Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Линейные уравнения первого рода
I. Метод расширяющихся шаров II
2. Метод усеченного базиса 32
3. Метод дискретной функции Грина 47
4. О точности решения линейной некорректной задачи на слабом компакте 67
Глава II. Нелинейные уравнения первого рода
1. Достаточное условие регуляризуемости в пространстве непрерывных функций 95
2. Принцип стягивающихся компактов для нелинейных не корректных задач 114
3. О точности решения нелинейной некорректной задачи на слабом компакте ,. 132
4. Метод последовательной аппроксимации для решения нелинейной некорректной задачи на
сильном компакте 142
Глава III. Нелинейные уравнения второго рода
1. О сходимости метода А.А.Дородницына 154
2. Метод последовательных итераций 166
3. Метод кусочно-члинейной аппроксимации для ква зилинейной задачи Коши 185
4. Об одном разностнс-итерационном методе для квазилинейного уравнения параболического типа.. 203
Литература
- Метод усеченного базиса
- О точности решения линейной некорректной задачи на слабом компакте
- Принцип стягивающихся компактов для нелинейных не корректных задач
- Метод кусочно-члинейной аппроксимации для ква зилинейной задачи Коши
Введение к работе
Наблюдаемое в настоящее время интенсивное развитие естественных наук было бы невозможно без создания математических моделей исследуемых явлений. Построение математических моделей, согласование их с экспериментом и решение прикладных задач в рамках определенных математических моделей,- как правило, невозможно без широкого использования электронно-вычислительных машин. В свою очередь эффективное использование вычислительной техники требует соответствующего математического обеспечения.
В связи с указанным обстоятельством вопрос о построении методов решения "типичных" математических задач имеет несомненную актуальность. При этом особое значение приобретают следующие требования, предъявляемые к методу: алгоритмическая простота и быстродействие, оценка точности приближенного решения; минимальная априорная информация об искомом решении',' определенная универсальность численного алгоритма.
Имея в виду большое количество конкретных математических задач (интегральные уравнения, краевые задачи для дифференциальных уравнений и др.), удобно исследование приближенных методов проводить сразу для некоторых классов уравнений,1 то есть в форме операторных уравнений. Операторные уравнения принято делить на уравнения первого и второго родов.
Уравнения второго рода в банаховом пространстве - классический объект для исследований в современном функциональном анализе и вычислительной математике. Основными и наиболее изученными методами приближенного решения уравнений второго
~ 5 -рода являются следующие: принцип сжатых отображений, проекционные методы, конечно—разностные методы, методы типа Ньютона и другие (см., например, [ш] , [і2з] , [і4б] ) Указанные направления сложились в начале нашего столетия и продолжают активно развиваться в настоящее время.
Систематическое исследование вопросов приближенного решения уравнений первого рода началось лишь в шестидесятых го-дах нашего столетия после фундаментальных работ А.Н.Тихонова ( [і91] ~ [і9б] ); в которых был предложен метод регуляризации для решения некорректно поставленных задач. В настоящее время можно говорить, что в современной вычислительной математике сложилось новое направление - методы решения некорректно поставленных задач (методы регуляризации).
Данная работа посвящена некоторым вопросам приближенного решения операторных уравнений в банаховом пространстве. Работа структурно состоит из трех глав и трех приложений к соответствующим главам. Каждая глава содержит четыре параграфа; а каждый параграф разбит на пункты.
В первой главе рассматриваются вопросы приближенного решения линейного уравнения первого рода. В I гл.1 предлагается метод расширяющихся шаров, представляющий собой метод регуляризации для линейного уравнения первого рода в гильбертовом пространстве. Эффект регуляризации в этом методе достигается за счет решения исходной задачи на специальной последовательности вложенных шаров. Устойчивость метода обусловлена
9 ]
следующим фактам: если элементы слабо сходящейся последова- // тельности { ОСъ\ лежат в шаре радиуса R/ гильбертова пространства Н и если слабый предел последовательности \осД
~ 6 -
лежит на поверхности шара радиуса R/ , то последователь*-ность \хл^сходится сильно в пространстве Н .
В 2 гл.1 рассматривается метод усеченного базиса. Основным достоинством метода усеченного базиса является возможность восстановления конечного числа коэффициентов Зурье точного решения с известной оценкой погрешности. Иначе говоря, предлагаемни метод позволяет не только построить конечномерное приближенное решение; но и оценить погрешность отклонения приближенного решения от соответствующей конечномерной проекции точного решения.
