Содержание к диссертации
стр.
Введение 4
ГЛАВА I. Вычисление цилиндрических функций Бесселя
в комплексной области II
1.0 вычислении цилиндрических функций
Бесселя II
2. Вычисление функции A/)) [it) 12
3. Вычисление функции Т ^ f%) 23
4-. Об асимптотических формулах для
цилиндрических функций 27
ГЛАВА II. Комплексные нули функций j$ (Jt)f j ()
и их производных 32
I. Вычисление нулей функций
Г>> (г) 32
2. Вычисление нулей производных $ $ (і)
..« і'і (*) 39
3. О двойных нулях производных функций
^ (%) и 1$ (Z). 45
ГЛАВА III. Комплексные нули функции
ее производных 54
I. Вычисление нулей функции Yv> (J в
случае 1? ^ <2 54
2. Вычисление нулей производной Y\? IV
в случае ^Т/ 0. 61
3. О комплексных нулях функции Y_>> (зЬ)f
Ъ,0. 65
4. О комплексных нулях производной Y_p ()
\)>, 69
стр. 5. О двойных нулях производных
функции Yg () 72
ГЛАВА ІУ. Комплексные нули функций Ханкеля /У, fe)
(г) v { ' )
Н^ І2) * функции Бесселя Xi ()
и их производных 76
I. Вычисление нулей функций //о (^)з
tfff*) и #ЛН 76
2. Вычисление нулей производных //. (&)
Заключительные замечания 90
Заключение 95
Литература 97
Таблицы 106
Иллюстрации 120
- ц. -
Введение к работе
Цилиндрические функции Бесселя являются самыми распространенна из всех специальных функций. Они имеют многочисленные приложения во всех естественных и технических науках ( особенно в астрономии, механике и физике ). В ряде задач математической физики ( см., например [39] , [40] , [55] [7б] ) встречаются цилиндрические функции, в которых аргумент или индекс ( иногда и тот и другой ) принимают комплексные значения. Для численного решения таких задач необходимо разработать алгоритмы, позволяющие вычислять функции Бесселя с высокой точностью. В большинстве опубликованных работ, посвященных вычислению функций Бесселя, рассматривались случаи, когда: а) индекс и аргумент принимают действительные значения; б) индекс принимает целые или действительные значения, а аргумент - комплексные значения; в) индекс принимает чисто мнимые значения, а аргумент - действительные значения. При этом применялись различные методы вычислег-ния: разложения в ряды [47, с.375] , рекуррентных соотношений [27] , [70] , [71] , [46] , квадратурных формул [бі] , [54] , [60] , [66] , [43] , [51] , [53] , [29] , [44] , [si] , а также другие методы аппроксимации [22] , [бО] .
Для общего случая, когда индекс и аргумент принимают комплексные значения, опубликована работа [7] , в которой применяется метод перевала к интегралу Сонина-Зоммерфельда для бесселевых функций [21] . Однако реализация этого метода оказалась довольно сложной, а основанная на нем ФОРТРАН-программа работает очень медленно и имеет небольшую точность.
Укажем также следующие работы, в которых изложены алгоритмы или содержатся программы: работа [зо! содержит программу на язы-
ке АЛГОЛ для вычисления функций Бесселя %, (г) и %t (г) при комплексном ; алгоритм основан на разложении в ряды и на квадратурных формулах; в [77] содержится ФОРТРАН-программа для вычисления функций jf fa) и I н, \%) при целых yi/ и комплексных ЦЬ ; алгоритм основан на рекуррентных соотношениях; в [26] приводится алгоритм и краткое описание ФОРТРАН-программы для вычисления функций J^ fa) , Y^ fa) » l\ »
Ни, (^ » ПРИ целых П/ и комплексных При практической реализации тех или иных алгоритмов на ЭВМ оказывается, что в различных областях изменения аргумента и индекса приходится использовать различные методы. Поэтому разумная комбинация этих методов и выяснение областей их оптимальной применимости является важной задачей при вычислении функций Бесселя,
Помимо самих функций Бесселя и их производных во многих задачах механики, физики и др. используются нули этих функций. Во многочисленных работах, посвященных нулям функций Бесселя, в основном исследовались и вычислялись вещественные нули ( см., например, [18] , [28] , [49] , [69] , [82] ). Однако в ряде прикладных задач ( например, в задачах о конформных отображениях, осуществляемых при помощи функции Бесселя 0\) (%) (см.
