Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Обзор работ по теме 10
1.1 Методы расчета виброизолированных систем как систем с несколькими степенями свободы на произвольную нагрузку 10
1.2 Сравнительный анализ методов расчета систем с несколькими степенями свободы на произвольную нагрузку 18
ГЛАВА 2. Передаточные и импульсные переходные функции в задачах динамического расчета систем с конечным числом степеней свободы 21
2.1 Передаточные и импульсные переходные функции для систем с конечным числом степеней свободы 21
2.2 Расчет систем с конечным числом степеней свободы на гармонические нагрузки. Передаточные функции 22
2.3 Расчет на импульсные и произвольные воздействия (импульсные переходные функции, интеграл Дюамеля) 26
2.4 К учету диссипативных сил в системах с конечным числом степеней свободы 27
2.4.1 Поступательные колебания системы с двумя степенями свободы 28
2.4.2 Поступательные колебания системы с тремя степенями свободы 34
2.4.3 Учет диссипативных сил при расчете плоских колебаний массивных виброизолированных объектов (вертикальные и горизонтально-вращательные колебания) 42
2.5 К расчету нелинейных систем (системы нелинейных интегральных уравнений второго рода, к которым приводятся уравнения движения, алгоритм их решения) 49
ГЛАВА 3. Расчет виброзащитных систем как систем с несколькими степенями свободы 54
3.1 Системы с несколькими степенями свободы, расчетные схемы которых рассматриваются в работе 54
3.2 Вертикальные колебания системы с тремя степенями свободы 55
3.3 Горизонтальные колебания системы с тремя степенями свободы при кинематическом возбуждении 60
3.4 Плоские колебания массивных виброизолированных тел 62
ГЛАВА 4. Алгоритмы и примеры расчета систем виброзащиты 70
4.1 Алгоритм расчета систем с несколькими степенями свободы на произвольные нагрузки (на примере расчета поступательных колебаний виброизолированного оборудования как системы с несколькими степенями свободы в переходных и эксплуатационном режимах) 70
4.2 Общая схема расчета систем со многими степенями свободы на произвольные нагрузки (на примере расчета поступательных колебаний виброизолированного оборудования как системы со многими степенями свободы в переходных и эксплуатационном режимах) 74
4.3 Расчет вертикальных колебаний виброизолированного грохота с дополнительным инерционным блоком как системы с двумя степенями свободы в переходных и эксплуатационном режимах 75
4.4 Расчет вертикальных колебаний системы с тремя степенями свободы (на примере виброизолированного грохота) 81
4.5 Колебания системы с тремя степенями при действии вертикального импульса (на примере виброизолированного молота на постаменте с подшаботной виброизоляцией) 86
4.6 Горизонтальные колебания системы с тремя степенями свободы при кинематических воздействиях 90
4.7 Плоские колебания массивного виброизолированного объекта (на примере вентилятора) в переходных режимах 96
4.8 Анализ результатов расчета 104
Заключение 105
Список литературы
- Сравнительный анализ методов расчета систем с несколькими степенями свободы на произвольную нагрузку
- Расчет систем с конечным числом степеней свободы на гармонические нагрузки. Передаточные функции
- Горизонтальные колебания системы с тремя степенями свободы при кинематическом возбуждении
- Расчет вертикальных колебаний виброизолированного грохота с дополнительным инерционным блоком как системы с двумя степенями свободы в переходных и эксплуатационном режимах
Сравнительный анализ методов расчета систем с несколькими степенями свободы на произвольную нагрузку
Расчет виброизолированных систем на произвольную нагрузку – важная практическая задача, которая может возникать при расчете виброизолированных машин с динамическими нагрузками в переходных режимах, при расчете виброзащитных систем как при силовом, так и при кинематическом возбуждении (в частности, сейсмических воздействиях) и т.д. [21]
В действующих нормативных документах [67, 68] отсутствуют указания по расчету систем с несколькими степенями свободы на произвольную нагрузку. Однако в работах отечественных и зарубежных ученых можно выделить несколько методов, которые достаточно широко применяются при расчете систем виброзащиты.
