Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Локализация особенностей зашумленной функции 42
1.1. Интерпретация функций с особенностями как обобщенных функций 42
1.2. Постановка задач локализации особенностей и основное разложение вспомогательной функции 51
1.3. Построение и исследование методов локализации для конечного числа особенностей 59
1.4. Оценки снизу точности и разделимости; оптимальность методов 71
1.5. Построение и исследование методов локализации для функции со счетным числом особенностей 80
Глава 2. Локализация особенностей решения уравнения первого рода типа свертки 93
2.1. Методы локализации особенностей решения уравнения первого рода типа свертки 93
2.2. Метод локализации особенностей решения уравнения первогорода типа свертки со ступенчатым ядром 103
2.3. Оценки снизу точности и разделимости; оптимальность методов 111
Глава 3. Локализация линий разрыва зашумленной функции двух переменных 118
3.1. Построение и исследование вспомогательной функции 118
3.2. Постановка задач локализации линий разрыва 125
3.3. Построение и исследование методов локализации для конечного числа особенностей 133
3.4. Локализация линий разрыва функций двух переменных для счетного числа особенностей 140
Глава 4. Идентификация числового параметра в ядре оператора на классах функций с разрывами 145
4.1. Постановка задачи и основное разложение 145
4.2. Предварительные оценки 149
4.3. Метод идентификации параметров 160
Глава 5. Прикладные задачи локализации особенностей 167
5.1. Метод разделяющих функционалов при расшифровке локальной атомной структуры 168
5.2. Численные эксперименты локализации разрывов первого рода зашумленной функции 180
5.3. Численные эксперименты идентификации параметра наклассах функций с разрывами 184
Список обозначений 190
Список литературы 194
- Постановка задач локализации особенностей и основное разложение вспомогательной функции
- Построение и исследование методов локализации для функции со счетным числом особенностей
- Оценки снизу точности и разделимости; оптимальность методов
- Локализация линий разрыва функций двух переменных для счетного числа особенностей
Введение к работе
Работа посвящена конструированию и исследованию методов решения неустойчивых задач локализации особенностей функции одного или двух переменных. Изучены методы усреднения, для которых удается аналитически описать эффекты типа Гиббса, возникающие в окрестности особенностей. Это аналитическое описание, в частности, позволяет исследовать сходимость и получить оценки точности методов.
Актуальность темы.
Развитие теории некорректно поставленных (неустойчивых) задач началось с основополагающих работ А.Н. Тихонова, В.К. Иванова, М.М. Лаврентьева, в которых был предложен подход — метод регу-ляризации, позволяющий эффективно решать такого рода задачи. Среди авторов, внесших значительный вклад на этапе становления теории, необходимо упомянуть D.L. Phillips, R. Lattes и J.-L. Lions.
В дальнейшем существенный вклад в развитие теории некорректно поставленных задач также внесли А.Л. Агеев, Ю.Е. Аниконов, А.С. Апарцин, А.Б. Бакушинский, Ф.П. Васильев, В.В. Васин, А.Ю. Веретенников, В.Б. Гласко, А.В. Гончарский, А.И. Гребенников, A.M. Денисов, СИ. Кабанихин, А.И. Короткий, А.С. Леонов, В.И. Максимов, И.В. Мельникова, Л.Д. Менехис, В.А. Морозов, В.Г. Романов, И.П. Рязанцева, В.В. Степанов, В.И. Страхов, В.П. Танана, Г.В. Хромова, СП. Шишатский, А.Г. Ягола, С Vainikko, М. Hanke, A. Neubauer, О. Scherzer, С Wahba и многие другие математики.
В классической теории решения некорректно поставленных задач важным направлением исследований является построение специальных регуляризирующих алгоритмов в случае, когда искомое решение не является гладким. Негладкое решение для функций одной переменной, в частности, может иметь особенности типа -функций, разрывов первого рода или изломов (разрывов производной); для функций двух переменных (изображений) решение часто содержит линии разрыва, то есть линии, в каждой точке которых функция терпит разрыв. В настоящее время по этому направлению опубликовано большое число работ, в том числе и теоретических. Останавливаясь только на теоретических работах, необходимо упомянуть статьи В.В. Васина, А.С. Леонова, R. Асаг и
C.R. Vogel, в которых конструировались и исследовались эффективные методы решения многомерных некорректно поставленных задач в пространствах функций ограниченной вариации, решения которых, в частности, могут содержать линии разрыва. Также отметим статьи А.Г. Яго-лы и других авторов, в которых решались одномерные и двумерные интегральные уравнения первого рода с гауссовым ядром на классах, содержащих -функции. Однако необходимо заметить, что классическая теория некорректных задач дает обоснование восстановлению функций, а не локализации их особенностей.
