Содержание к диссертации
Введение
1. Обзор литературы и цели исследования 10
1.1. Современное состояние исследований 10
1.1.1. Прикладные задачи 10
1.1.2. Исследования процессов переноса методами молекулярно-кинетической теории 18
1.2. Методы решения уравнения Больцмана 21
1.3. Задачи исследования 23
2. Постановка задачи и методы решения 25
2.1. Физическая модель 25
2.2. Математическое описание 26
2.3. Граничные и начальные условия 30
2.4. Метод численного решения уравнения Больцмана 33
2.5. Метод совместного численного решения уравнений Навье - Стокса и Больцмана 44
2.6. Выбор параметров численного метода 52
2.7. Безразмерные параметры 55
2.8. Дополнительные задачи 57
3. Результаты решения 64
3.1. Решение дополнительных задач 64
3.1.1. Решение задачи о переконденсации 64
3.1.2. Решение задачи о теплопереносе в слое газа 67
3.2. Решение при заданной температуре нагревателя 69
3.2.1. Решение уравнения Больцмана 69
3.2.2. Совместное решение уравнений Навье - Стокса и Больцмана 74
3.2.3. Влияние температуры нагревателя на решение 78
3.3. Решение при заданной тепловой нагрузке 81
3.4. Продолжительность нестационарного процесса 86
4. Сопоставление с другими моделями и экспериментальными данными 89
4.1. Сравнение полученных результатов и других моделей исследуемого процесса 89
4.1.1. Решение уравнения Больцмана для стационарной задачи моментным методом. 89
4.1.2. Решение задачи методами механики сплошной среды 93
4.1.3. Решение модельного уравнения для задачи переконденсации 99
4.2. Сопоставление с экспериментальными данными 101
Заключение 108
Содержание диссертации опубликовано в следующих работах 111
Литература 113
- Исследования процессов переноса методами молекулярно-кинетической теории
- Метод численного решения уравнения Больцмана
- Решение при заданной температуре нагревателя
- Решение задачи методами механики сплошной среды
Введение к работе
В различных областях науки и техники встречаются задачи, связанные с процессами тепломассопереноса при взаимодействии сильно нагретого тела с холодной жидкостью. Термин «сильно нагретое» в данном случае означает, что температура этого тела намного больше температуры окружающей жидкости. В различных приложениях горячее тело может быть как твердым, так и жидким, а между ним и холодной жидкостью обычно существует паровая пленка.
Одной из важных проблем подобного рода является паровой взрыв, связанный с быстрым образованием большого количества пара из-за увеличения интенсивности подвода тепла к холодной жидкости, что, в свою очередь, является следствием дробления горячих включений. Наиболее опасным является паровой взрыв при аварии на АЭС, но он может возникать и в элементах оборудования других областей промышленности.
Другой важной задачей о взаимодействии сильно нагретого тела с холодной жидкостью является кипение сверхтекучего гелия (Не-И). Отличительной особенностью этого процесса является наличие только пленочного режима кипения данной жидкости. Для Не-И характерна очень высокая эффективность теплопереноса, и из-за малого термического сопротивления жидкости неравновесные эффекты на межфазной поверхности могут быть существенными и определяющими основные закономерности процессов переноса.
Температура горячего тела может быть больше температуры холодной жидкости в несколько раз (для кипения Не-И - даже в несколько десятков раз). Вследствие этого процессы переноса в паровой пленке, разделяющей горячее тело и холодную жидкость, характеризуются существенным отклонением от локального термодинамического равновесия, так что применение для их описания традиционных методов механики сплошной среды не всегда корректно. В данной работе для описания процессов в паровой фазе и на межфазной поверхности применяются методы молекулярно-кинетической
7 теории газов, необходимые количественные данные являются результатом решения кинетического уравнения Больцмана, применение которого оправдано при любой степени неравновесности.
