Содержание к диссертации
Введение
1 Анализ методов оптимального проектирования технических объектов 10
1.1 Детерминированные поисковые алгоритмы 10
1.2 Алгоритмы случайного поиска 17
1.3 Эволюционное моделирование 20
1.4 Методы оптимизации деформируемых объектов 26
1.5 Оптимизация несущих систем в современных программных комплексах 39
Цель и задачи диссертации 42
2 Разработка метода структурно-параметрической оптимизации несущих систем 44
2.1 Постановка задачи оптимального проектирования стержневых и пластинчатых конструкций 44
2.2 Разработка генетического алгоритма оптимизации деформируемых объектов 45
2.3 Примеры оптимизации стержневых систем 55
2.4 Имитационное моделирование в генетической итерационной процедуре 60
3 Реализация разработанных алгоритмов в рамках комплекса конечно-элементного анализа 67
3.1 Функциональные модели программных средств оптимального проектирования конструкций 67
3.2 Подсистема препроцессорного анализа 72
3.2.1 Создание средств визуализации исследуемых объектов 73
3.2.2 Диалоговая система ввода исходных данных 86
3.3 Разработка системы постпроцессорного анализа 89
3.3.1 Общие положения 89
3.3.2 Процедуры визуализации результатов расчетов 91
3.3.3 Документирование результатов расчетов и система помощи... 95
4 Анализ работы эволюционного и имитационного моделирования на примерах оптимизации несущих систем 99
4.1 Характер сходимости процедуры эволюционного моделирования... 99
4.2 Анализ точности результатов имитационного моделирования 109
4.3 Влияние управляющих параметров имитационной модели на трудоемкость вычислительных процедур при оптимизации конструкций 116
4.4 Структурно-параметрический синтез каркаса промышленного здания 118
4.4.1 Общее описание конструкции 118
4.4.2 Условия и результаты оптимизации 120
4.4.3 Анализ ожидаемой экономической эффективности полученного проектного решения 125
Основные выводы и результаты работы 129
Список литературы 130
- Алгоритмы случайного поиска
- Разработка генетического алгоритма оптимизации деформируемых объектов
- Подсистема препроцессорного анализа
- Анализ точности результатов имитационного моделирования
Алгоритмы случайного поиска
Методы случайного поиска [16, 128, 129, 43] можно условно классифицировать на следующие группы: Поиск с накоплением. На основе пробных шагов вычисляются значения целевой функции в некоторой окрестности точки х. Затем находится направление для рабочего шага, близкое к антиградиентному, причем степень близости зависит от числа пробных попыток q. Для каждой пробы вычисляется целевая функция, и шаг делается в направлении той пробы, которая привела к наилучшему ее значению. Особенностью этого метода является возможность расчета при q п, где п - число переменных оптимизируемой функции.
Поиск с адаптацией. В этом методе параметры поиска изменяются в процессе оптимизации. Введение автоматически изменяющегося шага поиска улучшает сходимость и точность метода. В процессе оптимизации осуществляются операции, приводящие к тому, что на значительном расстоянии от экстремума шаг поиска увеличивается, а при приближении к нему - уменьшается. Эти процедуры часто реализуются при использовании результатов последней итерации. Увеличение шага осуществляется умножением его на коэффициент роста d\, а уменьшение - делением на di, причем dx d2 \.
Поиск с самообучением. Метод заключается в перестройке вероятностных характеристик поиска, то есть в определенном целенаправленном воздействии на случайный вектор . Процесс поиска может быть представлен формулой x. . =x. +a_ -!-,& = 0,1,..., (1.8) f k + \ где а/с - величина шага поиска; g = ( ,.. п)- некоторая реализация «-мерного случайного вектора . Вектор перестает быть равновероятным и в результате самообучения приобретает ориентацию в направлениях наилучших шагов. Это достигается введением вектора Рк = (рк, р ,..., ркп); j = \..п, где р - вероятность выбора направления поу-ой координате на &-ом шаге. Алгоритм корректирует значение компонентов этого вектора на каждой итерации в зависимости от значения целевой функции, которое получено в заданном направлении.