В 3 гл.1 рассматривается метод дискретной функции Грина. Предложенная методика позволяет решить две задачи теории регуляризации:
достаточное условие регуляризуемости линейного уравнения первого рода в пространстве непрерывных функций,
апостериорная оценка точности приближенного решения при минимальной априорной информации о точном решении.
Обе указанные задачи решаются с помощью так называемой дискретной функции Грина. Дискретная функция Грина представляет собой определенный аналог классической функции Грина, возникающий при перенесении идеи функции Грина на случай линейного операторного уравнения первого рода.
В 4 гл.1 предлагается один общий способ построения модуля непрерывности обратного отображения А на образе слабого компакта. Указанная задача решается с помощью введения специальной "интегральной" метризации слабой сходимости в пространстве L « . Для трех конкретных некорректных задач приводятся априорные оценки устойчивости на слабом компакте,
- 7 -то есть в случае, когда известна априорная оценка нормы точного решения:.
В Приложении к главе I рассмотрены численные аспекты метода дискретной функции Грина на примере задачи Коши для уравнения Лапласа и задачи Коши для уравнения теплопроводности с "обратным" ходом времени.
Основными результатами первой главы являются следующие:
достаточное условие регуляризуемости линейного уравнения первого рода в пространстве непрерывных функций (гл.Г, 3),
априорные и апостериорные оценки точности приближенного решения: линейного уравнения первого рода на слабом компакте (гл.Г, 2> 3, 4).
Во второй главе рассматриваются вопросы приближенного решения нелинейного уравнения первого рода. В I гл.П предлагается достаточное условие регуляризуемости нелинейного уравнения первого рода в пространстве непрерывных функций. При этом существенно используется введенная в 4 гл.1 специальная метризация слабой сходимости в пространстве L ^ [ 0,4 J . В случае нелинейной задачи на слабом компакте приводится апостериорная оценка точности приближенного решения.
В 2 гл.П предлагается принцип стягивающихся компактов для нелинейных некорректных задач. Этот принцип использует идею выделения в пространстве решений компакта; содержащего точное решение и стягивающегося в точку при о -+- О (здесь положительный параметр 0 характеризует уровень погрешности в задании исходных данных). Указанный подход позволяет вычислить апостериорную оценку точности приближенного решения (при малых значениях параметра о) в случае отсутствия какой-либо
_ 8 -априорной количественной информации о точном решении. В связи с этим обстоятельством для нелинейного уравнения первого рода предлагается понятие полной регуляризуемости,' сочетающей обычное понятие регуляризуемости с возможностью вычисления апостериорной оценки точности приближенного решения. Излагаются достаточные условия полной регуляризуемости и регуляризуемости суперпозиции двух отображений.
Б 3,: 4 гл.П обсуждаются вопросы, связанные с вычислением апостериорной оценки точности приближенного решения нелинейного уравнения первого рода на слабом и сильном компактах соответственно.
В Приложении к главе П рассмотрены численные аспекты методики, изложенной в главе И; на примере обратной динамической задачи сейсморазведки. Соответствующий комплекс программ передан в НПО "Нефтегеофизика" для практического использования при математической обработке сейсмических данных.
Основными результатами второй главы являются следующие:
достаточное условие регуляризуемости нелинейного уравнения первого рода в пространстве непрерывных функций (гл.П, I),
апостериорная оценка точности приближенного решения нелинейного уравнения первого рода на слабом компакте (гл.П, I, 3),
принцип стягивающихся компактов, позволяющий вычислить апостериорную оценку точности приближенного решения нелинейного уравнения первого рода в случае отсутствия априорной количественной информации о точном решении (гл.П, 2).
В третьей главе рассматриваются вопросы приближенного решения нелинейного уравнения второго рода. В I гл.Ш ис-
- 9 -следуется итерационный процесс, предложенный А.А.Дородницыным ( [97j ) ДДО нелинейного уравнения второго рода. Указано достаточное условие сходимости итерационного процесса и приведена оценка точности приближенного решения.
В 2 гл.Ш предлагается метод последовательных ятерацийу представляющий собой определенное развитие классического метода сжатых отображений на случай отображений* не удовлетворяющих условию сжатия. Построен итерационный процесс для лип-шиц-непрерывного и монотонного оператора, действующего в произвольном банаховом пространстве. Получена оценка скорости сходимости указанного процесса.
