Содержание к диссертации
Введение
1. Динамические характеристики гиросистемы как объекта инерционного демпфирования 19
1.1. Гиросистема как объект демпфирования 19
1.2. Многомассовая цепная- механическая система-аналог динамических свойств ГЄ с упруго-диссипативными связями 21
1.3. Матрицы и передаточные функции податливости 25
1.3.1. Матрицы передаточных функций податливости 25
1.3.2. Собственные и анти-резонансные частоты 26
1.3.3". Диагональная передаточная функция податливости 28
1.3.4. Внедиагональные передаточные функции податливости' 30
1..4. Частотные характеристики ГС с упруго-диссипативными связями 32
1.4.1. Частотные характеристики ГС с квазиупругими связями- 32
1.4.2. Частотные характеристики 2-х массовой ГС с закрепленным концом (СГС с одной упруго-диссипативной связью) .-. 34
1.4.3. СГС с пассивным гасителем как объект демпфирования и его частотные характеристики 41
1.4.4. Частотные характеристики силовой гиросистемы с двумя упругими связями (трехмассовая система с закрепленным концом)4 43
1.5. Выводы 49
2. Демпфирование резонансных колебаний двухмассовой гиросистемы активным гасителем 51
2.1. Динамический гаситель вынужденных колебаний с активной
обратной связью на оси наружной рамки карданова подвеса ГС 51
2.1.1. Гиросистема с динамическим гасителем как система автоматического регулирования (САУ) с обратной связью 55
2.1.2. Эффективность демпфирования 55
2.1.3. Оптимизация диссипативной связи гасителя 63
2.1.4. Характеристика угла закручивания и сравнительная оценка АЧХ
ГС с пассивным и активным гасителем 65
2.2. Динамический гаситель вынужденных колебаний с активной обратной связью на оси внутренней рамки карданова подвеса ГС... 68
2.3. Оптимизация активной диссипативной обратной связи гасителя 73
2.3.1. Оптимизация диссипативной связи гасителя с оптимальной пассивной диссипацией 73
2.3.2. Оптимизация активной диссипативной связи гасителя с сопутствующей пассивной диссипацией 76
2.4. Самонастройка гасителя колебаний 77
2.4.1. Настройка гасителя вокруг оси прецессии 78
2.4.2. Настройка гасителя вокруг оси стабилизации 86
2.5. Выводы 91
3. Демпфирование резонансных колебаний многомассовой гиросистемы активным гасителем 93
3.1. Демпфирование резонансных колебаний трехмассовой гиросистемы цепной структуры 93
3.1.1. Демпфирование колбаний среднего звена трехмассовой гиросистемы с последовательной структурой 93
3.1.2. Демпфирование колебаний крайнего звена трехмассовой гиросистемы с последовательной структурой 104
3.2. Демпфирование резонансных колебаний в трехмассовой гиросистеме с параллельной структурой 108
3.3. Демпфирование резонансных колебаний в трехмассовой гиросистеме путем перенастройки активной обратной связи 115
3.4. Самонастройка гасителя с активной обратной связью 117
3.5. Выводы 120
4. Вынужденные колебания и автоколебания гиросистемы с нелинейным активным динамическим гасителем 121
4.1. Устойчивость и автоколебания инерционно демпируемой гиросистемы с активной обратной связью 121
4.2. Вынужденные колебания инерционно демпфируемой гиросистемы с нелинейной активной обратной связью 133
4.3. Оптимальное виброгашение вынужденных колебаний в гиросистеме с ограниченным по амплитуде управлением 141
4.4. Выводы 149
Общие выводы 151
Список литературы
- Многомассовая цепная- механическая система-аналог динамических свойств ГЄ с упруго-диссипативными связями
- Гиросистема с динамическим гасителем как система автоматического регулирования (САУ) с обратной связью
- Демпфирование колбаний среднего звена трехмассовой гиросистемы с последовательной структурой
- Вынужденные колебания инерционно демпфируемой гиросистемы с нелинейной активной обратной связью
Введение к работе
Актуальность темы. Проблема повышения точности автономных навигационных систем неразрывна связана с проблемой повышения эффективности их виброзащиты. Совершенствование гиросистем, не защищенность которых от внешних вибраций приводит к возникновению динамических погрешностей, в большой степени зависит от повышения их динамической точности, в свою очередь зависящей от их резонансных свойств.
