Введение к работе
1. Актуальность темы Гидродинамический прогноз погоды всегда (начиная с пионерской работы Л. Ф. Ричардсона) рассматривается как комплекс проблем: технических (измерения, линии связи, вычислительная техника), физических (описание сил различной природы, радиационных процессов, фазовых переходов влаги и т. п.) и математических. К последним относятся задачи исследования различных свойств систем нелинейных уравнений в частных производных, описывающих, с теми или иными ограничениями, эволюцию атмосферы, проблемы обработки метеоинформации для получения начальных данных и проблемы, связанные с численным решением смешанных краевых задач для этих систем.
Следует подчеркнуть, что методы решения математических задач существенно связаны с "внешними" параметрами: мощностью компьютеров, объёмом, ассортиментом и качеством метеоинформации. Возникли оригинальные, не встречавшиеся в других разделах математической физики, постановки.
К числу последних относятся, например, задачи усвоения асинхронной информации и инициализации, т. е. сравнительно небольшого, порядка погрешности измерений и интерполяции, изменения начальных полей, с тем чтобы в решении смешанной краевой задачи не возникали высокочастотные нефизические колебания большой амплитуды.
Недостаточность мощности компьютеров, наряду с недостаточностью исходной информации об атмосфере часто вынуждает ставить задачу только для полушария или региона, а следовательно, к необходимости ставить дополнительные, нефизические граничные условия. Такой же "дефицит" граничных условий имеет место на верхней границе вычислительной области — в верхней стратосфере: выше нет данных измерений, а кроме того происходят дополнительные (химические и электромагнитные) физические процессы; включать эти области (к тому же неограниченные) в прогностическую модель нецелесообразно, поскольку их влияние на синоптические процессы мало.
Возникает задача нахождения граничных условий "полного поглощения", т. е. таких граничных условий, которые минимально искажают "истинное" решение, разумеется, заранее
неизвестное.
Развитие функционального анализа и теории дифференциальных уравнений в частных производных, линейных и нелинейных, в последние десятилетия сделало возможным существенно более глубокое понимание свойств решений гидродинамических систем: получение их первых интегралов и симметрии, построение широких классов их точных решений, стационарных (возможно в движущейся системе координат) и/или солитонного типа, исследование их устойчивости, в том числе и в таких задачах, где линейный подход неэффективен. Развитие численных методов позволяет более эффективно описыв'ать решения, в которых области сравнительно гладкого изменения чередуются с областями с большими градиентами.
Развитие компьютерных технологий позволяет накопить и обработать большие (десятки гигабайт) архивы прогнозов и метеорологических наблюдений и использовать результаты такой статистической обработки для усовершенствования методов последующей оперативной обработки метеоинформации. Для такой статистической обработки, в свою очередь, требуются новые математические подходы (например, позволяющие обеспечить положительную определенность матричнозначных корреляционных функций по зашумленным данным измерений на неравномерной метеорологической сети).
Отметим, что решение метеорологических проблем лриводит подчас к' прогрессу в фундаментальных и, вообще, смежных областях знаний: известные работы Е.Лоренца привели к существенному улучшению понимания свойств динамических систем; полунеявные схемы интегрирования эволюционных задач были впервые предложены для проблемы прогноза погоды (схема Кибеля — первого порядка, схема Немчинова - Садокова -Робера — второго), но область их применения намного шире. Например, для задач магйитной гидродинамики такие схемы были придуманы заново позднее. Методы функционалов Ляпунова (аналитические и численные) для построения устойчивых стационарных решений или семеств решений также развивались параллельно для моделей атмосферы, океана и плазмы.
Метеорология является одним из крупнейших потребите-
лей суперкомпьютеров, спутниковой и локаторной информации; для более точной локалицации источников метеоинформации используется система GPS (Global Positioning System). Вообще, метеорология есть предмет тесного научно-технического сотрудничества.