В 3 гл.Ш исследуется метод кусочной-линейной аппроксимации для квазилинейной задачи Кош. Предварительно устанавливается одно достаточное условие ограниченности решения линейного уравнения второго порядка с переменными коэффициентами. Затем с помощью указанного достаточного условия доказывается сходимость метода кусочжьдинейной аппроксимации и устанавливается равномерная по і [О, <=>о ) оценка точности приближенного решения квазилинейной задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка.
В 4 гл.Ш рассматривается вопрос о сходимости итерационного процесса, возникающего при решении конечно-разностного аналога для квазилинейного уравнения параболического типа. Доказательство сходимости итерационного процесса существенно опирается на априорные (равномерные по шагам сетки) оценки решений квазилинейной разностной задачи. Априорные оценки устанавливаются с помощью энергетического метода и специальной леммы типа леммы Беллмана-Гронуолла.
В Приложении к главе Ш рассмотрены численные аспекты метода последовательных итераций на примере одной нелинейной краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка/ предложенной в работе [97 J .
Основными результатами третьей главы являются следующие:
достаточное условие сходимости итерационного метода А. А.Дородницына",
метод последовательных итераций,1 представляющий собой развитие метода сжатых отображений на случай липшиц непрерывного и монотонного отображения в произвольном банаховом пространстве,
достаточное условие сходимости итерационного процесса для решения конечно-разностного аналога квазилинейного уравнения параболического типа.
В работе используется сквозная нумерация формул/ теорем и замечаний внутри каждого параграфа. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [l7] - [22] »: [^2] » [4б] - [б9] , [70] , [7l] .
В заключение автор искренне благодарит академика А.Н.Тихонова за постоянное внимание к работе и постановку ряда задач, рассмотренных в диссертации.
Автор благодарит профессора В.А.Винокурова, доцентов А.В.Гончарского, А.М.Денисова и А.ГЛголу за многолетнее творческое содружество. Основная часть вычислений, приведенных в работе, выполнена А.Й.Бастисом,' которому автор приносит глубокую благодарность.
- II -
Метод усеченного базиса
Проекционные методы приближенного решения операторных уравнений широко используются для решения различных задач вычислительной математики (см., например, [lI4] » I?23] » [142 ] , [l62j и др.). В случае уравнения первого рода эффект регуляризации при использовании проекционного метода может быть достигнут за счет определенного согласования размерности /V 5 (\1(Ъ) конечномерного подпространства (в котором строится приближенное решение) с уровнем погрешности 5" в исходных данных. Предлагаемый ниже метод регуляризации можно рассматривать как определенную модификацию метода Ритца для уравнения первого рода. Существенной особенностью предлагаемого метода .является возможность определения приближенных значений коэффициентов Зурье точного решения с известной оценкой точности. .Другими словами? предлагаемый метод позволяет построить конечномерное приближенное решение и оценить отклонение конечномерного приближения от соответствующей конечномерной проекции точного решения. 1. Постановка задачи.
Рассмотрим уравнение первого рода в гильбертовом пространстве Н ; Ниже нам понадобятся следующие предположения Предположение I. А Н - Н , — линейный ограниченный оператор1; Ухгь А = 0 j: Н — сепарабельное гильбертово пространство; fe ЩА) , где R(A — множество значений оператора А . - 33 -Предположение 2. Для точного решения U. задачи (I) известна априорная оценка: 1и.Ц R, j где — норма гильбертова пространства Н . Пусть ( -) — приближенные значения оператора А и элемента 4 соответственно: Требуется по данной паре \В,$з построить элемент U, V удовлетворяющий условию: Ill -Ull — О при \у,1) -+0. 2. Алгоритм регуляризации в случае приближенного задания элемента у . Рассмотрим сначала частный случай приведенной выше зада чи, а именно будем считать; что оператор А известен точ но: &= А , п- О V а элемент 4- задан приближенно: \\ ? - сд ( 6= ъ . Укажем алгоритм приближенного реше ния уравнения (І) в этом случае. А. Разложение решения по специальному базису. Пусть выполнено предположение I и дана пара \_ &, Q \ , \ Х - \ S . Рассмотрим произвольный базис -е ; \ в пространстве Н . Определим через А оператор; сопряженный к исходному оператору А . Тогда последовательность элементов еД будет полной в пространстве И (см. э] ) последовательностью линейно независимых элементов. Используя классический процесс ортогонализации элементов пА А у получим ортонормированный базис \ м - 34 і -1 .
