Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Статистическое усреднение уравнений переноса 30
1.1. Динамические системы и их описание 30
1.2. Матричная форма оператора статистического усреднения для дисперсной среды 32
1.3. Усреднение уравнений переноса импульса и момента импульса 43
Глава II. Гетерогенная среда как динамическая система 71
2.1. Описание динамической системы в релаксационном приближении
2.2. Термодинамическая интерпретация динамической системы
2.3. Предельные состояния системы. Вычисление матричных элементов 80
2.4. Эффективные термодинамические функции дисперсной и релаксационной систем
Глава Ш. Динамические уравнения состояния и обощенные уравнения теплопроводности 102
3.1. Динамические уравнения состояния газа с испаряющимися каплями 204
3.2. Практическое использование процесса сжатия увлажненного газа
3.3. Динамическое уравнение состояния сплошной среды с включениями
Глава ІV. Статистическое моделирование процессов тепло и массоошена 158
4.1. Моделирование необратимых процессов методами статистической механики 158
4.2. Кинетика автомодельного режима испарения полидисперсной системы капель 168
4.3. Кинетика растворения полидисперсной системы частиц
4.4. Кинетика сушки системы пористых частиц 198
Глава V. Анализ процессов переноса с помощш функции максимальной работоспособности (эксергии) системы 204
5.1. Эксергетические функции 205
5.2. Эксергия как термодинамический лаграгаман 209
5.3. Уравнения переноса эксергии 213
5.4. Эксергетический анализ процессов теплопроводности 218
5.5. Эксергетический анализ процессов конвективного теплообмена 224
5.6. Эффективные потери при течении пылегазового потока 230
Глава VІ. Процессы в гетерогенной биологически активной среде (Моделирование механохимических процессов в сердечной мышце) 235
6.1. Структура мышцы и природа сокращения 235
6.2. Энергетические превращения в мышце (энергетический конвертор) 241
6.3. Реологические свойства миокарда (механическая подсистема) 247
Основные выводы 278
Литература 283
Приложение 1 319
Приложение 2 323
Приложение 3 326
- Матричная форма оператора статистического усреднения для дисперсной среды
- Термодинамическая интерпретация динамической системы
- Практическое использование процесса сжатия увлажненного газа
- Кинетика автомодельного режима испарения полидисперсной системы капель
Введение к работе
Гетерогенные системы чрезвычайно широко распространены в природе и технике - облака, дожди, метели, туманы, русловые наносы в реках, атмосферные загрязнения, метеоритные дожди, пы-легазовые туманности, различные ансамбли биологических структур; рабочие тела технологических процессов нефтяной, металлургической, химической, пищевой и других отраслей промышленности, энергетики, медицины и т.д.
К типичным гетерогенным средам относятся аэрозоли, газовзвеси, псевдоожиженные слои, суспензии, эмульсии, жидкости с пузырьками газа, зернистые засыпки и пористые тела, насыщенные жидкостью или газом, полимерные и композитные материалы, а также всевозможные биологические объекты - кровь, мембраны, фрагменты различных тканей, мышцы и т.д.
Все возрастающие объемы производства промышленной продукции и связанное с этим увеличение потребления различных видов энергии требует существенной интенсификации различных технологических процессов. Один из путей решения этих актуальных проблем связан с использованием в различных технологических и энергетических установках гетерогенных и дисперсных сред. Развитые поверхности межфазного взаимодействия, высокие коэффициенты переноса энергии и вещества в таких системах позволяют существенно интенсифицировать многие технологические процессы. Достаточно вспомнить опыт, накопленный в области техники псевдоожижения: гетерогенный катализ, сушка и грануляция, термическая и химическая обработка материалов, осуществление реакций в твердой фазе, растворение, сжигание различных видов топлив - вот далеко не полный перечень высокоинтенсивных гетерогенных процессов современной технологии, использующей кипящий слой.
В энергетике остро стоит проблема повышения эффективности энергоустановок, снижения расходов топлива, электроэнергии и тепла. При решении этих задач перспективным является использование в качестве рабочих тел и теплоносителей двухфазных потоков, и в частности, паро- и газожидкостных смесей.
В области современной медицины при разработке диагностической и лечебной аппаратуры, при создании искусственных органов - сердца, почек, сосудов и т.д. приходится также иметь дело со сложным комплексом биофизических и биохимических гетерогенных процессов. Наконец, с многофазными системами связан целый ряд экологических проблем, и в частности, вопросы защиты окружающей среды.
Таким образом,возникает целый ряд вопросов, связанных с формированием потоков гетерогенных сред в элементах технологического оборудования и проточных частях энергетических машин, организацией различных физико-химических процессов, включая и тепло-и массообмеы, управлением режимными параметрами этих процессов. Большое число задач связано с созданием гетерогенных сред, обладающих заданными характеристиками (полимеры, композиты, строительные материалы и др.) и управлением ими.
