Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Задачи приближенного интегрирования с гарантированной точностью 48
1. Функционалы погрешности 49
2. Форматы вещественных чисел 51
3. Пример влияния ошибок ввода на суммарную оценку погрешности вычисления интеграла 55
4. Погрешность кубатурной формулы с учетом округлений 58
Глава II. Инвариантные кубатурные формулы типа Грегори для многомерного Куба 65
1. Аналоги формул прямоугольников и трапеций для многомерного куба 66
2. Определение и простейшие свойства многомерных аналогов формул Грегори 72
3. Коэффициенты Фурье функционалов погрешности 78
4. Преобразование Фурье локального функционала погрешности 91
5. Оценки гарантированных радиусов инвариантных кубатурных формул типа Грегори 102
Глава III. Общие вопросы теории кубатурных формул в рефлексивных банаховых пространствах 122
1. Оптимальные кубатурные формулы с заданным множеством узлов 124
2. Оптимальные кубатурные формулы в периодических пространствах Соболева бесконечного порядка 146
3. Экстремальные функции оптимальных кубатурных формул как сплайны аффинных многообразий 169
4. Базис Шаудера из экстремальных функций оптимальных кубатурных формул 172
5. Кубатурные формулы на основе иерархических базисов 186
6. Кубатурные формулы в пространствах гармонических функций 195
Литература 205
- Пример влияния ошибок ввода на суммарную оценку погрешности вычисления интеграла
- Определение и простейшие свойства многомерных аналогов формул Грегори
- Оценки гарантированных радиусов инвариантных кубатурных формул типа Грегори
- Экстремальные функции оптимальных кубатурных формул как сплайны аффинных многообразий
Введение к работе
Актуальность темы. Быстродействие и память электронных вычислительных машин, как это отмечается в современной печати, за каждую пятилетку возрастают примерно в десять раз, и вместе с этим ростом при помощи массированных компьютерных вычислений исследуются все более и более сложные задачи естествознания и техники. Объем перерабатываемой при этом информации становится поистине гигантским и традиционные способы контроля за происходящими в компьютере вычислениями, хорошо себя зарекомендовавшие для относительно малых объемов обрабатываемых данных, в изменившихся условиях свою эффективность утрачивают. По-видимому, именно по этой причине в научных изданиях регулярно появляются статьи, в заголовки которых снова и снова выносится вопрос о том, можно ли и насколько можно доверять результатам компьютерных вычислений?
В мировой вычислительной математике уже давно выработано представление (изложенное, к примеру, в известных монографиях С.К Годунова1, Дж. Деммеля2, Дж. Голуба и Ч. Ван Лоуна3), акцентирующее внимание на нетривиальности воздействия ошибок округления на весь ход компьютерных вычислений. Это представление, а также стремление контролировать сложный вычислительный процесс в полной мере, привели к возникновению в современной математике ряда новых направлений.
Одно из таких новых направлений связано с выработкой неклассических критериев качества рассматриваемого процесса. Существо такого рода критериев состоит в определении сопутствующих выбранному вычислительному процессу числовых параметров (одного или нескольких), эффективно определяемых по исходным данным задачи и позволяющих (в зависимости от величины вводимого параметра) давать гарантированные заключения о близости или удаленности получаемого машиной числа и истинного результата. Наибольшее развитие указанный подход получил во второй половине прошлого века в применении к задачам линейной алгебры. Достигнутые в этом направлении успехи побуждают к проведению аналогичной точки зрения в областях вычислительной математики, непосредственно с линей-
1 Годунов С.К. Решение систем линейных уравнений. Новосибирск: Наука, 1980. 2Деммелъ Док. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения. М.: Мир, 2001. 3 Голуб Док., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. М.: Мир, 1999.
РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ j БИБЛИОТЕКА
ной алгеброй не связанных, и, в частности, к выработке соответствующих критериев в теории приближенного многомерного интегрирования.