Демпфирование колебаний гиросистем сопряжено с выполнением противоречивых требований обеспечения статической и динамической точности и устойчивости. При этом увеличение демпфирующих моментов относительно осей карданова подвеса, с одной стороны, повышает степень устойчивости гиросистемы (ГС), а с другой стороны - ухудшает характеристики ее вынужденного движения в диапазоне низких частот. Существенно облегчить задачу виброзащиты слабо демпфируемых гиросистем и сгладить противоречие между точностью и устойчивостью позволяет способ динамического гашения колебаний.
Большинство работ, посвященных теме применения динамического гашения колебаний в гиросистеме, ограничено применением традиционных динамических гасителей пассивного типа с постоянной или переменной структурой. Традиционный гаситель при отсутствии вязкости позволяет получить эффект полного гашения колебаний главной массы лишь при одном значении частоты возмущающей гармонической силы, которая совпадает с его парциальной частотой. Эффективность пассивного гасителя существенно зависит от соотношения масс (моментов инерции) гасителя и объекта демпфирования. С целью повышения эффективности динамического гасителя колебаний (ДГК), расширения его рабочего диапазона и получения новых возможностей инерционного демпфирования ГС, в работе предложена схема гасителя с активной обратной связью.
Актуальность и практическая целесообразность работы обусловлена необходимостью решения задачи повышения динамической точности и эффективности виброзащиты ГС, расширения частотной области гашения колебаний, уменьшения габаритно-массовых характеристик ГС с гасителем.
Цель диссертационной работы состоит в исследовании возможности улучшения динамических характеристик инерционно демпфируемых гиросистем на основе разработки способов расширения резонансно безопасных зон от полигармонических возмущений и обеспечения астатизма гиросистем при моногармонических возмущениях.
Для достижения поставленной цели были решены следующие научно-технические задачи:
Анализ существующих схем динамического гашения колебаний ГС с целью определения их основных недостатков и преимуществ;
Разработка математических моделей объекта демпфирования и ГС с активным динамическим гасителем колебаний;
Синтез алгоритмов оптимального гашения резонансных колебаний ГС активным динамическим гасителем;
Создание виртуальной системы и программ для вычислительно-экспериментальных исследований динамических характеристик ГС с активным ДГК.
Методы исследования, использованные для решения поставленных задач: методы теоретической механики, теория колебаний, теория автоматического регулирования. При моделировании применялись пакеты прикладных программ «Matlab», «Simulink» и «Mathcad».
Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем:
Предложен способ демпфирования вибрационных колебаний ГС;
Разработана математическая модель ГС с активным гасителем;
Осуществлен синтез алгоритмов оптимального гашения колебаний ГС;
Разработана методика оптимизации параметров активного динамического гасителя;
Разработан алгоритм оптимального демпфирования вибрационных колебаний ГС активным динамическим гасителем с ограниченной интенсивностью исполнительного элемента.
Практическая значимость
1. Предложенные новые схемы активного гасителя могут быть использованы для демпфирования вынужденных колебаний ГС при действии внешних возмущений.
2. На основе предложенных методик оптимизации параметров сформированы алгоритмы, позволяющие создать структуру ГС с активным гасителем повышенной эффективности гашения колебаний.
3. Для проектирования и расчета активного гасителя разработаны методики, а для исследования системы создан программный комплекс.
4. Имитатор, созданный на основе разработанной методики проектирования гиросистемы с активным гасителем, позволяет проводить вычислительно-экспериментальные исследования.
5. Предложенные методики проектирования и вычислительного исследования ГС с активным гасителем могут быть использованы при решении задачи гашения колебаний механических систем подобного класса.