Из методов, которые используются при расчете виброзащитных систем как систем с несколькими степенями свободы на произвольную (в частности, гармоническую и импульсную) нагрузку, выделим методы, которые можно определить как численно-аналитические: а) решение линейных дифференциальных уравнений движения в виде комбинаций линейно независимых частных решений линейного однородного дифференциального уравнения; б) метод «нормальных форм»; в) метод с использованием передаточных и импульсных переходных функций; г) метод вариации произвольных постоянных; д) метод, основанный на разложения решений в ряды по ортогональным полиномам Чебышева. В справочнике «Вибрации в технике» [2] приведены некоторые менее распространенные методы расчета виброизолированных систем на произвольную нагрузку - в частности, с использованием разложения внешней нагрузки и реакции в ряд Фурье для периодических нагрузок, а также решение уравнений движения систем с помощью преобразования Лапласа. а) Построение решений линейных дифференциальных уравнений движения в виде комбинаций линейно независимых частных решений линейного однородного дифференциального уравнения - один из хорошо изученных методов математического анализа. Такой подход использовался в работах Савинова О.А. (в частности, [42]) для расчета плоских колебаний массивного тела, как системы с двумя степенями свободы, при действии вертикального импульса. В Справочнике [45], в частности, приведены формулы для расчета вертикальных колебаний системы с двумя степенями свободы при действии одиночного импульса, плоских колебаний массивных тел при действии гармонических, кратковременных периодических сил.
Решение задач колебаний массивных виброизолированных тел при действии горизонтального импульса и внецентренно приложенного импульса было получено Барканом Д.Д. [1] и Павлюком Н.П. [33] б) Метод «нормальных форм» (метод главных координат) применительно к расчету систем с несколькими степенями свободы хорошо изучен и широко применяется. Этот метод подробно освещен, в частности, в [51, 56]. Он особенно удобен при расчете систем с большим числом степеней свободы (больше 3-х). Один из этапов расчета этим методом - определение собственных форм системы и их нормирование [43]. Суть метода заключается в том, что перемещения масс системы с несколькими степенями свободы в любой момент времени представляются в виде разложения по собственным векторам (главным координатам):
Перемещения в исходной системе затем определяются по формуле (1.1). При учете диссипативных сил, как правило, используются два подхода: - описанный выше подход, когда диссипативные коэффициенты dr = prr вводятся в уравнения колебаний в главных координатах; - подход, при котором диссипативные коэффициенты определяются как диагональные члены матрицы Ф DФ; элементы матрицы D (диссипативной матрицы в обобщенных координатах) задаются пропорционально жесткостям системы, например, для системы с двумя степенями свободы, в виде: f 1А -1 А 1
Для анализа виброзащитных систем метод «нормальных форм» используется сравнительно редко. Однако в задачах строительной механики этот метод используется широко - при динамическом расчете балок, пластин, оболочек и т.п.
Метод «нормальных форм» в традиционном виде позволяет разрабатывать эффективные и устойчивые алгоритмы для расчета нелинейных систем [34, 35, 36, 56, 57].
Уравнения движения систем с нелинейной жесткостной характеристикой сводятся к интегральным уравнениям второго рода (на примере системы с одной степенью свободы, [52, 56]):
Расчет систем с конечным числом степеней свободы на гармонические нагрузки. Передаточные функции
Естественно, можно показать, что при v1 = v2 = v3 = v диссипативные коэффициенты, соответствующие формам собственных колебаний, равны vr/ = v. В этих случаях применимы традиционные формулы расчета с использованием передаточных и импульсных переходных функций. При значительно различающихся коэффициентах v1, v2 и v3, коэффициенты демпфирования, соответствующие каждой форме собственных колебаний, vr/ следует определять по формуле (2.42). Как достаточно очевидный вывод следует, что при расчете систем с несколькими степенями свободы при близких значениях диссипативных коэффициентов в элементах системы применимы традиционные формулы для передаточных и импульсных переходных функций.
В нормативных документах [67, 68], как правило, принимается, что реакция основания симметрична относительно вертикальной плоскости oyz, проходящей через центр масс системы, т.е. Кух = 0, что позволяет разделить расчет на вертикальные и горизонтально-вращательные колебания. Расчет вертикальных колебаний системы производится как для системы с одной степенью свободы, горизонтально-вращательных колебаний - с двумя степенями свободы. Уравнение горизонтально-вращательных колебаний системы, с учетом диссипативных сил, следует из (2.43) [56]:
Сохранив общий подход к решению подобных уравнений, более детально рассмотрим вариант, когда нелинейность системы связана с нелинейной реакцией в нижней связи к2 (как функции перемещения массы т2), а произвольная нагрузка q1{t) действует на массу т1 (рисунок 2.1).