[56] ) возникает необходимость в вычислении мнимых нулей.
Нули функций Бесселя %jfa) , Y^ fa) . ^ fa) , rtjffzj и их производных довольно часто возникают в задачах механики, решаемых методом интегрального преобразования Лапласа. Достаточно сослаться на некоторые задачи об обтекании тел в сверхзвуковой аэродинамике [59] , [75j , об устойчивости атмосферных течений [8] , [32] , в теории ; дифракции волн [5] ,
[21] и др. Впервые обстоятельному исследованию комплексных нулей функции J^ fa) посвятил свою работу [52] немецкий математик
- б -
Гурвиц. Он предложил общий метод исследования нулей заданной аналитической функции, применил его к функции ( (?) и доказал теорему о числе и расположении мнимых нулей функции %[%) . Применяя другой метод, к аналогичным результатам пришел англичанин Макдональд [64] . В дальнейшем довольно громоздкие доказательства Гурвица были сильно упрощены и дополнены ( см. [82 ,с. 483] , [48],[57] , [68] ).
Исследованию нулей производной J^ (%} посвящена работа [57j , в которой доказывается теорема о числе мнимых нулей функции (/* (%) ; в этой работе впервые поднимается вопрос о существовании двойных нулей функции j$ ()
Исследованию мнимых нулей функции Уц, (%) ПРИ целом ty
посвящены работы [50] и [73J ; в последней кроме качест
венного исследования нулей содержатся асимптотические разложе
ния при больших h/ , позволяющие вычислять с небольшой точ
ностью эти нули. , )
Среди работ, посвященных нулям функций Hj (%) следует отметить [65J , [82] , [9J , [12] , [4l] , [42] , [б2І . Основополагающей здесь является работа Макдо-нальда [65J , в которой он исследовал нули Э\$ () в области ~%h сш±3%, не связанные с существенно особой точкой jz = <*> . В [82, с. 5Il] Ватсон продолжил эти исследования в область - Х/& OSvqjt ± &ІЇ .
Что касается работ, посвященных вычислению мнимых нулей, то их, по-видимому, очень мало. В препринтах [3] , [4] , используя методы теории функций и известное разложение в цепную дробь отношения функций Бесселя, вычисляются мнимые нули функции З,) {i) , однако результаты вычислений приведены только в виде графиков.
В работах [37] , [67j , подтверждая гипотезу Лензе [57J о существовании двойных нулей, вычисляются двойные нули функции с высокой точностью.
В [36] приведены первые 50 мнимых нулей функций Yjv () и п (?) с 10 дес. зн. для Уи = 0 и I, вычисленные методом обратной интерполяции.
В работах [58] и [74] методом двумерной интерполяции вычислены комплексные нули функции Уйуи () при Hs =2(1)10.
Однако в этих работах не проведено обстоятельное теоретическое исследование поведения нулей и не содержатся надежные методы выбора начальных приближений к нулям. Необходимость такого выбора вызвана сложностью поведения исследуемых функций вблизи мнимых нулей и, как следствие этого, расходимостью итерационного метода Ньютона при плохой начальной аппроксимации нуля.
Настоящая работа посвящена разработке алгоритмов вычисления с большой точностью мнимых нулей всех цилиндрических функций Бесселя и их производных, когда индекс принимает вещественные значения. Предложенный подход позволяет аналитически оценивать все комплексные нули и выяснять закономерности их расположения, а также получать числовые значения нулей с высокой точностью. Построенный алгоритм основан на применении итерационного метода Ньютона, начальные приближения для которого находятся из приближенного решения некоторых трансцендентных уравнений.
Поскольку для применения метода Ньютона требуются вычисления функций Бесселя и их производных в комплексной области, а соответствующие для наших целей алгоритмы отсутствуют, то пришлось разработать и такие алгоритмы, о которых более подробно будет сказано ниже. Все разработанные алгоритмы реализованы в виде программ на языке ФОРТРАН для ЭВМ БЭСМ-б, по ним проведены
многочисленные вычисления.
Переходим теперь к более детальному изложению содержания диссертации по главам.
Первая глава посвящена построению алгоритмов вычисления всех рассматриваемых функций Бесселя в комплексной области. На основе комбинации методов разложения в ряды, рекуррентных соотношений и асимптотических разложений строятся устойчивые алгоритмы вычисления этих функций с высокой точностью. При этом исследуются вопросы не только теоретической, но и практической сходимости известного метода рекуррентных соотношений, а также предлагается некоторая его модификация, позволяющая несколько ускорить соответствующие вычисления.