Исследования процессов переноса методами молекулярно-кинетической теории
К настоящему времени создано и развито несколько аналитических и численных методов решения кинетического уравнения Больцмана. Рассмотрим некоторые из них. 1. Метод прямого статистического моделирования. Основная идея этого метода состоит в замене молекул газа относительно небольшим (порядка тысячи) числом частиц большего размера. Их диаметр выбирается так, чтобы средняя длина свободного пробега этих модельных частиц была равна длине пробега реальных молекул. Как правило, алгоритм моделирования состоит из двух этапов, на первом из которых моделируются столкновения (скорости модельных частиц меняются, координаты постоянны), а на втором перемещение в пространстве (скорости постоянны, координаты меняются). На этом же этапе моделируется взаимодействие частиц с физическими границами. Преимуществом метода является возможность решения нестационарных задач, как одномерных, так и двух- или трехмерных. Основной недостаток метода состоит в недостаточной обоснованности, то есть в том, что он не следует непосредственно из уравнения Больцмана. 2. Метод прямого численного решения [4] будет подробно рассмотрен ниже. Развитием данного метода является консервативный проекционный метод [33], который используется в настоящей работе, его описание приведено во второй главе. 3. Метод разложения по малому параметру. Функция распределения ищется в виде ряда При больших числах Кнудсена малый параметр є является величиной, обратной Кп, при малых - равен Кп. В последнем случае при рассмотрении конечного числа членов ряда можно исключить из описания функцию распределения, установив взаимосвязь между газодинамическими величинами. Если в (1.3) оставить только первый член ряда, равный максвелловской (равновесной) функции распределения, то в результате будут получены уравнения Эйлера (уравнения сохранения для невязкой и нетеплопроводной жидкости). Если ограничиться двумя членами ряда, то получится система уравнений Навье — Стокса, и т.д. Таким образом, данный метод предполагает газодинамическое описание течений, характеризующихся небольшим отклонением от равновесия. 4. Модельные уравнения. Трудности решения уравнения Больцмана связаны в первую очередь со сложностью вычисления интеграла столкновений. Широко применяется модельное уравнение Бхатнагара - Гросса - Крука (БГК) [38], в котором используется упрощенная форма правой части уравнения Больцмана, сохраняющая при этом основные черты интеграла столкновений (равенство нулю при термодинамическом равновесии). Анализ уравнения БГК показывает, что оно дает для одноатомного газа число Прандтля, равное единице (вместо 2/3). Более совершенные модели, дающие корректное значение числа
Прандтля ( -модели), предложены в [35, 36]. 5. Моментный метод относится к приближенным аналитическим методам и заключается в замене кинетического уравнения Больцмана системой моментных уравнений. Подробное описание метода приведено, например, в [19]. На начальном этапе выбирается аппроксимация функции распределения, зависящая от некоторых параметров, которые в свою очередь зависят от координаты. Например, довольно грубой аппроксимацией является двустороннее максвелловское распределение, определяемое четырьмя параметрами (иь п2, Т\ и Г2): Далее выбранная функция подставляется в уравнение Больцмана, которое сводится к системе уравнений относительно этих параметров. Для этого оно умножается на некоторые функции скорости (число которых равно числу параметров, определяющих функцию распределения) и интегрируется по всему скоростному пространству. Достоинствами метода являются его простота и возможность применения при любых числах Кнудсена и любой степени неравновесности. Основной недостаток заключается в приближенности метода. Для высокой точности необходимо вводить функцию распределения с большим числом параметров, что приводит к росту числа моментных уравнений. Также моментный метод плохо подходит для решения нестационарных и многомерных задач. Для описания процессов в паровой фазе и на межфазной поверхности в настоящей работе используются методы молекулярно-кинетической теории газов, необходимые количественные данные являются результатом решения кинетического уравнения Больцмана, применение которого оправдано при любой степени неравновесности исследуемых процессов. Строгий подход к решению задачи о взаимодействии горячего тела с жидкостью заключается в решении кинетического уравнения Больцмана для пара, системы уравнений сохранения для жидкости и уравнения вида уравнения Рэлея для определения радиуса паровой пленки. Очевидно, что такой подход является очень сложным.
