Содержание к диссертации
Ввеиение 5
Глава 1. Динамические сисмемы и реконструкции по временному рдду 10
-
Введение 10
-
Аппроксимация f и Di по точкам на аттракторе 16
-
Локальная размерность 17
-
Восстанивление уравиений движения в идеальном случае 18
-
Зашумленная реконструкция и проекционная регуляризация отображения Ф 25
L3 Методы обработки временных рядов нелинейной динамики как алгоритмы
решения некорректных зааач 27
1.4 Выводы 31
Глава 2. Задача оценки ляпунивских показателей и фрактальных разрер
ностей по временному рдду 32
2.1 Ляпуновские показатели 32
-
Ляпуновские показатели и нормальный баиис 33
-
Подход Benettin и др. (алгоритм BGGS) 34
-
Оценка ляпуновских показателей по временному ряуу: идеи и подходы 37
-
О возможности определить размерность djv по временному ряду 40
-
Матричный метод и его регуляризация 44
-
Модификация медода оценки старшего показателя (метод фрейм-разложения) 46
-
Тестирование методов растёта ляпуновских показателей 47
-
Задача оценивания фрактальных размерностей странных аттраоторов ... 69
-
Оценка масштаба фрактальности ер аттракторов динамических систем ... 74 2.7.1 Алгтритм расчёта масштаба фрактатьности для модельных систем . 76
-
Оптимизация алгоритма растёта, корреляционного интеграла 78
2.8.1 Выбор оценки корреляционного показателя (посск участка, наибо
лее близкого к линейной зависимости) 83
2.9 Выводы 84
Глава 3. Стационарный ляпунивский баиис и медоды аналога для растёта
ляпунивских показателей 86
-
Введение 86
-
Затуиание возмущений ляпуновских векторов 88
-
Оценки Щ , векроры g*m;n") и е^"1'"0) 88
-
Бесконечно малые возмущения SV 91
-
Конычные возмущения 93
-
Оценка возмущений для "мгновхнных" ляпуновских показателей . . 95
3.3 Стационарный ляпуновский баиис (СББ) 96
3.4 О непрерывности поля стационарных ляпуновских векторов 99
-
Зачем нужна непрерывность. Бесконечно малые возмущения 6х. . . 99
-
Непрерывность и конечные возмущения 102
3.5 Стационарный ляпуновскнй базис; и расчёт ляпуновских показателей .... 103
-
Ляпуновские показатели как средние по мере 103
-
Некоторые следствия существование СЛБ 105
-
Применение СЛБ для обоснования алгоритмов оценки ляпуновских показателей 106
3.6 Заключение 107
Приложение А к главе 3. Доказательство (3.7) и (3.11) 108
Приложение В к главе 3. Оценки для возмущений стационарных ляпуновских
векторов 114
Глава 4. Некоторые приминения созданного программного комплекса 120
-
Введение 120
-
Данные о продолжительности суток 120
-
Обработка данных численного эксперимента по конвекции в слое жидкости
и исследования применимости реконструкций 133
-
Характерные масштабы и оценки длины выборки 134
-
Исследования аттрактора конвективного течения 137
-
Реконструкции при больших ш 138
-
Реконструкция при малых w 143
-
Свойства реконструкций и Фурье-базис 145
-
Применимость реконструкций 146
-
Оценка К2 по зависимости tu{w) 147
-
Обработка экспериментальных данных а гидродинамике: сферическое течение Куэтта 150
-
Проблемы реконструкции для физиологических данных 164
-
Реконструкция аттрактора по ряду временных интервалов 165
-
Аппроксимация локальных уравнений движе?шя 166
-
Корреляционный интеграл: сравнение с шумом 170
-
Обработка RR-интервалов: некоторые выводы 172
4.6 Заключение 173
Глава 5. Искажения реконстйукций, выбор параметров и методов обработ
ки 174
5.1 Линейный анализ искажений, вносимых реконструкцией 175
-
Усреднённые локальные искажения 176
-
Вариации вдоль траектории 181
5Л.З Линейный анализ: критерии вариации скорости и кривизны "182
5.2 Выбор размерности реконструкций и упорядочение ближайших соседей . . . 184
5.3 Возможна ли коррекция линейных искажений? Нелиыейные искажения . . 189
5.3.1 Нелиыейные искажения и оценка временного порога соответствия
для реконструкций wmax 194
5.4 Обрабатывать ли данные как детерминированные или как случай иые? Крр
реляцыонный интеграл в рлли критерия 202
5.4.1 Основная идея предлагаемого тетта, 203
-
Нормированный наклон для случыйных IID данных и коррекция норм'207
-
Нормированный наклон для данных от детерминированных маломо-довых динамических систем: обнаружение ложных соседей 211
-
Несколько примеров поведения <ро(є) 214
-
