Содержание к диссертации
Введение
Метод частиц для несжимаемой жидкости, аппроксимация уравнений гидродинамики 18
1.1 Метод частиц 18
1.2 Упрощенная схема метода частиц 24
1.3 Аппроксимация уравнений гидродинамики 29
2 Первая теорема о сходимости 41
2.1 Априорные оценки 43
2.2 Теорема о сходимости 52
3 Теоремы о сходимости для практических схем. Численное исследование сходимости. 68
3.1 Сходимость метода частиц для базисных функций из пространства сплайнов 68
3.2 Схема предиктор корректор 83
3.3 Исследование сходимости для тестовых задач 91
3 3.1 Периодическое течение в двумерном случае 92
3.3.2 Сходимость схемы для плоскопараллельного течения . 99
Введение к работе
Актуальность темы. Во многих областях науки и техники, таких как физическая океанология, гидротехника, кораблестроение и других, возникает проблема решения нестационарных задач динамики несжимаемой жидкости А поскольку в большинстве случаев точные решения уравнений гидродинамики найти не удается, то для исследования сложных течений используются различные математические модели жидкости. Изначально при численном моделировании использовались два метода описания среды Это во-первых классические лагранжевы методы [1] - [4], в которых используется лагран-жева сетка с неизменной топологией. Для этих методов характерна достаточно высокая точность, аккуратное явное вычисление положения границ раздела и довольно простые для программной реализации алгоритмы Однако, этот подход хорош для относительно гладких течений, а при расчете течений с большими деформациями, использование чисто лагранжевых методик приводит к сильному искажению ячеек сетки, наползанию их друг на друга- «перехлесту» и, как следствие, к невозможности продолжения расчета. Для течений с сильными деформациями используется эйлерово описание среды (5] Основным недостатком эйлеровых методов является плохой учет наличия контактных границ. Вместе с тем в практически важных задачах часто встречаются ситуации, где желательно сохранить преимущества обоих подходов. Такая необходимость постоянно инициирует разработку новых методик для проведения вычислительного эксперимента. Существующие на сегодняшний день численные методы гидродинамики для задач со свободными границами можно условно разделить на несколько классов. Это уже упомянутые классические лагранжевы методы. Следующим является класс лагранжево-эйлеровых методов [6],[7] в которых узлы на границах раздела движутся лагранжево, а движением других частиц управляют таким образом, чтобы расчетная сетка оставалась хорошей.
Известное распространение получили методы граничных интегральных уравнений (граничных элементов)[8],[9] спектральные и псевдоспектральные методы [10], методы MAC [И] и SMAC [12].
С ростом производительности компьютеров возродился интерес лагран-жеву описанию движения жидкости на основе так называемых свободно-лагранжевых (Free-Lagrange) методов. Эти методы специально предназначены для решения задач со сложным поведением границ раздела. К родоначальникам свободио-лагранжевых методов следует отнести метод свободных частиц [13], методы FLAG [14] и "Медуза"[15]. Общим принципом объединяющим эти методы, является возможность лагранжевых частиц, бывших вначале соседями, расходится со временем сколь угодно далеко. То есть, с течением времени отношение соседства частиц изменяется. В [13], например, для точки Mq способ отбора точек Ми М2,..., Мп - ее "соседей", должен удовлетворять следующим условиям. Во-первых, многоугольник M\Mi... Мп должен содержать в себе круг с центром в точке Mq и радиусом ст, здесь с - ско- рость звука. Во-вторых, количество точек соседей должно быть достаточно большим, чтобы вес каждой точки был относительно невелик и в момент смены соседей расчетная схема не получила ненужные возмущения. В каждом секторе МгМоМг+і функции скорости и давления получают линейной интерполяцией по их значениям в точках Ми Mq, Мг+\.
Дальнейшее развитие этот подход получил в методах, использующих перестраиваемую треугольную сетку [16]-[18], методах частиц НОВО [19],[20] и SPH[2l], а также в методах, использующих для построения дискретных операторов сетку Дирихле [22]-[29]. В этих методах дискретизация уравнений гидродинамики осуществляется на шаблоне, составленном из "соседей Дирихле". Ячейкой Дирихле для точки Мк называется область V&, любая точка из которой ближе к точке Мк, чем к другим точкам из набора {Мг}. Соседями ДЛЯ ТОЧКИ Мк ЯВЛЯЮТСЯ ТЄ ТОЧКИ М„ ДЛЯ КОТОрЫХ Vfc П Уг ф 0, где Vfe и К - замыкание соответствующих множеств
В последние 15 лет ускоренными темпами набирал популярность lattice Boltzmann метод(ЬВМ)[30]-[34]. Наиболее подробное его описание можно найти в [32].