В принципе вместо решения уравнения Больцмана в нестационарной постановке можно использовать существующие стационарные соотношения, однако для этого необходимо выяснить корректность их применения. Применение стационарных соотношений оправдано, если продолжительность нестационарных процессов в паровой пленке, вызываемых каким-либо возмущением, мала. В таком случае состояние пара можно считать квазистационарным. Также для применения стационарных кинетических соотношений для решения прикладных задач необходимо знать поток массы, входящий в эти соотношения. При взаимодействии горячего тела с жидкостью через паровую пленку жидкость может испаряться (как в течение нестационарного процесса, так и на стационарной стадии), так как к ее поверхности подводится тепло. Однако с другой точки зрения вследствие подвода тепла к пару его давление становится больше, чем давление насыщения при температуре жидкости, что не только препятствует испарению, но и создает условия для конденсации. Также очевидно, что поток массы в стационарном состоянии не зависит от координаты. Поверхность нагревателя непроницаема, поток массы на ней всегда равен нулю, следовательно, в стационарном состоянии поток массы должен быть равен нулю. В связи с тем что возможны различные качественные описания исследуемого процесса, при получении количественных данных важно выяснить направление потока массы, тем самым показав, какая из возможностей (испарение или конденсация) реализуется на практике. Для анализа приложений необходимо знать давление в паровой пленке, так как разность давлений между паром и жидкостью служит движущей силой для эволюции паровой полости. В связи с этим при решении исследуемой задачи требуется определить эту величину.
Метод численного решения уравнения Больцмана
В настоящей работе для численного решения кинетического уравнения Больцмана используется схема расщепления по физическим процессам [4], На каждом шаге по времени сначала решается уравнение свободномолекулярного разлета: При этом решение (2.19) является начальным условием для (2.20); в свою очередь, решение (2.20) является начальным условием для (2.19) на следующем шаге по времени. Очевидно, что при использовании численного метода область физического и скоростного пространства, в которой ищется решение, должна быть ограничена. Максимальные значения для скоростей при решении задач с малой макроскопической скоростью выбираются около 3 12ЯТ, где Т -максимальная ожидаемая температура (например, в рассматриваемой задаче о тепломассопереносе в паровой пленке это температура нагревателя). Для вычисления интеграла столкновений необходимо выбрать максимальное значение прицельного расстояния. Для потенциала твердых упругих шаров, используемого в данной работе, расстояние естественным образом ограничено диаметром молекул, для более сложных потенциалов ограничение проводят по углу отклонения траектории молекулы, который должен быть больше некоторой малой величины. Скоростное и физическое пространство разбиваются на ячейки. Расстояние между соседними узлами координатной сетки вблизи поверхностей раздела фаз должно быть меньше длины свободного пробега молекул, в противном случае, как отмечено в [33], кнудсеновские слои размываются. Однако в центральной области столь мелкий шаг по координате не является необходимым. В связи с этим возможно использование неравномерной сетки по координате: где А - коэффициент растяжения шага (обычно А = 1,05-И,1). Первое и третье выражения системы (2.21) определяют сетку в областях вблизи границ. В центральной области сетка является равномерной с крупным шагом.
Число узлов такой координатной сетки меньше числа узлов равномерной сетки с мелким шагом, так что использование сетки (2.21) позволяет сократить время расчетов. Уравнения разлета и релаксации заменяются конечно-разностными схемами. Простейшая разностная схема для уравнения свободномолекулярного разлета имеет следующий вид [4]: при , 0 при x 0 У (индекс в скоростном пространстве опущен для простоты записи). Эта схема имеет первый порядок точности по времени и координате. При ее использовании Куранта Физический смысл этого выражения очевиден: в течение одного шага по времени ни одна молекула, даже если она движется с максимальной скоростью, не должна переместиться из одного узла координатной сетки в другой. В настоящей работе для решения уравнения свободномолекулярного разлета используется схема SHASTA [39], имеющая первый порядок точности по времени и второй - по координате. Данная схема предназначена для решения уравнений вида где А - искомая функция, и - функция, имеющая физический смысл скорости, В и F - некоторые известные функции. При решении уравнения свободномолекулярного разлета А - функция распределения /, и - скорость молекулы (так как эта величина является независимой переменной, ее можно внести под знак производной по координате), В и F равны нулю. Формулы для расчета функции распределения записываются следующим образом (номер ячейки в скоростном пространстве для простоты опущен): Расчетные формулы (2.25) записаны для частного случая, когда в уравнении вида (2.24) скорость постоянна, а правая часть равна нулю. Данная схема обладает свойствами консервативности и неотрицательности (при неотрицательных значениях /,"), но имеет заметную диффузию, что наиболее легко увидеть при нулевой скорости : Окончательные значения функции распределения вычисляются путем устранения ошибки, порождаемой этой диффузией, по следующим формулам: где 1 — корректирующие потоки. Ограничение шага по времени для данной схемы более жесткое, чем для схемы первого порядка, условие устойчивости схемы SHASTA