Естественно, что для решения всех этих вопросов необходимо знать свойства и закономерности поведения гетерогенных систем в самых разнообразных условиях, нужны их математические модели, позволяющие прогнозировать различные ситуации и, наконец, необходимы удобные и надежные инженерные методики расчетов при конструировании и проектировании эффективного технологического оборудования.
Все это существенно стимулировало исследовательские работы в области практического использования и теории гетерогенных систем. За истеїшие два десятилетия в различных отечественных и зарубежных журналах опубликовано большое число работ самого различного плана - экспериментальных, теоретических, прикладных. В настоящее время число публикаций не уменьшается и за год исчисляется сотнями. Многое из накопленного материала обобщено в монографиях отечественных и зарубежных авторов [l-3l] . Следует отметить некоторый разрыв между исследованиями прикладного характера, экспериментом и теорией [2б] . Это обусловлено многообразием и сложностью эффектов, которые могут сопровождать движение гетерогенных смесей: силовое взаимодействие и пульсационное движение фаз, химические реакции и фазовые переходы, столкновения, вращение, дробление, коагуляция частиц, конформационные превращения и т.д.
Таким образом, математическое описание процессов переноса в гетерогенных системах представляет собой чрезвычайно сложную проблему. Её разрешение сопряжено с двумя взаимосвязанными задачами: описанием процессов переноса на уровне отдельных дискретных включений - вблизи отдельных частиц или элементов межфазных поверхностей и анализом влияния коллективных эффектов на поведение всей системы в целом.
В настоящее время существует несколько подходов к решению этой проблемы. При феноменологическом и полуэмпирическом подходе [14-17,25,2б] континуальные уравнения баланса либо постулируются, либо выводятся путем усреднения локальных однофазных уравнений по временному интервалу или малому физическому объему [ 26-27, 33-40 ] . Подробная библиография по этим вопросам содержится в [26,38,39,40,42] . По сравнению с феноменологическим метод пространственно-временного усреднения имеет свои преимущества, так как естественным образом учитывает относительное движение фаз. Однако он имеет существенные недостатки, поскольку результирующие уравнения: кроме средних по объему содержат средние по различно ориентированным поверхностям, что требует привлечения эргодической гипотезы, устанавливающей связь между этими средними. Кроме того, остается открытым вопрос о реологических уравнениях состояния, связывающих средние макроскопические параметры с микроскопическими переменными, характеризующими ситуацию на уровне отдельных микронеоднородностей [39,42J . Эти трудности могут быть преодолены, если использовать методы статистического усреднения "микроскопических переменных" [ 39-43 ] , широко используемые в статистической механике [44] и гидромеханике [45] . Такой подход позволяет, отказавшись от различных эргодических гипотез, рассматривать континуальные уравнения баланса и реологические уравнения состояния с единых позиций и связать макроскопические переменные с усредненными характеристиками процессов на уровне отдельной частицы. Эффективным методом замыкания усредненных уравнений являются хорошо известные в квантовой механике и статистической физике приближения самосогласованного поля [47] . При рассмотрении поведения систем малых частиц методом самосогласованного поля воздействие всех частиц на выделенную пробную частицу заменяется действием некоторого эффективного поля. В реологии концентрированных суспензий этот метод использовался в [43,47,48] . Дальнейшее развитие он получил в [39-42] .
В настоящее время на основе результатов, полученных в работах [39-42] , удалось решить большое число практически важных задач гидродинамики и тепломассообмена в дисперсных средах (см. ИіЖ, І975-І98І гг.). При феноменологическом описании взаимосвязанных процессов переноса энергии и вещества при наличии процессов релаксации, химических и фазовых превращений весьма эффективны методы термодинамики необратимых процессов [49-52] . Результаты, полученные в неравновесной термодинамике, представляют большой интерес не только для физики, химии и биологии [ 49-54] . Они также начинают широко использоваться при решении самых разнообразных инженерных задач в области химической, нефтяной и металлургической технологии, в тепловой и ядерной энергетике и т.д. [55-58] .
Неравновесная термодинамика гетерогенных сред строится путем обобщения методов, разработанных для гомогенных систем (в основном школами стран Бенилюкса) [50] . В рамках континуального подхода неравновесная термодинамика многофазных систем рассматривалась в [15,25,26,59-64] . В работах [60-62] в расчетную схему включена поверхность раздела фаз. Рассмотренная выше проблема, связа.нная с получением усредненных уравнений баланса, естественно, имеет место и при построении термодинамики смесей: различные модели континуумов приводят к разным результатам, отражающим как конкретные модельные представления, так и способы усреднения микроскопических уравнений, справедливых на уровне отдельных фаз. Кроме того, возникают трудности в интерпретации феноменологических коэффициентов и установления их связи с физическими свойствами фаз. Статистические же методы, несмотря на их универсальность, для усреднения уравнений баланса энергии, энтропии и линейных конститутивных законов, насколько нам известно, до последнего времени не использовались.