Практика современных теории приближений и численных методов такова, что наиболее развиты и широко используемы способы вычисления интегралов на основе метода кубатурных (квадратурных) формул. В связи с компьютерной реализацией этого метода, т. е. в связи с его реализацией в арифметике с конечной точностью, возникает вопрос о правомерности применения оценок погрешности, получаемых в рамках классической теории кубатурных формул, к оценке погрешности реального вычислительного процесса. К погрешности аппроксимации, возникающей в результате замены интеграла конечной суммой взвешенных узловых значений подынтегральной, функции, на практике неминуемо добавляются погрешности, обусловленные как неточным вводом в компьютер начальных данных задачи (весов формулы и узловых значений подынтегральной функции), так и неточным же выполнением сопутствующих формуле арифметических операций (сложений и умножений). Следовательно, гарантировать точность в практических вычислениях интегралов без скрупулезного анализа сопутствующей этим вычислениям суммарной погрешности немыслимо и важнейшую роль в этом анализе играют методы, разработанные на основе сложившегося функционального подхода к построению и исследованию формул для приближения многомерных интегралов. Основы этого подхода таковы.
Во-первых, предполагается, что выбранная (или построенная) кубатур-ная формула будет использована не только для какой-либо одной конкретной функции, но сразу для целого семейства подынтегральных элементов, представляющего собой шар в некотором наперед заданном функциональном (банаховом) пространстве X. Во-вторых, разность между интегралом и приближающей его линейной комбинацией значений подынтегральной функции рассматривается как результат действия на эту самую подынтегральную функцию некоторой обобщенной функции, полностью определяемой исходной кубатурной формулой и называемой по этой причине функционалом погрешности формулы. В-третьих, исходное банахово пространство X предполагается вложенным в пространство функций, непрерывных в замыкании области интегрирования, причем это вложение непрерывно, т. е. функционал погрешности кубатурной формулы не только линеен, но
и ограничен на X. Знание численной мажоранты для его нормы в сопряженном пространстве X* позволяет получать для произвольной функции из единичной сферы пространства X гарантированные оценки близости истинного значения интеграла от этой функции к рассматриваемой на ней кубатурной сумме и в этом — существенное отличие функционального подхода от всех других.
Функциональные методы стали широко применяться в теории приближенного интегрирования начиная-с работ академика СМ. Никольского и первого издания его книги "Квадратурные формулы". Создание же теории кубатурных формул заслуженно связывают с исследованиями академика С.Л. Соболева. В его научном наследии работы по теории приближенного интегрирования занимают весьма заметное место: первую работу по куба-турным формулам он опубликовал в 1961 г., последнюю — в 1986 г., всего же их более трех десятков, в том числе две фундаментальные монографии.
Функциональный подход вместе с описанием конструкций рассматриваемых формул, т. е. вместе с указанием их узлов и весов либо алгоритмов их нахождения, подразумевает и вывод эффективных двусторонних оценок для норм соответствующих функционалов погрешности. В этом направлении особо выделяется полученная Н.С. Бахваловым оценка снизу нормы функционала погрешности в зависимости от размерности переменной интегрирования и от порядка гладкости рассматриваемого класса подынтегральных функций.
Помимо результатов СМ. Никольского, СЛ. Соболева и Н.С Бахва-лова современная теория кубатурных формул располагает и рядом других интересных и ярких достижений. Важную часть теории кубатурных формул составляют исследования по кубатурным формулам, обладающим высокой полиномиальной степенью и инвариантным относительно преобразований той или иной группы симметрии (см. работы В.И. Лебедева, И.П. Мысовских, Г.Н. Салихова и др.). Еще одно направление, пожалуй наиболее развитое, включает в себя исследования по асимптотически оптимальным кубатурным формулам (см. работы О.В. Бесова, В.И. Половин-кина, М.Д. Рамазанова, В.Н. Темлякова, Ц.Б. Шойнжуроваидр.). Особое направление теории составляют исследования по оптимальным решетчатым кубатурным формулам — в этой связи упомянем работы А. Сарда,
РЬМейерса, И. Шенберга, С. Силлимена, И. Бабушки, М.Д. Рамазанова, а также обобщающие результаты С.Л. Соболева.