Введем обозначение: i-1 Тогда элементы базиса -s (д j_ \ можно записать в следующей форме: Зафиксируем произвольное натуральное число /V и определим приближенные решения задачи (I) следующим образом
Доказательство. Запишем для точного решения U задачи (I) разложение по базису «S о(- j : ОО о сэ М- = SIMM а2 « г t - і L = Для коэффициента Фурье С- справедливо представление: сг(«л)=( АЧ)=( )=С )+(-а ;)5 откуда следует,1 что: Поэтому коэффициенты С- обладают свойствами: б) Vixvn С- = Uortt С- у если С- 7 0, в) 1сГе и HYLU , L-M, ,... . Из указанных выше свойств коэффициентов L; вытекает справедливость утверждений: А/ N л .. и . V7 / Т \г «W.-p li XuNeO- Krjf, - 36 -2 c; с С -О- ЙсГСг 3) и -и H -M 6 U\- nil, p= W,- в силу свойств а), б) коэффициентов С» . Теорема I доказана.
Разложение решения по данному базису. С практической точки зрения несомненный интерес представляет возможность построения конечномерных приближений в.априоре заданном конечномерном пространстве. Реализация указанной возможности излагается ниже.
Пусть выполнены предположения I и 2 и пусть дана пара \А,оу,- т Ч \1 о . Рассмотрим произвольный ортонормиро-ванный базис ] А в гильбертовом пространстве Н. Обозначим через произвольный элемент из Н v Для которого справедливо: (I р у% - . ( 8: coW" О.
Так как множество значений R( А ) оператора А плотно в Н (см. L9 3 )» то для любого элемента 6 Є И и любого О указанный выше элемент Y - существует. Элемент Ч . может быть легко вычислен как - приближение по функционалу в задаче о минимуме квадратичного функционала
О точности решения линейной некорректной задачи на слабом компакте
Главной задачей любого метода приближенного решения операторного уравнения является задача построения приближенного решения, сходящегося в определенной метрике к точному решению. Для операторного уравнения первого рода указанную задачу решают методы регуляризации, предложенные в работах А.Н.Тихонова (см. [l92]- 1JE953 ). Другая задача, обычно рассматриваемая в теории приближенных методов, состоит в построении оценки точности предлагаемого метода. В общем случае операторного уравнения первого рода A U = т в банаховом пространстве (без дополнительных априорных предположений о точном решении М/ ) построение оценки точности метода регуляризации принципиально невозможно (см. [41 ] ).
В том случае, когда известен компакт CrC , содержащий точное решение Ц. уравнения nU. -f , можно строить приближенные методы, допускающие оценку точности. Принципиальная возможность указанной оценки обоснована в работе А.Н.Тихонова [l9Ij . Построение конкретных приближенных методов для не-корректных задач на компактах и их глубокое теоретическое исследование содержится в работах В.К.Иванова, М.М.Лаврентьева и других авторов (см., например, [_7б] , [82] , [90] [l02J , [l05] , [107] , [iIO] , [l20] , [l29] , [ІЗІ] , [l37] , [і53] , [l55] , [і5б] , [l89] ). Следует отметить, что на практике часто встречаются ситуации, когда априорная информация о точном решении не позволяет сделать заключения о принадлежности точного решения \L(i) какому-либо компакту в пространстве С [о, і] или L « Го,і], но известна априорная оценка нормы точного решения: Ц, ( R, , где ) — — норма пространства L я С lj- Так как шар S \ : Кг $- R. \ является слабым компактом в пространстве L, [од] V" то задачу решения уравнения: Аи= f с априорным условием [ \L \[ Q , будем называть некорректной задачей на слабом компакте. Возникает естественный вопрос: что можно сказать о точности приближенного решения некорректу» ной задачи на слабом компакте? Ответ на этот вопрос излагается ниже.
Апостериорная оценка точности в методе дискретной функции Грина. Заметим прежде всего, что приведенный выше в 2 метод усеченного базиса для уравнения Aw.= г дает возможность: 1) оценить точность приближенно вычисленных коэффициентов Фурье решения U,(-fc) , 2) оценить в норме гильбертова пространства Н уклонение приближенного решения от проекции PN 11 GO точного решения (X ("by на соответствующее /V --мерное подпространство.