Развитие метеорологии, требование повышения качества прогноза, сделало актуальным решение большого количества разнообразных математических задач различной сложности; решению некоторых из них посвящена диссертация. Перечисление математических задач динамической метеорологии, решение которых диссертант считает своей заслугой, будет приведено ниже.
Изложение с единой формальной математической точки зрения широкого круга метеорологических задач, включающее в себя обзор необходимого математического аппарата, который существенно превосходит изучаемый на нематематических факультетах, представляется диссертанту также актуальной задачей. Это определило вид диссертации — в виде 4 монографий (на русском: [29], [30], [34], и английском: [57], языках). Три из них: [29], [30], [57], можно использовать для чтения различных курсов для студентов старших курсов и аспирантов (для метеорологических курсов лекций нужно добавить разделы о турбулентности и неадиабатических процессах в атмосфере), а четвертую: {34], — для студентов младших курсов и учеников физ.-мат. школ. Книги на русском языке в таковом качестве использовались.
Предмет рассмотрения можно условно разбить на три части:
Методы исследования различных гидродинамических моделей;
Методы обработки метеорологической информации;
Методы численного решения прогностических систем.
2. Основные цели диссертации — решение широкого круга математических задач, возникающих при исследовании систем гидродинамического типа и при разработке вычислительных алгоритмов для соответствующих задач, включая оперативную обработку исходной метеорологической информации, а также сравнительно полное изложение с единой точки зрения совре-
менного математического аппарата, используемого в различных разделах проблемы прогноза погоды.
3. Научная новизна.
1. Предложен новый метод, обобщающий метод И. М. Гель-фанда - Л. А. Дикого получения полного набора локальных первых интегралов эволюционных уравнений в частных производных на случай систем уравнений и многих пространственных переменных. В случае баротропной модели атмосферы получены ([29], [57]) неизвестные ранее первые интегралы:
масса;
= / / [ехр (ФС-2) - е.»] dxdy -
Рх = / / I ехр (ФС 2) (и — ly) + /ye,»! dxdy—компонент импульса; Ру = / / [ехр (ФС-2) (v + їх) — ІхЄооI dxdy —компонентимпульса;
Е =// ехр(фС-2)
ur + V
+ Ф - Фтое0
dxdy — энергия;
Mz = J J і ехр (ФС-'2)
uy-vx + - (х2 + у2) —ето (х2 + у2)\ dxdy — момент импульса;
Kf = / / {ехр (ФС"2) / [Пехр (-ФС"2)] - e^fil/e^)} dxdy
— семейство интегралов (казимир), связанное с потенциальным вихрем, где С — скорость гравитационных волн, Фоо = lim Ф(*,а:,у), е^ = ехр(ФооС"2), / — параметр Кориолиса,
Х2+1Г-+00
ft = — дуи + dxv + I — абсолютный вихрь, / — произвольная функция.
Функционалы Jx =#[ехр (ФС-2) х — е^х] dxdy и
Jy = Jf[exp (ФС~2) у — Єооу] dxdy не являются первыми интегралами. Они осциллируют в противофазе с частотой /. Сумма их квадратов, следовательно, также есть первый интеграл модели.
2. Для линеаризованных систем динамических уравнений
в случае нехарактеристической границы исследованы условия
Шапиро - Лопатинского, выделяющие граничные условия, та
кие что соответствующая смешанная краевая задача корректна.
Для корректных по И. Г. Петровскому уравнений и систем в частных производных с постоянными коэффициентами построены граничные условия полного поглощения, не отражающие волны, выходящие из прогностической области. Аналогичные граничные условия были получены и для разностных и дифференциально-разностных систем и уравнений. Входящие в такие граничные условия операторы, как правило, нелокальны. Это псевдодифференциальные операторы, интегро-дифференциальные в случае дифференциальном и включающие бесконечные суммирование в случае разностном. В случае практической реализации принципиально минимизировать количество граничных точек, участвующих в приближенных (с заданной точностью) граничных операторах. Для этого была реализована специальная техника векторной аппроксимации Паде, которая позволяет вычислять веса приближенных (с заданным порядком) операторов, [3], [13], [9], [14], [16], [20], [21], [29], [30], [57].