Таким образом, возникает необходимость в дальнейшем развитии концепции статистических ансамблей как применительно к задачам механики, так и термодинамики гетерогенных сред.
Внешние воздействия на систему приводят к нарушению внутреннего равновесия. Как следствие этих отклонений от равновесия в системе возникают процессы переноса, стремящиеся нейтрализовать внешние возмущения. Стремление системы к равновесию можно рассматривать как совокупность процессов релаксации. В области достаточно высоких температур, давлений и скоростей эффекты релаксации могут существенно влиять на свойства как однофазных, так и многофазных сред. Эти эффекты могут быть связаны с незавершенностью химических реакций, процессами ионизации и диссоциации, отклонениями распределения молекул и атомов по состояниям от равновесного, наличием конфигурационных эффектов в структуи-рованных жидкостях, полимерах и биологических тканях. В гетерогенных средах важны также релаксационные процессы, обусловленные неравновесным динамическим и тепловым взаимодействием фаз и фазовыми переходами. Обширная информация по этим вопросам, ставшим особенно актуальными в последние годы в связи с необходимостью интенсификации многих технологических процессов, содержится в [14-18,26,65-70] .
Если временные масштабы внешних воздействий имеют тот же порядок, что и времена релаксации, то внутренние неравновесные процессы могут оказать существенное влияние на макроскопические процессы переноса энергии, импульса.и вещества как между окружа - 23 -ющей средой и системой, так и внутри последней. Чрезвычайно
плодотворными при анализе эффектов релаксации являются методы термодинамики необратимых процессов, использующие концепцию внутренних переменных. Поскольку эти методы одинаковы для систем различных типов, они обладают высокой степенью универсальности. Впервые термодинамический метод был применен к задачам акустической релаксации [70] . Дальнейшее развитие он получил в работах [71-73] . Современное состояние вопроса можно найти в [ 44,49,50,54,74-80] . Конкретные примеры применения релаксационного формализма неравновесной термодинамики охватывают весьма широкий круг задач из различных областей механики, физики, химии и биологии. Среди них следует прежде всего отметить работы, посвященные акустической релаксации: изучение закономерностей распространения и поглощения ультразвука лежит в основе мощных современных методов исследования структуры и свойств вещества в различных агрегатных состояниях [70,74,75] . Большое число работ посвящено исследованию молекулярной, химической и термической релаксашии в газах и жидкостях [74-77,81-891 , дислокационной, терло-, магнито- и вязкоупругой релаксации, а также релаксации, обусловленной фазовыми переходами первого и второго рода в твердых телах (в том числе в полимерах, строительных и других материалах с существенно неоднородной структурой) [30,75,78,79, 90-94] .
Основные направления исследований в области релаксационной гидродинамики одно- и многофазных сред можно сформулировать следующим образом [12-18,25,26,66-69,95,96] :
- релаксирующие потоки в соплах, каналах, трубопроводах;
- обтекание тел разной формы релаксирующим потоком;
- распространение слабых возмущений малой и конечной амплитуды (включая звуковые волны) в релаксирующей среде;
- ударные волны и другие поверхности разрыва при наличии релаксационных процессов.
Много работ посвящено исследованию непосредственного влияния релаксации на процессы переноса энергии, импульса и вещества. Рассматриваются тепловая, диффузионная и химическая релаксация при фазовых переходах жидкость-пар [97-103] , неравновесные эффекты при фильтрации [104-106] , проблема описания теплопроводности и диффузии с релаксацией [I07-II2] . Очень часто, особенно при разработке инженерных методик расчета процессов в дисперсных средах, уравнения переноса для существующих континуумов дополняются уравнениями механического, теплового и массообменного взаимодействия фаз того же типа, что и законы Стокса и Ньютона. Это приводит к необходимости независимого определения коэффициентов сопротивления трения и тепло- и массообмена. Эти же законы легко можно сформулировать в терминах неравновесной термодинамики, что имеет отмеченные выше преимущества. Однако не только поэтому возникает потребность в дальнейшем развитии термодинамической теории релаксации - дело в том, что во многих практически важных ситуациях эволюция внутренних переменных не поддается непосредственному наблюдению, и важно иметь методы, которые позволили бы феноменологически связать характеристики внешнего возмущения и отклика системы на него с происходящими в последней внутренними процессами. В рамках неравновесной термодинамики эту задачу решает теория линейного отклика [49,50,71,74, 76,78] , в которой связь между возмущением и откликом характеризуется обобщенной восприимчивостью.