Следует отметить, что приближенное восстановление конечномерной проекции Р., \л(±) непрерывного решения вообще говоря, не несет полной информации о поведении функции 1С Су на отрезке 10? 1 ] , так как неучтенные в проекции Р,, \Л(±) коглпоненты могут существенно (в равномерной метрике) влиять на структуру функции U(-fc) Освободиться от указанного недостатка позволяет выбор специальных дельтообразных ортогональных элементов J G N (±)\ » использованных в 3 в методе дискретной функции Грина (см. также [l45]). Поясним последний тезис.
Пусть Д І L, [о,і] -- - L2 [оД] —линейный ограниченный оператор, YJJi А - 0 . Пусть точное решение W- ( V уравнения /\\l f является непрерывной функцией с известной априорной оценкой: Ы[ R, . Как показано выше (см. 3, неравенство (6)), приближенное решение \LN(-b)t построенное с помощью метода дискретной функции Грина (метода д.ф.Г.), допускает следующую оценку: где U fi) - конечномерный аналог точного решения 1М+) , ( Ъ Л/) — вычисляемая в процессе реализации алгоритма функция, удовлетворяющая условию: і (S , N) — О при б - О для любого фиксированного натурального N .
Принцип стягивающихся компактов для нелинейных не корректных задач
В работе А.Н. Тихонова "Об устойчивости обратных задач" (см. [і91J ) сформулирован основной принцип построения методов решения некорректных задач. Этот принцип заключается в том, что отображение (\ (обратное к непрерывному отображению /\ ) рассматривается на компакте в пространстве решений. Идея выделения компакта в пространстве решений является ведущей в теории регуляризации, так как подавляющее боль- . шинство известных алгоритмов регуляризации в той или иной форме эксплуатирует эту идею (см.7 например,4 [4] у [l2] , [40] , [80 ] у [НО 3 , [152 ] у [197] ).
Ниже предлагается некоторое развитие указанного выше принципа выделения компакта. Дело в том, что обратное отображение А можно рассматривать не только на некотором фиксированном компакте в пространстве решений, но и на компакте, стягивающемся в точку при о-v о . то есть на компакте; диаметр которого стремится к нулю при V- - О . При этом открывается принципиальная возможность оценки диаметра указанного компакта и вычисления апостериорной оценки точности метода регуляризации. Последнее обстоятельство весьма существенно, так как оценка точности приближенного решения является важной характеристикой любого приближенного метода. Ниже излагается некоторая об -щая схема построения методов регуляризации, эксплуатирующая указанную выше идею построения компактов, стягивающихся в точку при о — О . Рассмотрим нелинейное уравнение первого рода: где AC tf) -— вообще говоря, нелинейный оператор, определенный на банаховом пространстве Е7 , со значениями в произвольном нормированном пространстве F . Всюду ниже в 2 будем предполагать выполненными следующие два условия.
Условие I. Уравнение (I) имеет единственное в пространстве Е решение М, Ї где В — некоторое банахово пространство, компактно вложенное в пространство Е . Условие 2. Для любых элементов (ІІ Ч) Є Б справедливо: где СО (-} — известная, положительная при О , монотонная, непрерывная функция, 0 -b of w(o) = О . Пусть известен оператор A(V) и приближение - правой части 4- : Ц т 4 с " ТР У ся указать алгоритм построения приближенных решений U , W" , обладающих следующими свойствами: -116 вычисляемая в процессе реализации алгоритма функция, i(Sj-»-0 при 5"- - О . Of)
Введем абстрактный параметр дискретизации % , 0 -ті 4, и рассмотри» однопараметрическое семейство множеств [zft. О к і , аппроксимирующих пространство Е в следующем смысле: 1) tp - класс конечномерных элементов размерности Vvt( ) ; Е С: Е 1 » о 1; нг( - оо при & - о , 2) для любого элемента Є Е " и любого значения пара метра уь , О К 1 t найдется элемент \Г Є Е о такой, что справедливо: где т \п ) — некоторая универсальная функция, определяемая только структурой пространств Е , ЕГ , не зависящая от выбора конкретного элемента 1Г Є Е и монотонно стремящаяся к нулю при ті - О .