К этому же классу методов относится и метод частиц для несжимаемой жидкости, предложенный в [35]. Данный метод нашел широкое применение при решении задач гидродинамики, в частности, с его помощью был получен известный эффект удержания шара вертикальной струеей жидкости [37]. Применение его к решению различных задач описано в [36], [42]-[44]. Из всех вышеперечисленных свободно - лагранжевых методов только для lattice Boltzmann метода доказана сходимость численных решений к решению си- стемы уравнений Навье-Стокса.
Цель работы. Целью работы является математическое обоснование двух дискретных моделей несжимаемой жидкости, а именно исследование аппроксимации для некоторой упрощенной версии метода частиц и доказательство теорем сходимости для основной.
Защищаемые положения.
Для упрощенной версии метода частиц показана слабая аппроксимация уравнений гидродинамики в случае, если дискретные условия несжимаемости выполняются в узлах некоторой сетки, и сильная аппроксимация, если потребовать выполнения условий несжимаемости для каждой частицы;
Для внутренней краевой задачи для уравнений Навье-Стокса доказаны теоремы о сходимости метода частиц для аппроксимации с использованием ортогональных базисных функций; аппроксимации с использованием сплайнов; схемы предиктор-корректор по времени;
На тестовом примере численно изучена сходимость метода частиц Пока зано, что в общем случае для сходимости метода частиц достаточно более слабых требований, чем те, что получены теоретически. Это связано с отсутствием оценок на производные решений уравнений Навье-Стокса
Новизна научных результатов. Все основные результаты диссертационной работы являются новыми и снабжены доказательствами.
Методика исследования. Основные результаты получены с использованием методов математического и функционального анализа, линейной алгебры и теории сплайн-функций. При доказательстве сходимости метода частиц используется теория обобщенных решений уравнений Навье-Стокса, развитая О.А. Ладыженской [39]
Теоретическая и практическая значимость. Результаты, изложенные в диссертации могут быть использованы в дальнейших теоретических исследованиях численных методов для уравнений Навье-Стокеа.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались- на семинарах кафедры Прикладной математики Красноярского Государственного Технического Университета (2001-2006 г.г); на конференции молодых ученых в Институте Вычислительного Моделирования СО РАН (Красноярск 2003 г.); на семинаре под руководством профессора В.В. Пухначева в Институте Гидродинамики СО РАН имени акад. М.А. Лаврентьева (Новосибирск 2004 г.); в 2003 г. работа была поддеРжана Министерством образования - грант КЦФЕ для аспирантов А03-2.8-872.
Публикации. В процессе работы над диссертацией опубликовано 4 пе- чатных работы [45]-[48], из которых две в соавторстве с A.M. Франком
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы из 51 наименования. Общее число страниц диссертационной работы - 116
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
В первой главе дано описание двух дискретных моделей несжимаемой жидкости предложенных, А.М Франком [36] и исследована аппроксимация ими уравнений гидродинамики. Первый параграф является вводным. В нем описывается метод частиц для несжимаемой жидкости. Приводится два способа построения численной схемы. Первый - из метода "наименьшего принуждения" Гаусса. Второй - путем непосредственной аппроксимации уравнений гидродинамики. В момент времени і = 0 мы заполняем начальный жидкий объем Q, большим количеством материальных частиц, с массами mt, координатами xj = & и скоростями vj так, чтобы эти дискретные функции аппроксимировали начальные поля скорости и плотности. На каждом временном шаге координаты частиц находятся из уравнения хя+1(&) = хп(&) + туя(хпК0), (1) а новое поле скорости из системы уравнений ^у"+'(х"Ч- V(x") ^ ^,,+1^ + „((vg+V+i), ai,(x"+'))) = 0, (2) у»+і = ^АГ1аІ(х), (3) здесь двойные скобки означают дискретное скалярное произведение, вычисли ленное по частицам: ((а(х), b(x))) = J] гп^а(х(^))Ь(х(^)) Базисные функции {а3(х)}1П=1 принадлежат пространству гладких соленоидальных функций, удовлетворяющих граничному условию. Полученный метод это своего рода комбинация метода Галеркина с конвективным перемещением отдельных частиц.