Применительно к континуальным моделям гетерогенных сред этот подход до последнего времени не использовался.
Кроме отмеченных задач, релаксационный формализм может быть использован для анализа флуктуации [44,49,76,113] . Очень важным результатом в теории флуктуации является флуктуационно диссипативная теорема, устанавливающая связь между восприимчивостью и матрицей спектральной плотности корреляционной функции флуктуации [44,49] . Большое число приложений метода корреляционных функций к различным задачам рассмотрено в [і14] . В этой монографии и в работах [_II5,II6J подвергнуты анализу некоторые задачи луктуационной гидродинамики. Обзор результатов исследования флуктуации в диссипативных и нелинейных системах, находящихся в состояниях, далеких от равновесия, содержится в [II7-II9] , где отмечена большая роль флуктуации в процессах организации. В таких системах при потере устойчивости некоторого состояния в результате флуктуации могут возникать новые диссипативные структуры. Устойчивость таких структур может быть обеспечена при достаточно быстром затухании флуктуации. Это затухание можно рассматривать как типичный релаксационный процесс [lI7] .
Наконец, представляют интерес попытки применения релаксационного формализма неравновесной термодинамики к построению моделей в теории управления, экономике и социологии [120-122] .
Для успешного решения задач интенсификации различных энерготехнологических процессов большое значение имеют разработка методов анализа их эффективности.
Среди существующих подходов весьма перспективным является эксергетический метод анализа [123-128] , позволяющий оценить потери работоспособности (эксергетические потери) и степень совершенства процессов в различных элементах теплоэнергетических и технологических установок и наметить пути их совершенствования. Основу метода составляют интегральные балансные соотношения для термодинамической функции - эксергии (максимальной работоспособности системы), введенной в [l29] . Однако балансные соотношения не всегда позволяют разделить причины, вызывающие потери работоспособности [123] . Это относится к системам, в которых одновременно существует целый ряд взаимосвязанных процессов переноса. Поведение таких систем описывается методами неравновесной термодинамики, в основе которой, как известно, лежит уравнение баланса энтропии. Входящее в это уравнение производство энтропии, зависящее от скоростей необратимых процессов и соответствующих им сил, являясь мерой диссипации энергии в системе, может быть использовано для определения эк-сергетических потерь. Это дает возможность выразить потери как функции скоростей и термодинамических сил, характеризующих каждый из необратимых процессов. Связь термодинамических сил с градиентами параметров системы позволяет выявить влияние структуры этих полей на эксергетические потери. Это в свою очередь позволяет использовать вариационные методы и ставить задачи оптимизации и управления потерями. Рассмотренный выше подход к задачам эксергетического анализа, особенно применительно к гетерогенным системам, разработан недостаточно. Он может быть положен в основу целого направления исследований [123] . Отдельные результаты, полученные на пути реализации этих исследований, можно найти в [128,130] .
Анализ эксергетических потерь в различных необратимых процессах представляет интерес еще с одной точки зрения: поскольку эти потери неизбежно переходят в окружающую среду, они характеризуют тепловые загрязнения атмосферы, вызванные различными элементами энергетического и технологического оборудования. Таким образом, дальнейшее развитие эксергетических методов анализа процессов представляет интерес и для экологических проблем, связанных с защитой окружающей среды.
Отметим также, что эксергия использовалась при решении ряда задач теоретической физики [44] - это прежде всего исследо - 27-вание флуктуации и устойчивости состояний. В [I3l] при построении неравновесной термодинамики в качестве производящей функции использовалась линейная комбинация внутренней энергии и энтропии системы. В принципе эту роль может играть и эксергия. Хорошо известно, что одной из актуальных проблем энергетики является поиск новых источников энергии и способов ее трансформации. Основной промышленный способ получения высокосортной электрической энергии из тепловой характеризуется коэффициентом полезного действия порядка 40$. Существенное его увеличение требует решения целого комплекса инженерно-физических проблем и в первую очередь - проблемы высокотемпературной прочности конструкционных материалов. Разработанные в последнее время способы прямого преобразования тепловой и химической энергии в электрическую, обладающие более высоким КПД, пока не в состоянии обеспечить потребляемых мощностей. Среди инженерных методов трансформации энергии в настоящее время остается неосвоенным прямое преобразование химической энергии в механическую, хотя такие системы в природе существуют и имеют ЩЦ 25-80$.Характеристика такого двигателя может выглядеть так [132] : "... линейный двигатель, характеризующийся прочностью и надежностью. Конструкция проверена и анализирована в ходе испытаний, проводившихся в течение очень длительного времени в глобальном масштабе. Все модели высокоэкономичны и могут работать на общедоступных видах топлива... и за несколько миллисекунд развивать удельную мощностью I КВт/кг. Существует два режима управления:
- управление с внешним запуском (цифровое от импульсов с энергией в несколько пикоджоулей); усиление мощности - около 10 ; плавное регулирование скоростей в пределах 0,1-100 мм/с;
- автономный режим с внутренней автогенерацией (работа в режиме насоса со сроком службы порядка З.Ю9 операций).