В последнем параграфе первой главы приводятся некоторые необходимые известные результаты из теории функций Бесселя. Здесь же приведены новые асимптотические формулы для функций Бесселя и их производных, которые в дальнейшем играют важную роль при вычислении нулей. Численная проверка этих формул показывает, что в определенных областях изменения аргумента и индекса эти формулы довольно хорошо приближают значения самих функций.
Во второй главе исследуются комплексные нули функций Бесселя jj (%) , Ij (Зг) и их производных. Находятся приближенные формулы, позволяющие вычислять все комплексные нули функций I\) () и -^ i^v » ^ ф0 ; строятся траектории { в виде "лепестков") движения нулей при изменении V ; устанавливаются свойства расположения этих нулей на"глазообразной" кривой и чередования нулей функций и их первых производных и др. По разработанным алгоритмам вычислена таблица большого числа нулей с 8 дес. зн., часть из которых приведена в диссертации.
В 3 главы 2 исследуются двойные нули первой, второй и
третьей производных функций У\) () и I у) (%) . Показано, что на каждом единичном интервале изменения $f-n-i - yu) »
И' = 1,2 ..., в правой ^ -полуплоскости существует по одному двойному нулю функций ^ (^/ и і у (it) и по два двойных нуля функций Уу (%.) и J , (%) . Вычислены и приведены по 100 первых двойных нулей этих функций с 8-9 дес. зн. и построены диаграммы образования и распада этих нулей. Показано, что для значений индексов в точках двойных нулей имеет место свойство стремления их дробных частей к определенным пределам.
В главе 3 исследуются нули функции Неймана Ytf [%) и ее производной. В I и 2 исследуются мнимые нули функции и ее производной в случае ^7/0 . Так же как и для функции (/^ ( показано, что нули определенным образом связаны с двумя особыми точками Зг ~ 0 и:=ое>,и при увеличении ^ происходит постепенный переход нулей из области \%\ > 9 в область |j?| ^ 9 Находятся аппроксимации нулей, строятся траектории их движения при изменении \) и приводятся таблицы первых 5 мнимых нулей функций 1^ (J И Уи (&) с 8 дес. зн. для
$ = 0(1)5.
В 3 и 4 исследуются нули функций Yj (*У и Yv? () при У ^ 0 . Показывается, что при уменьшении )) нули в области \2:\< \^\ движутся по лепесткам, аналогичным лепесткам нулей функций «-V [) и j^ (
В 5 исследуются двойные нули первой, второй и третьей
производных функции Y9 С%) . Показано, что на каждом еди-
ничном интервале изменения 9^ (~^"^f~n't)1 ^ = О, I, ..., су-
ществует один двойной нуль функции Y \? (^)м Ява двойных нуля
функции jo (%) Помимо этого, как показано, существует один
// двойной нуль функции Y v> fe) при $ > 0 Вычислены и приведены по 100 первых двойных нулей этих функций с 8-9 дес. зн., установлены свойства стремления дробных частей индексов в точках двойных нулей к определенным пределам.
В главе 4 исследуются комплексные нули функций ^\/<л () ,
V-) (z)
нї a) , Hyp)
и их производных. Для нулей функций ftjfz) и %у (%) в области - о^ш'і с && находятся аппроксимации, позволяющие вычислять эти нули с высокой точностью, а также строятся траектории нулей при изменении $>,0. Показано, что здесь также происходит постепенный переход нулей из области |^| > х) в область || й )) , причем при каждом полуцелом значении индекса \) счетное множество этих нулей проходит через особую точку ^- оо # Исследованы и вычислены некоторые нули в области 3%^ < &<<$%г. zЗГ, которые не были замечены предыдущими исследователями. Приводятся таблицы с 8 дес. зн. первых 5 нулей функций УС$ (і) и ДГ, (%J , - % z ол^ < Ж-/Х » V? = 0(1)5.
В заключительных замечаниях показан устойчивый алгоритм вы
числения самих функций Бесселя, связанный с отсутствием комплек
сных нулей функций в области
|| ^ 9 , 9 > 0 » \ь/с%зЬ\ 4= SC/l Также отмечается исполь
зование результатов данной работы в ряде задач климатологии и др.
- II -
Похожие диссертации на Алгоритмы вычисления цилиндрических функций Бесселя и их нулей в комплексной области
