Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Обзор работ и постановка задачи 28
1.1 Особенности развития локализации деформаций при квазиста тическом деформировании металлов и их связь с аномалиями вязкопластических свойств: обзор экспериментов 28
1.1.1 Сверхпластическое и родственные ему состояния при горячем деформировании металлов 28
1.1.2 Распространение очагов локализации деформации при холодном деформировании металлов 45
1.1.3 Оценка скорости распространения очага локализации деформации 53
1.1.4 О роли тепловых эффектов и температуры 55
1.1.5 Выводы, вытекающие из обзора экспериментов 57
1.2 Модели локализации деформации в материалах с существенной
зависимостью от скорости деформаций 60
1.2.1 Модели, основанные на механизмах сверхпластичности . 60
1.2.2 Модели, основанные на механизме динамического деформационного старения 63
1.2.3 Аналогии с моделями сухого трения и описание акустической эмиссии 76
1.2.4 Модели, основанные на других гипотезах 80
1.2.5 Проблема определения скорости распространения фронта локализации деформации 92
1.2.6 Выводы, вытекающие из обзора моделей 98
1.3 Принимаемые гипотезы и математическая формулировка задачи 100
ГЛАВА 2. Подход, основанный на соображениях устойчивости 107
2.1 Критерии устойчивости одноосного растяжения образца и их сравнение 107
2.2 Устойчивость в длинноволновом приближении для материалов с деформационным упрочнением 112
2.3 Устойчивость к произвольным малым возмущениям для материалов со скоростным упрочнением 121
2.4 Выводы по главе 131
ГЛАВА 3. Подход, основанный на слабо-нелинейной формулировке задачи 135
3.1 Особенности слабо-нелинейной формулировки задачи 135
3.2 Уравнения возмущений свободной границы 137
3.3 Решения в виде локализованных и распространяющихся шеек 143
3.4 Другие автомодельные решения 148
3.5 Медленная эволюция свободной границы 151
3.6 Выводы по главе 158
ГЛАВА 4. Подход, основанный на нелинейной форму лировке задачи 166
4.1 Запись уравнений в терминах функций тока и напряжения и их комплексификация 168
4.1.1 Уравнения Ильюшина 168
4.1.2 Запись уравнений в комплексных переменных 170
4.2 Запись уравнений в изостатических координатах 173
4.2.1 Формулировка задачи в изостатических координатах 173
4.2.2 Совместные поля при потенциальном течении 176
4.2.3 Ограничения на материальную функцию, вытекающие из уравнений равновесия в случае потенциального течения 179
4.2.4 Использование вариационных принципов конформных отображений 183
4.3 Запись двумерных уравнений в виде системы квазилинейных уравнений 184
4.4 Исследование двумерной системы алгебраическими методами 186
4.4.1 Групповая классификация уравнений по функции т() 186
4.4.2 Построение форм инвариантно-групповых решений, соответствующих материальной функции степенного вида 190
4.5 Формы инвариантно-групповых решений пространственных уравнений для материальной функции степенного вида 196
4.5.1 Запись пространственных уравнений в виде квазилинейной системы 196
4.5.2 Построение инвариантно-групповых решений 203
4.6 Выводы по главе 212
ГЛАВА 5. Исследование уравнений активной вязко-пластической среды 214
5.1 Вид функции т(), гарантирующий полную интегрируемость системы 214
5.2 Приведение системы (5.1) с функцией (5.7) к простейшему виду220
5.2.1 Расщепляемость уравнений в области гиперболичности как следствие вида функции (5.7) 220
5.2.2 Расщеп ляемость уравнений в области эллиптичности как следствие вида функции (5.7) 222
5.2.3 Приведение уравнений в области гиперболичности к простейшему виду 224
5.2.4 Приведение уравнений в области эллиптичности к простейшему виду 226
5.3 Скрытые симметрии системы (5.1), выделяемые функцией (5.7)229
5.4 Уравнения для компонент поля скорости перемещения в характеристических координатах в области гиперболичности 234
5.5 Численное решение уравнений 236
5.5.1 Численное решение уравнений равновесия и совместности236
5.5.2 Численное интегрирование поля скоростей 239
5.5.3 К постановке неклассических краевых задач 240
5.6 Решения типа Прандтля - Майера 242
5.6.1 Решения типа Прандтля - Майера в инвариантах 242
5.6.2 Распределения скоростей решений типа Прандтля - Майера 245
5.6.3 Анализ распределения скоростей решений типа Прандтля
- Майера 247