Приведенный здесь очень краткий и не претендующий на полноту тематический обзор тем не менее наглядно свидетельствует об актуальности избранной для исследования темы.
Цель работы — это, во-первых, создание теоретической модели вычисления многомерных интегралов с гарантированной точностью, синтезирующей методы оценивания погрешности, используемые в традиционных рамках функционального подхода теории кубатурных формул, и методы оценки погрешности алгоритмов, применяемые в современных методах вычислений в арифметике с конечной точностью. Во-вторых, это решение ряда задач классической теории кубатурных формул, связанных с доказательством в случае произвольных банаховых пространств подынтегральных функций существования оптимальных кубатурных формул, их практическим построением и исследованием на сходимость, а также с построением в явном виде асимптотически оптимальных кубатурных формул.
Методы исследования. Для решения задач в рамках описанной выше проблематики использованы методы математического анализа, функционального анализа, вычислительной математики, дифференциальных уравнений с частными производными.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и получены автором лично. Основные результаты диссертации таковы:
-
предложена новая модель оценивания погрешности произвольной ку-батурной формулы при ее реализации в арифметике с конечной точностью. В этой модели вместо нормы функционала погрешности определен новый родственный ей числовой параметр, названный гарантированным радиусом кубатурной формулы. Проведена оценка уклонения гарантированного радиуса формулы от нормы ее же функционала погрешности. Полученная при этом мажоранта уклонения выписана в виде явной функции числа узлов формулы, суммы модулей ее весов и машинных констант;
-
реализована оценка гарантированных радиусов конкретных кубатурных формул, представляющих собой многомерные аналоги известных квадратурных формул Грегори. Гарантированный радиус кубатурной форму-
лы типа Грегори явно оценен в случае пространств Соболева конечного порядка гладкости, причем эта оценка применима при каждом конкретном наперед заданном значении N, а не только асимптотически, когда число узлов N формулы неограниченно возрастает;
-
доказано существование оптимальных по весам кубатурных формул и установлена их монотонная сходимость при очень общих предположениях относительно совокупного множества узлов последовательности кубатурных формул и пространства X подынтегральных функций (например, X может быть сепарабельным гильбертовым пространством);
-
установлено, что последовательность экстремальных функций, соответствующих оптимальным кубатурным формулам, образует в пространстве X подынтегральных функций базис (при тех же предположениях о структуре X, что и выше).
Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации существенно развивают и совершенствуют возможности метода кубатурных формул. Приведенные в работе теоремы, леммы, аналитические оценки значительно расширяют объем известной информации о свойствах кубатурных формул и могут использоваться как при решении новых задач теории приближенного вычисления многомерных интегралов, так и для оценки практических качеств кубатурных формул при их реализации на существующих типах вычислительных машин. Полученные результаты можно также использовать в университетских курсах по вычислительной математике.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы" (конференция, посвященная столетию И. Г. Петровского, Москва, 2001), "Международной конференции по вычислительной математике (ICCM2002)" (Новосибирск, 2002 г.), на конференции "Mathematical Modelling and Scientific Computing" (Ankara—Konya, Turkey; 2001), на конференциях серии "Ky-батурные формулы и их приложения", (Красноярск, 2003 г., Уфа, 2001 г.; Красноярск, 1995 г., 1993 г.), на Четвертом и Третьем сибирских конгрессах по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, 2000 г. и 1998 г.), на конференции "Оптимизация численных методов" (Уфа, 1998 г.),
на Общеинститутском математическом семинаре Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН (рук. академик Ю.Г. Решетняк, 2003 г), на семинаре "Математика в приложениях" (рук. академик С. К. Годунов, 2003), а также на ряде других научных конференций и симпозиумов. Часть результатов получена автором диссертации в ходе работ по проекту Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 98-01-00760).