Внедрение результатов работы. Разработанный в диссертации программный комплекс используется в учебном процессе на кафедре «Приборы и системы ориентации, стабилизации и навигации» МГТУ им. Н.Э. Баумана, а также на кафедре «Навигационные приборы и системы» Харбинского Инженерного Университета.
Основные результаты и положения, выносимые на защиту
1. Способ демпфирования колебаний ГС с активным динамическим гасителем.
2. Математическая модель ГС с активным динамическим гасителем.
3. Алгоритмы оптимального гашения резонансных колебаний гиросистемы.
4. Алгоритм оптимального виброгашения в ГС активным гасителем с ограниченным по амплитуде управлением.
5. Методика проведения и результаты вычислительно экспериментальных исследований.
Апробация работы и публикации. Основное содержание и результаты диссертации изложены в 5 научных работах, одна из них опубликована в журнале, входящем в Перечень ВАК.
Основные положения и результаты работы докладывались на международных и всероссийских конференциях:
- XXVI Всероссийская конференция памяти выдающегося конструктора гироскопических приборов Н.Н. Острякова, 14-16 октября 2008 г., г. Санкт-Петербург.
- Всероссийская конференция по проблемам космонавтики России, 15-17 января 2008 г., г. Москва.
Объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, общих выводов, списка литературы. Общий объем работы - 159 страниц, в том числе 103 рисунка.
Многомассовая цепная- механическая система-аналог динамических свойств ГЄ с упруго-диссипативными связями
Механической аналогии динамических свойств ГС относительно оси стабилизации, описываемой первым уравнением системы (1.1), соответствует модель, представленная на рис. 1.2.
Полагая упруго-диссипативные связи динамических элементов в уравнениях (1.1) линейными, т.е Fx(x,x) = Схх + D х , (1.2) где x = aitfij,Sn Jj и пренебрегая взаимосвязью относительно оси стабилизации каналов, т.е. полагая F (e , ) = FjEk(eJk,sJk) = 0 , запишем уравнения механической части гиросистемы как объекта виброзащиты относительно оси стабилизации: J0 а0+ Сх(а0 - ax) + Dx(a0- ах) = М0 Jx ах+Сх(ах - а0) + С2(ах - а2) + Dx{ax- а0) + D2{ax- а2) = М, J2a2+C2(a2 -ах) + С3(а2 а3) + D2{a2- ах) + D3(a2 а3) = М2 (1.3) а + С (a -a ,) + D (а — а ,) = М п п п\ п n-\J п\ п п-\/ п Уравнениям (1.3) соответствует динамическая модель, представленная на рис. 1.3, являющаяся аналогом динамических свойств углового движения индикаторного стабилизатора относительно оси , кинематическая схема которого изображена на рис. 1.4. Рис. 1.3. Динамическая модель Такая динамическая модель аналога динамических свойств относится к классу многомассовых углового движения цепных механических систем со индикаторного свободными концами [46].