5.7 Особенности динамики автоволновой системы с функцией (5.7) 256
5.7.1 Вывод уравнений, соответствующих одномерной модели 256
5.7.2 Качественный анализ автосолитонных решений и определение скорости распространения 257
5.7.3 Количественные оценки параметров модели по экспериментальным данным 264
5.8 Выводы по главе 272
Заключение 275
Список литературы 281
- Распространение очагов локализации деформации при холодном деформировании металлов
- Устойчивость в длинноволновом приближении для материалов с деформационным упрочнением
- Решения в виде локализованных и распространяющихся шеек
- Ограничения на материальную функцию, вытекающие из уравнений равновесия в случае потенциального течения
Распространение очагов локализации деформации при холодном деформировании металлов
Нелокальность явлений развития и распространения локализации пластической деформации выводит их за рамки принципа образца [106], общепринятого в теории определяющих соотношений механики деформируемого твердого тела. Поэтому актуальной оказывается проблема поиска ограничений на модели пластичности, которые определяли бы качественные особенности отмеченных выше нелокальных явлений.
Определенные инструменты для этого может дать анализ простейших задач со свободными границами на основе соображений устойчивости, а также анализ этих задач в слабо-нелинейной формулировке. Устойчивость уже давно используется как инструмент классификации определяющих соотношений пластичности и вязкопластичности. В настоящей работе данному подходу посвящена отдельная глава — главным образом для того, чтобы свести все разрозненные результаты воедино и сформулировать некоторые выводы, направляющие ход дальнейшего оригинального исследования. Автомодельные формы свободных границ методами устойчивости определить невозможно, поэтому перспективными представляются методы возмущений, позволяющие получить слабо нелинейную формулировку задачи как более интересный и содержательный инструмент классификации определяющих уравнений вяз-копластичности.
Другую конструктивную идею относительно выделения определяющих соотношений вязкопластичности, отражающих нелокальные особенности поведения материала, могут дать соображения симметрии нелинейной системы уравнений механики сплошной среды (уравнений равновесия, определяющих уравнений, кинематических уравнений либо уравнений совместности). Одним из аргументов в пользу этой идеи является автомодельный характер промежуточно-асимптотического поведения явлений локализации пластической деформации в металлах с существенной зависимостью напряжения течения от скорости деформации. Под симметриями системы дифференциальных уравнений понимаются ее преобразования, осуществляемые конечными трансформациями в пространстве зависимых, независимых переменных и производных первых по вторым вплоть до некоторого порядка, не изменяющие эту систему. Данные симметрии образуют группу, каждой подгруппе которой соответствует определенное решение системы, инвариантное в этой подгруппе. С целью выделения частных моделей, расширяющих группу симметрии уравнений, существует метод групповой классификации уравнений по произвольным элементам, входящим в них [233]. Ситуации, которые позволяет обнаружить этот метод, интересны тем, что каждое расширение группы симметрии уравнений сопровождается появлением некоторого конечного или бесконечного числа новых инвариантно-групповых решений. Эта идея для уравнений динамики термовязкопластической среды была реализована в работах Э.А.Леоновой [199], [200], [201] с целью формулировки удобных для идентификации форм определяющих соотношений горячего деформирования металлов (в том числе сверхпластичности), для уравнений газовой динамики с произвольной функцией состояния газа Л.В.Овсянниковым [233], уравне ний теплопроводности с произвольными коэффициентом теплопроводности и источником Л.В.Овсянниковым [233] и В.А.Дородницыным [82], [62], для уравнений динамики вязкопластической среды В.О.Бытевым [8], [48]. В 1991 году Л.В.Овсянников сформулировал программу «Подмодели», в которой задумано составить полный перечень возможностей точного упрощения всех более-менее значимых математических моделей с использованием теоретико-группового подхода.