Публикации. По теме диссертации опубликовано более 30 работ, полный перечень которых имеется в диссертации. В автореферате приведен список основных публикаций автора по указанной теме, включающий монографии [1-2]. Доля каждого из соавторов в работах [8], [17], [18] одинакова.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, списка литературы из 383 наименований и оглавления. Объем работы 243 страницы.
Пример влияния ошибок ввода на суммарную оценку погрешности вычисления интеграла
Важную часть рассматриваемой теории составляют результаты по ку-батурным формулам, обладающим высокой полиномиальной степенью и инвариантным относительно преобразований группы вращений некоторого правильного многогранника [244], [276, гл. И], [152], [233]-[241], [137]-[143]. Требование точности кубатурной формулы с заданными узлами на многочленах до определенной степени сводит задачу отыскания ее весов к решению линейной системы уравнений. Чем выше требуемая точность и чем больше узлов, тем большие размеры имеет эта система. Однако в случае, когда область интегрирования обладает определенного рода симметрией, а для приближенного интегрирования используется инвариантная кубатурная формула, размеры соответствующей линейной системы можно существенно уменьшить (см. [276, гл. И]; там же предложен алгоритм построения узлов инвариантной кубатурной формулы на трехмерной сфере).
Наиболее развитое направление теории состоит из результатов по асимптотически оптимальным решетчатым кубатурным формулам в пространствах функций конечной гладкости [276, гл. IV-VI].
С.Л. Соболев рассматривал в этой связи гильбертовы пространства Is . Предложенная им конструкция регулярного пограничного слоя позволяет при сколь угодно большом числе узлов находить веса кубатурной формулы, решая лишь несколько стандартных систем линейных уравнений с размерами, зависящими только от гладкости т. Центральный результат исследований по асимптотически оптимальным формулам — это вывод асимптотического представления L -нормы функционала погрешности с регулярным пограничным слоем. Соответствующая формула включает в себя два слагаемых, первое из которых записано в явном виде через так называемые обобщенные числа Бернулли, а второе пренебрежимо мало по сравнению с первым при малом шаге h решетки интегрирования. В частности, из этого представления следует, что норма функционала погрешности с регулярным пограничным слоем убывает при h —У 0 как степенная функция hm. Это весьма глубокий аналитический факт, позволяющий дать функциональное определение порядка точности кубатурной формулы на классе [274].
Формула, выражающая L\m -норму функционала погрешности с регулярным пограничным слоем через обобщенные числа Бернулли, дает серьезное основание в пользу выбора в качестве множества узлов интегрирования точек параллелепипедальной решетки. В самом деле, мы можем поставить задачу отыскания для заданного числа узлов N наилучшей ку-батурной формулы, т.е. такой кубатурной формулы, чей функционал по-грешности имеет при данном 1\1 наименьшую Ь2 -норму, причем минимум берется не только по весам, но и по узлам формулы. При этом отношение .Ц -нормы наилучшей кубатурной формулы к Is -норме функционала погрешности с регулярным пограничным слоем, имеющего то же самое число узлов, ограничено снизу положительной величиной от N не зависящей. Это заключение сразу следует из теоремы Бахвалова, формулировку и доказательство которой можно найти, например, в [276, глава IV, 3]. Тем самым вряд ли при увеличении N можно получить большую выгоду от использования вместо формул с узлами в точках параллелепипедальной решетки каких-либо других формул с произвольным распределением узлов, тем более, что оптимизация формулы по узлам связана с решением систем нелинейных уравнений высокого порядка, что само по себе является задачей весьма трудоемкой. В противоположность этому узлы кубатурных формул с регулярным пограничным слоем заданы явно.
Полезно отметить, что всякая формула с регулярным пограничным слоем, представляя собой многомерный вариант решения классической задачи суммирования функций, относящейся к исчислению конечных разностей [91], является, по существу, многомерным аналогом классической квадратурной формулы Грегори. Тем самым поведение подынтегральной функции вблизи границы области интегрирования при построении формулы учитывается посредством специального задания тех весов этой формулы, которые соответствуют узлам решетки, лежащим в некоторой приграничной полосе. Во всех остальных узлах веса формулы с регулярным пограничным слоем одинаковы.