Если в уравнениях (1.3) положить /0=» и Сх Н2/вх (динамический элемент J] связан квазиупругим элементом С і с инерциальным пространством), то динамическая модель в данном случае (см. рис. 1.2) относится к классу многосвязных цепных механических систем с закрепленным концом и является динамическим аналогом углового движения силового гиростабилизатора, кинематическая схема которого представлена на рис. 1.5. Здесь Jj — моменты инерции 1-Х динамических элементов относительно оси , т.е. Ji - момент инерции ротора гироскопа; момент инерции кожуха гироскопа; J3 - момент инерции стабилизированной площадки; J4 - момент инерции внутреннего Рис. 1.4. Кинематическая схема индикаторного гиростабилизатора карданова кольца; J5 - момент инерции внешнего карданова кольца; J6 - момент инерции, приведенный к оси стабилизации (момент инерции редуктора и ротора стабилизирующего двигателя). Запишем уравнения в матричной форме: (1.4) Ja + Da + Ca = M где J=diag(J0,Jx,J2...Jn) (1.5) Рис. 1.5. Кинематическая схема силового гиростабилизатора - матрица моментов инерции (матрица кинетической энергии); D = 0, -А 0 0 — 0 -! , , + D2 D2 0 .... 0 0 D2 D2 + D} "A — 0 0 0 0 0 -D„ D„ (1.6) матрица вязкого трения (матрица диссипативной энергии) размерности (п+1)х(п+1); C = с, -с, 0 0 .... 0 -с, с{+с2 -с2 0 .... 0 0 -с2 С2 +С3 -с, .... 0 0 0 0 0 -с„ сп (1.7) - матрица жесткостей (матрица потенциальной энергии) размерности (п+1)х(п+1). a0 = [а0,ах,а2..ап — вектор обобщенных координат; М =[М0,М1,М2..Мп]т— вектор возмущающих моментов. Для гиросистемы силового типа (цепная динамическая модель с закрепленным концом) уравнения в векторно-матричной форме примут вид: J.a + D.a + С.а = М, (1.8) (1.9) где J = diag(J1,J2,J3..Jn) D - матрица вязкого трения (пхп); С - матрица жесткостей (пхп); а = [а1,а2,а3..ап]т - вектор обобщенных координат; М = [Мх,Мг Мз М„)т вектор возмущающих моментов. Матрицы D и С получаются соответственно из матриц D0 и С? путем вычеркивания первой строки и первого столбца. Представим уравнения (1.4) и (1.8) в операторной форме: (J.s2 + D.S + C)M(S) = M(S) (ЇЛО) (J.s2 + D.s + C).a(j) = M{s) Разрешая (1.10) относительно векторов обобщенных координат, получим: (1.11) a\s) = (J.s2 + D.s + CyxM0(s) a{s) = (J.s2 + D.s + СТ ІГСлг) где (Js2 +Ds + c) l и (Js2 +Ds + cyl - матрицы операторов динамической податливости соответственно гиросистемам индикаторной и силовой. Элементы этих матриц: (1.12) — операторы динамической податливости или передаточных функций. Определение передаточных функций W lk (s) и Wik (s) связано с обращением передаточных матриц, элементы которых являются полиномами от s, а коэффициенты полиномов представляют собой инерционные, упругие и диссипативные параметры. С целью определения передаточных функций Wlk{s) и W #Л (s) запишем уравнения (1.3) в операторной форме:
Элементы Wl(s) матрицы передаточных функций определяются выражениями: ( ) = % Л=0,1,2...п А (5) Л („\ (1.15) где А0 (5) - главный определитель системы (1.13), a A Cs)- алгебраические дополнения элементов этого определителя, стоящие на пересечении z -й строки и k-го столбца. Передаточные функции Wlk(s) для силовой гиросистемы определяются формулами: ( ) = % ,i=l,2-n (1.16) ДО)
Главный определитель &(s) получается из A(s), вычеркиванием первой строки и первого столбца, в результате чего имеем: 40= j/+m+L0s+q+q -Ц?-% О 0 .... О -Qs-q JZ+iq+E s+q+c - - 0 .... О О Ц % J MQ+tys+b+Ct -ДУ-С4 .... О (1.17) Вследствие симметрии матриц жесткости (JV + DS + C) И (Л2+)ЛЧ-С) имеем:
Собственное движение гиросистемы (1.8) определяется системой однородных дифференциальных уравнений: J .a + D .а + со" = 0 . (1-19) Пусть D=0, тогда движение свободных колебаний примет вид: J .а + со" = 0 . (1.20) Решение уравнения (1.20) ищем в виде: a = ocos( ся + /) (1-21) Подставляя (1.21) в (1.20) и сокращая на cos(a 0t + у) , получим векторное уравнение: (С - J.а 1).а = 0 . (1.22) Система однородных уравнений (1.22) имеет нулевое решение, если det(C - J.col) = 0 (1-23) Из уравнения (1.23) следует G)20=J-\C, (1.24) т.е. квадраты собственных частот являются собственными значениями матрицы J l.C.