Доказана L2—корректность характеристической смешанной краевой задачи для линейного уравнения первого порядка с переменными коэффициентами. Здесь граничное условие ставится только на части границы со втоком, [5], [29], [57].
Развит вариационный (энергетический, Релея - Арнольда
- Дикого) метод исследования устойчивых стационарных (воз
можно в движущейся системе координат) решений близких с
математической точки зрения атмосферных и плазменных мо
делей — систем нелинейных уравнений в частных производных.
В случае атмосферных уравнений и систем физический интерес
представляют решения солитонного типа, в случае задачи удер
жания плазмы — при заданных граничных условиях на границе
— кожухе ТОКАМАКа. Важное условие применимости мето-
да — строгая положительная определенность второй вариации функционала Ляпунова.
В случае квазигеострофического баротропного уравнения вихря соответствующая оценка была доказана для задачи на всей J3—плоскости. Для системы уравнений мелкой воды ситуация иная — для решений типа монополя уравнение Якоби для функционала Ляпунова имеют сопряженные (к центру монополя) точки. Соответствующие стационарные решения устойчивы только если в качестве прогностической выбрана область, лежащая в круге некоторого радиуса. Этот радиус оценивается численно и он достаточно (по сравнению с характерным радиусом циклонов и антициклонов) велик: и 9000 км.
В плазменных задачах были построены решения в цилиндрической и тороидальной (форма сечения тороида определяется в-ходе расчетов) областях. При этом система уравнений Якоби после преобразования Фурье по угловым переменным) вырожденная, и при редукции её к невырожденной с меньшим числом неизвестных функций появляются сингулярности коэффициентов уравнения. Расположение этих полюсов зависит от номера коэффициента Фурье; объединение по всем номерам дает всюду плотное множество этих полюсов. Условие отсутствия сильной осцилляции решения редуцированного уравнения Якоби (т. е. отсутствия бесконечного числа сопряженных точек) дает известное условие Сайдема на профиль основного решения как функции радиуса.
Отличие от традиционного в задаче удержания замагничен-ной плазмы линеаризованного подхода состоит в том, что здесь выделяется подкласс стационарных решений, представимых в виде экстремалей функционалов Кр = E + fpF(S, h/p) сРі, где Е — энергия, р — плотность, S — энтропия, h = (А, В) — спи-ральность магнитного поля, F — функция двух переменных, такая что вторая вариация функционала Ляпунова К.? строго положительно определена.
Указанную положительную определенность нужно проверять для всех гармоник Фурье по угловым переменным. Удивительный результат численных экспериментов состоит -в том, что при
отсутствии сильной (типа sin ) осцилляции решений во
Г — Го
всех уравнениях Якоби (зависящих от номера гармоники как от параметра) в них отсутствует и слабая (с конечным числом перемен знака) осцилляция.
Следующим шагом в усовершенствовании метода является оптимизация устойчивости стационарного решения по функциональному переменному F — максимизация константы С в оценке
SKF[5X]>C\\SX\\2.
Такая задача на минимакс была решена в простейшем случае стационарного уравнения Шредингера, где оптимизация может проводиться по потенциалу и по магнитному полю.
К этому кругу задач примыкает задача о наилучшей оценке
инкремента неустойчивости, т.е. об оптимизации собственных
чисел по функциональному параметру задачи. Такая задача
была решена для классической задачи для уравнения Рэлея —
какое плоско-параллельное течение наиболее неустой-
чиво ?
Результаты опубликованы в [23], [24], [26], [28], [29], [30], [48], [31], [32], [33], [49], [45], [34], [35], [36], [56], [55], [57], [58].