Подобная расчетная схема может относиться к расчету виброизолированных систем с промежуточным инерционным блоком, в том числе к расчету систем, у которых нормируются перемещения верхней массы (в частности, грохотов), и требуется снизить нагрузки, передающиеся на опорную конструкцию.
Нелинейное интегральное уравнение (2.57) решается на каждом шаге по времени с помощью итераций. На первом шаге по времени, при котором y2(t) y02 (например, при t = t0) для первой итерации принимается, что полные перемещения равны линейным перемещениям, т.е. V-(tA = lAtA (/ = 1,2). Затем вычисляются значения «фиктивных» нагрузок Ф2 Гз гС о)! вспомогательных функций Fl (t0,r\, F2 (t0,r\ и определяются перемещения от «фиктивной» нагрузки на первой итерации iJtA (/ = 1,2). Во второй итерации уточняются значения перемещений у it Л =1AtA + IJtA (/ = 1,2). Итерации на шаге по времени производятся, пока не выполнится условие
Система с двумя степенями свободы (рисунок 2.1) – расчетная схема, которая достаточно широко применяется при расчете динамических систем, в частности, при расчете элементов конструкций, моделируемых системой с одной степенью свободы с динамическими гасителями колебаний [17, 25, 40] или с промежуточными инерционными блоками [22], систем виброзащиты с учетом жесткости поддерживающих конструкций [19, 39] и т.п.
Расчетная схема систем виброзащиты как систем с тремя степенями свободы (рисунок 2.5) используется, в частности, при расчете элементов конструкций, моделируемых системой с двумя степенями свободы (например, «оборудование+постамент») с динамическими гасителями колебаний [46] или промежуточными инерционными блоками, систем виброзащиты с учетом жесткости поддерживающих конструкций и т.п.
Расчетные схемы, относящиеся к плоским колебаниям массивных тел, как систем с одной и двумя степенями свободы (соответственно, при вертикальных и горизонтально-вращательных колебаниях), широко используются на практике и включены в нормативные и справочные документы по расчету систем виброизоляции и массивных фундаментов [6, 18, 37]. Для относительно нетрадиционных вариантов, когда равнодействующая реакций основания не лежит в плоскости, перпендикулярной плоскости колебаний и проходящей через центр масс, основной расчетной схемой является система с тремя степенями свободы.
Горизонтальные колебания системы с тремя степенями свободы при кинематическом возбуждении
Рассмотрим вертикальные колебания грохота на постаменте как системы с двумя степенями свободы, рассчитанную в [56] на гармоническую нагрузку, действующую на первую массу (в эксплуатационном режиме), с помощью метода «нормальных форм». Проанализируем поведение этой системы в переходных режимах работы оборудования (режимы пуска и остановки), в частности, при прохождении через резонанс. Также исследуем зависимость максимальных амплитуд колебаний масс системы от продолжительности пуска и остановки оборудования. В качестве проверки был выполнен расчет в эксплуатационном режиме с использованием передаточных функций.
В упомянутом выше примере расчетные характеристики системы: масса оборудования (грохота) - Ш1 = 10 000 кг; масса постамента - т2 = 6 000 кг; жесткость элементов крепления оборудования к постаменту - к1 = 3,5-103 кН/м; жесткость элементов крепления постамента к опорным конструкциям -к2 = 4,2-103 кН/м. Были приняты следующие параметры внешней нагрузки: Q1 = 350 кН и = 78,54 рад/с (12,5 Гц) - амплитуда и частота внешней нагрузки соответственно.
Демпфирование учитывалось согласно модифицированной гипотезе Фойгта, значения коэффициентов демпфирования в элементах системы принимались равными у. =0,1, где / = 1,2 - номера элементов системы. Отсюда в соответствии с п. 2.4.1 коэффициенты демпфирования, соответствующие формам собственных колебаний системы, равны уг=0,1, где г = 1,2 - номера собственных форм. где ki и zi,max - жесткость элементов крепления ближайшей к основанию массы (m2, см. рисунок 2.1, для системы с двумя степенями свободы) и ее максимальное перемещение соответственно (в переходном или эксплуатационном режиме).