Гиросистема с динамическим гасителем как система автоматического регулирования (САУ) с обратной связью
Пусть инерционная масса гасителя колебаний установлена на оси наружной рамки подвеса ГС, например на оси стабилизации. В отличие от пассивного гасителя, в активный гаситель дополнительно вводится еще активная обратная связь по относительному 4 движению упруго присоединенной инерционной массы. На рис.2.1. Рис.2.1. представлена кинематическая схема гиросистемы с активным гасителем, обратная связь включает датчик угла поворота упруго присоединенной инерционной массы 1 относительно наружной рамки (относительно стабилизированной платформы для ГС), усилитель-преобразователь 2 и датчик момента 3, ротор которого закреплен на оси наружной рамки, а статор - на корпусе. Частотные характеристики СГС, как объекта виброзащиты, подробно рассмотрены в первой главе.
Уравнения, описывающие малые движения механической части ГС с активным гасителем колебаний, могут быть записаны в виде: J\ -«і +(tt + h) ax-dKt) + CM («! сси) + К-{а, -aM)-H-p = Mai м Хм-Н йі- м)-См ( \- Хм) = Ма (2.1) B-p + H-dx=Mp JX,B - приведенные моменты инерции гиросистемы относительно наружной и внутренней осей карданова подвеса ГС; ах , р - абсолютные углы поворота ГС относительно наружной и внутренней осей карданова подвеса; Л/ » ам - момент инерции и угол поворота маховика демпфера относительно оси, на которой он установлен; Н - кинетический момент гироскопа; См,[л - коэффициенты жесткости и вязкости гасителя; K,h- коэффициент жесткости и вязкости дополнительной обратной связи, К = k-CM , k является любой величиной. Здесь в уравнениях движений появился член момента К-(а, -ам), который составлен двигателем активной обратной связи пропорционально сигналу угла закручивания. М -момент внешних сил, приложенный к маховику ГПС. Mai -момент внешних сил, приложенный к платформе. Мр -момент внешних сил, приложенный к оси процессии гироскопа.
Соответственно уравнениям движения (2.1) структурная схема одноосной гиросистемы с динамическим активным гасителем при h=0 представлена на рис.2.2. Запишем уравнения (2.1) в векторно-матричной форме: Представим гиросистему с динамическим гасителем в виде системы с отрицательной обратной связью в соответствии с рис.2.3.(б), где ce,(s) 1 W(s)= передаточная функция объекта демпфирования, Woc{s) - передаточная функция обратной связи. Тогда передаточная функция замкнутой системы (гиросистемы с активным гасителем) может быть записана в виде: ф«. ил = ч±1 (2 і з) Разрешая формулу (2.13) относительно Woc(s), получим: r-w" - w- (2Л4) Из (2.14) следует, что передаточная функция обратной связи равна разности жесткостей гиросистемы с гасителем и без него. Подставляя в (2.14) значение Ф" О0 из (2.4) и W?(s)= а получим Ma,(s) JX-{S2+V2X) Пользуясь структурной схемой (рис.2.3) передаточную функцию податливости запишем в виде: 0.(s)-JC(s) ; (2.15) где Ф.( ) = (2.16) - динамический коэффициент подавления колебаний.
Меру виброизоляции будем оценивать величиной динамического коэффициента подавления колебаний, характеризующего отношение амплитуды вынужденных колебаний замкнутой системы с гасителем к амплитуде колебаний системы без гасителя (объекта демпфирования): Ф;С/-) \ ь.и-в $ = Если полосу гашения определить как такой диапазон частот в котором Ф, (у со)\ 1, или, что тоже самое \l + W=(j-a))\ l - передаточная функция разомкнутой цепи, то в полосе гашения амплитудно-фазовая характеристика (АФХ) разомкнутой цепи системы с гасителем W=(j-a) = K;U -aywZU-a) (2.17) не должна заходить в круг единичного радиуса с центром в точке -1,./-0 [8]. Граничные частоты полосы гашения D, и Q2 определяются условием \\ + W=(j- »)\ = \ (2.18) или точками пересечения W=(j-co) л и упомянутой окружности. Поскольку на этих частотах амплитуды вынужденных "d Re ц колебаний системы без демпфера и с демпфером одинаковы, то логично назвать их инвариантными по отношению к цепи обратной -j связи.
Учитывая W {s) и W(s) запишем выражение для передаточной функции разомкнутой цепи: s2 -(УІ XK+--ZO-S) wm(s) = 4и (2.19) (s2+vf)-(S2+ --s + v2M)
Как на рис.2.4. показано, диапазон частот, в котором (АФХ) W= (s) находится вне круга единичного радиуса с центром (-1,0) (резонансного круга), определяет полосу гашения, а граничные частоты этой полосы Q,,Q2 (инвариантные безразмерные частоты) соответствуют точкам пересечения W ij-co) с резонансным кругом. Далее, подставляя (2.19) в (2.16), получим (52+V,2)-(52+- --5 + V ) Ф.( ) = (s2 +V?)-(S2 + - -S + V2M) + S2 -V2M -ХК + 3 --г- Хо J м J м при ju = h = 0 (y" co2)-{v2M-co2) Ф.(У-Й)) = (vf -o) )-(v2M -СО2)-У -XK-G при отсутствии активной обратной связи К = УЇ- о2У УІ-а 2)-У2н-Х-а 2 Ф.(у.о ) = Подставляя в (2.18) значение W (j-co) из (2.19), получим при /j. = h = Q выражения для частот, инвариантных по отношению к цепи обратной связи: & yi +v" -Q + ZK/2)±№ +v2u -(1 + ZK/2)]2 -4-У2 ї 1.2 2 \ ) соответственно оптимальной настройке парциальной частоты системы v"M = Инвариантные частоты при этом будут соответственно равны: (Q2,2y=v,4l+ М -) (2.21) \2 + Хк а полоса гашения, где Ф, (J со)\ 1, будет определяться их разностью:
Демпфирование колбаний среднего звена трехмассовой гиросистемы с последовательной структурой
1. Предложен способ улучшения динамических характеристик инерционно-демпфируемой двухмассовой гиросистемы на основе расширения резонансно безопасной зоны введением активной обратной связи по относительному позиционному и скоростному перемещению присоединенной массы и объекта демпфирования.
2. На основе представления ГС с активным гасителем, как системы автоматического регулирования с обратной связью и введения понятия «динамический коэффициент подавления колебаний» сформулированы требования к АФХ разомкнутой цепи ГС. Для того, чтобы динамический гаситель обеспечил подавление колебаний в заданном диапазоне частот по крайне мере в (п) раз, необходимо, чтобы АФХ разомкнутой цепи в указанном диапазоне частот находилась вне круга радиуса (п) с центром в точке (-1J0). Граничные частоты полосы гашения определяются точками пересечения АФХ этого круга.
3. Разработан алгоритм оптимальной настройки активного гасителя по критерию minmax АЧХ податливости ГС.
4. Предложенный алгоритм оптимизации диссипативной связи присоединенной массы обеспечивает усиление относительной АЧХ податливости ГС не более чем в д/l + 2/%к раз во всем частотном диапазоне, что исключает возможность возникновения резонанса на собственных частотах, связанную с блужданием частоты внешнего воздействия в непосредственной близости от частоты настройки под действием факторов случайного характера, и придает гасителю свойства полигармонического демпфера.
5. Показана принципиальная возможность осуществления астатизма ГС по внешнему моногармоническому возмущению путем самонастройки активной связи гасителя, установленного на перекрестной оси, на частоту внешнего воздействия. 6. Сравнительная оценка эффективности гашения колебаний ГС активным и пассивным демпфером подтвердила, что динамический гаситель с активной обратной связью позволяет существенно расширить полосу гашения недемпфированных моногармонических колебаний и существенно повысить эффективность подавления демпфированных вынужденных колебаний во всем частотном диапазоне полигармонических возмущающих воздействий.
7. Показано, что эффективность демпфирования колебаний при установке гасителя на разных осях карданова подвеса практически одинакова при одинаковых отношениях моментов инерции х и одинаковых коэффициентах обратной связи. Вопрос о выборе места установки демпфера должен решаться не только с учетом преимуществ технической реализации, но и с учетом влияния вносимых гасителем инструментальных погрешностей на точностные характеристики ГС в целом. с пассивным гасителем относительно оси стабилизации является трехмассовая система, изображенная на рис.3.2. При J2» Jv резонансные частоты объекта а о и а) значительно разнесены и задачу демпфирования колебаний низкочастотного резонансного спектра можно упростить, представив двухмассовый объект эквивалентной одномассовой Рис.3.2. системой с параметрами J3, Сэ , удовлетворяющей условию: »01 = . с. (3.2) где (У0, - частота первого резонанса двухмассовой системы определяется формулами (1.72). Эквивалентная жесткость одномассовой системы может быть рассчитана по формуле: С, 2 с, .с С, +с2 (3.3) или после подставки величины с, = —: 1 в с, = н2.с, н2 + в.с2 (3.4) Эквивалентный момент инерции: J3 =CJco0l2. (3.5) Передаточная функция податливости гиросистемы в районе первого резонанса описывается следующем выражением: Фэ (s) = Ф? (s) = =—f+fM г- . (3.6)
Настройка динамического гасителя осуществляется по алгоритму оптимальн ого демпфирования нутационных колебаний одномассовой гиросистемы. Тогда при оптимальной настройке гасителя будем иметь:
Здесь Хо = -р- - соотношение моментов инерции гасителя и эквивалентного объекта демпфирования. Если моменты инерции упруго связанных динамических элементов гиросистемы таковы, что J,» J2 , например, в случае учета конечной жёсткости редуктора стабилизирующего двигателя, и при этом 2 и » со , то задача демпфирования первого резонанса решается аналогично с той лишь разницей, что параметры эквивалентного одномассового объекта определяются следующим образом: (3.8) Jj —J1 + J2, 01 С, = J . а , 2 где а0{ рассчитывается также в соответствии с (1.57).
Рассмотрим случай, когда парциальные частоты упруго связанных динамических элементов СГС имеют одинаковый порядок. Объектом демпфирования в двухмассовой системе является динамический элемент J2 (например, стабилизированная площадка одноосного гиростабилизатора), а элемент Jr гироскоп, как нарис. 3.1 показано.
Запишем уравнения движения трёхмассовой гиросистемы с активным гасителем, установленным на демпфируемом элементе J2.: (3.9) (ЗЛО) где DX,D2 - сопутствующее трение элементов J, и J2. См,/л - жесткость и вязкость гасителя колебаний. К = к-См - жесткость активной обратной связи. Мх,Мг,Мм - внешние воздействия, приложенные к элементам Jx,J2nJM Осуществив процедуру обращения матрицы, получим:
Вынужденные колебания инерционно демпфируемой гиросистемы с нелинейной активной обратной связью
Вначале рассмотрим устойчивость ГС с динамическим гасителем с линейной активной обратной связью. Учитывая, что передаточная функция реальной управляющей обратной связи Woc(s) имеет порядок числителя, не превосходящий порядка её знаменателя, т.е. W M = P- (4-1) l + T-s запишем передаточную функцию разомкнутой цепи W.WT-, (g+a- Hi+r-») (4.2) [Jx s2+D1 -J + C,Д/м -s2 +{i-s + CM)+JM -s2 -(JI-S + CM) Далее, учитывая, что T «1/v, и пренебрегая сопутствующим вязким трением в оси объекта демпфирования, запишем характеристическое уравнения замкнутой системы условием устойчивости ГС с активным гасителем. При Л = 0 граница устойчивости принимает т.е. положительность коэффициента обратной связи ( К 0 ) является достаточным условием устойчивости ГС. При условии, что Т «l/vx постоянная времени Т практически не оказывает влияние на устойчивость ГС.