Исследована серия задач вариационного согласования метеорологических полей, в которых в качестве дифференциальных связей используются различные уравнения динамической метеорологии: уравнение баланса (согласуемые функции — геопотенциал и ветер), уравнение переноса (согласуемые функции — сохраняемая величина за несколько сроков измерения) несжимаемость (согласуемая функция — поле скорости приводного ветра по данным спутникового зондирования ветрового волнения) и т. д. Исследована эллиптичность соответствующего уравнения (или системы уравнений) Эйлера, получены соответствующие граничные условия трансверсальности, исследована эллиптичность, по Дуглису - Ниренбергу соответствующей краевой задачи. В некоторых случаях эллиптичность отсутствует. Показано, что в общем положении для такой задачи выполняется свойство гипоэллиптичности; [10], [30], [57], [39].
Предложены и реализованы схемы вертикального контро-
ля. Для контроля геопотенциала и температуры используется L2—наилучшая совместная сплайн-аппроксимация функции и ее производной. При контроле данных на особых уровнях в результате экспериментов на больших архивах аэрологических наблюдений было замечено, что в зависимости от локальной густоты (расстояние в In р—системе координат от данного уровня до ближайшего соседнего) представленных данных статистика (средние величины и средне-квадратическое отклонения) первой и второй разделенных разностей существенно разная. Если разбить весь ансамбль данных измерений на кластеры, то статистика в каждом из них существенно отличается от средней. Проводя контроль для каждого кластера 90 своими параметрами, можно существенно ужесточить критерий отбраковки ошибочных данных. Соответствующие оценки статистик получены по многолетним архивам данных измерений, а критерии принятия решений проверены на реальных данных; [46], {22], [27],.[30], [34], [51], [52], [40], [57].
Предложен и проверен на численном эксперименте проекционный метод подавления вычислительных паразитарных мод, возникающих при аппроксимации дифференциальных уравнений, многошаговыми схемами [15], [30], [57].
Предложена классификация многослойных разностных схем интегрирования эволюционных линейных уравнений:
dtX = АХ, X{t) = expAtX0,
позволяющая с помощью компьютера находить схемы заданных степеней и'порядка аппроксимации по времени, а также определять условие на Spec Л, чтобы соответствующая схема интегрирования была бы устойчива. Классификация эта основана на векторной рациональной аппроксимации Паде - Эрмита, [20], [30], [57]. В случае двухслойных схем речь идет об аппроксимациях Паде для экспоненты, полученных в классической работе О. Перрона.
Эта классификация разностных схем обобщена на случай нескольких некоммутирующих операторов Ац .. .,Л*. К числу таких схем относится полунеявная схема Немчинова - Садо-кова - Робера.
Как было показано в работе В. М. Кадышникова, при вертикальной дискретизации бароклинных гидростатических моделей атмосферы необходимо обеспечить гиперболичность соответствующей системы "плоских" уравнений. В противном случае задача Коши не корректна по И. Г. Петровскому. В [30], [57] получено обобщение условия Кадышникова на случай, когда задана не одна конкретная вертикальная температурная стратификация атмосферы, но целый класс таких стратификации.
Доказана теорема об общем виде разностных схем интегрирования, не увеличивающих тотальную вариацию решения, обещающая теорему Хартена на случай многослойных схем, [30],
[57].
При совместном решении уравнений динамики атмосферы и уравнения теплопроводности для почвы происходит теплообмен. Если решение интересно только для атмосферной части общей модели, то можно использовать граничный оператор, который будет имитировать теплообмен с почвой, не решая уравнение теплопроводности с условием стабилизации на бесконечности и условиями стыковки с уравнениями динамики атмосферы при 2 = 0. Такой разностный оператор, использующий значение температуры в несколько предшествующих моментов времени был предложен в работе Е. Н. Блиновой. В [19], [30], [57] диссертант показал, что оператор Блиновой связан с разложением символа некоторого оператора в ряд Тейлора. Предложен более широкий класс граничных операторов, имитирующих теплообмен с почвой, символы которых получаются с помощью аппроксимации Паде. Проведены численные эксперименты при различных соотношениях между шагом по времени, используемом в разностной схеме, и характерной частотой изменения температуры, показавшие преимущество аппроксимаций Паде с равными степенями числителя и знаменателя.