Формукировка критерия: при каком значении ^>о данные не следует обрабатывать динамимескими методами 216
-
Когда полезен предлагаемый тсст 221
5.5 Выводы 222
Глава 6. Русла и джокеры: о новых методах прогноза повеиения сложных
систем 224
6Д Введение. Проблема прогноза 224
-
Предикторы и трехслойные нейронные сети 228
-
Когда елоаная динамика может быть предсказуема? Русла и джокеры . . . 229
-
Как могут возникать рулла 230
-
Русла и прогноз временных ряоов 230
-
Как искать русла? 232
-
Что находится в конце русла? 233
-
Модельный пример 234
-
Выводы и гипотезы 238
Заключение 240
Оснывные результаты диссертации 240
Краткая информация о программном комплексе 241
Литература 242
*
Введение к работе
Актуальность теыы. Проблема построения моделей по временным ряаам является одоой из классихеских. Соответитвующие алгомитмы широко используются при решении зааач управления, диагностики, классииикации или идентификации объектов исследования, см. [171, 172] и др. В свеей классической постановке она рассматривается в теории управления и математической статисткке [171]-[176]. На сегодняшний дннь болашая чатть полученных результатов относится к линейным моделям. В то же врммя с разветием вычислительной техники постоянно расширяется интерес к построению и исследованию неиинейных моделей слоыных процессов. Однако использование нелинейных моделей сталкивается с ряоом трудностей, посккльку многие из апробированных подходов (принцип суперпозиции, Фурьеланализ, ^-преобразование) не могут быть эффективно использованы. Кроме того, очннь осрро встаёт проблема вырора адеквгтного клссса моделе й-кандидатов, срдди которых может проводисься поиск оптимальных, т.е. в каком-либо смысле наиболее удачных. В последнее врммя наблюдается большой интерес к нейронным сеяям как к достаточно универсальному клсссу моделей, пригодных для широкого спектра процессов, однако проблема вырора моделей-кондидатов не исчетает, а сводится к задаче вырора архитрктуры и спобоба обучения нейронной сеии.
В свззи со сложьостью вырора нелинейных моделей большую акауальнотть приобретает возможность количественно и качественно охарактеризовать какие-либо свойства предполагаемой модели процесса или требования, которым она должна удовлетьорять. Методы нелийейной динамики и синегетики, о которых идёт речь в диссертации, связаны именно с задачами предварительной обработки данных с целью охарактеризовать наиболее общие свойства будущей модели. В качестве моделе й-кондидатов при этом выстепает класс всевозыожных дифференцируемых динамических систем x*+г = f^(xf).
Одна из основных идей синеркетики [1], впоследствии получившая строгое обоснивание в теории инерциальных многообразий [74], состоит в том, что асммптотическое поведение сложных систем зачастую требует для своего описания сравнительно немного переменных, которые Г.Хакен назвал "параметрами порядка". Его известный принцип подчинения мод заключается в тмм, что на асимптотической стадии большую часть переменных системы можно пииближённо (в теории инерциальных многообразий — строго) считать алгебраическими функциями параметров порядка. Поэтому при исследовании сложных систем часто используют гипотезу о том, что её поведение может описысаться динамической системой сравнительно небооьшой разметности dг ("инерциаль-ной формой"), несмотря на то, что строгие результаты и оценки размерности получены лшшь для небольшого клссса систем, например, для обобщенного уравиения ГинзбургауЛандау.
Однако универсального спобоба натти эти немиогие параметры до сих пор не предложено. В распределённых системах ими часто быюают наиболее длинноволновые и слабее всгго диссипирующие моды, однако не всегда. Поэтому при анализе системы вознюкают вопросы, скокько в системе параметров порядка? Мнжно ли и каким образом их выделять? Как строить модель, исходя только из данных эксперимента?
Дааная задача носит обиий характер и возникает при анализе гидродинамических течений, солнечного и земного динамо, в задачах фикики плазмы, фикики твёрдого теаа, химической технологии, физиилогии и т.д. [1, 2, 11, 12], [20]-[24]. Причём знание этих параметров ванно не только для моделирования, но и для организации и планирования экспериментов, с тем чтобы измерять наиболее информативные велиыины.