Замечателен метод, предложенный С.Л. Соболевым для явного представления L -нормы функционала погрешности 1{х) и использующий понятие экстремальной функции и{х). Эта функция рассматривается как обобщенное решение многомерного полигармонического уравнения со специальной правой частью: Amu(x) = (-1)т1(х).
Решение этого уравнения на числовой прямой — это кусочно полиномиальная функция класса L2 , т. е. сплайн. В многомерном же случае такой подход позволил привлечь к исследованию классической проблемы анализа прекрасно развитые методы решения дифференциальных уравнений с частными производными.
В случае, когда область интегрирования представляет собой рациональный многогранник, построение формул с регулярным пограничным слоем сопряжено с конструкцией формального пограничного слоя [276, гл. III], позволяющей создавать относительно простые алгоритмы для вычисления весов решетчатых кубатурных формул.
Важные результаты по асимптотически оптимальным формулам получил М.Д. Рамазанов [204]-[214]. В.И. Половинкин [165]—[194] обобщил теорию асимптотически оптимальных формул на пространства Lp, (Q) при 1 р со и на случай весового интегрирования.
О.В. Бесов вывел асимптотические формулы для норм дроблений данного функционала погрешности [29]-[32]. Каждое такое дробление — это множество функционалов погрешности, действующих в более общих, чем Lp (Г2), пространствах. К ним, в частности, относятся классы функций, обобщенные производные порядка т которых принадлежат пространству Марцинкевича Мф{0,) (либо пространству Лоренца Л (Г2), либо пространству Орлича L M(Q)). Кубатурные формулы в пространствах Wp и в неизотропных пространствах Соболева рассматривались Ц.Б. Шойнжуровым [300], [301]. Кубатурные формулы с регулярным и формальным пограничным слоем исследовали Н.И. Блинов и Л.В. Войтишек [33]-[37], [82]-[86], Ф.Я. Заги-рова [112].
Асимптотическое поведение норм функционалов погрешности в случае анизотропных классов функций WpM исследовали М.Д. Рамазанов [212] и В.Н. Темляков [285]. В.Н. Темляков [285] получил также асимптотические разложения норм функционалов погрешности для анизотропных пространств Никольского NH ([0}27r]n).
Определение и простейшие свойства многомерных аналогов формул Грегори
Основная задача многомерного приближенного интегрирования состоит в том, чтобы с известной точностью отыскать значение интеграла Здесь х — это n-мерный координатный вектор, xn(x) характеристическая функция исходной области интегрирования Q, имеющей конечный объем и кусочно гладкую границу, а функция р(х) непрерывна в замыкании области Q. Обычно искомое приближение к исходному интегралу предлагается выбирать в виде линейной комбинации значений функции р(х) в N точках называемых узлами формулы, т.е. комбинациями вида где 5(х) — известная дельта-функция Дирака, а числа с& называются весами формулы. Выражение вида (1.3) называется кубатурной суммой по аналогии с квадратурной суммой в случае одной переменой.
Нахождение кубатурной суммы (1.3) для непрерывной функции ip(x), известной на конечном множестве узлов (1.2) с заданной точностью, принципиально отличается от вычисления интеграла (1.1) от этой же функции, взятому по множеству, содержащему узлы (1.2). Так, если для нахождения упомянутой суммы достаточно выполнить лишь конечное число сложений и умножений, то для вычисления интеграла этого, вообще говоря, недостаточно. Именно, между истиным значением интеграла 1а((р) и приближающей его кубатурной суммой I N{ p) всегда имеется некоторая разница, называемая погрешностью формулы, и при этом рассматриваемой кубатурной формуле всегда соответствует нетривиальный функционал погрешности, определяемый равенством Задачи приближенного интегрирования с гарантированной точностью 50
Изначально требуется, чтобы правила, указывающие узлы х и веса Ck кубатурной формулы, от выбора конкретной интегрируемой функции (р(х) не зависели.