Анализ литературы, опыта прикладных и теоретических исследований, выполненных в Институте математики и механики УрО РАН, позволяет утверждать, что существует достаточно много прикладных задач, для которых решение состоит в определении характеристик особенностей. И поэтому, методы решения таких задач должны изучаться и оцениваться именно с точки зрения локализации особенностей. А сами задачи такого рода должны рассматриваться как самостоятельный класс некорректно поставленных проблем, относительно которых можно утверждать следующее:
— в классической и неклассической спектроскопии, астрономии, био
логии, медицине, технике, картографии, навигации и других областях
встречаются задачи, где необходимо гарантированно локализовать осо
бенности; кроме того, возникает проблема, отсутствующая в классиче
ской теории некорректных задач — проблема разделения близких осо
бенностей; при этом методы локализации необходимо исследовать как
на точность локализации, так и на способность разделять близкие осо
бенности;
методы локализации особенностей могут использоваться как составная часть при решении других задач: восстановления негладких решений, идентификации параметров в ядре интегрального уравнения и других приложениях;
для гарантированной работоспособности методов локализации необходима неклассическая (не используемая в классической теории) априорная информация об особенностях, которая встречается на практике.
В прикладных исследованиях различные элементы постановки проблемы именно с точки зрения локализации особенностей встречаются
достаточно часто. В то же время многие теоретические вопросы по этой проблематике изучены недостаточно, особенно это касается детерминированной постановки. Поэтому направление исследований настоящей диссертационной работы по конструированию и исследованию регулярных методов локализации особенностей является актуальным.
Приведем краткий обзор основных подходов к построению и исследованию методов локализации особенностей.
Первые работы по этой тематике были выполнены в спектроскопии. Уравнение
/
+оо
K(t - s)x(s)ds = y(t), t Є (-оо,+оо), (1)
связывающее истинный спектральный профиль х и наблюдаемый профиль у , было выписано лордом Релеєм [4] в конце XIX века. Здесь K{t) — известная функция. Для многих материалов искомое решение представимо в виде
x(s) = J2Ak-S(s-sk). (2)
k=i
Заметим, что в некоторых задачах функция х может дополнительно содержать гладкую составляющую. Лорд Релей для случая точно заданного наблюдаемого профиля у и распределения Гаусса K(t) предложил определять Sk по правой части у . При этом им было замечено, что, если Sk достаточно близко к Si при к ^ і, то гауссовы формы в правой части у практически не разделяются. В этом случае велика вероятность неправильного определения числа /. Точность определения положений Sk и Si при этом резко падает. Лорд Рэлей предложил критерий разделимости двух одинаковых по величине спектральных линий (-функций). Для улучшения ситуации с разделением близких спектральных линий в работах Релея и Шустера были построены итерационные алгоритмы решения уравнения (1), которые в отсутствии погрешностей позволяют разделить пики, не разделяющиеся по правой части. Однако наличие возмущений в задании наблюдаемого профиля у ограничивает точность, с которой любой метод может разделить близкие спектральные линии. В работах В.П. Козлова [1,2] для статистических погрешностей в задании у
было введено понятие разрешающая способность прибора и предложена методика ее вычисления. Это был, вероятно, первый строго обоснованный теоретический результат в этой тематике. Изучением разрешающей способности прибора для интегральных уравнений первого рода в детерминированной постановке занимались А.В. Гончарский, А.С. Леонов, А.Г. Ягола (1973 г.). Детерминированный аналог этого понятия для рассматриваемых в диссертации задач — порог разделимости задачи — был введен А.Л.Агеевым [10].
В дальнейшем задачи локализации особенностей функций одной переменной возникали в классической и нсклассичсской спектроскопии (5 -функции), медицине ((5-функции и разрывы первого рода), технике и других областях. Для функций двух переменных задача определения положения и разделения близких 5 -функций решалась в астрономии; необходимость локализовать 5 -функции и линии разрыва возникала при обработке изображений, в частности, в картографии и навигации.
По локализации разрывов первого рода функции одной переменной, зашумленной статистическим шумом (задача о "разладке"), опубликовано большое количество работ. В нашей стране эта тематика активно развивается начиная с 60-х годов прошлого столетия. Для решения этой задачи используются различные методы, в том числе методы усреднения, для которых получены вероятностные оценки точности локализации. Из всего разнообразия публикаций, остановимся на работе [3] (см. также [7]), которая наиболее близка нашему подходу. В [3] для липшицевого класса функций с разрывами первого рода предложен метод, оптимальный по порядку точности локализации. В работах [3,7] оценки получены при условии mmk^i{\sk — Si\ ~>h}, где h>0 —константа, Sk —положения разрывов, и условие на близость особенностей (разрывов) не зависит от уровня шума, то есть понятие порога разделимости не вводилось.
Построению и исследованию методов усреднения для локализации особенностей зашумленной функции одной переменной в детерминированной постановке посвящена первая глава диссертации.
Необходимость решать уравнение (1) на классе (2) возникает во многих областях, и в литературе предложено большое количество алгоритмов решения данной задачи. Для определения числа особенностей / и начальных приближений к точкам Sk при решении уравнения (1) на
классе (2) часто предлагается использовать методы классической теории некорректно поставленных задач, например, решать уравнение (1) методом Тихонова. Поскольку регуляризованное решение в этом случае является суммой пиков, то, задавая величину порога P, подбирая параметр регуляризации и оценивая количество пиков l, можно в качестве приближения к величинам sk выбирать точки, в которых регуляризованное решение достигает локального максимума (и больше порога P). Заметим, что в диссертационной работе в главе 2 построены специальные методы регуляризации, для которых удаётся обосновать такой способ действий для уравнения типа свертки (1).