Второй параграф посвящен описанию упрощенной версии метода частиц, полученной на основе вариационного принципа Гамильтона. Для этой модели в качестве условия несжимаемости используется условие соленоидальности непрерывного линейного поля скорости, являющегося локальной аппроксимацией в дискретной норме Z-2 поля скорости частиц в некоторой окрестности каждого узла прямоугольной сетки. Под окрестностью узла Ua или частицы Uk понимается куб с ребром 2Д и центром в узле или частице, соответственно. Дискретные операторы дивергенции и градиента определяются тогда равенствами: divh u|x=xo = ^Г тк Dak Щ, к здесь ха - центр масс окрестности Ua узла сетки с мультииндексом а, суммирование производится по всем частицам, принадлежащим Ua; grad h p\x=XL ~ - ^ Dak Pa h?, здесь суммирование ведется по восьми угловым узлам ячейки, содержащей к -ю частицу. Dak - это явно вычисляемые функции от масс и координат частиц принадлежащих Ua. Таким образом, дискретная модель идеальной несжимаемой жидкости имеет ВИД' xjt = иЛ, (4) = Y^ D<*kPah\ (5) Y2 m Dak щ = 0. (6)
В тетьем параграфе исследуется аппроксимация уравнений идеальной несжимаемой жидкости уравнениями (1.23)-(1.21). Аппроксимация оператора div установлена теоремой 1.1.
Теорема 1.1. Для и Є C2(R3) дискретный оператор divh аппроксимирует оператор div с точностью O(tfjT) + 0(/i2) -
Здесь и далее под \х подразумевается максимальный объем частицы. При единичной плотности \i — max mfc.
Если условие соленоидальности непрерывного линейного поля скорости выполнено в окрестности каждого узла прямоугольной сетки, то имеется лишь слабая аппроксимация градиента давления.
Теорема 1.2. Оператор gradhp аппроксимирует градиент давления в слабом смысле.
Если же потребовать выполнения условия соленоидальности непрерывного линейного поля скорости в окрестности каждой частицы, то будет иметь место сильная аппроксимация оператора grad. Для доказательства этого факта был сначала рассмотрен предельный случай, бесконечно большого числа частиц, и для него получена сильная аппроксимация градиента давления.
Лемма 1.1. Если частиц бесконечно много, то для р Є C2(fi) gradh p|x=Xi = grad p|x=XjL + 0(h2).
Затем доказывается теорема для конечного числа частиц.
Теорема 1.3. Для р Є С2, gradh p\x=Xk аппроксимирует gradp\x^Xl с точностью О ( дг ) + 0(h2).
Показана также аппроксимация уравнения неразрывности.
Вторая глава посвящена доказательству сходимости основной версии метода частиц для уравнений Навье-Стокса при использовании в методе Галер-кина ортонормированных базисных функций. Для формулировки теоремы 2.1 нам потребуется введенное О А. Ладыженской [39] понятие обобщенного решения внутренней краевой задачи для уравнений Навье-Стокса: — + (и V)u = г/Ди - -Vp, от р div и = О, и|ап = 0, и|(=о = а(х).
Определение 2.1. [39] Обобщенное решение - это вектор-функция з и(х,), для которой интегралы /Juf(x,t)efoc ограничены при всех t [0,Т] одной и той эюе постоянной, производные uXl, ut существуют и квадратично суммируются по Qt, которая удовлетворяет условиям dtv u = О, u\s = 0, и|(=о - а(х) (7) и тождеству
I (-иФ( + vux
В первом параграфе получены априорные оценки на дискретные нормы решений и их производных, необходимые для доказательства теоремы о сходимости.