Определение I. Назовем пространство Ь конечномерно аппроксимируемым в норме пространства ЕГ f если существует однопараметрическое семейство множеств I ,\, О n d , аппроксимирующих пространство Е в указанном выше смысле. При этом конечномерный элемент 47 р Є. Е D будем называть конечномерным аналогом элемента t 6 Е1 .
Всюду ниже в 2, дополнительно к условиям I и 2, будем предполагать выполненным следующее - 117 -Условие 3. Пространство К конечномерно аппроксимируемо в норме пространства Е . Е І следующие множества: Предположим, что имеет место следующее Условие 4. Для любого положительного числа Ъ шар ча(ъ) с С. В замкнут в норме пространства Е $ а множество tCv 0 S { і состоит из конечного числа элементов. 1. Алгоритм регуляризации. Искомое приближенное решение 1)" построим с помощью следующего конечно-шагового алгоритма. Зафиксируем числовую последовательность ft\ ==1 -1.1 Vi= 4, Первый шаг. Зафиксируем К і - -1 и рассмотрим множество
Метод кусочно-члинейной аппроксимации для ква зилинейной задачи Коши
Рассмотрим операторное уравнение второго рода: (I) где hly) — вообще говоря, нелинейный оператор, действующий в банаховом пространстве Б . Одним из наиболее распроотра-ненных подходов к решению уравнения второго рода является принцип сжатых отображений (см.г, например, [14 ] "» [2?] » L.45] $ [lI7] , \123"] ). Ниже в параграфах 1,2,4 с помощью принципа сжатых отображений исследуются некоторые итерационные процессы решения уравнения второго рода. В I гл.Ш предлагаются достаточные условия сходимости итерационного метода А.А.Дородницына (см. [97] ). В 2 гл.111 излагается развитие классического метода сжатых отображений на случай липшиц-нецрерывного и монотонного отображения A(l)") , не удовлетворяющего условию сжатия. В 4 гл.Ш рассматривается вопрос о сходимости итерационного процесса, возникающего при решении ішазилинейного конечнсь -разностного уравнения параболического типа. В 3 гл.Ш доказывается сходимость метода кусочно- яинейной аппроксимации и приводится оценка точности приближенного решения квазилинейной задачи Кош для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка.
В работе [97] Для приближенного решения операторного уравнения второго рода предлагается использовать идею "движения по параметру", эксплуатируемую в классическом методе продолжения по параметру для доказательства существования решения уравнения (І). В работе [97] (так же как и в методе продолжения по параметру)," наряду с исходным уравнением (I), рассматривается следующее однопараметрическое семейство уравнений: где через (/.(Л) обозначено решение уравнения (2) при соответствующем значении Е. . Заметим: U(o) =. + f W-(i) совпадает с решением U, уравнения (I). Предлагается разбить отрезок С.0, П на /V равных частей и выполнить последовательно /V шагов "по параметру ", отправляясь от элемента \l[o) = -- "по направлению к элементу" Ц.(і) = U/ . При этом реализация указанного процесса движения по параметру . осуществляется в форме операторного аналога классической конечно-разностной схемы Эйлера для уравнения U - -н , ). Другими словами, непрерывное движение по "кривой" И = U. (0 , О SL - 1 V заменяется конечным числом шагов по ку-сочно-линеіїной ітроксимируюіцей кривой" UL = 1А (&4) :, o fc l , полученной в результате использования приближенной формулы: и. ( . + & ) (Ц + \i[Qc0) z , =.
Перейдем теперь к точному описанию итерационного процесса. Продифференцируем уравнение (2) по параметру , получим: и [(У) + А(ис )) -ь А (ыбо) и С0 = о. (з) С целью редакционного упрощения изложения введем обозначение I - 156 U. . ( ) = ІГ е) . Тогда для каздого значения параметра 8 : L 0,11 получим два операторных уравнения: (2) t(0 + /\(w С - A («w) - 0. (з) Переход от уравнений (2), (3) к соответствующему операторному аналогу классической схемы Эйлера приводит нас к следующему итерационному (конечно-шаговому) процессу: (4) VI = M ... ъ A/. 2. Достаточное условие сходимости. Исследуем теперь вопрос о сходимости итерационного процесса (4) при А
Оценим сначала близость между VV-ой итерацией ч.М. и метода (4) и значением точного решения 1 V 7v) » С ) J системы (2)-(3) в точке Введем обозначение: К = — . Тогда, предполагая соответствующую гладкость элемента W-(0 по параметру 8. , получим:
