Введение к работе
Актуальность темы исследования. Свойства симметрии и подобия изучаемых процессов позволяют строить эффективные вычислительные алгоритмы с использованием соответствующих аналитических преобразований осреднения, поворота, сдвига и т.п. В методе Монте-Карло это связано с использованием условных математических ожиданий или в рандомизированном варианте—алгоритмов расщепления. Построение более сложных весовых алгоритмов в значительной степени связано с геометрическими соображениями о подобии траекторий моделируемого процесса для различных вариантов физической модели.
Свойства симметрии и подобия можно эффективно использовать в "двухэтапных алгоритмах" метода Монте-Карло. В литературе рассматриваются два варианта стандартного двухэтапного алгоритма: метод математических ожиданий и метод расщепления. На практике чаще всего используется метод расщепления. В диссертации разработаны модификации двухэтапных алгоритмов метода Монте-Карло с учетом свойства симметрии, то есть инвариантности, первого этапа относительно некоторого начального векторного параметра моделируемой траектории. Рассмотрены два варианта модельной задачи, обладающей указанным свойством, связанной с определением параметров некоторой "внутренней" среды по показаниям внешнего детектора частиц, которые сравниваются с заданными "эталонными" значениями. В частности, практически важной является задача определения концентрации активного изотопа, в котором реализуется процесс деления. Другой важной задачей является оценка величины полного сечения для внутренней среды. При этом для параметрического анализа показаний детектора естественно применять так называемый "метод подобных траекторий".
Метод подобных траекторий (МПТ) позволяет проводить эффективный параметрический анализ исследуемых функционалов, необходимый, в частности, для решения обратных задач восстановления значений параметров по экспериментальным наблюдениям. Решение задач теории переноса излучения с помощью МПТ реализуется методом Монте-Карло путем численно-статистического моделирования траекторий частиц—"квантов излучения" — соответственно за-
данной радиационной модели среды. С помощью вспомогательного случайного веса при этом получаются оценки исследуемых функционалов для различных значений параметров модели. В диссертации рассматривается задача выбора радиационной модели для минимизации параметрического максимума среднеквадратической погрешности весовых оценок требуемых функционалов; такой выбор может обеспечить конечность дисперсий оценок во всем интервале параметров и тем самым расширить его при использовании МПТ. Основные цели диссертационной работы:
Разработка и обоснование модифицированного двухэтапного алгоритма расщепления с учетом свойства симметрии, т.е. инвариантности, первого этапа относительно некоторого начального векторного параметра моделируемой траектории. Сравнение традиционного и модифицированного методов расщепления на основе упрощенной модели и численных экспериментов.
Разработка двухэтапного алгоритма с переходом от весового моделирования к невесовому в задаче с делением частиц. Исследование его эффективности в сравнении с весовым и аналоговым алгоритмами на основе упрощенной модели и численных экспериментов.
Исследование задачи минимаксной оптимизации весовых оценок МИТ для различных семейств плотностей. Сравнение соответствующих решений задачи в случае стандартного МИТ и в случае вариации параметра индикатрисы.
Получение параметрических оценок погрешности транспортного приближения путем сравнения результатов расчетов с помощью МИТ с результатами расчетов в транспортном приближении.
Научная новизна. Автором получены новые результаты в следующих направлениях:
Построена модификация алгоритма расщепления с учетом свой
ства симметрии, то есть инвариантности, первого этапа отно
сительно некоторого начального векторного параметра моде
лируемой траектории. Доказана теорема о целесообразности
предложенной модификации.
Показано, что построенную модификацию алгоритма расщепления можно улучшить, фактически применяя принцип Белл-мана.
Уточнены ранее известные и получены новые утверждения о минимаксных алгоритмах МПТ, соответствующих вариациям плотности среды, а также параметры индикатрисы рассеяния.
Получены параметрические оценки погрешности вероятностей прохождения, поглощения и альбедо частицы в транспортном приближении для задачи теории переноса в плоском слое вещества с индикатрисой Хеньи-Гринстейна.