Классические среды: линейно-упругое твердое тело, линейно вязкая (ньютоновская) жидкость, идеально пластическое твердое тело, идеальный баротропный газ давно утвердились в механике сплошной среды во многом благодаря обилию частных решений соответствующих уравнений. Каждая из упомянутых выше моделей обеспечивает расширение группы симметрии некоторого более общего класса моделей (при этом линейным и точно линеаризуемым уравнениям отвечает бесконечномерное расширение группы симметрии). Интегрируемость уравнений механики классических и некоторых неклассических сред позволяет разобраться до конца во множестве научных и инженерных задач [162], [220], [38], [203], [201], [240], [103], [307], [36], [272], [15], [16], [13], [18], [217].
Нелинейные дифференциальные уравнения очень разнообразны, поэтому точно определить понятия их интегрируемости и их симметрии не представляется возможным. Однако опыт изучения частных видов нелинейных дифференциальных уравнений все-таки свидетельствует о наличии связи между этими понятиями [148], [352], [253], [182], [183], [48], [79], [148], [157], [158], [83], [182], [183], [199], [200], [201], [212], [213], [214], [233], [238], [341], [269], [345]. По этим соображениям для исследования уравнений в настоящей работе необходимо использовать не только универсальные методы классификации, основанные на соображениях симметрии, но также искать все частные виды произвольных элементов, обеспечивающие интегрируемость этих уравнений в том узком смысле, который они допускают. Необходимо заметить, что для нелинейных дифференциальных уравнений частные решения могут являться для решений задачи в некоторой окрестности начально-краевых условий [62], [253]. Поэтому та классификация, о которой говорилось выше, вероятно, несет в себе гораздо большее содержание, не сводящееся только к удобству аналитического или численного решения задач. Судя по всему, если физический процесс, описываемый моделью, ведет к трансформации произвольного элемента модели от одного его частного вида к другому среди множества произвольных элементов, расширяющих группу симметрии модели, соответствующее превращение решения задачи может трактоваться как фазовый переход, ведущий к смене не просто материальных симметрии [297], а скрытых симметрии. Пластические свойства металла являются результатом критических событий, в которых большую роль играют флуктуации. Поэтому можно предположить, что природа выбирает ближайшее поведение материала из запаса макрофеноменологиче-ских соотношений, выделяющих скрытые симметрии системы, описываемой дифференциальными уравнениями. То есть, по-видимому, можно предположить, что некоторые частные виды материальных функций также обладают притягивающим эффектом для тех материальных функций, которые отличаются от «идеальных» на некоторое возмущение, и, таким образом, подчиняют себе макроскопическое поведение системы.
Особенный интерес представляют состояния материала, выделяющие бесконечномерные группы симметрии уравнений. Такие исключительные состояния материала, максимально расширяющие группу симметрии нелинейных уравнений механики сплошной среды, сообщают системе максимальную свободу для достижения экстремума «функционалу диссипации»2 в деформируемом теле или некоторой его конечной части. Если материал оказы 2предполагается существование экстремального принципа, которому подчиняется диссипативный процесс в открытой диссипативной распределенной системе; ряд таких принципов в рамках некоторых условий устанавливаются в [84]. вается способен к адаптации, позволяющей подчинять локальное состояние материала существенно нелокальному экстремальному принципу, то такая адаптация способствует «притягиванию» поведения материала к указанным частным его видам. Данные интуитивные соображения оправдывают поиск частных состояний материала, расширяющих симметрию полевых уравнений.
В представляемой работе данная проблема решается для вязкопласти-ческих сред без памяти к предыстории деформирования в рамках квазистатических изотермических процессов и двумерной формулировки уравнений. Эти гипотезы выделяют материалы, чувствительные к скорости деформации, являющиеся предельным случаем довольно широкого класса вязкопластиче-ских сред, в которых наблюдаются нелинейные явления интересующего нас рода, и при определенной математической простоте соответствующих нелинейных уравнений принятые гипотезы оправдываются содержательными результатами решения данной задачи.
