Введение к работе
Актуальность темы. Как известно, метод Монте-Карло применяется для решения широкого круга задач. Он успешно конкурирует с другими вычислительными методами, а в ряде случаев этот метод является единственно возможным для получения ответа за разумное машинное время. Наиболее изученной и часто применяемой схемой решения уравнений методом Монте-Карло является классическая схема, предложенная Дж. Фон Нейманом и Уламом. Её применение, однако, возможно лишь при выполнении довольно ограничительных условий. Очевидно, что построение новых алгоритмов метода Монте-Карло, при применении которых возможно ослабить эти условия является актуальной задачей. Имеет смысл также модифицировать классические схемы метода Монте-Карло, реализующие различные итерационные процессы, с целью расширения класса решаемых с его помощью задач. Наиболее перспективные схемы, отличные от схемы Неймана-Улама носят -' последовательный характер. Примеры использования таких схем имеются у Холтона и учёных новосибирской школы метода Монте-Карло. В последовательных схемах важное значение имеет стохастическая устойчивость алгоритма. Впервые понятие стохастической устойчивости введено СМ. Ермаковым. Ивановой А.В. получены условия применимости алгоритмов "послойного" счёта для эволюционных уравнений математической физики. Для стационарных задач эта проблема не изучалась.
Цель работы. Целью настоящей работы является построение различных алгоритмов метода Монте-Карло, реализующих различные итерационные процессы для решения линейных и нелинейных уравнений, а также исследование их стохастической устойчивости в терминах входящих в уравнение операторов. Методы исследования. В диссертационной работе используются методы вычислительной математики и теории вероятностей.
Научная новизна. В работе впервые изучены некоторые новые алгоритмы решения систем линейных уравнений, не использующие схему Неймана-Улама, но требующие запоминания промежуточных результатов вычислений. Также построены алгоритмы решения систем линейных алгебраических уравнений и линейных интегральных уравнений, использующих модифицированную схему Неймана-Улама и реализующих метод последовательных приближений типа Зейделя. Данные алгоритмы также используют результаты промежуточных вычислений. Впервые дана вероятностная трактовка данных алгоритмов.
4 Получены рекуррентные соотношения, показывающие изменение дисперсии
оценок, получаемых при последовательном счёте итераций. Эти алгоритмы исследованы с точки зрения стохастической устойчивости. Получено условие на количество испытаний на каждом шаге итераций, при выполнении которого алгоритм, реализованный для сходящегося метода последовательных приближений с запоминанием промежуточных результатов стохастически устойчив. Предложен и исследован алгоритм метода Монте-Карло для моделирования простейшего процесса переноса излучения, основанный на абстрактном методе Зейделя. Изучены некоторые алгоритмы метода Монте-Карло для решения нелинейных уравнений, требующие запоминания промгжуточных итерационных приближений для своей реализации. Для них также получены условия стохастической устойчивости.
Теоретическое значение и практическая ценность. Практически ценным является расширение круга задач, решаемых методом Монте-Карло. Построенные алгоритмы могут найти применение в тех случаях, когда классические схемы метода Монте-Карло неприменимы или недостаточно эффективны. Тем самым подчёркивается, что метод Монте-Карло может успешно сочетаются с методами последовательных приближений, развитыми в классическом численном анализе. Теоретически важным является то, что указаны условия, при которых эти алгоритмы стохастически устойчивы. Последний вопрос может иметь решающее значение для выбора вычислительного метода.
Апробация работы. Результаты работы обсуждались на семинарах кафедры
статистического моделирования и лаборатории моделирования систем и
статистических методов Санкт-Петербургского Государственного
Университета, на семинаре "Дифференциальных и интегральные уравнения" Новгородского Государственного Университета. Основные результаты докладывались на конференции по теории вероятностей и математической статистике ( сентябрь 1995 г., Фергана), на Второй Международной конференции по моделированию (июнь 1996 г., Санкт-Петербург), Публикации. Основные результаты работы отражены в работах [1-4]. Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения и трёх глав. Объём основной части диссертации составляет Д/7гстраниц. Библиография содержит 43 наименования.