В литературе, посвященной прикладным задачам, предложено большое количество других подходов к построению методов локализации особенностей (в том числе и более общего вида, чем рассмотрено в настоящей работе), но эти методы, насколько известно автору, не исследованы на устойчивость к шуму, то есть с точки зрения численного анализа полностью не обоснованы.
Особую актуальность задачи локализации особенностей приобретают для функции двух переменных в связи с проблемой обработки изображений. В литературе предложено большое количество практических алгоритмов, позволяющих локализовать особенности и определять области, в которых особенностей нет. В третьей главе настоящей работы, по-видимому впервые, теоретически исследованы методы усреднения локализации линий разрывов зашумлснной функции двух переменных (выписана априорная информация на точную функцию и получены оценки точности локализации).
Отметим цикл работ по расшифровке атомной структуры радиоактивных комплексов методом EXAFS [5,15,27]. В этих работах решалась система интегральных уравнений Фредгольма первого рода общего вида (не типа свертки) на классе функций (2). Для локализации особенностей использовался эвристический алгоритм {метод разделяющих функционалов) , который строился на основе вариационного метода Тихонова для сопряженного оператора к оператору задачи (подробнее см. 1 главы 5).
Как уже было сказано выше, при решении некоторых задач методы локализации используются в качестве промежуточного этапа. Остановимся на двух классах задач, в которых вопрос о локализации особен-
ностей не ставится, но для их решения нужно получить приближение положений особенностей с оценкой точности локализации.
Опишем первый класс такого рода задач. При восстановлении функции с особенностями в случае, когда известны приближения к положениям особенностей с оценками точности локализации, можно улучшить оценки точности аппроксимации точного решения регуляризован-ным. Например, в [7] для задачи восстановления зашумленной функции с конечным числом разрывов первого рода в статистической постановке показано, что для функции с конечным числом изолированных точек разрыва можно получить такие же вероятностные оценки точности аппроксимации, как и для непрерывной функции, если вычислить приближения к точкам разрыва с хорошей точностью. В работе [18] в детерминированной постановке при восстановлении зашумленной функции и решении интегрального уравнения типа свертки на классах функций с особенностями для исключения эффекта типа Гиббса использовалось приближение положений особенностей, полученное методом локализации. Учитывая оценки точности локализации для приближённых положений особенностей sk, в этих работах получена равномерная оценка близости регуляризованного решения к точной функции на множестве R\ (u[(s6k — (B(6))~p,s6k + (В(5))~р)), где параметр регуляризации В = В(5) —> оо при 5 —> 0, число р > 0 зависит от задачи.
Перейдем к описанию второго класса задач. Рассмотрим интегральное уравнение первого рода с оператором типа свертки, который нелинейно зависит от числового параметра а
/
оо K{t — s,a) x(s) ds = y(t), t
При каждом фиксированном а оператор А действует из L^ = L^—oo,+oo) в L^. Вместо точной правой части у задана приближенная правая часть у6 : \\у — у6\\ь2 < $ Требуется по у6 и уровню погрешности 5 одновременно определить пару {<7*,ж*}. Нетрудно привести пример, когда на всем пространстве L^ без дополнительной априорной информации это невозможно.
Тем не менее, оказывается, что решение вышеприведённой задачи возможно на классах функций с особенностями, например, разрывами пер-
вого рода. В диссертационной работе обсуждается только задача определения (уточнения) параметра а* при 5 —> 0 поскольку методы решения интегрального уравнения первого рода при известном а* хорошо разработаны. Назовем эту проблему задачей идентификации параметра.
Насколько известно автору, первые теоретические результаты по идентификации параметра получены в работах [16,17,19,23]. В первых двух работах [16, 23] положения особенностей считались известными. В работах [17,19] положения особенностей определялись конкретным методом локализации. В диссертационной работе в главе 4 удалось развить и упростить предложенную ранее в работах [16,17,19,23] методику. Позже появилась оригинальная работа [6], в которой в статистической постановке рассматривается задача определения параметра а* в ядре двумерного уравнения типа свертки с двумерным гауссовым ядром.
Цель работы. Для неустойчивых проблем локализации особенностей функции одной или двух переменных построить новые регулярные методы локализации. На классах функций с особенностями изучить предложенные методы как с точки зрения точности локализации, так и с точки зрения способности разделять близкие особенности. Разработать методику получения оценок точности и разделимости как сверху, так и снизу. Ввести понятие оптимальных (оптимальных по порядку) методов и исследовать предложенные методы на оптимальность. Построить и обосновать новые методы идентификации параметра в ядре оператора типа (3).
Методы исследования. В работе используются методы математического анализа, теории некорректно поставленных задач, теории приближения функций и теории обобщенных функций.
Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми. Основные результаты состоят в следующем:
— введены множества обобщенных функций MV, МС} MW}m =
1, 2,1 <р < оо, одной переменной с не более чем счётным числом особен
ностей и условиями гладкости вне особенностей, для которых аналити
чески описаны эффекты типа Гиббса при использовании методов усред
нения, то есть получено основное разложение вспомогательной функции;
— предложены множества 1, 1, 2, 2', F1, F2 масштабируемых
усредняющих функций, каждая из которых порождает метод локализации особенностей;
рассмотрены четыре неустойчивых задачи локализации конечного числа особенностей зашумленной функции одной переменной; предложен новый принцип выбора параметра регуляризации Л, для которого получены оценки сверху точности локализации; введена важная характеристика метода локализации — порог разделимости метода и получены его оценки сверху; для тех же задач и тех же методов в случае счётного числа особенностей для особенностей с большой величиной скачка получены оценки сверху точности локализации и порога разделимости (при дополнительных условиях на особенности с малой величиной скачка);
для упомянутых выше задач получены оценки снизу для оптимальной точности локализации и порога разделимости задачи, что для предложенного выбора параметра регуляризации позволяет утверждать оптимальность по порядку построенных методов одновременно по точности и по разделимости на классах функций с особенностями;
для интегральных уравнений первого рода типа свертки рассмотрено две задачи локализации особенностей решения этого уравнения; предложен подход (решение сопряженного уравнения), позволяющий построить вспомогательную функцию и получить для неё основное разложение; для указанных задач построены методы локализации с оценками сверху точности локализации и порога разделимости; также получены оценки снизу для оптимальной точности локализации и порога разделимости; для уравнения первого рода со ступенчатым ядром построен метод локализации, для которого удалось доказать оптимальность по порядку точности локализации и порога разделимости;
для приближенно заданной функции двух переменных рассмотрено две задачи локализации линий разрыва в различных функциональных пространствах; для этих задач построены регулярные методы усреднения локализации линий разрыва и получены оценки сверху точности локализации и порога разделимости;
найден класс интегральных уравнений первого рода, содержащих параметр в ядре оператора, для которых возможна однозначная идентификация параметра на классе функций с особенностями; построен регулярный итерационный процесс идентификации параметра для функций
из этого класса;
— для прикладной задачи обработки EXAFS-данных с целью расшифровки атомной структуры химических комплексов выполнен полный цикл работ по методу разделяющих функционалов, включая программную реализацию, отработку методики и проведение модельных расчетов для соединений никеля и урана.
Теоретическая и практическая значимость. Первые четыре главы посвящены конструированию и исследованию методов локализации и носят теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в теоретических работах при дальнейших исследованиях по этой тематике. Некоторые теоретические результаты, полученные в этих главах (выбор параметра регуляризации, оценки снизу точности и разделимости и т.д.), имеют практическую значимость. Результаты пятой главы имеют прикладной характер и находят применение при расшифровке атомной структуры химических комплексов.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [8-27].
Апробация. Результаты диссертации докладывались на
— Всероссийских конференциях "Алгоритмический анализ неустойчи
вых задач" (Екатеринбург, 2001, 2008, 2011 гг.);
— Международной конференции "Теория приближения функций и
операторов" , посвященной 80-летию со дня рождения СБ. Стечкина
(Екатеринбург, 2000 г.);
летних научных Школах СБ. Стечкина по теории функций (Миасс, 2000, 2001, 2002, 2006, 2008, 2010, 2011, 2013 гг.; Алексин, 2007 г.);
Международной конференции "Теория приближения", посвященной 90-летию со дня рождения СБ. Стечкина (Москва, 2010 г.);
Международной конференции "Обратные и некорректные задачи математической физики" (Новосибирск, 2012 г.);
4-ой Международной конференции "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования" (Москва, 2013 г.);
семинарах член-корреспондента РАН В.В. Васина по обратным и некорректным задачам в ИММ УрО РАН (1997-2013 гг.).
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы. Главы разбиты на параграфы. Общий объем работы — 207 страниц. Список литературы содержит 122 наименования.
Постановка задач локализации особенностей и основное разложение вспомогательной функции
Работа посвящена конструированию и исследованию методов решения неустойчивых задач локализации особенностей функции одного или двух переменных. Изучены методы усреднения, для которых удается аналитически описать эффекты типа Гиббса, возникающие в окрестности особенностей. Это аналитическое описание, в частности, позволяет исследовать сходимость и получить оценки точности методов.
Одним из центральных понятий, используемых для классификации задач математической физики, является понятие корректности. Задача называется корректно поставленной по Ж.Адамару, если выполнены следующие условия:
1) решение существует для всех входных данных;
2) решение единственно;
3) решение непрерывно зависит от данных в некоторой разумной топологии.
Задачи, не удовлетворяющие хотя бы одному условию, называются некорректно поставленными (или некорректными). Поскольку такого рода задачи описывают многие процессы и явления в науке, технике и естествознании, то естественно пытаться построить методы решения задач, не удовлетворяющих условиям 1)-3). При этом наиболее сложной является ситуация, когда рассматриваемая задача не удовлетворяет условию 3). В этом случае решение, полученное классическими методами с данными близкими к точным, может как угодно сильно отличаться от точного (искомого) решения.
Развитие теории некорректно поставленных (неустойчивых) задач началось с основополагающих работ А.Н. Тихонова, В.К. Иванова, М.М. Лаврентьева, в которых был предложен подход — метод регуляризации, позволяющий эффективно решать некорректно поставленные задачи. Среди авторов, внесших значительный вклад на этапе становления теории, необходимо упомянуть D.L. Phillips [113], R. Lattes и J.-L. Lions [57].