Может служить пищей. Этим двигателем является живая мышца. Таким образом, с точки зрения энергетики мышца представляет собой механохимический двигатель,осуществляющий прямое преобразование химической энергии в механическую [іЗЗІ . С точки зрения морфологии - это физически активная деформируемая гетерогенная среда, обладающая несколькими уровнями структурной организации: клеточные ансамбли представляют собой тонкие волокна с параллельной упаковкой - миофибриллы и внутриклеточные сократительные системы - сарко меры, состоящие из толстых нитей белков миозина и тонких - актина, расположенных параллельно и жестко связанных с мембраной клетки. Сокращение мышцы осуществляется за счет энергии гидролиза аденозинтрифосфорной кислоты (АТФ) и на уровне саркомера связано с относительным скольжением толстых и тонких нитей.
Физиологическое функционирование мышцы сопровождается большим комплексом различных физико-химических процессов, начиная квантовомеханическими на субмолекулярном уровне и кончая процесоом переноса импульса, энергии, вещества и заряда - на макроскопическом. Существенные результаты в построении процессов мышечного сокращения были достигнуты лишь на протяжении нескольких последних десятилетий. Этот прогресс обусловлен прежде всего комплексным использованием физиологических, биохимических и биофизических методов исследований в сочетании с методами современной микроскопической и макроскопической физики - квантовой механики и классической и неравновесной термодинамики, механики сплошных сред, статистической механики. Несмотря на достигнутые успехи, многое еще предстоит сделать. Это прежде всего относится к выявлению тонких деталей механизма сокращения на молекулярном уровне и к построению адекватных макроскопических моделей мышечной ткани, позволяющих количественно описывать и прогнозировать ее поведение в различных физиологических условиях. Последнее представляет не только академический интерес, но и весьма существенно для клинической практики. Для решения всего этого комплекса проблем большое значение имеет исследование макроскопических процессов переноса в мышечной ткани, однако здесь мы находимся лишь в самом начале пути.
Таким образом, несмотря на то, что в настоящее время достигнут значительный прогресс в изучении самых разнообразных гетерогенных систем, существует необходимость дальнейшей разработки их общей теории как на основании феноменологических представлений, так и с привлечением методов статистической механики. Для решения целого ряда важных прикладных задач необходимо создание адекватных математических моделей, позволяющих с приемле-. мой точностью прогнозировать поведение различных гетерогенных систем в самых разнообразных условиях. Нужны более совершенные математические методы описания процессов переноса энергии, вещества, импульса, химических реакций, фазовых переходов и т.д. Задачи современной энергетики и технологии требуют разработки надежных и достаточно универсальных инженерных методик расчета процессов в различных технических устройствах.
Матричная форма оператора статистического усреднения для дисперсной среды
Постановка задачи полностью соответствует таковой в [39-42] . Рассмотрим гетерогенную смесь из N одинаковых твердых сферических частиц, погруженных в несжимаемую вязкую жидкость. Частицы могут быть неподвижными или перемещаться. В общем случае на систему могут действовать внешние силовые поля, характеризуемые потенциалом II ( 2 ) . Радиусы частиц 0L и характерные размеры не-однородностей оа таковы, что фазы можно рассматривать с точки зрения механики сплошных сред.
Масштаб изменения 0N не меньше См , и поэтому она нечувствительна к микроскопическим процессам на уровне отдельной частицы, масштаб которых 13 a « Ъ ы . Под I f подразумевается 3N - мерное пространство, образованное компонентами векторов i , I = I,..., N , а под Is -2 N - мерное пространство угло-вых координат, определяющих ориентацию дипольных моментов и Радиус-векторы Zi меняются произвольно в пределах объема, занятого смесью, причем I Su)- ZCi) I 2СІ , І2С6- Z границы I CL в силу условия неперекрываемости сфер радиуса 0L . Уравнение (1.2) представляет собой усеченное уравнение Фоккера-Планка [154] , причем входящие в него средние скорости частиц ХГ± = 2Ш могут зависеть как от положения всех частиц о , так и от самой функции распределения Фы как явно, так и через посредство функционалов 1 ( Фм) , что обуславливает в общем случае нелинейность (1.2). Обрыв (I.I) на втором слагаемом приводит, как это следует из (1.3), к уравнениям движения отдельных частиц в виде: ut = - f = ЦГ (r." t, ФЫ , Ic0j), »-4 где 1_л f - феноменологический коэффициент, который должен определяться из независимых соображений или из экспери-__ ментов; Г - сила.
