Введение к работе
Актуальность темы. Метод Монте-Карло успешно применяется для решения весьма широкого круга задач вычислительной математики, прикладной математики, физики, химии, биологии и экономики. Характерной его особенностью является общность и простота реализации на быстродействующих ЭВМ, а также потенциальная возможность полной автоматизации процесса реализации. Медленная сходимость является существенным недостатком.
Развитие теории метода Монте-Карло обусловлено не только потребностями приложений, по и необходимостью конкурентноспособности метода по отношению к другим детерминированным численным методам.
Различные модификаций метода Монте-Карло разрабатываются. Трудоемкость - наиболее естественный критерий качества метода Монте-Карло. Вопросы, связанные с исследованием трудоемкости, являются актуальными и активно изучаются российскими и зарубежными учеными. Здесь следует стремиться к построению аффективных модификаций.
Центральное положение в методе Монте-Карло занимает вычисление интегралов. Вычисление интегралов само по себе является очень важной задачей вычислительной математики. Основополагающие результаты в этой области получены С.Л.Соболевым, И.П.Мысовсккд и другими авторами. Несмотря на достигнутые здесь успехи, построение кубатурньн формул для существенно многомерных областей остается очень трудной задачей. Это оставляет большие возможности для применения метода Монте-Карло.
Методу Монте-Карло посвящепы исследования Н.С.Бахвалова, СМ.Ермакова, Г.А.Михайлова, И.М.Сободя и др.
Различные случайные кубатуркые формулы были построены многими авторами. Случайные интерполяционяо-кубатурные фор-
мулы, построенные Ермаковым и Золотухиным, имеют много привлекательных черт. Но как известно, трудность возникает ари моделировании случайных узлов, плотность распределения которых иымст специальный вид. По мнению ряда авторов, метод Ермакова и Золотухина заслуживает дальнейшего изучения. Вообще, и многие процедуры метода Монте-Карло хотя теоретически позволяют достичь высокой точности, но трудно реализуются на ЭВМ из за того, что либо трудно конструктировать оцеаки, либо трудно моделировать случайные уэяы. Имеются попытки обойти ати трудности. В частности, разрабатываются методы упрощения моделирования случайных узлов, построения других возможных плотностей распределения, возможность КОП-бинировавия с другими методами.
Представляет интерес и разработки других возможных методов построения случайных кубатурных формул, которые сохраняют общность и простоту.
Выбор узлов кубатурных формул для вычисления интегралов есть тот частный случай задачи планирования эксперимента, когда целью эксперимента является оценка лить одного из коэффициентов Фурье функции регрессии »?(я). Важно также одновременно оценивать несколько коэффициентов Фурье, когда значения функции ц(х) получены со случайными ошибками. Это и есть задача несмещенного планирования эксперимента. Увеличение эффективности, при решении задачи несмещенного планирования експерименте является также актуальной проблемой.
Цель работы состоит в создании новых аффективных случайных кубатурных формул, в разработке новых методов уменьшения дисперсии, а также увеличении эффективности построения случайных планов для несмещенного планирования експеримент а.
Общая методика выполнения исследования. В работе используется теория метода Монте-Карло, теория классических инвариантных кубатурных формул, теория планирования вкспери-
мента, теория вероятностей и математической статистики и теория групп.
Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты:
Предложен метод построения случайных и обобщенных случайных кубатурных формул, итзариантных относительно группы преобразований, которые сочетают высокую точность и простоту реализации. Предложен асимптотический подход в случае большего порядка группы преобразований.
Предложен новый обший метод построения случайных ку-батурпых формуя повышенной точности — припцип суперпозиции (новый способ умеиъшенил дисперсии), с помощью которого можно увеличить эффективность метода Мопте-Карло. При этом общность и простота метода сохраняются.
Рассмотрены применения принципа суперпозиции. На основании принципа суперпозиции успешно комбинированы некоторые известные методы уменьшения дисперсии, при этом проиллюстрировала большая возможность и эффективность принципа суперпозиции.
Предложен принцип суперпозиции для несмещенного ран-доыизованного планпировашія эксперимента. Показана возможность увеличения эффективности путем случайного выбора "реплик", которые распределены по определенному закону.
Теоретическая и практическая ценность. Теоретические результаты полученные в данной работе могут быть полезны для дальнейшего развития метода Монте-Карло. На основании предложенного метода могут быть построены ряд аффективнных куба-турных формул. Полученные кубатуршле формулы и случайные планы во многих случаях пригодны для практического использования.
Апробация. Основные результаты диссертационной работы докладывались: на семинаре кафедры статистического моделирования матеыатлко-мехаяического факультета СПбГУ; па меж-
дународвой конференции по математический методам в компьютерной моделированием (Санкт-Петербург, 1994 г.).
Публикации. Результаты но теме диссертации опубликованы в работах [1,2].
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации составляет 119 страниц. Список литературы содержит 51 наименование.