Лемма2.1. Для численной схемы (1.1^)-(1.13) справедливы следующие оценки:
Их*)]] < [И*0)]], (9) Er'^'i-v'wf^ivW»', (ю)
2-f[K+1(x,+1)]]2<[[v(x»)]f. (П)
Лемма 2.2. Для любой функции v, принадлежащей линейной оболочке функций {aJ(x)}^i1 в Q Vi,j справедливы неравенства І) М<^(т)|М|, Ю К| < дині,
3) К.^1
Лемма 2.3. Если т1"* < ^ тЁ < 32^м[ИР w r < i2F,(m)[H> a гп = хп() - взаимнооднозначное преобразование 1 на О,; |xj| < e6Ti?iH0vj]; ||v||2<2(l + r2-ef/r[[v(x")]]2i |^|<2^Н[[у]]; №+1_1| ^ г2-є> здесь J"+1 - якобиан преобразования xn+1 — xni J(x").
Во втором параграфе доказывается основная теорема о сходимости.
Теорема 2.1. .Если внутренняя краевая задача для системы уравнений Навъе-Стокса имеет обобщенное решение u(x,i), нормы \\иц\\ и \\их\\ равномерно ограничены, и кроме того функция u(x, t) такова, что ее ряд Фурье сходится в H(Q) равномерно по і Є [0,2і], а функции а&(х) Є С2(П) образуют базис в #(1)) и в Х^(П), ортонормированпый в i^fD), тогда последовательность приближенных решений v сходится кие норме 1,2 (fi), при тЧ-0, m -> со, (i-)0 « ограничениях : rFx{m) -5- 0, rF2(m)F2(m) - О, (F(m)F2(m) + ^2(m)) e6TF^^d -+ О, где F(m)1Fi(m) и Fi[m) зависят от {afc(x)}=1.
Третья глава посвящена доказательству теорем о сходимости для численных схем, применяемых на практике, а также экспериментальной оценке скорости сходимости. В первом параграфе дано определение нормализованных базисных сплайнов минимальной длины (В-сплайнов) [49] и приведены некоторые необходимы^ их свойства. Описан алгоритм построения соленоидаль-ных базисных функций из пространства сплайнов и доказана теорема 3.1. о сходимости метода частиц, при использовании этих базисных функций.
ТеоремаЗ.1. Пусть u(x,i) - решение начально-краевой задачи для системы уравнений Навъе-Стокса, если и Є C2(U X 0, Т)) и базисные функции {у^(х)}ь=і -линейно-независимы, тогда последовательность прибли-оюенных решений v сходится к и в 1>2{Q), при г-> 0, & ~> 0, d-ї-О и ограничениях : г < л1" - 1024M,4[[v]]"' d /г5 еетл-^ІИ] ~> 0.
Во втором параграфе рассмотрена схема предиктор-корректор по времени, для нее получены априорные оценки на решение и его производные, а также доказана следующая теорема о сходимости
Теорема 3.2. Пусть и(х,) - решение начально-краевой задачи для системы уравнений Навъе-Стокса, если и C2(Q,x(Q,T)) и функции {
В третьем параграфе рассмотрены две тестовые задачи: первая из них задача о периодическом течении в пространстве Я2, вторая - плоскопараллелььое течение. Для первой задачи доказана теорема о сходимости.
Теорема 3.3. Пусть u(x,i) - решение начально-краевой задачи для си стемы уравнений Навъе-Стокса, если и C2{Qx (0,Г)) и функции{(^i:/l(x)}^L1 линейно-независимы, тогда последовательность прибли женных решений периодической задачи v сходится кие Ьъ{Щ, приг -> 0, /г —> 0, d —>Q и ограничениях :т< Щ d-A-3.e4TMA-VlUo.
Для этого примера проведена серия численных расчетов на последовательности сеток. Показано, что для сходимости метода частиц достаточно существенно более слабых требований, чем те, что получены теоретически. Это связано с отсутствием оценок на производные решений уравнений Навье-Стокса.
Для второй задачи система уравнений Навье-Стокса вырождается в уравнение теплопроводности: щ - vuyy = О, и(0,*) = «(1,*) = 0, u|i=o = e(y), (12) для которого указанные оценки существуют. Поэтому справедлива следующая теорема.