В дальнейшем существенный вклад в развитие теории некорректно поставленных задач также внесли А.Л. Агеев, Ю.Е. Аниконов, А.С. Апар-цин, А.Б. Бакушинский, Ф.П. Васильев, В.В. Васин, А.Ю. Веретенников, В.Б. Гласко, А.В. Гончарский, А.И. Гребенников, A.M. Денисов, СИ. Ка-банихин, А.И. Короткий, А.С. Леонов, В.И. Максимов, И.В. Мельникова, Л.Д. Менехис, В.А. Морозов, В.Г. Романов, И.П. Рязанцева, В.В. Степанов, В.Н. Страхов, В.П. Танана, Г.В. Хромова, СП. Шишатский, А.Г. Ягола, С Vainikko, М. Hanke, A. Neubauer, О. Scherzer, С Wahba и многие другие математики. Изложение теории и ссылки на литературу можно найти, например: по методам регуляризации для решения уравнений первого рода в [21,43,57,62,78,83-85,119], для обратных коэффициентных задач в [56,70]. В дальнейшем были также глубоко изучены некорректные вариационные проблемы [29], несобственные задачи выпуклого программирования [37,74], динамическая регуляризация [49,50,65,66,111] и другие постановки некорректно поставленных задач.
В классической теории решения некорректно поставленных задач важным направлением исследований является построение специальных регу-ляризирующих алгоритмов в случае, когда искомое решение не является гладким. Негладкое решение для функций одной переменной, в частности, может иметь особенности типа 5 -функций, разрывов 1-го рода или изломов(разрывов производной); для функций двух переменных (изображений) решение часто содержит линии разрыва, то есть линии, в каждой точке которых функция терпит разрыв. В этом случае важным является сохранение "тонкой структуры" [51] и отсутствие "заглаживания" решения. В настоящее время по этому направлению выполнено большое число работ, в том числе и теоретических. Останавливаясь только на теоретических работах, необходимо упомянуть статьи [58,59,94,118], в которых констру ировались и исследовались эффективные методы решения многомерных некорректно поставленных задач в пространствах функций ограниченной вариации, решения которых, в частности, могут содержать линии разрыва. Также отметим статьи А.Г. Яголы и других авторов (см., например, [23]), в которых решались одномерные и двумерные интегральные уравнения первого рода с гауссовым ядром на классах, содержащих -функции. Однако необходимо заметить, что классическая теория некорректных задач дает обоснование восстановлению функций, а не локализации их особенностей. Анализ литературы, опыта прикладных [9,10,38,98] и теоретических исследований, выполненных в Институте математики и механики УрО РАН, позволяет утверждать, что существует достаточно много прикладных задач, для которых решение состоит в определении положений особенностей, и поэтому методы решения таких задач должны изучаться и оцениваться именно с точки зрения локализации особенностей. А сами задачи такого рода должны рассматриваться как самостоятельный класс [4] некорректно поставленных проблем, относительно которых можно утверждать следующее:
— в классической и неклассической спектроскопии, астрономии, биологии, медицине, технике, картографии, навигации и других областях встречаются задачи, где необходимо гарантированно локализовать особенности; кроме того, возникает проблема, отсутствующая в классической теории некорректных задач — проблема разделения близких особенностей; при этом методы локализации необходимо исследовать как на точность локализации, так и на способность разделять близкие особенности;
— методы локализации особенностей могут использоваться как составная часть при решении других задач: восстановления негладких решений, идентификации параметров в ядре интегрального уравнения и других приложениях;
— для гарантированной работоспособности методов локализации необхо дима неклассическая (не используемая в классической теории) дополнительная априорная информация об особенностях, которая встречается на практике.
В прикладных исследованиях различные элементы постановки проблемы именно с точки зрения локализации особенностей встречаются достаточно часто. Ограничимся тремя примерами. В [79] на стр.167 для задач спектроскопии в связи с проблемой разделения близких особенностей сказано: "Прежде всего хотелось бы знать, от каких факторов зависит степень восстановления мелких деталей, существует ли естественный предел достижимого разрешения и чему равен этот предел в типичных условиях, если он действительно существует". В [34] на стр. 150-153 обсуждается проблема разделения близких пиков в связи с задачей радиоастрономии для случая конечного числа точечных источников. В статье [35] на инженерном уровне проводится интересное различие при определении линий разрыва на изображении: "визуализация разрывов", когда линии разрывов нужно восстановить качественно, и "идентификация разрывов", когда необходимо обеспечить их локализацию, то есть гарантировать надежность определения положения с оценкой точности восстановления.
В то же время многие теоретические вопросы по этой проблематике изучены недостаточно, особенно это касается детерминированной постановки. Поэтому направление исследований настоящей диссертационной работы по конструированию и исследованию регулярных методов локализации особенностей является актуальным.