По сравнению с традиционной схемой виброизоляции нагрузка, передающаяся на основание, в эксплуатационном режиме снижается примерно в 8 раз [56]. Коэффициент передачи в эксплуатационном режиме составил 0,009. В переходных режимах работы машины внешняя нагрузка определялась зависимостями (4.1) и (4.2).
Для анализа влияния продолжительности времени пуска и остановки оборудования (или скорости изменения амплитуды и частоты внешней нагрузки при пуске и остановке) на амплитудные значения перемещений в резонансной зоне система была рассчитана при таких значениях коэффициентов а и Ъ:
Решения системы уравнений движения в переходных режимах строились с использованием импульсных переходных функций (ИПФ) ku11(t) и ku21(t), полученных в [56], в форме интегралов Дюамеля (1.15). Результаты расчетов приведены в таблицах 4.1 и 4.2. Таблица 4.1 - Результаты расчета вертикальных колебаний системы с двумя степенями свободы (режим пуска) Режим пуска a, рад/с2 5 10 15 20 Максимальная амплитуда ближайшей к основанию массы (m2 , см. рисунок 2.1), мм 43,1 35,6 31,4 24,8 Таблица 4.2 – Результаты расчета вертикальных колебаний системы с двумя степенями свободы (режим остановки) Режим остановки 3 b, рад/с 5 2 1 10 15 Максимальная амплитуда ближайшей к основанию массы (m2 , 46,9 39,6 35,4 29,5 26,1 см. рисунок 2.1), мм Эффективность виброизолированной системы можно оценивать по коэффициенту передачи (4.12) [41]. При одинаковых значениях амплитуды внешней силы 20 и жесткости элементов крепления ближайшей к основанию массы кг эта оценка сводится, по существу, к сравнению максимальных амплитуд ближайшей к основанию массы при различных параметрах системы.
На рисунке 4.2 приведен график колебаний ближайшей к основанию массы (т2, см. рисунок 2.1) при а = 5 рад/с2; Ъ = 3 рад/с2 (на графике видно, что в переходных режимах амплитуды колебаний увеличиваются в несколько раз по сравнению с эксплуатационным режимом).
Рисунок 4.2 - График колебаний массы т2 (см. рисунок 2.1) при коэффициентах а = 5 рад/с2; Ъ = 3 рад/с2 На рисунках 4.3 и 4.4 приведено сравнение уровней колебаний ближайшей к основанию массы (m2 , см. рисунок 2.1) в режимах пуска и остановки при различных величинах коэффициентов a и b.
1) При подборе систем виброзащиты и расчете опорных конструкций по прочности необходимо учитывать переходные режимы работы оборудования, т.к. амплитуды колебаний масс системы и нагрузки, передающиеся на опорные конструкции, максимальны при прохождении системы через резонанс в переходных режимах. В частности, согласно таблицам 4.1 и 4.2 (для рассмотренной системы и при заданных параметрах a и b) нагрузка на опорные конструкции в переходных режимах больше, чем при эксплуатационном, минимум в 37 раз (26,1 мм / 0,7 мм).
2) Из данных, содержащихся в таблицах 4.1 и 4.2, следует, что скорости колебаний в переходных режимах существенно влияют на максимальные амплитуды колебаний системы вблизи резонанса (существенно снижаются при увеличении скорости изменения нагрузки).
Расчет вертикальных колебаний системы с тремя степенями свободы (на примере виброизолированного грохота)
Если оборудование, виброизолированное по стандартной схеме, можно рассматривать как систему с двумя степенями свободы (например, «оборудование + постамент»), то при введении дополнительных масс -инерционного блока или динамического гасителя колебаний расчетной схемой становится система с тремя степенями свободы. Такая система, в частности, показана на рисунке 2.5. Уравнения движения системы с тремя степенями свободы даны в разделе 2.4.2 (формулы (2.33)).