Это предположение означает, в частности, что функционал погрешности /yv является линейным на своей естественной области определения — пространстве непрерывных функций С(П). Более того, на банаховом пространстве С (О,) функционал 1 ограничен, причем его норма, как несложно убедиться, представима в виде Таким образом, функционал погрешности 1 вида (1.4) представляет собой финитную обобщенную функцию, носитель которой в точности равен замыканию области интегрирования Q.
Из этого очевидного замечания ясно, что теорию кубатурных формул можно рассматривать как часть современной теории обобщенных функций и в этой связи удобно использовать понятие кубатурной формулы применительно к более общим задачам, нежели классическая задача приближенного интегрирования.
Именно, для произвольной ненулевой обобщенной функции 1\ \х) из пространства V, имеющей своим носителем ограниченную область Q, имеет смысл рассматривать приближенные равенства вида также называя их кубатурными формулами. Ряд приводимых далее результатов относится именно к формулам такого вида. Предположим, что, решая основную задачу, мы по той или иной причине остановили свой выбор на кубатурной формуле Тогда следующий наш шаг должен состоять в ответе на вопрос: как именно мы будем вычислять кубатурную сумму Т, {чр)1 Естественно, особенно Задачи приближенного интегрирования с гарантированной точностью для больших значений N, использовать для вычисления Eyv( ) компьютер (ЭВМ), приняв при этом во внимание следующие обстоятельства. Кубатурная сумма #( /?) по определению представляет собой скалярное произведение вектора с = (ci,C2,... ,с//) весов кубатурной формулы на вектор ф = ((р(х ),..., (р(х )) значений подынтегральной функции ip(x) в узлах Л формулы: Елг( /?) — (с ф) Чтобы вычислить на ЭВМ скалярное произведение, мы должны прежде всего ввести векторы-сомножители с и ф в память ЭВМ, т.е. записать их компоненты в виде машинных чисел. Эта процедура при всей своей простоте неизбежно сопровождается появлением ошибок ввода, ибо в ЭВМ значение вещественного числа можно сохранить лишь с конечным числом знаков соответствующей этому числу мантиссы. Затем, уже при вычислении скалярного произведения введеных в ЭВМ векторов, возникают ошибки округления, обусловленные необходимостью представлять результат любой арифметической операции как цифровой вектор конечной (фиксированной) длины. По обыкновению суммарная погрешность, сопровождающая реализацию метода кубатурных формул на ЭВМ, предполагается пренебрежимо малой величиной. Однако в общем случае это предположение некорректно: влияние суммарной погрешности на результат при больших значениях числа N узлов формулы может оказаться и весьма значительным. Далее предлагается некоторая формализация задачи об оценке суммарной погрешности, использующая широкоизвестную модель арифметики с конечной точностью (представление вещественных чисел с плавающей точкой). Напомним связанные с этой моделью определения и оценки.
Оценки гарантированных радиусов инвариантных кубатурных формул типа Грегори
Пусть задано є 0 и Рв(Р, X, Д) е. Тогда для любой кубатурной формулы Е с множеством узлов Д ее гарантированный радиус RF(X, Е) строго больше б, т.е. на единичной сферы пространства X обязательно найдется такая функция /?, для которой вычисленное значение сц = с {ф) кубатурной суммы отстоит от точного значения 1п(ч ) интеграла на расстояние, большее б.
Если же PB(F,X, Д) б, то обязательно найдется такой набор с = (сі, С2,..., сдг) весов, что использование соответствующей этому набору кубатурной формулы Е с множеством узлов Д для любой функции (р единичной сферы пространства X дает в итоге машинное число с = СЕ( ), отстоящее от точного значения Ici(tp) интеграла на расстояние, меньшее е.
Помимо прочего знание всей совокупности величин PB(F,X, Д) позволяет выделять в пространстве непрерывных функций C(Q) подклассы "практически Е-интегрируемых" функций.