В этом приближении механическое поведение ансамбля частиц нечувствительно к ускорениям и, естественно, возникает вопрос практической реализуемости такой ситуации. В гидромеханике суспензий подходящей аппроксимацией для (1.4) может служить закон Сток-са [32] , описывающий безинерционное движение частиц, или его модификации, учитывающие влияние на силу, действующую со стороны жидкости, других частиц [ 13,15,26] . Для частиц в жидкости, движущейся со скоростью Я/о , (1.4) можно представить так (Uo?i.) = LtfF. (1.5)
Расхождение при сравнении тех и других данных, за исключением начального участка сопла, где существенны инерционные свойства частиц, не превышало Ъ% [156-158] . Таким образом, в тех условиях, когда можно,пренебречь инерционными свойствами для частиц, кинетический закон (1.4) может оказаться чрезвычайно полезным при моделировании поведения дисперсных сред. Использование же (1.4) при -построении статистической механики суспензий означает, что их усредненные свойства прежде всего должны определяться пространственной конфигурацией частиц. Очевидно, эти ситуации имеют место при решении большого числа практически важных задач. Во всяком случае, опыт использования методов, разработанных в [39-42] , накопленный к настоящему времени, подтверждает это х [42,159-165] . Более детальное исследование поведения статистического ансамбля требует привлечения уравнений движения второго порядка. При обрыве уравнения (I.I) на третьем слагаемом они имеют вид [154] = М Г(га; га:Ф,1(Ф)).
Строго задать силы взаимодействия между несущей жидкостью и частицами в общем случае не представляется возможным, поскольку эта задача в настоящее время не решена даже для сферы в однородном потоке вязкой несжимаемой жидкости с переменной скоростью [26] . Обычно Г представляют суммой нескольких слагаемых. Анализ этих составляющих и ряд полезных приближенных соотношений для них содержится в [3,12-17,26,166,167J . Если продолжить процедуру увеличения числа измерений фазового пространства, то мы придем к цепочке зацепляющихся уравнений, связывающих между собой функции большего и меньшего числа измерений. Таким образом, аналитическое определение функции распределения даже с помощью одного уравнения (1.2) представляет собой чрезвычайно сложную задачу. Однако при выводе усредненных уравнений переноса нам не требуется явного выражения для Ф , а необходимы лишь некоторые свойства этих функций [39-42J .
Таким образом, после действия оператора усреднения ,... уравнения баланса кроме средних величин будут содержать слагаемые, обусловленные случайными пульсациями фаз,и слагаемые, описы-вагощие их взаимодействие. Последние выражаются через функционалы от средних на поверхности частиц (см.приложение I). Это позволяет связать макроскопическое описание поведения смеси с обстановкой на уровне отдельных частиц и в известном приближении перейти к задаче на "пробную частицу".
Совершенно аналогично усредняются уравнения переноса момента импульса. В самом общем случае система обладает как внешним, так и внутренним моментом. Изменение полного момента импульса, равного их сумме, определяется моментами поверхностных и массовых сил, действующих на систему, и поверхностными и массовыми парами [169].
Термодинамическая интерпретация динамической системы
Эволюция внутренних переменных, характеризующих неравновесные состояния, рассматривается с позиции теории динамических систем. Очень часто существующая иерархия времен релаксации позволяет выделить быстрые и медленные переменные. Это дает возможность при исследовании динамики системы в фазовом пространстве использовать известную теорему Тихонова и построить операторную функцию линейного отклика системы на внешнее возмущение.
При соблюдении определенных условий фазовый портрет системы допускает термодинамическую интерпретацию. В этом случае матричные элементы оператора восприимчивости играют роль эффективных термодинамических производных. С их помощью можно ввести термодинамические функции неравновесных состояний в операторной форме: теплоемкости, показатель адиабаты, скорости звука, химические потенциалы и т.д. При этом возникают задачи двух типов: описание поведения системы с помощью динамических уравнений состояния и задача на собственные значения дифференциального оператора. Последняя представляет особый интерес в задачах акустической релаксации, но на нее можно смотреть и шире - как на процедуру построения Шурье - образов операторных функций.
Влияние релаксации на процессы переноса подробно рассмотрены в обзоре [178] . Как уже отмечалось во введении, нарушение внутреннего равновесия в системе приводит к появлению у нее дополнительных степеней свобода. Переход системы к новому состоянию будет сопровождаться релаксацией внутренних переменных (параметров релаксации) , характеризующих эти степени свободы.
В качестве параметров релаксации могут выступать макроскопические величины, такие как температура некоторой подсистемы, концентрации различных субстанций, координаты химических реакций, параметры порядка и т.д., а также переменные, описывающие макроскопическое состояние отдельных структурных элементов системы - молекул, атомов, ионов и т.д. В роли микроскопических параметров релаксации часто используется, например, энергия различных степеней свободы структурных частиц (вращательных, колебательных и т.д.).