Разработана и реализована (совместно с А. Н. Багровым и Н. Ю. Очан) первая в СССР оперативная схема многоэлементной оптимальной интерполяции [30], [1]. В качестве простейшей гипотезы о горизонтальных корреляционных функциях геопотенциала и ветра предполагалось, что поле скорости ветра есть сумма первого приближения, геострофического ветра, агео-
строфического ветра и погрешностей наблюдений, причем агео-строфическое поле имеет следующую статистическую структ туру. Кросс-корреляционные функции её компонентов с геопотенциалом и между собой — нулевые, авто-корреляционные — одинаковые, со сравнительно небольшим радиусом корреляции. Это эквивалентно предположению о равенстве корреляционных функций для их функции тока и потенциала при разложении t?ar = Vip + ez X VV>. Затем эта схема усовершенствовалась в различных направлениях [2], [57].
12. Задача построения по архивным метеорологическим.дан-ным корреляционных функций для различных метеоэлементов (и их отклонений от прогноза на срок наблюдений), включая и корреляцию между их значениями на различных барических уровнях, необходимо связана с решением ряда чисто математических проблем. Предполагается, что поля после нормировки на корень из дисперсии (зависящей от пространственных координат, месяца и широтного пояся измерений) являются однородными и изотропными по горизонтальным переменным. Ввиду дискретности сети наблюдений, пропусков и ошибок в данных полученные оценки могут не удовлетворять важнейшему свойству положительной определенности. Предложен [25], [30] вариационный метод получения наилучших (т.е. наименее отличающихся от данных архива наблюдений) корректных (т.е. положительно определенных) оценок корреляционных" функций. При этом используется (при необходимости несколько раз) метод теории возмущений для собственных чисел симметричной матрицы А.+ с В, где А — исходная оценка матрицы, е — малый параметр, В — искомая матрица, такая что А + е В строго положительно определена, и среди матриц, обеспечивающих такую положительную определенность, В минимальна в смысле нормы yjtrace В" В.
Этот подход был реализован при обработке глобального архива наблюдений 1964-1998 гг. совместно с О. А. Алдуховым [42], [43], [44], [57]. При этом использовалось представление
K(r) « Ao6(r) + Л„Ло(А*„г), (1)
»=1
где Ло, An — положительно-определенные матрицы, J0 — нулевая функция Бесселя, 8(г) — дельта-функция Дирака, матрица А0 отвечает за погрешности наблюдений, состоящие из непосредственно измерительных ошибок и реально существующие, но мелкомасштабные флуктуации атмосферы. Размер матриц выбирался равным 64 (16 вертикальных уровней и 4 метеоэлемента: геопотенциал, температура, продольный и поперечный компоненты ветра); N = 3 или 4.
13. Результат В. И. Арнольда об общем виде стационарного трехмерного течения несжимаемой жидкости обобщен на случай уравнений сжимаемого газа — получено условие интегрируемости, при котором область течения расслаивается на двумерные интегральные (для скорости и вихря) поверхности. В случае несжимаемой жидкости или баротропного газа это условие выполняется автоматически. [29], [57].
3. Научное и практическое значение работы
Разработанные аналитические и численные методы обработки информации и решения краевых задач для диффренци-альных и разностных систем уравнений могут применяться в самых различных задачах механики сплошных сред, геофизики и т.п.
Разработанные методы получения устойчивых решений для различных нелинейных гидродинамических моделей позволяют получить параметры солитонных решений. В частности, типичные профили угловой скорости в циклонах по данным измерений, хорошо совпадают с полученными по данной методике по баротропной модели атмосферы. В случае плазмы получаются устойчивые конфигурации, удовлетворяющие граничным условиям на кожухе. В результате решения задачи о наиболее неустойчивых профилях течения получаются наиболее точные оценки неустойчивости для произвольного профиля.