Классическим методом случайного поиска является метод Монте-Карло [43, 44]. Суть метода заключается в поиске экстремума в заданной области допустимых параметров VmXi V Vmln с точностью интервала неопределенности є. Здесь Vmax,Vm-m- максимальное и минимальное значения параметра V. ЕСЛИ ДОПуСТИМаЯ облаСТЬ ПО ОДНОМУ ИЗ Параметров D=Vm -Vm]n, то вероятность непопадания в область экстремума за один шаг равна Px=l-fD- (L9) Соответственно за п шагов алгоритма вероятность попадания в область экстремума определится выражением PH=\-(l-e/D)H. (1-Ю) Число генераций случайного вектора, необходимых для уточнения минимума с точностью Б, составит G = \g{\- Pn)l\g{[ є IЬ). В случае к внутренних параметров целевой функции число генераций этого вектора увеличится в 4к раз и составит п4к. Общее число обращений к модели метода Монте-Карло за G генераций определяется зависимостью п0 = nG k. Этот метод эффективен при большом числе испытаний G 1000 и относительно невысокой точности є. Методы поиска, основанные на анализе перемещений по дереву возможных решений [19, 23], могут осуществляться как на основе случайного поиска, так и с применением заданных алгоритмов. Метод поиска с возвратом основан на следующих положениях. В пространстве параметров выбирается вектор х0 и задается постоянный шаг h. Из этой точки в направлении, определенном случайным единичным вектором = (j,2 ») делается шаг И и вычисляется новое значение целевой функции для вектора Xj. При удачном шаге новый шаг в случайном направлении осуществляется из точки, соответствующей Зс,. При неудачном шаге происходит возврат в начальную точку и выполнение нового шага в случайном направлении. При поиске минимума функции процесс оптимизации по рекомендациям книги [23] можно представить в виде соотношения Л А+1 = hi, Дхк) /(хк_]); (1Л1) -Ахк, f(xk) f(xk_{), где АЗсА+1, /Sxk — векторы-приращения аргументов на к -м шаге. Метод поиска в глубину заключается в том, чтобы в каждой исследуемой вершине дерева решений осуществлялся выбор одного из возможных путей и исследование этого пути выполнялось до конечной вершины графа. Выбранное направление исследуется до тех пор, пока существует возможность получения локального оптимума. Другие пути при этом не рассматриваются. Основной недостаток этого метода связан с тем, что при исследовании дерева решений с большой вероятностью можно пропустить путь, в котором находится оптимум. Пример схемы такого поиска показан на рисунке 1.1. Рисунок 1.1- Схема поиска в глубину
Здесь 0-1, 0-5, 0-11, .. 0-4 - возможные пути поиска. Выход на вершину 12 указывает на то, что задача поиска решена. При этом исследованы вершины 0, 2, 6, 9, 12. Существенными недостатками рассмотренных в данном разделе методов случайного поиска является высокая трудоемкость процесса оптимизации, обусловленная большим количеством вычислений, низкая сходимость и невозможность оптимизации функций с достаточно большим числом переменных.
Разработка генетического алгоритма оптимизации деформируемых объектов
Будем формировать для несущей системы некоторую избыточную структуру, управление которой предусматривает возможность введения «нулевых» (отсутствующих) конструктивных элементов, имеющих относительно малый модуль упругости материала. При этом структурно-параметрическая оптимизация сводится к параметрической. С учетом поставленных ограничений должны задаваться дискретные множества допустимых параметров, на которых выполняется оптимизация.