Устойчивость в длинноволновом приближении для материалов с деформационным упрочнением
Основополагающие результаты в области механики вязкопластических сред были получены А.А. Ильюшиным в 30-е годы прошлого столетия в его кандидатской диссертации «К вопросу о вязко-пластичном течении материала» и докторской диссертации «Деформация вязко-пластичного тела». Им был разработан подход к численному интегрированию нелинейных уравнений движения данных сред и исследованию устойчивости процессов их течения. Задача об одноосном растяжении вязкопластической полосы для среды Бингама, для которой т = т + 2/І при т т , являлась одной из задач, рассмотренных в качестве приложений теории [104]. В цитируемой работе также решена аналогичная задача для цилиндрического образца и задача растяжения «двухзонного» образца, состыкованного из цилиндров двух различных диаметров. Ильюшин использовал лагранжев текущий подход к описанию движения, в котором в качестве отсчетной принимается возмущаемая конфигурация тела. Основное движение полосы, ограниченной в рассматриваемый момент времени t =0 пространственным контуром прямоугольной формы шириной bo и длиной /о, есть ее одноосное однородное растяжение под действием однородно распределенной нормальной нагрузки, приложенной к концам полосы. Боковые стороны полосы есть свободные материальные границы. Пусть в рассматриваемый момент времени приложенной нагрузке отвечает скорость деформации о (в ходе основного процесса величина скорости деформации изменяется, т.е. = (),(0) = о)- При t 0 в основном процессе полуширина полосы изменяется по закону [104]
Схема нагружения и возмущения полосы. В момент времени t =0 на основной процесс накладывается симметричное относительно осевой линии полосы возмущение свободной границы ±2 &о( ) (рис. 2.1, ось х декартовой системы координат располагается вдоль оси растяжения, перпендикулярно ей располагается ось у; ввиду симметрии возмущения будет рассматриваться граница с координатой у = фо в начальный момент времени). Рассмотрим кинематику произвольной точки х свободной границы (аргумент х далее будет опускаться). Скорость этой точки в основном движении в момент времени t =0 при отсутствии возмущения есть а для точки с координатой bo + 5bo есть -(бо + 56о) о, т.е. отличается от первой на где Sv — соответствующая компонента возмущения скорости, вызванного возмущением границы, в рассматриваемой точке пространственного контура. Для нахождения Sv решают линеаризованные вблизи основного состояния полевые уравнения. При этом граничные условия также линеаризуют: на пространственный контур границы полосы в момент времени t =0 «сносят» граничные условия, учитывая возмущение поля нормали к границе. Из уравнений (2.1) и (2.3) можно определить соответствующую координату рас сматриваемой точки в произвольный момент времени после возмущения:
Данным отношением осуществляется параметризация, в соответствии с которой возмущение Sb(t) в некотором материальном сечении полосы для любого t 0 отображается в отсчетную конфигурацию, тем самым из движения границы полосы исключается основное движение, не вносящее вклада в возмущение скорости границы относительно отсчетной конфигурации.
Поэтому к Sv здесь добавляется составляющая (2.2). в ана Для того, чтобы экспериментально найти значение ( ттт- ) лизируемый на устойчивость момент времени t = О, необходимо замерить текущие диаметры образца в области шейки bo + Sbo и в области, не затронутой шейкообразованием, bo. Далее необходимо проделать то же через малый отрезок времени, получая соответственно &ДІ + &ДІ и b/±t- После этого можно найти отношения 5bo/bo и Sb t/bAt и составить из них конечно-разностное выражение для скорости изменения данной величины. Отнеся его к бЬо/Ьо, мы получим конечно-разностную аппроксимацию (2.10) (эквивалентную (2.9)).