Построение и исследование методов локализации для функции со счетным числом особенностей
В настоящем параграфе приведены методы локализации особенностей зашумленной функции для задач I-IV в случае, когда точная функция имеет счетное число особенностей (см. 1.2). Для построения метода локализации в этом случае необходимы дополнительные условия. Пусть у функции х имеется / особенностей с "большой" по модулю величиной Д&, к = 1,2,...,/, а остальные особенности имеют "маленькие" по модулю величины Д&. Без ограничения общности можно считать, что первые / особенностей занумерованы по возрастанию Sk так, что Sk s« для к і. При этих условиях будут построены методы, позволяющие локализовать (аппроксимировать) положение s&, к = 1, 2,..., /, по приближенно заданной функции. Как и в 1.3, нам должна быть известна оценка снизу для первых / величин скачков и дополнительная априорная информация о количестве "больших" особенностей и оценка сверху для первых / величин скачков:
(2) задано число Amin 0 такие, что min{ Ак\: к = 1, 2,..., /} Amin;
(3) заданы L 0 и Аmах 0 такие, что 0 / L и max{Afc: к = 1,2,--- ,/} Аmах.
Как уже было сказано выше, для случая счетного числа особенностей необходимо дополнительное условие. Новое условие касается особенностей с "маленькими" по модулю величинами скачка. Можно сформулировать несколько вариантов этого условия, для которых решается данная задача. Рассмотрим два варианта.
Это наиболее простое условие. В этом случае методы и формулировки теорем аналогичны соответствующим методам и теоремам для случая конечного числа особенностей в 1.3. Некоторое увеличение констант позволило упростить метод.
Договоримся усредняющие функции выбирать из множества Ф1, ФП или Ф1 . (Для усредняющих функций из множеств Ф2 , Ф2і и Ф2 результаты получаются аналогично.) Сначала сформулируем и докажем теоремы сходимости при условии, что для вспомогательной функции Жд справедливо разложение (1.2.3) с оценками (1.2.4) без привязки к конкретной задаче. Аппроксимацию особенностей будем проводить в два этапа. На первом этапе определим число т , относительно которого будет доказано, что т = /, и выделим непересекающиеся отрезки [а&,&&], к = 1,2,- , т, содержащие точки Sk . На втором этапе найдем приближения sk Є [ak,bk] точек Sk , для которых будут получены оценки точности аппроксимации. Введем параметр Р = Amm/2. Метод в своей работе также использует параметры Л и h , которые будут определены позже.
Метод П . Пусть по функции х вычислена вспомогательная функция \х6х\ . Положим текущее s := —d — h, т := 0 .
Шаг метода: если уравнение \xsx(s)\—P = О на отрезке [s, d] не имеет корней, то завершаем процесс; иначе левый корень обозначим s и положим т :=т + 1, ат :=s}bm :=s + /i/3, s := bm + h/3 и повторяем шаг.
Amm(a-27) \ 8LAmax J v В следующих трех теоремах получены результаты локализации особенностей для разных множеств усредняющих функций, т.е. для разных ме тодов локализации, при условии, что для функции хх справедливо разложение (1.2.3) с оценками (1.2.4).
Теорема 1.5.1. Пусть для функции хх имеет место разложение (1.2.3) с оценками (1.2.4) ; функция ф Є Ф1; для функции х выполнены условия (1)—(3), (2 ). Пусть константы D}5o}H заданы равенствами (1.5.1) ; (1.5.2) при а = 1 . Тогда для всех 5 5о при связи параметров Х(5) = D5llv и выполнении неравенства min \,Sk — S{\ h(5) , где h(5) =
Дальнейшее доказательство для простоты изложения проведем при 1 = 2, т.е. метод П должен сделать два шага и на каждом шаге выделить интервал, содержащий одну точку Sk . Для произвольного / доказательство проводится аналогично, при этом метод П должен сделать / шагов. Напомним, что мы рассматриваем задачу на множестве функций x(s) , для которых S2 — S\ h(5).
Ввиду оценок (1.5.7), (1.5.8) и непрерывности функции \х\\ , в методе П найдется точка s такая, что жд($) = Р . Поскольку S\ S2 , то \s — S\\ НХ. Из (1.5.7) следует, что a (si) Р. Значит si s. Следовательно, Si принадлежит отрезку [s, s + HX] = [a\, b\] . Рассмотрим отрезок \b\+HX,d\. Он не содержит точек s : \s—S\\ HX. С другой стороны, так как S2 — S\ ЗНХ , то Ъ\ + HX S2 — НХ. Следовательно, самый левый корень s уравнения жд(з) — Р = 0 на отрезке \b\ + HX,d\ строго меньше S2- В силу (1.5.7) точка S2 принадлежит отрезку [s, s + ЯЛ] = [а2, &2І Отрезки [аі, &і], [а,2, &2І разделяются, так как а.2 — Ь\ НХ 0 . Рассмотрим отрезок [&2 + HX,d]. Ясно, что он не содержит точек множества Q, и, следовательно, уравнение жд(з) — Р = 0 на этом отрезке не имеет корней. Таким образом, т = 2, и процесс завершен. Поскольку для всех точек s Є [ah, bk]i к = 1,2, имеем оценку s — Sk\ НХ, то для середины отрезков справедлива оценка \sk — Sk\ (Н/2)Х. Теорема доказана. П Рассмотрим случай, когда вспомогательная функция х6х построена с помощью усредняющей функции ф из множества ФП . При этом в разложении (1.5.5) отсутствует последнее слагаемое, что улучшает оценки как по точности, так и по разделимости (в теореме можно взять лучшую функцию h(5)). Кроме того, во всех константах отсутствует величины Дтах и L, что дает существенно лучший результат в случае, когда Дтах Дтт и (или) L — большое число (т.е. не нужно условие (3)).
