Введение к работе
Актуальность темы. Большой класс задач, имеющих практическое приложение, сводится к восстановлению значений (экстраполяции или интерполяции) функций класса Винера по экспериментальным данным. Данные, полученные с помощью приборов, содержат погрешность, зависящую от точности измерений. К тому же таких данных часто не хватает для точного восстановления функции. Из эксперимента мы имеем только конечный набор значений функции, что согласно теореме о единственности задания аналитической функции недостаточно для ее однозначного определения. Данная задача относится к некорректно поставленным задачам. К рассматриваемому классу задач относится хорошо известная задача увеличения разрешимости показаний приборов при спектроскопических измерениях, которая сводится к вычислению значений линейных функционалов (значение функции в точке, среднее значение функции на отрезке) от функций класса Винера в правой полуплоскости по конечному набору измеренных значений (функционалов): определение значения спектра в заданной точке, определение среднего значения спектра на интервале.
Актуальность темы связана с тем, что разработка методов эффективного решения некорректно поставленных задач с ошибками в исходных данных помимо теоретического значения имеет большой практический интерес, так как позволяет решать с гарантированной оценкой точности большой круг прикладных задач, возникающих при обработке и интерпретации показаний физических приборов, восстановлении изображений, томографии, диагностике плазмы, магнитной и гравитационной разведке и другие.
Дель диссертации состоит в следующем:
построить приближенное решение для задачи оценки значения линейного непрерывного функционала по конечному набору значений других функционалов, заданных с ошибкой;
получить условия сходимости приближенного решения;
дать оценку погрешности приближенного решения.
Методика исследования. В основу исследования положены: методы функционального анализа, методы теории некорректных задач и функций комплексного переменного. Качество построенных алгоритмов подтверждено вычислительным экспериментом.
Научная новизна результатов состоит в следующем: 1. Показано, что основная вычислительная трудность при построении
приближенного решения связана с обращением плохо обусловленных матриц.
-
Предлагается подход для уменьшения алгебраической размерности задачи и, следовательно, ошибок округления, за счет решения двойственной задачи.
-
Получены оценки устойчивости приближенного решения как исходной задачи, так и двойственной.
-
Получена формула для контроля вычислительных погрешностей при построении приближенного решения двойственной задачи.
-
Для экстраполяции функций класса Винера получена формула, являющаяся обобщением формулы Котельшпсова для конечного числа равномерных отсчетов с ошибкой, выбранных на отрезке, а также для неравномерных отсчетов с ошибкой.
Практическая и теоретическая ценность. Полученные результаты могут.быть использованы для анализа задач оценки значения линейного непрерывного функционала по конечному набору значений других функционалов, заданных с ошибкой. Построенные алгоритмы могут быть применены для решения задач продолжения стационарных и квазистационарных полей и широкого круга задач обработки и интерпретации экспериментальных данных для построения решений с гарантированной оценкой точности.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на:
Международной конференции по некорректным задачам (Москва, 1991);
Всесоюзной конференции по условно-корректным задачам математической физики и анализа (Новосибирск, 1992);
семинаре-совещании по кубатурным формулам и их приложениям (Красноярск, 1993);
Международном симпозиуме по вычислительной томографии (Новосибирск, 1993).
Работа докладывалась на научных семинарах Вычислительного центра СО РАН в г. Красноярске.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 печатных работ, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы из 73 наименований. Работа содержит 12 рисунков. Объем работы 86 страниц.