В примере также рассматриваются вертикальные колебания грохота. Характеристики системы: масса оборудования - 10 000 кг; масса постамента -5 000 кг; 5-103 кН/м - жесткость элементов крепления оборудования к постаменту; 2-103 кН/м - жесткость элементов крепления постамента к опорным конструкциям. Параметры внешней нагрузки: Q0 = 350 кН и = 60 рад/с -амплитуда и частота внешней нагрузки соответственно. [32]
В качестве первого варианта рассматривалась система с динамическим гасителем колебаний (масса т1 - динамический гаситель; т2 - оборудование; т3 - постамент). Жесткость упругих элементов гасителя принималась равной к1 =4-103кН/м; масса гасителя т1 была определена из условия минимума динамической нагрузки, передающейся от виброизолированной системы на опорные конструкции (при эксплуатационном режиме нагрузки), по формуле
Расчет вертикальных колебаний виброизолированного грохота с дополнительным инерционным блоком как системы с двумя степенями свободы в переходных и эксплуатационном режимах
Выполненные расчеты позволили выявить определенные преимущества принятого в работе метода: а) метод позволяет достаточно просто провести анализ линейных динамических систем при различных типах нагрузок, действующих на них (например, в [29, 30]); б) формулы для расчета систем в эксплуатационных режимах получены в замкнутом виде; в) отсутствует необходимость в построении собственных форм; г) общий алгоритм метода сохраняется при любом типе внешней нагрузки. При выборе параметров виброизоляции, расчете и анализе виброизолированных систем, а также при расчете на прочность опорных конструкций под машины с гармоническими нагрузками следует учитывать возможность нежелательных последствий при действии значительных нагрузок в переходных режимах.
Если диссипативные коэффициенты в элементах системы существенно отличаются, то для определения «обобщенных» диссипативных коэффициентов, соответствующих формам собственных колебаний, следует использовать полученные в данной работе формулы (для поступательных колебаний систем с двумя степенями свободы – по п. 2.4.1, для поступательных колебаний систем с тремя степенями свободы – по п. 2.4.2, для плоских горизонтально-вращательных колебаний массивного виброизолированного тела – по п. 2.4.3).
Максимальные перемещения в элементах системы в переходных режимах существенно зависят от продолжительности пуска и остановки системы. В качестве основных результатов проведенных исследований можно отметить:
1) Дан анализ работ, посвященных расчету виброизолированных систем как систем с несколькими степенями свободы на произвольную нагрузку; по результатам сравнения выбран, оптимальный для поставленной задачи, метод с использованием передаточных и импульсных переходных функций.
2) Получены формулы передаточных и импульсных переходных функций для ряда динамических систем: при поступательных (вертикальных и горизонтальных) колебаниях систем с тремя степенями свободы и плоских колебаниях массивных виброизолированных объектов как систем с тремя степенями свободы. Решения строятся в виде разложения по формам собственных колебаний относительно обобщенных координат. В связи с этим необходимость в построении собственных форм и их нормировании, что значительно сокращает процесс вычисления.
3) Формулы для расчета систем в эксплуатационных режимах (при гармонических и импульсных воздействиях) получены в замкнутом виде, при расчете на произвольные нагрузки – в виде интеграла Дюамеля.
4) Получены зависимости для определения «обобщенных» диссипативных коэффициентов, соответствующих собственным формам колебаний, в передаточных и импульсных переходных функциях, при различных диссипативных коэффициентах в элементах систем.
5) Развит и доведен до алгоритмов и программ расчет виброзащитных систем с конечным числом степеней свободы при гармонических, импульсных и произвольных внешних нагрузках при поступательных колебаниях (в частности, в режимах пуска и остановки).
6) Выполнен расчет ряда виброзащитных систем как систем с несколькими степенями свободы и дана оценка их эффективности, в частности, в зависимости от скоростей возрастания нагрузки в пусковом и снижения воздействий в остановочном режимах.
7) Сравнение результатов расчета различных виброизолированных систем в переходных режимах работы оборудования, полученных с помощью метода с использованием передаточных и импульсных переходных функций, с результатами, полученными с помощью традиционного метода «нормальных форм», подтвердили идентичность полученных решений. Алгоритмы обладают устойчивостью и сходимостью. Оценивалось влияние продолжительности времени пуска и остановки системы на максимальные перемещения. 8) Разработан алгоритм расчета нелинейной системы с конечным числом степеней свободы.