Теоретическая и практическая значимость работы. Предложенная модификация алгоритма расщепления позволяет значительно уменьшить временные затраты на решение задач, в которых первый этап моделирования обладает свойством симметрии, то есть инвариантности относительно некоторого начального векторного параметра моделируемой траектории. В диссертации рассматриваются два варианта модельной задачи такого типа, связанной с определением параметров некоторой "внутренней" среды по показаниям внешнего детектора частиц, которые сравниваются с заданными "эталонными" значениями.
Другой важной задачей является оценка величины полного сечения для внутренней среды. При решении подобных обратных задач для параметрического анализа показаний детектора естественно применять метод подобных траекторий. В связи с этим в диссертации рассмотрена задача минимаксной оптимизации оценок МПТ. Уточнены ранее известные и получены новые утверждения о минимаксных алгоритмах МПТ.
В работе получены параметрические оценки погрешности вероятностей прохождения, поглощения и альбедо частицы в транспортном приближении для задачи теории переноса в плоском слое вещества с индикатрисой Хеньи-Гринстейна. Полученные результаты полезны на практике для определения целесообразности применения транспортного приближения, а также для корректирования "транспортных оценок".
Методология и методы исследования. В диссертации используется математический аппарат методов Монте-Карло, числен-
ные методы линейной алгебры, аппарат математического анализа, теории оптимизации и теории вероятности.
В численных экспериментах был использован известный "прыгающий" мультипликативный датчик псевдослучайных чисел с модулем 240 и множителем 517. При моделировании ветвящихся случайных процессов был использован известный "лексикографический" алгоритм. Для оценки коэффициента kef размножения частиц были использованы стандартные прямой метод и метод "поколений с постоянным числом точек".
Положения, выносимые на защиту:
-
Построена модификация алгоритма расщепления с учетом свойства симметрии, то есть инвариантности, первого этапа относительно некоторого начального векторного параметра моделируемой траектории. Предложенная модификация состоит в формальном переносе моделирования указанного параметра на второй этап алгоритма и эквивалентна рандомизации начальных точек вспомогательных траекторий. Показано, что такую рандомизацию можно улучшить, фактически применяя принцип Беллмана. Эффективность описанной модификации численно проверена для двух вариантов модельной задачи, первый этап которой обладает свойством сферической симметрии. При этом были использованы оценки оптимального параметра расщепления, построенные с использованием упрощённых моделей.
-
Исследована задача минимаксной оптимизации весовых оценок в методе подобных траекторий для различных семейств плотностей распределений, определяющих соответствующие алгоритмы. Уточнены ранее известные и получены новые утверждения о минимаксных алгоритмах МПТ. Для стандартного МПТ и для варианта с вариацией параметра индикатрисы показана целесообразность использования плотности, оптимальной на семействе плотностей типа "смеси", легко моделируемых методом суперпозиции.
-
Получены параметрические оценки погрешности вероятностей прохождения, поглощения и альбедо частицы в транспортном приближении для задачи теории переноса в слое вещества с индикатрисой Хеньи-Гринстейна. С использованием МПТ значения вероятностей для различных вариантов радиационной модели были получены на одном ансамбле траекторий, а транспортное приближение бы-
ло реализовано путём решения "плоского" интегрального уравнения Пайерлса.
Апробация результатов работы. Результаты, изложенные в диссертационной работе, неоднократно докладывались и обсуждались на семинаре Лаборатории методов Монте-Карло ИВМиМГ СО РАН, докладывались на Международных научных студенческих конференциях "Студент и научно-технический прогресс" (2008, 2009 гг.), на Конференциях молодых учёных ИВМиМГ СО РАН (2009, 2011, 2013 гг.), на шестом Санкт-Петербургском международном семинаре по стохастическому моделированию (2009 г.), на Всероссийской конференции по вычислительной математике КВМ-2011.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 работ и еще одна принята к печати. Все работы опубликованы в рецензируемых изданиях, рекомендуемых ВАК. Список работ автора по теме диссертации приведен в конце автореферата.
