, Я]; end. Отметим, что в данном алгоритме не приводятся формулы для упрощения итоговой дифференциальной формы, рассмотренные в разделе 2.2, но при реализации алгоритма эти возможности учитываются.
Алгоритм когомологического приведения для дифференциальных форм, у которых множества нулей полиномиальных сомножителей знаменателя находятся в общем положении, реализован в пакете программ DiffForm в системе компьютерной алгебры Maple 9, по использует еще и программы из пакета BGroebner. Напомним, что последний реализует расширенные алгоритмы Бухбергера, которые используются в алгоритме когомологического приведения для вычисления коэффициентов разложения единицы по множеству полиномов. Коды программ из пакета DinTorm приведены в приложении к основному тексту.
Рассмотрим программу CohomologicalReduction, реализующую основной алгоритм из предыдущего раздела.
Входные данные программы: DF — коэффициент исходной дифференциальной формы, который задается в следующем виде: [числитель, [1-ый полиномиальный сомножитель знаменателя, его степень ],... ,[т-тый полиномиальный сомножитель знаменателя, его степень]]; monom_order — матрица, задающая допустимый (правильный) мономиальный порядок, или слова lex или deglex, задающие лексико . графический и степенной лексикографический порядки соответствен но; \ist_var — список переменных; Rest — необязательная переменная, в которой сохраняется список коэффициентов когомологического остатка, если его необходимо вычислить, причем на г—том месте списка стоит коэффициент при dz\ А ... [г]... Л dzn, если Z]_, ...,zn - список переменных.
Для проверки результата в рассматриваемом пакете есть программа test (DF, CR, Rest, list_var), она проверяет равенство to — & = dR (в наших терминах DF — CR=d (Rest)). Пример 2.8. Зададим дифференциальную форму: dw Adz D — Щ) к;3 (wz — 1) (го2 + z2 — 1) DF := [1, [[w, 3], [w z-l, lj, [w 2+z 2-l, 2]]]; DF := [1, [[to, 3], [wz - 1, 1], [w2 + z2 - 1, 2]]] зададим порядок на мономах (в нашем примере степенной лексикографический): monom_order := deglex; monom order := deglex зададим список переменных: list_var := [w,z]; var :— [w, z] найдем форму, когомологичную ш: CR:—CohReduction(DF, monom_order, listvar, Rest ); bz w pr .„ 6 6 {wz-1) {w2 + Z2 1) -f wz4 - \wz2 - fz - w-\z- fz8w + fzGw - -fz7 + f z5 w2 -f- z2 — 1 1 5 5 1 3 5 ,12 6 4 12 , J w z — 1 4 ш (w2 + 22 — 1) Дополнительно получаем коэффициенты когомологического остатка: Rest; [(-72-72 w г-156 ш6+6 ад8-782 ш7 г3+3896 ш5 z5 4464 ш3 z5+7524 3 z7 + 38 z w9 - 12114 wb z9 - 162 w11 z3 + 588 ш9 25 - 10104 w7 z7 - 1252 z3 w5 72 w2 z2 - 160 w7 z + 1512 z4 w4 + 4626 w4 z8 - 28 w8 z4 - 3804 w3 z9 + 900 w9 z3 + 621 w7 25 + 1842 w5 z7 + 130 w10 z2 - 963 w11 z5 -f 2376 w9 z7 + 9045 ш7 г9 - 36 w12 z2 + 36 wlz z3 + 531 w10 z4 - 2457 w6 z8 + 3748 6 z6 + 5670 w5 z11 + 132 w3 z + 222 w4 + 1332 ад3 г3 + 82 w6 z2 - 36 w4 z2 1890 w4 z10 + 62 w5 z - 212 ш8 z2 - 2045 z4 w6 - 4074 w4 z6)/(144 w2 (w2+ z2-I)2 {wz-l)),z(-2l + lbz2-wz + Ww7z3-27w zb-Uw z7
Похожие диссертации на О вычислении кратных интегралов от рациональных функций