Аналогичным образом можно вычислить конечно-разностную аппроксимацию текущей скорости изменения Sb(t), фигурирующей в критерии (2.11). Однако здесь необходимо заметить, что в этой скорости имеется составляющая, названная Дж. Хатчинсоном «конвективной» [395]. Материальные точки, находящиеся на разном удалении от оси растяжения, в ходе однородного растяжения полосы с прямолинейными сторонами (основного процесса) будут мгновенно сближаться по закону1 \Sb(i) = \8bo ехр(— t). Эта составляющая присутствует и в выражении (2.12). Поэтому кажется, что согласно критерию (2.11) несовершенство свободной границы будет разглаживаться, даже если Sv отсутствует или отрицательна, но не превосходит по модулю 2І о6) (хотя на самом деле так представляется процесс относительно возмущаемой конфигурации, а не пространства). Данная составляющая не зависит от материальных свойств, которые здесь диктуют знак возмущения скорости относительно знака возмущения свободной границы. Критерий (2.9), эквивалентный обычному гидродинамическому критерию (2.10), имеет преимущество перед (2.11) в том, что он позволяет выделить состояние испытуемого материала, переключающее знак Sv, то есть представляет собой более тонкий инструмент для исследования процесса.
В рамках рассмотрения малых возмущений произвольной формы, накладываемых на отрезок полосы конечных размеров, данные возмущения можно корректно представлять суммой счетного числа Фурье-гармоник. Рассмотрим отдельно задачу устойчивости по отношению к возмущению, однородному по продольной координате («длинноволновый предел»). В рамках данного приближения удается элементарно учесть влияние деформационного упрочнения материала на момент наступления потери устойчивости. Для данного предельного случая поставим задачу отдельно.
Рассмотрим сначала материал, для которого отсутствует зависимость напряжения от скорости деформаций. Пусть образец, находящийся в условиях плоского деформированного состояния, — прямоугольный отрезок полосы длиной / и шириной Ь в текущий момент времени подвергается однородному растяжению под действием силы Р. Пусть размеры образца в ненапряженном состоянии составляют соответственно ІоиЬо. Дополнительно примем, что материал несжимаем, т.е. lb = lobo- Рассматривая однородные возмущения конфигурации образца (т.е. длинноволновое приближение) в рассматриваемый момент времени при неизменной силе Р и обозначая символом а = Р/Ь — истинное напряжение, а «5» — разность значений поля в возмущенном и основном движениях, получим: 5Р = Ь5а + а5Ь = 0. Пусть для активного нагружения существует функция т(є), где є = ln логарифмическая де формация, тогда с учетом условия несжимаемости є = — In у и 5е = —у. Собирая все, получаем условие момента потери устойчивости в виде: если обозначить h = da/de — модуль упрочнения, вычисленный по кривой зависимости истинных напряжений от логарифмической меры деформаций є, hnom = dn/de — модуль упрочнения, вычисленный по кривой зависимости номинальных напряжений от той же меры деформаций. Этот критерий «срабатывает» в ничем не примечательной точке кривой о"(є), но при перестройке последней в номинальные напряжения п = Р/Ьо эта точка трансформируется в точку, с которой начинается падение (номинальных) напряжений. Рост истинных напряжений с ростом деформации компенсируется в этой точке убыванием площади сечения образца (в приведенном выше анализе качественно ничего не изменится, если считать Ь площадью поперечного сечения образца). Решение критериального уравнения как алгебраического уравнения относительно логарифмической деформации позволяет вычислить предельное значение деформации, после которого появляется шейка; например, для сте-пенного закона упрочнения а = ає это значение є в длинноволновом пределе равно п. Критерий (2.13) образования шейки по диаграмме одноосного растяжения в связи с проявлением геометрически нелинейных эффектов в длинноволновом приближении вывел А. Консидер [355]2.