Введем множество С координат узлов конечно-элементной модели: С=Сі+Сг+Сз (суммирование выполняется в соответствии с правилами булевой алгебры), где Ck - множество значений х координат х (к=\, 2, 3; г=\, 2,..., r0); г о - общее число узлов. Разложим множество С на непересекающиеся подмножества таким образом: С=СА+СВ+СО, где СА - множество независимо изменяемых координат узлов; Св - множество изменяемых координат, которые являются линейными функциями от элементов подмножества СА\ а СА; CD - множество неизменяемых координат. Используем зависимость {ХВ}={ХВ0}+[Т]{ХА]}, (2.4) где {Хв}, {ХАХ} - векторы элементов множеств Св и СА\\ {Хво}, [7] - вектор и матрица постоянных, учитывающих связь между координатами. Для каждого /-го элемента множества СА\ рассматривается конечное множество С,- значений соответствующей координаты, допускаемых для выбора в процессе оптимизации. Множество П профилей стержней, подвергающихся вариациям, разделим на непересекающиеся подмножества: П=ПІ+ГІ2+ПЗ, где Пі - множество профилей, задаваемых интегральными геометрическими характеристиками поперечных сечений (в частности, по сортаментам); Пг - множество тонкостенных профилей с постоянным по длине стержня составным сечением, задаваемым параметрами образующих его плоских фигур; П3 - множество тонкостенных профилей с составным сечением, переменным по длине стержня. Каждый к-и элемент множества П, (/-1, 2, 3) связывается с множеством Gjk стержней, изготавливаемых из соответствующего профиля.
Принимаем для процесса оптимизации в качестве активных ограничений условия геометрической неизменяемости объекта, равновесия узлов, работоспособности стержней, прочности пластин, а также требования по жесткости. Требования по унификации, условия симметрии, конструктивные ограничения должны быть обеспечены соответствующим выбором множеств С/, наборов сечений для профилей Пь допустимых значений независимо варьируемых элементов векторов { } и элементов множества Пр, наборов задаваемых интегральными характеристиками плоских фигур в сечениях профилей П2 и П3, векторов {Ч ю} и {Хво}, матриц [7] и [S]. Общую устойчивость для многих конструкций можно заранее обеспечить, предусмотрев необходимые группы стержней и пластин, которые не должны устраняться в процессе оптимизации. Тем не менее в любом случае подразумевается апостериорная проверка общей устойчивости для объектов, получаемых в результате выполнения алгоритма оптимизации. Условие геометрической неизменяемости мы будем сводить к ограничениям по перемещениям. Для этого, прежде всего, должна быть обеспечена геометрическая неизменяемость базовой конструкции избыточной структуры. Расчеты показывают, что в этом случае при задании условного модуля упругости для «нулевых» конструктивных элементов в 105 106 раз меньше модуля упругости основного материала обеспечивается как имитация отсутствия этих элементов, так и возможность получения хорошо обусловленной системы уравнений для геометрически неизменяемого объекта. Если дефор 50 мируемое тело становится геометрически изменяемым, то об этом могут свидетельствовать относительно большие фиктивные перемещения, получаемые при формальном решении задачи. В случае, когда при введении конструктивных элементов малой жесткости окажутся изолированными группы конечных элементов, на которые не действует нагрузка, то решение системы уравнений метода конечных элементов может и не дать больших перемещений, однако такие объекты исключаются в процессе оптимизации как нерациональные. Альтернативой данному подходу к отсеиванию геометрически изменяемых систем является оценка значения определителя матрицы [К], однако этот путь представляется весьма трудоемким.
Проведение эволюционного моделирования для оптимизации деформируемых систем связано с необходимостью многократного выполнения сравнительно трудоемкой процедуры проверки прочности рассматриваемых вариантов конструкции. Тем не менее за счет использования базы данных элитных объектов и введения самообучающейся системы для априорной отбраковки особей удается получить генетический алгоритм, позволяющий выполнять оптимизацию достаточно сложных конструкций на персональных компьютерах.