Оценки снизу точности и разделимости; оптимальность методов
В настоящем параграфе получены оценки снизу для точности приближения положений особенностей и порога разделимости для рассматриваемых в этой главе задач. Введем дополнительное условие на функцию с особенностями:
(4) задано число h 0 такое, что min \sk — Sj\ h. Обозначим через классы функций 9Jfy,9Jty/ и VJlvu , удовлетворяющих условию (4). Определение 2.3.1. Методом локализации П называется отображение, которое по функции у6 и уровню погрешности 5 определяет число I и величины {sf}i, аппроксимирующие положения особенностей {sk}[.
На примере задачи V приведем определения оптимальной точности локализации особенностей и порога разделимости. А затем дадим определения оптимальности (оптимальности по порядку) и Р-оптимальности (Р-оптимальности по порядку) аналогичные определениям предыдущей главы. Чтобы получить соответствующее определение для других задач, необходимо заменить в определении классы 9Лу, ffl. v на соответствующий класс функций с особенностями.
Для произвольного метода П точность восстановления особенностей на классе ffl-у определяется величиной
Определение 2.3.2. Величину т(Mу,6) = m_inr(My, П, 5) назовем оптимальной точностью локализации особенностей на классе M v (минимум берется по всем методам локализации разрывов). Метод П назовем оптимальным (оптимальным по порядку) на классе M v , если т(Mу,6) = т(Mу,П,) (существует константа R 1 такая, что т{Mу,П,д) R{M V,6)).
Определение 2.3.3. Наименьшая функция /г(Mу,П, 5), которую можно поставить в условие разделимости minsfc — Sj\ /г(Mу,П,), так чтобы метод П позволял локализовать особенности, называется порогом разделимости метода П на классе функций Mу / порогом разделимости задачи V на классе функций Mу называется функция h(Mv}S) = где минимум берется по всем методам локализации _п
П. Метод П назовем Р-оптимальным (Р-оптимальным по порядку) на классе Mу, если h(Mv}S) = /г(Mу,П,) (существует константа R 1 такая, что h(My} П, 5) R /г(Mу, ) ).
Изложим основную идею получения оценок снизу для оптимальной точности восстановления особенностей в задаче V. Возьмем функцию x(s) Є Mу, имеющую особенность в точке si . Подберем такое As и функции х± Є Mу с особенностями в точках Si±As , что Лж±—Лж 2 = 5. Пусть х — решение задачи V, соответствующее приближенно заданной правой части, а в качестве точной функции можно взять две функции х±. Зафиксируем метод локализации П, который дает приближение si для si±As. Следовательно, справедливо неравенство т(M, П, 5) As. Поскольку метод П произвольный, то эта же оценка справедлива для f (M, 5).
Теперь изложим основную идею получения оценок снизу для порога разделимости в задаче V. Возьмем функцию Х\ Є Mу, имеющую особенность в точке s\, и функцию X2(s) Є My с особенностями в точках s2, s22 , причем \\Ах\ — Ах2І\ь2 = $ (точки s2, s22 должны быть близки друг к другу и к точке s\). Зафиксируем метод П, которому соответствует порог разделимости /г(Mу,П,) . Пусть по функции Х\ для уровня погрешности 5 метод определит количество разрывов 1\ . Поскольку в качестве точной и приближенной функций можно взять функцию Х\ , то должно быть 1\ = 1. С другой стороны, в качестве точной можно рассматривать функцию Х2, а в качестве приближенной функции — функцию Х\. Значит, для функции Х2 условие разделимости должно нарушаться, то есть справедливо неравенство /г(Mу,П,) \s{ — s?2\- Поскольку метод П произвольный, то это неравенство должно выполняться для порога разделимости задачи К{Mу,6).
В следующих теоремах получены оценки при разных условиях на ядро К уравнения (2.1.1). Пусть для ядра уравнения (2.1.1) выполнено следующее условие:
Локализация линий разрыва функций двух переменных для счетного числа особенностей
Локальная атомная структура материалов опи о сывает взаимное расположение атомов в масштабах примерно до 5 — 6 А (Ангстрем) (как синоним употребляется термин ближний порядок). Одним из наиболее сложных этапов расшифровки структуры является решение интегрального уравнения (системы интегральных уравнений) первого рода с целью определения функции (функций) радиального распределения атомов (ФРРА). Определение ФРРА по экспериментальным данным представляет типичный пример некорректно поставленной задачи [43,83,119]. Регуляризирующие алгоритмы решения систем уравнений первого рода, возникающих в структурных исследованиях материалов, строились во многих работах (например, см. [102,105,108,121]).
Функция радиального распределения атомов g(r), определенная для г 0, описывает локальную атомную структуру материалов. А именно, для однокомпонентного материала плотности ро величина 4жр г2д(г) выражает плотность математического ожидания числа атомов, находящихся на расстоянии г от центрального атома. Классическая априорная информация о решении, вытекающая из физического смысла ФРРА, такова
1) д(г) является непрерывно-дифференцируемой функцией, г 0;
2) д(г) = 0 для 0 г а,а = 2 А;
3) д(г) 0 при всех значениях 0 г оо.