Если (2.1) содержит малые параметры . при части производ - 73 ных, то для случая системы второго порядка возможны асимптотические разложения траекторий по этому параметру с любой степенью точности. Для системы произвольного порядка возможны разложения с точностью до первой степени . В общем случае для системы произвольного порядка эта задача в настоящее время не решена 180 ] .
Качественное поведение траекторий динамической системы (2.1) может быть представлено следующим образом (рис.2.I): если начальные условия лежат в области асимптотической устойчивости стационарных решений присоединенной системы = 0, то изобразительная точка по линиям = C0H5t. быстро переходит на поверхность f ( Хгу,Е ) = 0; в дальнейшем происходит медленное движение изобразительной точки по этой поверхности в соответствии с вырожденной системой (2.2). Величина . в уравнениях быстрых движений играет роль параметра.
В соответствии с рассмотренными понятиями траектория вырожденной системы (2.2), допускающей термодинамическую интерпретацию, лежит на поверхности состояний у ( X,U,& ) = 0, а ограничения, налагаемые на функцию П. ( X, Ц f ), вытекают из требований второго закона термодинамики. Если эволюцию медленной переменной 5. интерпретировать как необратимый релаксационный процесс, то для привлечения релаксационного формализма неравновесной термодинамики необходимо предположить существование энтропии неравновесной системы 5 = b ( U, ) как функции состояния.
Практическое использование процесса сжатия увлажненного газа
На основе операторного представления термодинамических функций и динамических коэффициентов систем с внутренне необратимыми процессами, введенного во второй главе, получены динамические уравнения, описывающие поведение смесей газа с твердыми частицами и каплями, динамическое уравнение состояния гетерогенной системы, а также уравнения теплопроводности и диффузии. Рассмотрены приложения полученных результатов к задачам моделирования ряда гетерогенных процессов.
Процессы сжатия и расширения чистого газа и смесей газов с твердыми и жидкими частицами представляют практический интерес в связи с использованием их в различных областях энергетики и технологии [12-15,17-19,127,154-158,197-200] . В отмеченных выше работах получены выражения показателей политропы для самых различных систем: смесей газа и твердых частиц [ІЗ,15,17,156-158] ; влажного пара [14,19] ; парогазовых смесей [197] ; тел переменной массы [203] ; потоков газа при наличии трения [204] и т.д.
Показатель П. (3.2) характеризует политропный процесс в гетерогенной многокомпонентной открытой системе с электризацией и намагниченностью, в которой возможны фазовые переходы и химические реакции. Внутреннее состояние системы характеризуется набором сопряженных переменных X ь (коэффициенты работы) и Л--ь (координаты работы), которые связаны между собой уравнением состояния [50] .
Для смеси газа и твердых частиц из (3.2) легко получить выражение показателей адиабаты (2.57), (2.61) [l89] .
При расчетах политропных процессов часто бывает удобно функциональную связь между давлением и объемом г (p;V) = coast. в окрестности некоторого состояния аппроксимировать политропной зависимостью вида р V - coast. со средним показателем политропы а . Уравнение политропного процесса pV = coast, может быть получено интегрированием (3.1) с применением теоремы о среднем.
Возможность применения рассмотренного подхода к расчету реальных процессов ограничена пределами применимости понятия квазистатического процесса в классической термодинамике [205] . Поэтому погрешности аппроксимации должны оцениваться в каждом отдельном случае самостоятельно.
Существующие методы расчета процессов сжатия газов при испарительном охлаждении базируются, как правило, на методах классической термодинамики. Это приводит к необходимости предположения о термическом и фазовом равновесии между каплями и парогазовой смесью [197,198,206,207] . При достаточно высокой скорости процесса температуры пара I о и капель I { будут отличаться от температуры насыщения ls : 10 s =$х» i s я 2« В результате концентрация пара X также будет отличаться от равновесной, Xs- X - 3 . Строгое описание неравновесного испарения даже при фиксированных параметрах окружающей среды представляет собой чрезвычайно сложную задачу и приводит к весьма громоздким результатам [97,99] . Поэтому представляет интерес рассмотрение некоторых упрощенных математических моделей процесса неравновесного сжатия с каплями. Так, например, для практической реализации испарительного охлаждения в компрессорах целесообразно использовать небольшие концентрации тонкодиспергированной влаги ( 30 г на I кг воздуха) [198,207] . Поведение такой смеси будет сопровождаться малыми отклонениями от состояния равновесия, для анализа которых можно использовать рассмотренный выше релаксационный формализм. Матрица М (3.15) сингулярна, поскольку в силу первого закона термодинамики и предположения о постоянстве теплоємкостей Сz0 и Сі между параметрами и L существует линейная связь (2.87).