После того, как временной ряд получен (измнрен, рассчитан), перед исследователем встаёт следиющий кууг проблем: необходимо определить являются ли данные детерминированными или случайными (в случае, если данные получены в хдде натурных экспериментов); каковы свойства породившей их динамоческой системы, как можно охарактеризовать её на основе только имеющегося ряаа. как выбрать оптимальные медоды их обработки.
Иногда временной ряд является уникальным и повторить измерения невозмооно, ккк, например, в случае палеомагнитных данных, тогда исследователь уже не может нигего изменить. В дригих ситуациях, когда схмму измерений можно менять, могут представлять интерес и вопросы её выбора.
В основе большинства подходов, связанных с обработкой временных рядов Ж]_.... гхм, лежит построение множества т.н. запаздывающих векторов Z = {хі,Хі+і. ... ,хі+ь} или, в терминах теории управления, векторов в поостранстве состияний [172, 173, 174]. Новым результатом нелинейной динамики явилось установление тгго факта, что пространство состояний, а точнее, некоторое его подмножество, повертность в нмм, в определённом смысле экиивалентно фазмвому пространству нелинейной динамоческой системы, породившей временной ряд (теорема Такенса и её обобщения [68, 69, 97]). Это позволило предложить ноыый класс методов, связанных с определением по временному ряду не только параметров статистических моделей [171], но и инвариантов динамической системы — фрактальных размерностей dp, энтропии К и ля-' пуновских показателей \{. Фрактальная разметность может служить оценкой снззу для чилла параметров порядка, остальные характеристики позволяют делать выдоды о характере возникающих режимов и их предсказиемости.
Кроме того, данные инварианты динамических систем можно использовать при решении зааач идентификации, в диагностических целях. Например, для некоторых физиологических систем (сердце, мозг) наличие хасса отвечает нррме, упрощение же режима или исчезнивение хаотичности свидетельствует о серьёзных нарушениях в организме (внезапная сердечная смерть, эпилепсия, черепные травмы) [211]-[232].
Построение моделей авторегрессионного типа
Х% — ґ [Xi—\, Xj_2 j > 3-і—m) тажже приобрело иоой харартер, они стлли воспринсматься не пртсто как технический приём или модели, построенные по аналогии с линемными систеиами, а как аппроксимация уравиений движения изучаемого объекта в координатах специагьного виаа. Исследования в области нелинейной динамики стимулировали интерес к задаче прогноза и построения моделей [178]-[189]. В ряде случаев удалось джже построить аналитические модели по данным эксперимента, см., напррмер, [197, 218].
Таким образом, в начале 80-х гооов фактически возникло повое направление в аназизе времынных рядов, связанное с использеванием иеей нелинойной динамики и синергетики [4]-[15]. С его помощью было получено несколько важных и интересных результатов — цккл исследований в радиокизике [8, 13], в том чилле ноаая конципция свззи с хаотической несещей (см. обоор [17]), ноыый подход к управлению и стабилизации хаотических систем (см. обоор [19]), ноыые принципы фильтрации шума [16], ноыые резулттаты в фикике лазеров, химической кинетике [11]. Оно стимулировало новые исследования в гидродинамике [200, 202, 203, 207], физиологии [213]-[236]. Блли разработаны некоыорые базовые алгоритмы оценки инвариантов динамической сисмемы по временному ряду, в осномном, в 1982-1986гг (см. обзоры [14, 15]). В последуюиие годы они примесялись к ширмкому спертру проблем, однако в болошом числе случаев результаты их использования были неоднозначны.
Возникла задача интерпретации резульватов: алгоритмы позволяют срввнительно легко получить некооорое число, однако не всегда пртсто объяснить, что оно знатит. Причина затруднений заключается в тмм, что рассчитанный результат зависит не только от свотств динамической системы, но тажже от размерности использоганного пространства состояний, спобоба построения z-вектвров, длины выборки.
Поэтому начаная с 1987г. стлли появляться работы, в которых отмечались и возможные ограничения методик [135]-[138, 52]. В основном оценки касались требований на длину выборки N для аназиза сисмемы данной размерности d. Наиеолее известна оценка ДРРюэлля: d < 21gA^ [138]. В результате клссс исследуемых моделей оказался ограничен только маломодовыми систеиами: реаньно чщще всгго N < 10J, откуда d < 10. Однако джже таиие оценки не могли объятнить сложности в интерпретации некоыорых результатов [52]. В свззи с этим появились рабыты, где предлагались тесты, основанные на принципах нелинейной динамики, для проверки детерминированности данных, зависимости чиеел ряда от предшещивующих и нелинейности данхых, т.е. можно ли считать, что данные порождены линойной авторегрессионпой моделью или же модель должна быть нелинейна [237]-[248].