Рассмотрим метод Extending X— ray Absorption Fine Structure (EXAFS) для однокомпонентного материала. Метод состоит [116] в измерении коэффициента поглощения пучка монохроматических рентгеновских лучей как функции энергии излучения Е. В некотором интервале энергий коэффициент поглощения Т](Е) начинает зависеть не только от сорта поглощающих атомов, но и от их взаимного расположения. После предварительной обработки и перехода из шкалы энергий Е в шкалу волнового вектора s удается выделить функцию x(s), непосредственно связанную с искомой ФРРА следующим уравнением:
Здесь s Є [c}d}} a}b — известные числа; f(s,r) (амплитуда обратного рассеяния), ifj(s}r) (фаза обратного рассеяния) и A(s) (длина свободного пробега электрона) — известные функции; ро (плотность материала) — известная константа; s (модуль волнового вектора) — переменная, связанная с энергией Е . Пределы [с, d] определяются как условиями эксперимента, так и возможностями теории. Функция x(s) называется нормированной осциллирующей частью и получается из экспериментально измеренного спектра после его предварительной обработки.
В случае бинарного материала (два сорта атомов А и В ) ближний порядок описывается четырьмя ФРРА QAA-, 9АВ, ЯВА-, 9ВВ, Две из которых совпадают (JAB = 9 в А- Таким образом, определению подлежат три функции. Величина 4:7іроСіГ2дАв(г) есть плотность математического ожидания числа атомов сорта В , находящихся на расстоянии г от центрального атома сорта А (с\ — концентрация элемента А в образце).
Для тернарных материалов необходимо определять, вообще говоря, шесть ФРРА, но на практике часть ФРРА может в интегральном уравнении отсутствовать. В частности, в этом разделе обсуждается задача определения трех ФРРА gj, j = 1,2,3, по одному EXAFS-эксперименту для тернарного образца. То есть по одному интегральному уравнению первого рода необходимо определить три функции, описывающие структуру материала.
Основное EXAFS-уравнение имеет вид где каждый из операторов А,- аналогичен оператору из (5.1.1) и действует из L l(aj bj) в L2[c,d] ; x(s) известная функция; вектор д= (ді,д2,9з)Т — состоит из трех искомых функций, а вектор-оператор А = (А\, А 2, А%)т введен для краткости записи.
Дополнительная априорная информация и идея общей схемы обработки EXAFS-данных. Для широкого класса материалов ФРРА имеют весьма специфический вид: они являются суммой небольшого числа узких длинных 5 -образных пиков, которые тем уже, чем при более низкой температуре происходит исследование образца (типичный пример трёх ФРРА приведен на рис. 5.1.1). Примером такого рода объектов могут служить химические соединения, образующие кристаллы. Для определения взаимного расположения атомов в материалах с кристаллической структурой применяются классические дифракционные методы.
Нас будет интересовать ситуация, когда атомы исследуемого материала образуют кластеры (группы атомов с одним и тем же взаимным расположением атомов в этой группе). В то же время взаимное расположение кластеров может быть неупорядочено (в последнем случае трансляционная инвариантность в расположении атомов отсутствует, и, следовательно, классические дифракционные методы для расшифровки структуры материала не применимы). Однако с точки зрения ближнего порядка такие материалы хорошо упорядочены и в масштабах примерно до 5 Л (Ангстрем) определены несколько координационных сфер (т.е. искомые ФРРА являются суммой (5-образных пиков).
На первом этапе решения уравнения (5.1.2) будем считать, что истинные где Mj, j = 1,2,3, — положительные целые числа — неизвестны, но о них известно, что они невелики; величины rj, і = 1, 2, , Mj, j = 1, 2,3, — положение і -й координационной сферы (максимум пиков) функции Qj] величины А пропорциональны площади под і -м пиком у искомой функции Qj. Также предполагается, что нам известна константа
В настоящей работе рассматривается случай, когда материал таков, что константа h достаточно велика (у ФРРА отсутствуют близкие пики). Не для всех материалов это так, но мы считаем, что условие (5.1.4) выполняется. Только в этом случае можно надеяться на эффективность варианта метода разделяющих функционалов, описанного ниже. Заметим, что уравнение (5.1.2) не является уравнением типа свертки, и поэтому теория, построенная в главе 2, неприменима.
На нулевом шаге в качестве приближения предлагается использовать рс-гуляризованное решение вариационным методом Тихонова со стабилизатором, использующим вложение в соболевские пространства W CLj bj), j =
Практический опыт решения уравнения (5.1.2) этим методом показывает [103,122], что у решения (gf ,д%, д%) , полученного методом Тихонова, положение "истинных" пиков практически сохраняется. К сожалению, наряду с "истинными" пиками у регуляризованного решения возникают довольно интенсивные "ложные" пики (например, см. рис. 5.1.2). Для простоты записи будем считать, что в (5.1.3) входят "ложные" пики с соответствующим Aj = 0. Метод разделяющих функционалов, описанный ниже, заключается в оценке для каждого rj, і = 1, 2Mj, j = 1,2,3, величины соответствующего А\. Если оценка оказывается отрицательной или маленькой, то пик считается ложным и удаляется.