Метод многоэлементной оптимальной интерполяции является основой оперативной схемы объективного анализа (ОА) Гидрометцентра СССР (затем России). Программы и результаты передавались в другие учреждения Гидрометслужбы, метеослужбы ГДР и НРБ. Результаты ОА по Северному полушарию архивируются в Гидрометцентре начиная с 1988 г. Имеются ак-
ты о внедрении.
4. Книги, составляющие данную диссертацию, могут, по мнению диссертанта, быть использованы для подготовки курсов лекций для студентов и аспирантов специальностей "Математика", "Прикладная и вычислительная математика", "Механика", "Физика", "Геофизика", "Метеорология", "Океанология", " География".
4. На защиту выносятся следующие положения
Вариационный метод нахождения первых интегралов эволюционных систем уравнений в частных производных. Для ба-ротропной модели атмосферы с помощью этого метода получена полная система первых интегралов порядка 0.
С помощью вариационного метода исследована нелинейная устойчивость (гидродинамическая устойчивость, устойчивость по Ляпунову), экстремальная устойчивость и экстремальная неустойчивость стационарных решений для ряда моделей атмосферы, океана (решения солитонного типа), плазмы (цилиндрическая и тороидальная хеометрия), идеальной жидкости. На завершающих этапах исследования, как правило, применялись специально разработанные диссертантом компьютерные коды. Для расслоения пространства бездивергентных векторных полей на равнозавихренные получены условия регулярности этого слоения. Теорема Арнольда о топологии общего стационарного течения идеальной несжимаемой жидкости обобщена на случай уравнений газовой динамики (получено условие интегрируемости).
Разработан общий метод (дли уравнений и систем с постоянными коэффициентами корректных по Петровскому) и построены конкретные примеры граничных условий полного поглощения волн, выходящих из прогностической области. При таких граничных условиях решение смешанной краевой задачи совпадает с решением задачи Коши с продолженными нулем (или фоновыми значениями) начальными данными, т.е. псевдодифференциальные (как правило, интегральные типа свертки) граничные операторы в этой смешанной краевой задаче имитируют задачу Коши.
Разработан метод формирования таких граничных операторов для конечно-разностных уравнений и систем. Метод основан на векторной аппроксимаций Паде - Эрмита символа имитирующего граничного оператора и учитывает конкретный вид разностной аппроксимации уравнения. Этот же метод применен для полной классификации схем интегрирования по времени любого порядка и любого числа слоев линейного эволюционного уравнения. Метод распространен на случай, когда пространственный оператор представлен в виде суммы нескольких некоммутирующих операторов. Таким путем, например, могут быть получены схемы переменных направлений, полунеявная схема Немчинова - Садокова - Робера, двухшаговая полунеявная схема Магазенкова - Шейнина и др. Указан способ повышения качества пространственно-временной аппроксимации схемы за счет применения операторов пространственного осреднения (и в явном, и в неявном случаях).
С помощью аппроксимации Паде символа псевдодифференциального оператора, имитирующего линейное уравнение теплопроводности в почве, связанного с атмосферной моделью двумя условиями сопряжения, построено и протестировано, на численных экспериментах рекуррентное граничное условие теплообмена для соответствующей разностной задачи, обобщающее и улучшающее граничное условие Блиновой.
Построен общий проекционный метод (и реализован на примере системы уравнений мелкой воды) подавления вычислительных мод в многослойных схемах при постановке дополнительных (по сравнению с исходной дифференциальной системой) начальных условий.
Разработан новый метод синтеза оптимальных операторов и функционалов, обобщающий теорию А. Н. Колмогорова -А. Я. Хинчина - Н. Винера стационарных случайных процессов, теорию Л. С. Гандина оптимальной интерполяции однородных и изотропных случайных полей и синтеза фильтров в статистической радиофизике. Метод позволяет вычислять коэфициенты оптимальных в статистическом смысле разностных операторов и квадратурных формул и вычислять и/или оценивать погрешность.
Был разработан алгоритм первой в СССР многоэлементной негеострофической схемы оптимальной интерполяции (внедрена в соавторстве с А. Н. Багровым и Н. Ю. Очан, имеется акт о внедрении), использовавшей сравнительно небольшую априорную статистическую информацию об интерполируемых полях геопотенциала и ветра и их отклонений от прогностических полей на срок анализа.