Каждую конкретную реализацию объекта интерпретируем как особь, набор генов которой определяется состоянием варьируемых параметров. В качестве критерия выживаемости рассматривается масса конструкции. Чем меньше масса, тем выживаемость для объектов, удовлетворяющих поставленным ограничениям, считается более высокой. Общая схема данной вычислительной процедуры представлена на рисунке 2.2. Поясним содержание приведенных на схеме блоков.
Подсистема препроцессорного анализа
Во многих случаях при решении задач поиска рациональных несущих систем предусматривается вариантное проектирование и оптимизация доста 73 точно сложных объектов. При этом существует необходимость построения конечно-элементных моделей, включающих несколько тысяч узлов. Следовательно, основной тенденцией в разработке препроцессора считаем ориентированность на работу с расчетными схемами, содержащими большое количество узлов и элементов.
Для создания средств визуализации конечно-элементных моделей использовался аппаратно-независимый низкоуровневый интерфейс OpenGL. Эта графическая система представляет собой конечный автомат [23, 120], режимы работы которого описываются множеством переменных состояния. Такими переменными могут быть: цвет, текущая глубина, преобразования проецирования и др.
Списки вывода — это группа команд, сохраняемых в процессе работы программы для дальнейшего выполнения. Данные списки используются при многократном отображении одних и тех же данных, например групп простейших геометрических объектов.
Обработки вершин. Данный блок преобразует вершины в примитивы. Под вершинами понимаются векторы, содержащие координаты точек. Эти векторы преобразуются в матрицы чисел размером 4x4, которые используются для проецирования примитивов (точек, отрезков, полигонов) в положение на экране. В данном блоке также происходит вычисление параметров освещения.
Сборка примитивов. Основной частью этого блока является операция отсечения. Эта операция представляет собой удаление частей геометрии, которые выходят за приделы полупространства, определенного некоторой плоскостью. При отсечении точек отбрасываются вершины, при отсечении линий или многоугольников добавляются дополнительные вершины в зависимости от того, как отсекается многоугольник. После этого выполняются операции получения глубины (экранная z-координата) и окна просмотра. Результатом выполнения этой стадии являются законченные геометрические примитивы и связанные с ними значения цвета и глубины.
Обработка пикселей. На данном этапе осуществляется представление информации о пикселях в виде компонентов их цветов и альфа-компонентов. Затем при необходимости пиксельные данные масштабируются, смещаются и обрабатываются с помощью карты элементов отображения. После этого результаты преобразований фиксируются и передаются на стадию растеризации.
Растеризация. Эта операция представляет собой преобразование геометрических и пиксельных данных во фрагменты. Каждый фрагмент соот 75 ветствует определенному пикселю в буфере кадра. Для фрагмента определяются значения цвета, глубины и другие параметры.
Обработка фрагментов. В результате данной обработки некоторые фрагменты могут быть изменены или отброшены. Примером такой операции может служить тест буфера глубины, представляющий собой удаление невидимых поверхностей.
Рассмотрим некоторые применяемые в системе визуализации геометрические объекты и соответствующие переменные состояния. При визуализации объектов буфер кадра хранит образ последнего нарисованного изображения, поэтому необходимо его очистить, а затем начинать рисование новой сцены. Цвета пикселей, сохраняющихся в аппаратных средствах компьютерной графики, носят название битовых плоскостей. В битовых плоскостях хранятся компоненты цвета: R-красный, G-зеленый, В-синий, А-альфа (RGBA). Информация об изображении в OpenGL хранится в нескольких типах буферов. В разрабатываемой системе визуализации используется буфер цвета (GL_COLOR_BUFER_BIT) и буфер глубины (GL_DEPTH_BUFER _ВГТ).
Директивы для очистки буферов цвета и глубины определяются командами glclearcolor(), glcleardepth(). Очистка соответсвующего буфера производится при помощи команды glclear( ) с аргументом, указывающим, какой именно буфер необходимо очистить.
