Введение к работе
Актуальность темы. Глобальное численное исследование нелинейного нестационарного процесса (полудинамической системы, ПДС) предполагает изучение эволюции системы с конкретными начальными условиями (и близкими к ним), а также описание качественного поведения системы для некоторого достаточно широкого множества начальных условий. Эффективное решение данных задач имеет важное теоретическое и прикладное значение, так как позволяет не только анализировать и предсказывать динамику конкретной траектории, но и управлять динамикой, а также моделировать качественные глобальные изменения динамики в случае возмущения оператора эволюции. Работа направлена на разработку теоретических и прикладных методов решения данных задач.
Изучение системы с известным оператором эволюции S(t, ) для конкретного начального условия zq заключается в построении в окрестности Ozo устойчивого W~(zo) и неустойчивого W+(zo) многообразий, определяющих качественную локальную картину динамики близких к S(t,zo) траекторий: каждая траектория S(t, т~), гпГ Є W~(zo) сближается с течением времени с траекторией S(t, zo); все траектории S(t, ао), ао Є Ozo локально притягиваются с течением времени к множеству S(t, W+(zq)). Построение многообразий VV позволяет не только предсказывать эволюцию конкретной траектории, но и управлять динамикой.
Задача описания динамики близких траекторий более ста лет привлекает внимание исследователей. Основополагающие результаты для конечномерных пространств были получены A.M. Ляпуновым, Н. Poincare, в работах G. Darboux, J. Hadamard'a, О. Perron'a. В нашей стране данной тематикой занимались А.А. Андронов, В.В. Немыцкий, И.Г. Петровский, А.Н. Колмогоров, Д.В. Аносов, Я.Б. Песин, Л.П. Шильников, Б.Ф. Былов, Р.Э. Виноград, Д.М. Гробман, за рубежом - S. Smale, J.К. Hale, М. Hirsch, С. Pugh, М. Shub. Для банаховых пространств соответствующие результаты были получены в работах В.И. Юдовича, О.А. Ладыженской и В.А. Солонни-кова. Построенная к настоящему моменту теория охватывает класс траекторий {S(t,zo)} полно либо частично гиперболического типа. Вопрос об устойчивости движений в негиперболическом случае рассматривался в диссертации и последующих работах A.M. Ляпунова, позднее нетривиальные результаты получены в работах Я.Б. Песина,
А.И. Рейзиня, С. Coleman'a, СЮ. Пилюгина, И.Н. Костина. Однако, рассматриваемые схемы доказательств существенно опирались либо на свойство частичной гиперболичности, либо на особенности конкретной задачи, либо на одномерность негиперболического подпространства разрешающего оператора, и возможность обобщения имеющихся результатов на существенно негиперболический случай до конца не изучена.
Алгоритмы численного построения многообразий начали разрабатываться начиная с шестидесятых годов. Отметим работы Г. Гу-кенхемера, А. Владимирского, Л.П. Шильникова, M.L. Brodzik'a, М. Dellnitz'a, A. Hohmann'a, L. Dieci'a, J. Lorenz'a, R.D. Russell'a. Однако, численные аспекты решения соответствующих задач (даже в пространствах малой размерности) весьма далеки от завершения. При этом методы проектирования на многообразия в окрестности нестационарной (непериодической) точки zq, а так же для уравнений в частных производных, видимо, ранее не рассматривались.
Если данные вопросы по сути сводятся к исследованию устойчивости отдельных траекторий, то задача качественного глобального анализа полудинамической системы для некоторого достаточно широкого множества начальных условий Ва С Н заключается в исследовании глобального аттрактора Л4 - предельного (по времени) множества всех траекторий.
Дело в том, что при численном моделировании исходный оператор S(t, ) и начальные данные ао заменяются на приближенные S\(t, ) и ад, где параметр А отвечает за точность приближения. В связи с этим моделируемая а^ = S\(t,a,Q^ и истинная at = S(t,ao) траектории начинают с течением времени расходиться. Это приводит к тому, что точность моделирования \\at — а^\\ < є можно гарантировать на некотором конечном отрезке времени [0, Т(є)]. Для многих реальных процессов суммарная погрешность модели, аппроксимации начальных данных, форсинга имеет практически неустранимый характер. В итоге время моделирования Т[е) с гарантированной точностью оказывается много меньше интересующего. Это верно, например, при расчете неустойчивых течений жидкости, газа, в общей теории климата. Однако, для подобных задач наибольший интерес обычно представляет не поведение конкретной траектории, а некоторое типичное состояние, которое может наблюдаться в си-
стеме. Строгое определение типичности зависит от задачи. В связи с этим возникает проблема описания всех возможных предельных состояний ЛЛ исходной системы, которые реализуются при больших временах. Данной тематикой занимались G.D. Birkhoff, В.В. Немыц-кий, J. Lorenz, О.А. Ладыженская, А.В. Бабин, М.И. Вишик, В.В. Чепыжов, С. В. Зелик, Л.В. Капитанский, И.Н. Костин, В.П. Дым-ников, А.С. Грицун, А.Н. Филатов, J.K. Hale, R. Temam. Полный список исследователей весьма обширен.