Теорема 3.4. Пусть u(y,t) - решение задачи (12), тогда последовательность приближенных решений v сходится к и, при т —)-0, h —> 0, d —)-0 \\v {у) - «(y,tn)|| = у [— + — + ~~ц~ + C*T )
Метод частиц
Метод частиц для несжимаемой жидкости был впервые предложен в работе [35]. Этот метод предназначен для моделирования течений со сложными границами раздела. Применение этого метода к различным течениям может быть найдено в [Зб]-[38]. Первоначально метод частиц был построен на основе принципа наименьшего принуждения Гаусса Рассматривался некоторый объем V несжимаемой жидкости в поле внешней силы F = pg. Пусть обозначает лагранжевы, а х(,) - эйлеровы координаты жидких частиц В дальнейшем будем считать, что х(0,) = . Принцип Гаусса гласит, что из всех возможных в силу связей движений система выбирает то, которое наиболее близко к свободному. Следовательно, в каждый момент времени t жидкость будет двигаться таким образом, чтобы минимизировать функционал.
Здесь VQ это объем V при = 0, х(і+Д( - действительное смещение жидких частиц за время At, те. смещение, совместимое с наложенными ограничениями, в данном случае с условием несжимаемости и граничным условием
На основе этой формулировки строится дискретная модель жидкости В начальный момент времени t = 0 аппроксимируем объем О, = VQ конечной системой материальных частиц 0 с координатами & = x(fc), массами rrtk = li{uk) и скоростями Vfc, к — 1,... ,ЛГ. Это всегда можно сделать, используя какую либо сетку, в том числе и нерегулярную.
Здесь V ; = v(x+1), где v принадлежит некоторому конечномерному пространству Н гладких соленоидальных функций, удовлетворяющих граничному условию Расщепим задачу (1.4) на два дробных шага:
Видно, что первый шаг представляет собой свободное движение частиц, а второй является проектированием скоростей на ближайшее соленоидальное поле из Н.
Разложим v по базису пространства Н
Впоследствии метод частиц был выведен непосредственно из уравнений Навье-Стокса для вязкой жидкости [42]. Течение вязкой несжимаемой жидкости в отсутствии внешних сил в области П, имеющей жесткую границу описывается уравнениями
Метод частиц может быть построен для случая вязкого течения как приближение к уравнению (1.12). В момент времени і = 0 мы заполняем начальный жидкий объем Q большим количеством материальных частиц, с массами mjt, координатами xjt и скоростями v& так, чтобы эти дискретные функции приблизили начальные поля скорости и плотности . Мы также будем использовать метод Галеркина для уравнения (1.12), и на каждом временном слое, n + 1 находим непрерывные поля скорости.
Таким образом, каждый временной шаг численного алгоритма выглядит следующим образом. Сначала находятся положения частицы. Затем рассчитываются матрица и правая часть в (1.16), и решается система для нахождения A"+1. Затем, рассчитывается новое непрерывное поле скорости vn+1 из (і 13).
Метод имеет простую физическую интерпретацию. Рассмотрим сначала течение жидкости в отсутствии внешних и внутренних сил Среди соленои-дальных полей скорости (1.13) находим из (1 15) единственное поле, которое дает ускорение жидких частиц, ортогональное всем соленоидальным базисным функциям. Можно легко показать [36], что в результате получим соле-ноидальное поле (1.13), которое является наилучшим приближением в дискретной норме Li свободного движения частиц в исходном поле скорости. С одной стороны, это в точности принцип "наименьшего принуждения" Гаусса [40]. С другой стороны, этот метод может интерпретироваться как свободное движение частиц с последующим проектированием поля скорости на некоторое конечномерное подпространство соленоидальных функций. Подобная процедура известна в эйлеровых конечно-разностных схемах для уравнений Навье-Стокса (41).
Таким образом, метод - своего рода комбинация метода Галеркина с кон вективным перемещением отдельных частиц. Удачная комбинация аппроксимации частицами с методом Галеркина позволяет, с одной стороны, получить точные численные решения с очень немногими базисными функциями для гладких течений, подобных регулярным поверхностным волнам, с другой стороны, моделировать тем же самым методом сложное явление удержания твердого шара тонкой струей жидкости, где свободная поверхность имеет весьма нерегулярную форму [36]. Галеркинская аппроксимация поз
Априорные оценки
Получим ряд необходимых оценок на решение задачи (2.9), (2.10), а также на функции из пространства Vm.