Определение 2. Функцию tp Є C(Q,) назовем "практически Т,-интегри-руемой" с точностью є 0 в стандартном формате F, если найдутся такие банахово пространство X и множество узлов Д.Задачу вычисления либо оценки параметров качества PB(F,X, Д) и гарантированных радиусов RF(X, Е) имеет смысл решать в предположении, что форматные константы 6o(F) и 6i(F) принимают всевозможные положительные значения из некоторой окрестности нуля. Это предположение
Задачи приближенного интегрирования с гарантированной точностью естественно с практической точки зрения, ибо с течением времени аппаратные средства совершенствуются и точность машинной арифметики возрастает. Но при одновременном стремлении форматных констант eo(F) и 6i(F) к нулю, a 6oo(F) к бесконечности, гарантированный радиус RF(X, Е) ку-батурной формулы Е на банаховом пространстве X стремится к норме в X соответствующего функционала погрешности. Это замечание устанавливает естественную взаимосвязь между задачами приближенного интегрирования с гарантированной точностью и задачами классической теории кубатурных формул, по существу являющихся предельными для задач, возникающих при анализе погрешности с учетом округлений. Используя методы решения такого рода "предельных" задач, можно надеяться получить решения их аналогов, возникающих в арифметике с конечной точностью.
Среди кубатурных формул с одинаковым гарантированным радиусом наиболее экономичными являются формулы с минимальным числом узлов. Найти такие формулы — значит, решить задачу минимизации з атрат, монотонно возрастающих с увеличением числа узлов интерполяции. В свою очередь среди кубатурных формул с одинаковым числом узлов предпочтительней формулы с наименьшим гарантированным радиусом.
Инвариантные кубатурные формулы типа Грегори для многомерного куба В этой главе в качестве области интегрирования выступает простейшая область пространства Шп — его единичный куб. Соответствующие кубатурные формулы имеют при этом параллелепипедальную решетку узлов. Это означает, что узлы нумеруются с помощью мультииндекса /3 = (/,... ,/Зп) с целочисленными координатами и любой из них можно найти по формуле хр = h/З, где h — положительный шаг решетки, выбираемый таким образом, чтобы І/h было натуральным. Тем самым компоненты узлов — это явно заданные рациональные числа. Веса рассматриваемых в этой главе кубатурных формул также явно заданы, а сами формулы инвариантны относительно группы симметрии единичного куба.
Для каждой рассматриваемой в этой главе кубатурной формулы указано далее конечномерное пространство Рт, состоящее из полиномов степени не выше га, на котором она точна. Параметр т при этом может принимать произвольные четные значения и, в частности, быть сколь угодно большим.
Помимо описания конструкции формул с указанием их полиномиальной степени установливается их инвариантность относительно группы симметрии единичного куба и, что самое важное, подробно исследована погрешность этих формул. В частности, получены явные выражения погрешностей формул на базисной последовательности тригонометрических функций, причем выражения асимптотически точные как при h — 0, так и при га — со.
В заключение для кубатурных формул типа прямого произведения классических квадратурных формул Грегори выведены оценки гарантированных радиусов в пространствах Соболева, а при достаточно больших значениях m даны также явные оценки снизу суммы модулей весов рассматриваемых кубатур.
Как отмечено в [152, с. 5], понятие инвариантной кубатурной формулы ввел С.Л. Соболев. Его работы [244]-[246] позволили привлечь к исследованию кубатурных формул методы и результаты теории групп симметрии. С тех пор инвариантные формулы для разнообразных (инвариантных) областей интегрирования активно исследовали В.И. Лебедев, И.П. Мысовских, Г.С. Салихов, СБ. Стоянова, СИ. Коняев, А.К. Пономаренко и другие авторы. В книге И.П. Мысовских [152] приведен перечень из 49 кубатурных формул для куба, часть которых инвариантна. Простейшие примеры инвариантных кубатурных формул дают аналоги формулы трапеций для многомерного куба. Приведем здесь их описание. Пусть Q — единичный куб в W1, т.е.