Решения в виде локализованных и распространяющихся шеек
Задача о шейке для идеально-пластического тела в условиях плоской деформации решена Ю.Н.Радаевым в работе [271], где им была использована постановка в изостатической системе координат. Отсутствие касательных напряжений на свободной границе, осевой линии и паре удаленных поперечных сечений означает, что рассматриваемая область полосы ограничена изоста-тами — кривыми, касательные к которым направлены вдоль линий главных напряжений. Сеть изостат образует ортогональную криволинейную систему координат, покрывающую рассматриваемую область. Позже тот же автор использовал характеристические координаты для решения статических уравнений пространственной задачи идеально-пластического тела при условии полной пластичности; эти результаты можно найти в книге [272], где также выяснена геометрическая природа интегрируемости уравнений и выполнен их алгебраический анализ. Изостатические координаты были также использованы авторами работы [469] для решения нестационарных уравнений плоской деформации идеально-пластического тела. Запись в изостатах используется далее для задачи (4.1)-(4.3).
Формулировка задачи в изостатических координатах
Для записи уравнений равновесия, совместности и граничных условий в напряжениях в изостатической системе координат определяется произвольная ортогональная криволинейная система координат в плоскости вместе со своими полями локального базиса, метрик и метрических связностей:
Здесь ж, у — координаты, aai, а2 ортонормированный репер декартовой системы координат, символами д\ и д2 обозначены частные производные по криволинейным координатам q и q . Выше hi и Vі-к обозначены соответственно коэффициенты Ламе и символы Кристоффеля II рода. Нормировкой локального ортогонального базиса Є{ :
В результате для определения пяти неизвестных полей р, q, , h1 и h2 имеем уравнения равновесия (4.30) и уравнения совместности аффинора скоростей перемещений (4.34), к которым присоединяются уравнения совместности коэффициентов Ламе [204] изостатической системы координат не меняет конфигурацию координатной сети. Для того, чтобы это увидеть, следует записать уравнение произвольной координатной кривой в натуральном виде к = K(S), где к = [{д\х)2 +(діу)2] 3 2(діхд2у — diydfx) — кривизна, a s = JQ [(д\х)2 + (d\y)2]l 2dql — длина кривой, и убедиться в его инвариантности относительно преобразования (4.40). Данная параметризация обеспечивает равенство коэффициентов Ламе в каждой точке
Далее удобно использовать аппарат функций комплексной переменной [192]. Введем обозначения z = х + iy, ( = х + Щ- Принятые выше гипотезы несжимаемости и потенциальности поля скоростей перемещений позволяют свести задачу к поиску аналитической по первому аргументу функции z = w(( ,t), отображающей полосу с прямолинейными свободными границами на полосу с криволинейными границами. Коэффициент Ламе тогда выражается как
Условия (а) и (б) выделяют решения задачи, соответствующие автомодельным аргументам \ +?Г или " /Х- ДРУГИХ условий замкнутости уравнений (4.61) и (4.59) не найдено. Соотношения на свободной границе, вытекающие из (4.36), (2р + т(#)) „ = () (4.63) позволяют получить соответствующие этой границе значения координаты г]. Уравнение (4.59) предполагает следующую структуру поля гидростатического давления
Таким образом, решения в потенциальном случае не соответствуют задаче со свободными границами. Вообще говоря, этого следовало ожидать, поскольку задача о шейке в слабо-нелинейном приближении также не имеет решения в рамках гипотезы о потенциальности поля скорости, что подчеркивалось в главе 3. Если не рассматривать потенциальные движения среды, то мы имеем систему пяти уравнений в частных производных (4.30), (4.34) и (4.35) относительно пяти зависимых и двух независимых переменных, первые четыре из которых являются квазилинейными однородными первого порядка, а последнее — квазилинейным однородным второго порядка. Попытка разделения последнего на уравнения первого порядка неизменно возвращает нас к записи уравнений в компонентах скоростей с присутствием радикала, от которого мы избавлялись переходом к записи в изостатических координатах. По всем этим причинам формулировка в изостатических координатах далее в настоящей работе разрабатываться не будет.
Начиная с (4.67) и до конца работы запятая в нижних индексах будет обозначать частную производную по указанной координате сети координат, покрывающей физическое либо характеристическое пространство. Обозначение ковариантной производной будет дано отдельно в главе 5. Предполагается, что уравнения (4.67)-(4.68) удовлетворяются в каждой точке области, занятой движущейся средой.