Разработаны математические методы обработки глобальных архивов наблюдений для получения наилучших оценок корреляционных функций. Задача рассматривается как вариационная, а в качестве ограничений используются условие частичной автомодельности корреляционных функций, следствия условия гидростатики, однородность и изотропность по горизонтальным переменным, положительная определенность соответствующих матриц. Для компьютерной реализации таких ограничений используется теория возмущений спектра самосопряженных операторов. Применение методов к глобальному архиву аэрологических измерений (CARDS) производилось совместно с О. А. Алдуховым.
Разработаны методы вертикального контроля данных аэрологического зондирования атмосферы, связанные с улучшением вертикальной интерполяции и аппроксимации. В качестве дополнительных параметров при кластеризации данных зондирования использовались, помимо традиционных широтного пояса, сезона и слоя по вертикали, плотность данных и, в случае ветра, средняя скорость ветра. При разбиении данных на кластеры были получены оценки средних и дисперсий. Средние эти существенно зависят от кластера; а следовательно, кластеризация позволяет уменьшить средне-квадратическое отклонение по сравнению с общей совокупностью данных. Таким образом, удается (как показали эксперименты) существенно улучшить разделение правильных и ошибочных данных измерений. .
Критерий В. Ы. Кадышникова для вертикальных дискретизаций бароклинной задачи, обеспечивающие корректность задачи Коши, обобщен, что позволяет оценить корректность не для фиксированной вертикальной стратификации, а для целого класса, что соответствует реальной ситуации при выборе дис-
кретизации.
12. Расширен круг задач и методов вариационного согласования метеорологических полей. В частности, рассмотрено согласование геопотенциала и ветра с уравнением баланса в качестве ограничения (доказана эллиптичность по Дуглису - Ниренбер-гу) краевой задачи; согласование скорости ветра с геострофическими соотношениями в качестве ограничения (получено уравнение эйконала); согласование полей концентрации сохраняющейся в частицах величины в два момента времени с разностной аппроксимацией по Кранку - Николсону уравнения переноса с заданными переменными коэффициентами — полями ветра (задача не обязательно является эллиптической, но при полях ветра, находящихся в общем положении, доказана гипоэллиптич-ность задачи).
5. Аппробация работы
Различные результаты диссертации докладывались в 1976-2000 гг. на семинарах Гидрометцентра, Гл. Геофизической Обсерватории им. Воейкова, СААНИИ, СахКНИИ, физфака МГУ, МИЭМ'а, ИАЭ им. Курчатова, ФИАН, ИФА, ИПФ, ИОАН, ин-та прикладной математики им. Келдыша, ин-та проблем механики, ин-та механики МГУ, университета г. Уорвика (Англия); на Всесоюзных/Российских школах и конференциях: по нелинейным волнам (несколько раз), по нелинейным задачам теории гидродинамической устойчивости (несколько раз), Калининград (2 раза), молодых ученых Гидрометслужбы (П-ая), мат. моделированию атм. процессов и методам оценки влияния деятельности человека на атмосферу, по физике плазмы, по аэрологии (Ш-я), сессии Совета по нелинейной динамике РАН, по проблемам и перспективам гидрометеорологических прогнозов; на международных конгрессах, симпозиумах и конференциях: по проекту 16 КАПГ, экспертов СЭВ по теме N 20, по дифференциальным уравнениям (памяти И. Г. Петровского), по физике плазмы, по нелинейной динамике, хаотическим и сложным системам, по математическим методам усвоения метеорологической информации, по солитонам и топологии (в честь 60-летия С. П. Новикова), алгебре, геометрии, дифф. уравнениям, оптимизации и приложениям (90-летие Л. С. Понтрягина), по меха-
нике сплошных сред (12-ая), по динамическим системам и эрго-дической теории, по геометрии и топологии потоков жидкости.
6. Структура и объем диссертации