Экстремальные функции оптимальных кубатурных формул как сплайны аффинных многообразий
Последнее равенство очевидно, если заметить, что х Є Q тогда и только тогда, когда у Є Q. Таким образом, мы установили, что обобщенная функция l N{x) остается неизменной при любом преобразовании вида (2.6) с условием, что А Є D(n). Пусть теперь А — произвольная матрица из (G n) . Соответствующее ей преобразование из группы симметрии G{Qn) имеет вид Как известно [241, стр. 17], в каждой строке и каждом столбце матрицы А имеется ровно по одному ненулевому элементу, равному ±1. Следовательно, существует единственная матрица А\ Є D(n), из которой А получается простой перестановкой столбцов. Но любая перестановка столбцов в А{ осуществляется последовательным ее умножением справа на несколько матриц вида П3 , где Ylsk — матрица перестановок, получаемая из единичной матрицы перестановкой столбцов с номерами s и к. Иными словами, имеет место равенство А = А{В, где В = В(А) — упомянутое произведение матриц вида П., - Умножение матрицы В на вектор-столбец означает перестановку компонент этого вектора. В частности, BCQ = CQ. С учетом этого имеем равенства Последнее равенство в (2.8) справедливо в силу принадлежности матрицы ЛІ подгруппе D(n) и уже установленной инвариантности функционала WN(X) относительно преобразований вида (2.6) с матрицами Л Є D(n). Далее, полагая у = By и замечая, что вектор-столбец у получается простой перестановкой компонент вектора у, имеем из (2.8): Это соотношение и означает инвариантность обобщенной функции 1% N(X) относительно группы симметрии G(Qn). ибо 0 Pj m — 2, а квадратурная формула Грегори с функционалом погрешности lm h(xj) точна на многочленах степени m — 2. Квадратурные формулы Грегори и типа Грегори исследовали Н.С. Бахвалов [13], В.И. Половинкин [186] и многие другие авторы [294], [333], [324], [330], [348], [349], [367], включая автора настоящей работы [45]- [46]. Говоря о многомерных аналогах квадратурных формул Грегори, нельзя не сказать о кубатурных формулах с регулярным пограничным слоем, введенных С.Л. Соболевым в 1965 году [253]-[256], а также о кубатурных формулах с формальным пограничным слоем для рациональных многогранников [276, глава III]. В соответствии с общепринятым подходом функционал погрешности с регулярным пограничным слоем в лагранжевой форме имеет веса, которые конструируются из компонент решений специальных систем линейных уравнений. Размеры этих систем зависят от величины т, характеризующей полиномиальную степень формулы, а решать эти системы предлагается численно.
Функционал же погрешности (2.3) легко задать в ньютоновой форме с помощью равенств (2.1), и для явного задания соответствующих весов достаточно уметь находить с требуемой точностью интегралы по единичному отрезку от ньютоновых степеней. С этой целью можно, например, разложить ньютонову степень аргумента z/j в линейную комбинацию обычных степеней pj с коэффициентами, представляющими собой числа Стирлинга s(p, к) первого рода: а затем точно проинтегрировать полученное равенство по единичному отрезку. Тем самым, никаких вспомогательных систем линейных уравнений в случае задания функционала в форме (2.3) решать не нужно и в этом существенное преимущество использования декартова произведения (2.3).
Вопросы, возникающие при численном построении кубатурных формул с формальным и регулярным пограничным слоем для многогранников, рассмотрены в [248] и [37]. В работе [37] задача построения кубатурной формулы для рационального угла сведена к построению кубатурной формулы для координатного угла с решеткой узлов, получающейся объединением нескольких кубических решеток. Последняя задача рассмотрена в [36]. Веса кубатурных формул для куба с центрированной кубической решеткой узлов, составляемой двумя кубическими же подрешетками, сдвинутыми друг относительно друга на полшага по всем осям, вычислены в [36].
Таким образом, мы рассматриваем инвариантные кубатурные формулы для единичного куба, являющимися многомерными аналогами квадратурных формул Грегори, и целью наших последующих построений являются явные оценки соответствующих этим многомерным аналогам гарантированных радиусов.