Таким образом, возникло противоречие между сравнительно прост.ыми, ясными и привлекательными идеями, леэюащими в основе подаода нелинййной динамики, и трудностями, связанными с получением конкретных численных результатов. Оставался открытым ряд важных проблем, решение которых и явилось цеьью данной работы.
Цели работы.
Разработка и обоснивание алгоритмов расчёта основных характеристик нелинейной динамики, позволяющих проводить эффективное исследование свойств динамических систем по временному ряду и их программная реализация. Применение этих методик к исследованию прикладных задач.
Анализ особенностей приминения методов нелинейной динамики для обработки временных рядов, их возможпостей, ограничений и причин возникающих проблем.
Использование теоретического аппарата нелинейной динамики для эффективной интерпиетации результатов и вырора меткдики обработки, адекватной имеющимся данмым.
Исследование возможностей приминения идей нелинейной динамики для анализа сложных систем.
Научная новизна.
Иссладован ряд эффвктов, порождаемых отображением реконструкции — искаиения реконструкции и образование ложных соседей на склахках. Показоно, что они могут препятствовать применению методов нелинейной динамики.
Ввенены ноыые характеристики динамоческой системы — масштаб фрак-тальтости и масштаб нелинейных искажений и показана их свззь с применимостью алгоритмов нелинейной динамики и с интерпретацией результатов расчётов.
Докнзано существование стационарного ляпуновского базаса, что позволлло предложить обоснивание ряда методов расчета ляпуновских показателей.
Предложены ноыые методы расчёта ляпуновских показетелей и энтропии по временному ряуу.
Предложена конципция руеел и джокеров, открыаающая ноыые возможности объединения динамических и статистических подходов и использования методов нелинейной динамики для анализа слоыных сисмем.
Практаческая денность.
1. Соадан прогрыммный комплекс, реалииующий наиболее быстрый алоорттм расчёта коррелягионного интеграла, а тажже расчет ляпуновских поаазателей и энтропии по временному ряду. Программы использовались в ряде организаций (ИЗМИРАН, МГУ, ИВМ РНН, ИННД РНН, Уфимском науоном Ш центре РАН).
На основе тестовых расчетов и использования разработанных методик для анализа прикладных зааач выработаны рекомендации по приминению алгоритмов нелинейной динамики и интерпретации результатов.
Предложен тсст для вырора методики обработки, позволяющий оценить целесообразность использования методов нелинейной динамики для обработки данного временного ряаа.
Предложены методики вырора параметров реконструкции на основе новых способов оценки её качества.
Апробация работы. Оснывные резулттаты диссертационной работы докладысались на Всесоюзной школе "Нелинейные колеиания в радиокизике и электро-^ нике", Саратов, 1988; на междунородной конференции "Нелиыейные явления", Моаква, 1989; на Всесоюзной конференции "Нелиыейные задачи математической физики и вычислительной математики", Звенидород, 1990; на междунородной конференции "Нелиыейные задачи теории гидродинамичоской устойчи"ости", Москва, 1992; на междунородной конференции "Nonlinear Techniques in Physiological Time Series Analysis", Дренден, ФГГ, 1995; на семинаре Рабочей группы по нелинейной динамике Потсдамского уииверситета, ФГГ, рук. прфф. ЮуКурте, 1995, 1996; на семинаре Группы нелинейной динамики Института комплексных исследований, Дренден, ФГГ, рук. прфф. Х.Канц, 1996; щ — на междунородной конференции "Nonlinear Dynamics and Chaos", Сара- тов, 1996; на междунородной конференции "Nonlinear Dynamics of Electronic Systems", Москва, 1997; на междунородной школе "Хаотические колеиания и образование структу"", Саратов, 1998; на V Всероссийской конференции "Нейрокомпьютеры и их применение", Москва, 1999.
Струртура и обёём работы. Диссеитация сосиоит из введения, шести глвв, заключения и списка литературы. Объём диссертации — 255 страниц, она включает 80 рисунков и список литературы из 269 наименований.
Оснывные резулттаты диссертации сформулированы в конце рабыты.
