Введение к работе
Актуальность темы. При рассмотрении прикладных вероятностных моделей перед исследователем встает целый ряд проблем. Выбор исследуемой модели, как правило, осуществляется эвристически, без должного обоснования корректности, хотя он и определяет ход дальнейшего исследования. Если добиваться определенной адекватности модели изучаемому процессу, необходимо решить серию задач. При этом оценка параметров и проблема устойчивости являются одними из важнейших. При оценке распределений совершаются погрешности, проистекающие из конечности статистических выборок, неточности выполнения принятых гипотез, неполноты имеющейся информации, неадекватности модели оригиналу и т.д. Необходимость учета отклонений, вносимых в модель различными неточностями, приводит к проблеме количественной оценки степени устойчивости.
Из обширной литературы становится ясным, что при рассмотрении вероятностных моделей, оценке их параметров, исследовании устойчивости и связанной с ней задачи анализа непрерывности входных характеристик модели относительно возмущений выходных данных (для обратной задачи) большой интерес и большую практическую пользу представляет использование эргодических свойств исходной модели на основе декомпозиции наблюдений. При этом теорию эргодичности используют не как строгий математический результат, но берут ее "общую философию", извлекая некий эвристический принцип. Таким образом, при решении выше перечисленных вопросов "среднее по траектории" заменяют на "среднее по ансамблю".
Использование принципов эргодичности и декомпозиции наблюдений дает возможность:
упростить модель, выделив последовательность независимых случайных величин из потока наблюдений;
получить более обоснованные и точные оценки параметров упрощенной, а следовательно, и исходной вероятностной модели;
дать количественные оценки устойчивости полученных оценок;
спланировать вычислительные эксперименты.
Эти оценки можно использовать как основу при рассмотрении более сложных прикладных вероятностных моделей.
Вышеизложенное позволяет отнести проблему такого подхода при постановке и разработке методов решения некоторых прикладных вероятностных задач к актуальным проблемам прикладной математики.
Целью работы является применение единого подхода, основанного на использовании эргодических свойств прикладных вероятностных моделей и декомпозиции наблюдений при решении вопроса построения оценок параметров моделей, согласованных с наблюдаемыми выходными данными для ряда задач медицины, биофизики и теории испытаний.
Для этого необходимо решить следующие задачи.
Подобрать вероятностные модели, согласованные с наблюдаемыми выходными данными для задачи статистического оценивания параметров распределения интервалов по неточным данным из приложений кардиологии, для задачи оценки параметров модели численности популяций Риккера по неточным наблюдениям и для разработки быстрой схемы испытаний.
Построить статистические оценки параметров данных моделей.
Решить вопрос количественной оценки устойчивости построенных оценок.
Для подтверждения основных результатов провести вычислительный эксперимент.
Научная новизна. Ранее подобные прикладные задачи решались, не не вполне обоснованными для подобного рода задач эвристическими методами, которые либо давали сравнительно большую погрешности решения, либо требовали длительных вычислений. Например, мето; наименьших квадратов для нелинейной модели численности популяций -модели Риккера приобретает характер эвристического, поскольку дает і численном эксперименте погрешность ~ 100%. К тому же из-за недостатка частной информации прежде рассматривались общие модели с большим количеством параметров в очень общих предположениях. Полученные оценки не вполне удовлетворяли исследователей. Отсюда возникла необходимость в более частных моделях, более тонкой их классифика ции, но и в более точных результатах. Это и привело к декомпозиционному подходу при постановке задач. Поэтому и решения нуждались і серьезных математических изменениях. В процессе таких изменение пришлось внести существенные коррективы как в алгоритмы обработки
так и в схему организации наблюдений. Это привело к значительному уменьшению погрешностей соответствующих оценок.
В предлагаемой работе сделана попытка модифицировать методы для получения более точных оценок на основашш единого подхода к решению задач, основанном на использовании эргодических свойств исходных прикладных вероятностных моделей и декомпозиции наблюдений. Разработанные нестандартные приемы позволяют применить стропіе математические методы, идеи и результаты теории устойчивости вероятностных моделей к решению ряда прикладных задач, построить конструктивные оценки параметров процессов, которые затем проверяются с помощью специальных методов теории вероятностей и дать количественные оценки их устойчивости.
При решении этих вопросов из теории эргодичности выбираются следующие понятия: среднее по траектории, среднее по ансамблю, период регенерации. И используется основной принцип теории эргодичности: замена среднего по траектории на среднее по ансамблю.
Достоверность полученных результатов. Основанием служит использование классических методов теории эргодичности, методов и результатов теории вероятностей и теории устойчивости вероятностных моделей. Достоверность определяется строгостью математических выкладок и приемов, внутренней непротиворечивостью.
Применение if практическая значимость работы определяется тем, что в работе критически анализируются и совершенствуются алгоритмы, применяемые в моделях популяционной динамики, при обработке кардиограмм, при планировании испытаний на отказ.
Апробация. Отдельные результаты работы докладывались и обсуждались:
на XXXV, XXXVI, XXXVII научно-технических конференциях Дальневосточного государственного технического университета (г.Владивосток, 1995, 1996, 1997 гг.);
на семинаре проф. Е.Я.Фрисмана в Институте автоматики и процессов управления ДВО РАН (г.Владивосток, 1996 г.);
на Втором международном сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (г.Новосибирск, 1996 г.);
на Первой Дальневосточной конференции студентов и аспирантов по математическому моделированию, посвященной 25-летию математического факультета ДВГУ (г.Владивосток, 1997 г.);
на Дальневосточной математической школе - семинаре им. академика
Е.В.Золотова (г.Владивосток, 1997 г.).
Работа в целом была доложена на семинарах:
в Институте автоматики и процессов управления ДВО РАН (г.Владивосток, 1997 г.);
проф. А.Г.Зарубина в Хабаровском государственном техническом университете (г.Хабаровск, 1997 г.);
в Дальневосточном государственном университете (кафедра математического моделирования) (г.Владивосток, 1998 г.).
Публикации по работе. По теме диссертации опубликовано 9 работ.
Структура и объем диссертационной работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложений и списка литературы. Основная часть работы содержит 132 страницы машинописного текста, 4 рисунка. В приложениях даны результаты вычислительного эксперимента, проведенного по трем рассмотренным задачам. Список литературы содержит 52 наименования.