Теория глобального аттрактора эффективно применяется при исследовании широкого класса уравнений в частных производных. В том числе, на ее основе строятся глобально устойчивые разностные схемы, формально пригодные для численных расчетов решений нестационарных уравнений на сколь угодно больших временных отрезках. Сходимость в этом случае понимается в смысле близости аттракторов дифференциальной ЛЛ и разностной Л4\ задач. Всвя-зи с этим представляет существенный интерес проблема численного построения множества Л4\, оценка близости ЛЛ и Л4\, метод исследования полной непрерывности ЛЛ\ по параметру возмущения А, проверка условий полунепрерывности ЛЛ\ для конкретных задач.
Цель работы. Главной целью диссертационной работы является разработка и обоснование методов глобального численного исследования динамики нестационарной системы с конкретными начальными условиями (и близкими к ним), а также методов изучения качественного поведения системы для некоторого достаточно широкого множества начальных условий. Главными требованиями к полученным результатам являются: строгая обоснованность каждого алгоритма, эффективность для многомерных нестационарных уравнений в частных производных, независимость от специфики конкретной задачи. Также важным является исследование различных теоретических вопросов данной тематики - получение конструктивных доказательств теорем существования и асимптотически неулучшаемых условий существования многообразий, обобщение известных результатов на ранее нерешенные классы задач, представляющих как отдельный научный интерес, так и необходимых для построения и обоснования соответствующих численных алгоритмов.
Методика исследования основывается на классических результатах: методе сжимающий отображений, обобщенной теореме Ада-
мара - Перрона, У-условиях гиперболичности, общей теории глобального аттрактора, дополненных и расширенных с учетом специфики решаемых задач.
Научную новизну диссертационной работы составляют:
Построение, математическое обоснование и практическая реализация эффективных численных алгоритмов проектирования на устойчивые и неустойчивые многообразия в окрестности точки и траектории седлового типа для широкого класса задач.
Обобщение теоремы Адамара-Перрона на случай существенно негиперболической точки и траектории, получение асимптотически неулучшаемых условий существования локальных устойчивых и неустойчивых многообразий, методика построения доказательства.
Сведение проблемы непрерывности глобального аттрактора и его аппроксимации к исследованию функции времени притяжения к аттрактору, получение критерия полной непрерывности аттрактора.
В прикладном аспекте новыми являются: получение априорных оценок, позволяющих доказать глобальную устойчивость широкого семейства разностных аппроксимаций для модифицированных (в смысле Ладыженской) уравнений Навье-Стокса в трехмерных областях,
численное решение задачи проектирования на устойчивое и неустойчивое многообразия для системы Лоренца, многомерных уравнений типа Чафе-Инфанта, Бюргерса, Навье-Стокса, аппроксимация нетривиальных траекторий глобального аттрактора сложных многомерных полудинамических систем, решение задачи асимптотической стабилизации по начальным данным в окрестности неподвижной точки и в окрестности траекторий седлового типа, численное исследование скорости притяжения к глобальному аттрактору для различных полудинамических систем.
Достоверность, теоретическая и практическая значимость. Достоверность проведенного исследования основана на изложении всего материала в виде последовательности лемм и теорем, тщательном анализе численных экспериментов для широкого класса полудинамических систем, замыкании результатов диссертации на результаты других авторов, полученные другими методами. Теоретическая ценность заключается в развитии метода сжимающих отображений и его адаптации для рассматриваемых задач, в получении конструк-
тивного метода исследования глобального аттрактора и структуры устойчивых и неустойчивых многообразий для полудинамических систем седлового типа. Практическая ценность содержится в новом подходе к решению задач проектирования на инвариантные многообразия, позволившем не только сравнить известные алгоритмы, применимые в окрестности гиперболической неподвижной точки, но и предложить новые, эффективно решающие соответствующие задачи, в том числе, в окрестности траектории седлового типа. Построенные алгоритмы не зависят от специфики конкретной полудинамической системы, что позволяет применять разработанный подход для решения задач численной стабилизации и аппроксимации глобального аттрактора для широкого класса нестационарных уравнений математической физики.
Апробация работы. Результаты диссертации обсуждались и докладывались на:
-научно-исследовательском семинаре мех.-мат. ф-та МГУ под руководством академика РАН Н.С. Бахвалова;
-научно-исследовательском семинаре мех.-мат. ф-та МГУ под руководством академика РАН Д.В. Аносова и проф. A.M. Степина;
-научно-исследовательском семинаре Института вычислительной математики РАН под руководством академика РАН В.П. Дымнико-ва;
-научно-исследовательском семинаре Института вычислительной математики РАН под руководством проф. Г.М. Кобелькова, проф. А.В. Фурсикова, проф. В.И. Лебедева;
-научно-исследовательском семинаре института им. Стеклова под руководством академика РАН Д.В. Аносова и проф. Ю.С Ильяшен-ко;
-научно-исследовательском семинаре мех.-мат. ф-та МГУ под руководством проф. М.И. Вишика;
-научно-исследовательском семинаре ф-та прикладной математики МЭИ под руководством проф. ЮА. Дубинского и проф. А.А. Амосова;
-международной конференции И.Г. Петровского (Москва, 2001, 2004)
-Российско-Голландском семинаре "Численные методы и их приложения" (Наймеген, 1997, 1999, 2001; Москва, 2003, 2005);
-международной конференции В.М. Алексеева (Москва, 2002) -ежегодной конференции "Ломоносовские чтения" (Москва, 2000-2005)
-ежегодной отчетной конференции ИВМ РАН (Москва, 2002-2005) Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 15 работах.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, списка литературы из 105 названий и заключения, содержит 51 иллюстрацию и три таблицы. Текст работы изложен на 228 страницах.