Теперь перейдем к главному утверждению этого параграфа. Заметим что параметр d есть не что иное как максимальный линейный размер частицы при начальной аппроксимации жидкого континуума. Справедлива следующая лемма.
Лемма 2.3. Если т1 і тє 32F2 ][{v0]? и r 12 )[№ a d (24 - e M fnjmjrjmjFifm))"1, где є (0,1), F(rn) и Fi(m) me oice, что и в лемме2.2, a /x(fi) -объем области Q, то для численой схемы (2.9), (2.10) справедливы следующие утверждения
1) х" = х"() - взаимнооднозначное преобразование Q на П;
2) х е6Г И[И];
3) v2 2(l-br2-)T/T[[v(x")]]2;
4) 2 (т)[[у]];
5) \J +1 \\ r2-, здесь J"+I - якобиан преобразования х"+1 = х"+1(хп).
Доказательство, (по индукции) Для п = 0 утверждения леммы очевидны, кроме пунктов 3) и 5). Приведенное ниже их доказательство по индукции верно (безусловно) и для п = 0. Пусть теперь 1)-5) верны для п к — 1, докажем их справедливость для п = к.
1)Достаточно показать, что хк = хк(хк г) есть взаимнооднозначное преобразование Сі на Г2.
1.1)Взаимная однозначность
Однозначность преобразования хк = x (xfc"x) очевидна. Покажем однозначность обратного преобразования. От противного. Пусть г 12F (T rrvoii и x "1 + rv - xf-1) = x "1 + rv xl"1);
Противоречие, следовательно xk = x x "1) взаимнооднозначное преобразование О, на Qk 1 2) Покажем теперь, что П С 12..
Сходимость метода частиц для базисных функций из пространства сплайнов
В предыдущей главе была доказана теорема о сходимости метода частиц в случае если базисные функции {a fx)}! дважды непрерывно диффеоен-цируемы и образуют базис в Я(С2) U 1 (0), ортонормированный в 1/2 ( ) Однако, такие функции просто строятся лишь для достаточно хороших областей, например для Cl = [сц , b\] х [а , Ь \ х [аз , &з]- Для областей со сложной формой границы построение ортогональных базисных функций является достаточно сложной задачей. Для задач со свободной границей это и вовсе невозможно, по крайней мере для базисных функций не зависящих от времени, поскольку область интегрирования изменяется во времени, поэтому на практике используют неортогональные базисные функции. Так в методе частиц, начиная с момента его создания, использовались базисные функции из пространства сплайнов, имеющие ограниченный носитель. Преимуществом сплайнов с ограниченным носителем является то, что ((al,aJ)) = 0 если suppa1 Л suppa? = 0, то есть матрица А в (1.16) получается разреженной, что облегчает решение линейной системы. Отметим здесь, что на первый взгляд для ортогональных базисных функций матрица А является единичной, однако, это не так, поскольку при вычислении матрицы используются дискретные скалярные произведения, а не непрерывные, и матрица получается заполненной. В связи с вышесказанным необходимо полученный результат о сходимости метода частиц перенести на случай базисных функций из пространства сплайнов.
Определение 3.1. [49] Функция SUtk{x) называется сплайном степени п дефекта к с узлами на сетке {х\,Х2,...,Хн}, если на каждом отрезке хг,хг+і\ функция SUik{x) является многочленом степени п и Sn {x) Є Cn k{xbxN].
Опишем алгоритм построения соленоидальных базисных функций для области Q С Я3. Сначала разобьем область U на ячейки при помощи прямоугольной сетки с линейным размером ячейки - h. Построим функции носители которых целиком лежат в области П, здесь а — мультииндекс узла (jj,k). Для аппроксимации вектора скорости нам нужны базисные вектор- функции. Возьмем функции ФаМ = ( ,0,0), ФоЛ2 = (0,#Q\0), ФаАЗ = (0,0, л).
Очевидно, что в каждой ячейке нашей сетки v3 - есть произведение полиномов, не превосходящих некоторой степени п относительно хг. На рис.3.1 - рис 3 3 представлены случаи, когда полиномы 1-й - 3-й степени на отрезке [—; ] имеют максимальную производную, при фиксированном максимальном значении функции. Рис. З 1: Максимум производной полинома первой степени не может превышать .