Анализ точности результатов имитационного моделирования
Значения выходных данных, получаемых с помощью метода конечных элементов и имитационного моделирования, могут отличаться друг от друга. Поэтому возникает задача оценки точности таких моделей [24]. В рассматриваемом нами случае удается установить выборочный закон распределения выходных показателей имитационной модели и данных, полученных на основе метода конечных элементов. При этом адекватность рассматриваемых моделей можно установить путем проверки гипотезы о предполагаемом законе распределения. Проверка осуществляется с помощью статистических критериев согласия, определяющих вероятность того, что при предполагаемом законе распределения отклонения в рассматриваемых выборках вызваны случайными причинами. 1) Установка выборочного закона распределения ошибки Atm; 2) Оценка адекватности имитационной модели результатам расчета по методу конечных элементов; 3) Определение погрешности имитационного моделирования. Выполнение обработки статистических данных имитационного моделирования осуществляем по методике, описанной в разделе 4.1. Для установления закона распределения случайной величины Atm была сделана выборка (таблица 4.6). Следуя рекомендациям книги [52], диапазон изменения случайной величины Ls = (16,28 + 6,83) = 23,11 делим на целое число частичных интервалов ns = 6 при условии, что в каждом из них частота наблюдения случайной величины была не менее 8.
Как показали расчеты, гипотеза о нормальном распределении случайных величин Atm и Лдт в данном случае также не нашла своего опровержения при использовании статистических критериев согласия Колмогорова -Смирнова и Андерсена - Дарлинга. Эти критерии согласия ориентированы на оценку характера распределения эмпирических и теоретических случайных величин в так называемых «хвостовых» частях функции распределения.
Аналогичные расчеты проводились для оценки закона распределения выходных величин Atm и Л8т при оптимизации ряда стержневых и пластинчатых систем. В каждом из таких расчетов по критериям Пирсона, Колмогорова - Смирнова, Андерсена - Дарлинга не было оснований для опровержения закона о нормальном распределении выходных данных.
Проведем оценку адекватности имитационной модели результатам расчета по методу конечных элементов. Рассмотрим эту процедуру при выполнении 20 расчетов различных вариантов деформируемого объекта.
Получим s = 7,79. Определим доверительный интервал при уровне значимости а =0,05. Величину половины доверительного интервала находим из выражения (4.16). Используя книгу [31], определяем значение т при J =20 и доверительной вероятности f = 0,95. Получим г = 1,723; Я = 3,0.
Границы доверительного интервала для величины Atm принимают следующие значения 1а =-0,332-3 = -3,332; иа =-0,332+3,0 = 2,669.
Поскольку 0є[ la ,ua], разность Atm не является статистически значимой. Это эквивалентно подтверждению гипотезы об адекватности имитационного моделирования процедурам расчета по методу конечных элементов.
Проверим эффективность работы формул (2.20) и (2.21). Поскольку разность Atm не является статистически значимой, математическое ожидание M(Atm) не учитываем. Примем /2 = 1 и проверим при R=235 МПа эффективность отсева непрочных вариантов конструкций (таблица 4.12), где A = vm3-R\ Ao-u=crm3+S(Atm)-R. Из таблицы видно, что отбракованы все непрочные варианты несущей системы и одна прочная особь. По данным таблицы 4.12 вероятность правильной отбраковки конструкции определяем из выражения: Р0 =уу.р=\-0,95=0,95, где р = 20/20 = 1 - вероятность правильной отбраковки непрочной особи. Таким образом, в 95% случаев в данном расчете имитационная модель позволила отсеивать непрочные особи.
В случае, когда случайные величины Atm и Л8т являются статистически значимыми, выполняется корректировка модели с учетом величин M(Atm) и М(А8т). Если значения коэффициентов Q и Q, будут велики, то оптимум, определяемый без имитационной модели, не будет получен. В этом случае многие прочные особи будут подвергаться отбраковке.