Систему (4.67)-(4.68) можно записать в виде квазилинейной системы. Для этого компоненты тензоров напряжений и деформаций скорости представляются в виде [300] Решим задачу групповой классификации уравнений (4.72) по функции т(), то есть найдем классы материальных функций, расширяющих группу точечных симметрии (4.72) [233]. Данная система представляется многообразием в арифметическом пространстве независимых ж, у и зависимых , ф,р, q переменных, а также всевозможных производных зависимых переменных по независимым: ,ж , ,у ,ф,х ,ф,у ,px,py,qx,qy. Под точечными симметриями понимаются преобразования переменных х,у,,ф,р,д: приводящие к тождественным трансформациям указанного многообразия.
Ограничения на материальную функцию, вытекающие из уравнений равновесия в случае потенциального течения
Линейный анализ устойчивости сообщает, что при R 1 стационарная точ ка = Л, X =0 представляет собой устойчивый фокус при v 2yGD или узел при v 2\JGD (см. также рис. 5.15). При R 1 та же стационарная точка оказывается седловой точкой. На рис. 5.11 - рис. 5.12 для иллюстрации сделанного вывода помещены врезки с фазовыми траекториями, полученными численным решением системы (5.76) с начальными условиями, располагающимися на окружности малого радиуса с центром в точке = R, = 1. В точке = 1 при R ф 1 система (5.76) не линеаризуется; численный рассчет фазовых траекторий (см. врезки на рис. 5.11 - рис. 5.12 позволяет идентифицировать эту точку в
Поскольку «динамика» системы (5.76) развивается в шкале ( = х — vt, необходимо дать уточненную интерпретацию поведения решения в независимых переменных х и t. Сочетание знаков v О, Л 0 соответствует фронту, распространяющемуся вправо по однородному неустойчивому решению = Д, а сочетание знаков v О, Л 0 в (5.78) будет соответствовать фронту, распространяющемуся влево по тому же решению. В обоих случаях состояние, соответствующее особой точке = 1, захватывает состояние, соответствующее особой точке = R. Кажущееся противоречие анализу устойчивости особых точек на фазовой плоскости полностью объясняется здесь инверсией эволюционного параметра при переходе от t к ( = х — vt. Действительная устойчивость решений совпадает с элементарно анализируемой устойчивостью состояний автоколебательной системы (5.71), схематически показанной на фазовой кривой на рис. 5.11 - рис. 5.12. На рис. 5.16 приведено численное решение уравнения (5.72) с параметрами R = 0.25, К = 0.5, D = 0.1, начальными условиями (ж,0) = R + 0.1ехр(—50ж ) и граничными условиями 9Ж(0,) = 9Ж(10,) = 0. Выбранные начальные условия, соответствующие небольшому локальному увеличению скорости деформации — возмущению в виде шейки, обеспечивают переход от точки А к точке О в пределе ( — — оо. Поведение решения уравнения (5.75) при R 1 и возмущении 5 0, 5\ = 0 качественно соответствует поведению решения уравнения Фишера - Колмогорова и описывает распространение фронта, асимптотические параметры которого г , Л определяются [231] единственной траекторией, соединяющей особые точки4 =1 и = R уравнения на фазовой плоскости, и соответствующей моменту превращения фокуса = R в узел, что происходит (5.78) при v = 2VGD. Можно убедиться, что G = К &З = K ctg(2{3), то есть
Учитывая, что согласно и связь с обозначениями модели Збиба - Ай-фантиса (1-44) s = f (R), h = К, становится очевидной идентичность выражения для скорости распространения автоволн локализации деформации в рамках упомянутой модели и скорости распространения фронта в рамках модели (5.72).