Теперь рассмотрим влияние нелинейностей в цепи активной обратной связи на динамические свойства гиросистемы. На рис.4.2. представлена ГС m —О № Wf(s) о структурная схема і и с возможными нелинейностями в pt{& цепи обратной связи. При этом мы полагаем линейный характер Рис.4.2. упруго-диссипативной связи присоединенной массы. Fx (S) нелинейная характеристика датчика угла закручивания, F2 (S) нелинейная характеристика датчика угловой скорости, F3(i) - нелинейная характеристика датчика момента. ограничимся рассмотрением влияния на динамические свойства ГС одной наиболее существенной нелинейности в цепи обратной связи.
Тогда уравнения ГС с инерционным демпфером и нелинейной активной обратной связью запишем в следующем виде: X + W1(s)-F(X,X) = 0 (4.13) Здесь F{X,X) - нелинейная функция в цепи активной обратной связи, которая может быть «сопутствующей» (зона нечувствительности датчика угла закручивания, насыщение и несимметричность усилителя, ограничение моментнои характеристики датчика моментов, гистерезис цепей с железом и др.) или специально введенной, например, с целью оптимизации эффекта гашения колебаний при ограниченной интенсивности исполнительного устройства. W,{s) - передаточная функция приведенной линейной части, X - координата на входе нелинейного элемента. В дальнейшем наиболее существенной нелинейностью в структуре обратной связи будем считать ограничение моментной характеристики исполнительного двигателя (датчика момента). В этом случае уравнение (4.13) примет вид: e + Ws(s)-(K + h-s)-F(S) = 0 (4.14) Здесь Й І(,) = (Л:+АЇ). (,) = Г_ J s2(K+hs) (4Л5) {Jxs2 + Dxs + С, \JK1sl +jus + CM)+ JMsz {CM + fis) Поскольку движение ГС описывается нелинейным уравнением высокого порядка, то точные методы решения нелинейного уравнения неприемлемы для анализа ее динамических свойств. Из приближенных методов наиболее простым и достаточно точным является метод гармонической линеаризации Е.П. Попова [60], которым мы и воспользуемся.
В соответствии с методом гармонической линеаризации приведенная линейная часть системы 1 ,0) должна обладать свойством фильтра нижних частот, т.е. \\л (jkco)\«\W3 С/), к = 2,3,4... (4.16)
Оценим фильтрующие свойства приведенной линейной части системы. С этой целью на рис.4.3. построены АЧХ линейной части для различных значений параметров цепи обратной связи (К3 К2 Кх).
Как видно, АЧХ имеет ярко выраженные резонансные свойства и фильтрующие после резонансные. Высокочастотная асимптота имеет наклон -40дб/дек, обусловленный разностью порядков числителя и знаменателя W4(s) на две единицы, поскольку передаточная функция реальной обратной связи имеет порядок числителя, не превосходящий порядка ее знаменателя, т.е.
Кроме того, в случае периодического решения нелинейного уравнения, даже при разрыве нелинейной функции F(X) на входе нелинейного элемента отсутствует не только скачок координаты, но и скачок скорости и ускорения при переходе изображающей точки X через поверхность разрывов F(X) и ее производных [60].
Однако в дорезонансной области 1 7(усу) не обладает фильтрующими свойствами (низкочастотная асимптота имеет наклон +40дб/дек), т.е. в низкочастотном диапазоне вторая гармоника усиливается линейной частью в 4 раза больше, чем первая, а третья гармоника в 10 раз больше. Поэтому колебания на входе нелинейного элемента из-за наличия высших гармоник существенно негармонические и формальное применение метода первой гармоники в этом случае вносит значительные погрешности в определение параметров периодического решения. Но поскольку полоса гашения резонансных колебаний ограничена межинвариантным диапазоном Q, со Q2 , то вторая, а тем более третья и последующие гармоники попадают на послерезонансную часть АЧХ, обладающую ярко выраженными фильтрующими свойствами и следовательно применение метода гармонической линеаризации к системе (4.13) вполне обосновано.
Допустим, что в данной нелинейной системе возможны собственные периодические колебания (автоколебания). Будем полагать на основе фильтрующих свойств приведенной линейной части, что форма этих колебаний на входе нелинейного элемента близка к синусоидальной, т.е. X = asma t (4.17) где а и со - амплитуда и частота автоколебаний.