Кинетика автомодельного режима испарения полидисперсной системы капель
Процессы взаимодействия нагретого газа с испаряющимися каплями используются во многих технических устройствах - при распылительной сушке, в системах испарительного охлаждения и других [199,277-281] . Эти устройства имеют высокую эффективность при относительно простом конструктивном оформлении [199,279] . Режимы их функционирования тесно связаны с кинетикой процессов межфазного тепло- и массообмена. Вопросы расчета и инженерного оформления этих процессов содержатся в монографиях и многочисленных журнальных статьях. Наибольшие трудности возникают при рассмотрении полидисперсных систем капель. Как правило, в этом случае используются численные методы. Аналитическое описание процессов массообмена в полидисперсной системе частиц на основе кинетического уравнения выполнено в [273,282] .
Ниже этот подход используется для анализа процессов испарения полидисперсной системы капель в парогазовую смесь и ее охлаждения. Как и в [273,277,282]и др. будем предполагать, что капли сферические и испаряются независимо друг от друга, давление насыщенного пара не зависит от радиуса капли, дробление и коагуляция капель отсутствует. Кроме того, будем рассматривать газ и капли как адиабатную систему, состоящую из двух локально равновесных подсистем. При этом ввиду быстрой тепловой релаксации капель их температуру можно считать постоянной и равной температуре мокрого термометра. Перечисленные предположения выполняются во многих практически важных случаях.
Их необходимо дополнить независимым уравнением кинетики испарения отдельной капли cLs/dt = W(S,t) . В общем случае произвольной зависимости скорости испарения W от радиуса Z интегрирование уравнения (4.40) в силу его нелинейности представляет собой достаточно сложную задачу. Методы ее строгого решения детально разработаны в [273] , однако они требуют для получения конкретных результатов привлечения численного счета. Задача может быть существенно упрощена для автомодельных режимов испарения, когда при изменении числа капель в единице объема системы ряд ее параметров остается неизменным. Такие режимы могут, например, иметь место при интенсивном испарении капель в сильно турбулизованном газе [[273,281] . Обычно испарение отдельной капли рассматривают как квазистационарный процесс, при этом скорость испарения W (Z, t ) очень часто может быть представлена в виде произведения двух функций W=k) (t).bc(Z).
При необходимости вместо (4.45) могут быть использованы другие выражения для W , описывающие испарение капли более детально и более строго, например, [99] . Однако, все они, как правило, громоздки и не позволяют довести вычисления до конца без привлечения численных методов. Кроме того, (4.45) позволяет для практических расчетов использовать эмпирические данные по теплообмену. На их основании об (2) можно представить в виде об = = S [199,273,277-286] . Величина J зависит от скорости потока и теплофизических свойств среды. При ft =1 (4.45) дает известный максвелловский закон испарения [100] , ft = 0 соответствует испарению в сильно турбулизованный газ L273] . Коэффициент теплообмена можно пересчитать на любой удобный для практических целей определяющий размер. Так, если в качестве такового выбрать начальный средний радиус частиц ZH , тооСн- Зн" и об = = оСн (Z/Zn) n .
Основанные на (4.84) и (4.85) расчеты обычно оказываются сложными: сначала из (4.84) графически или численно определяется U как функция от Д , затем численно решается существенно нелинейное уравнение (4.85), и полученная зависимость A(t) используется в качестве аргумента указанной функции [291] .
Альтернативный более простой подход, реализованный в [292] , состоит в переходе от непрерывной функции распределения частиц по размерам к дискретной и в последующем анализе эволюции частиц каждой фракции. Этот подход также требует привлечения численных расчетных методов.
При интенсивном перемешивании естественно предположить, что поток вещества от растворяющихся частиц пропорционален площади их поверхности, т.е. fejs не зависит от 2 . Вывод о независимости ІЦ от 2 для частиц, погруженных в сильно турбулизованную жидкость, следует из теоретического анализа [292] , где критически обсуждается и ряд предыдущих работ на эту тему. В некоторых случаях исследования противоречат этому выводу (см.например, эмпирические данные в [293] ), но полученная зависимость kp от 1 все равно оказывается довольно слабой. Поэтому, учитывая теоретический результат в [292] , а также то, что в пределах точности эксперимента гЦ не зависит от Z для многих аппаратов с мешалками и для псевдоожиженных систем [291,292] , будем приближен - 182 -но считать, что И/ = W() .
На практике может оказаться более удобной замена в (4.91) непрерывного спектра дискретным, что позволяет перейти от интегрирования к суммированию. Для аппроксимации f н (2) в виде ряда из экспонент необходимо, чтобы тн(2)# г(р)=4-0ч0(р-си).