Здесь следует указать принципиальное различие рассматриваемых моделей, вызванное гладкостью либо сингулярностью силовой функции /() в точке локального минимума. Оба типа динамических систем имеют неустойчивое состояние в любой точке падающего участка /(), положительное возмущение которого 5 0 устремляет его к точке локального минимума. Если силовая функция в этой точке гладкая, в ней не существует решения, но состояние системы за конечное время оказывается в этой точке и далее развиваются автоколебания, как показано на рис. 1.19. Если же в этой точке располагается сингулярность, как в модели (5.71), эта точка соответствует стационарному решению, к которому притягивается состояние системы, достигая его в пределе при t — оо (рис. 5.11). В результате модель с диффузионным термом описывает распространение автоволн локализации деформации в первом случае и распространение фронта локализации деформации во втором случае. Возмущение, соответствующие небольшому локальному уменьшению скорости деформации 5 0, которое всегда имеет место в области перехода рабочей части образца к захвату, в модели с гладкой силовой функцией вызовет распространение автоволн локализации деформации с совершенно аналогичными параметрами. В модели с сингулярностью в точке минимума то же возмущение с необходимостью вызовет распространение уединенного импульса, следующего траектории ABC и тянущего вслед за собой стационарное состояние = 1 (рис. 5.11).
Отдельно рассмотрим процесс при критической скорости деформации R = 1, который иллюстрирует рис. 5.17. В отличие от случаев R 1 и R 1 фазовые траектории не меняют направления своего движения вдоль главного направления, что видно на врезке рис. 5.17. Отличие от динамической системы с гладкой силовой функцией в точке локального минимума состоит только в том, что фазовые траектории залавливаются состоянием = 1, в результате чего рождается один стоячий импульс локализации деформации. Вероятно, экспериментально наблюдаемым оказывается случай с R = 1 — є, є С 1, где на фоне равномерного распределения скорости деформации по длине образца распространяется автосолитон локализации деформации, за которым устанавливается состояние = 1. В условиях контролируемой постоянной скорости деформации R повторное прохождение такого же автосолитона оказывается возможным, если в модель ввести внутреннюю переменную, для которой записать эволюционное уравнение. Такая переменная обеспечивала бы восстановление исходного состояния после некоторого времени (времени рефракции). Модели именно такого рода предлагались (Маккормиком и др.) для описания волн локализации деформации, сопровождающих эффект Портевена- Ле Шателье (раздел 1.2), всегда распростряняющихся последовательно начиная с одного из концов образца. С другой стороны, модели именно такой структуры предлагаются для описания распространения автосолито-нов в активных средах [288] (простейшая из которых — модель ФитцХью -Нагумо). Математическая структура подобных уравнений содержит замкнутую траекторию в фазовом пространстве, проходящую через единственную седловую особую точку (такая кривая называется гомоклинической траекторией) [288]. Обход состоянием системы такой траектории, начиная от особой точки и в пределе заканчивая ею, описывает профиль автосолитона в шкале ( Є (—оо, оо). Скорость распространения автосолитонов уравнения ФитцХью - Нагумо определяется тем же методом, каким она определялась для уравнения Фишера - Колмогорова, и дается тем же выражением (5.79), соответствующим стационарному состоянию внутренней переменной, при котором реализуется промежуточно-асимптотическое решение начальной задачи. Модель следовательно может быть усложнена введением одной или нескольких внутренних переменных. Существование решений в виде автоволн возбуждения в рамках такой модели определяется нелинейностью эволюционных уравнений для внутренных переменных, которая должна гарантировать существование гомоклинической траектории, проходящей через особую седловую точку. Построением подобных моделей распространения автоволн возбуждения в сверхпластических сплавах, сопровождающихся превращением, следуя данной довольно простой математике мы не будем заниматься в рамках настоящей работы, поскольку это требует постановки новых экспериментов в рамках представлений о данном процессе как о критическом явлении.
Найдем форму импульса т(), (С)5 реализующегося при обходе гомоклинической траектории АВСО в пределе при D — 0. Для этого рассматриваемое уравнение удобнее записать в терминах напряжения: в (5.70) вставляем = g(f), где д — функция, обратная к / и состоящая из двух ветвей, д+ = у 1+ т2 и Tj- = у 1 - г2, где знак « -» соответствует падающей, а «+» — возрастающей ветви. В результате получается уравнение