Вычисления на этапе свободномолекулярного разлета занимают значительно меньше времени, чем на этапе пространственно однородной релаксации, при этом максимальное значение шага по времени для разлета, как правило, меньше. В связи с этим целесообразно проводить не один этап разлета на один этап релаксации, а больше. В таком случае на каждом интервале времени At сначала к раз решается конечно-разностный аналог уравнения (2.19), причем шаг для каждого уравнения равен Atlk, решение 1-го уравнения является начальным условием для Ї+1-ГО. ПОТОМ решается уравнение (2.20) с шагом по времени At, Очевидно, что при решении уравнения релаксации (2.20) из-за отсутствия
Решение при заданной температуре нагревателя
Как было указано выше, решение кинетического уравнения Больцмана при заданной температуре поверхности нагревателя получено в диапазоне чисел Кнудсена от 0,005 до 0,5. На рис. 17-19 приведены примеры результатов для относительно тонкой пленки в виде зависимостей плотности, давления и температуры от координаты в различные моменты времени. Также на рис. 20 показана зависимость потока массы на поверхности жидкости от времени. Из графиков видно, что средняя плотность пара в пленке с течением времени уменьшается, а поток массы на поверхности жидкости всегда направлен к ней, то есть в ходе нестационарного процесса пар конденсируется. Давление пара на начальном этапе существенно зависит от координаты, но затем (уже ко времени, равному примерно 1/5 продолжительности нестационарного процесса) становится практически постоянным по толщине пленки и постепенно снижается. Следует отметить, что в отличие от рассмотренной выше задачи о теплопереносе в слое газа, вместо непрерывного роста давления сначала наблюдается рост, а затем - спад. Это объясняется тем, что в данном случае пар конденсируется на поверхности жидкости, и помимо повышения давления вследствие нагрева также имеется его снижение вследствие конденсации. Сравнение стационарных решений задачи о тепломассопереносе в паровой пленке и о теплопереносе в слое газа показывает, что при одних и тех же исходных данных зависимости температуры от координаты практически не отличаются, а давление и плотность в случае газа существенно выше. Это объясняется тем, что газ в течение нестационарного процесса не уходит из рассматриваемого объема, а пар конденсируется. Однако в обеих задачах стационарное давление почти не зависит от координаты, а зависимости плотности от координаты имеют одинаковый вид. Данный факт позволяет провести сравнение полученного решения задачи о тепломассопереносе в паровой пленке с решением стационарной задачи о теплопереносе в слое газа, приведенным в [55]. В начале процесса, пока пар вблизи поверхности жидкости является невозмущенным, поток массы равен нулю. Затем поток довольно быстро (в интервале времени от 20 до 40) возрастает до максимального значения, после чего плавно уменьшается.
Стационарное значение потока массы не равно точно нулю, однако находится в пределах погрешности численного решения. Таким образом, результаты решения показывают, что на нестационарной стадии процесса осуществляется конденсация, а стационарное состояние характеризуется нулевым потоком массы. Далее на рис. 21-24 представлены примеры результатов для пленки большей толщины в том же виде, что и в предыдущем случае. Зависимости макропараметров от координаты (как стационарные, так и нестационарные) имеют тот же вид, что и для тонкой пленки. Однако пик в зависимости для потока массы становится более крутым. Кроме того, в интервале времени от 350 до 450 поток массы является почти постоянным, после чего начинается дальнейший спад. В работах авторов данного метода [27, 28] совместное численное решение уравнений Навье — Стокса и Больцмана использовалось для исследования задач об обтекании различных тел. Для решения задач о тепломассопереносе в паровых пленках этот подход ранее не применялся, в связи с чем необходимо его тестирование, которое было проведено путем сопоставления полученных этим методом результатов с численным решением уравнения Больцмана по всей толщине пленки. На рис. 25 - 27 показаны результаты сравнения используемых в работе подходов к решению исследуемой задачи. В качестве примера приведены стационарные зависимости плотности и температуры от координаты, а также зависимость потока массы на поверхности жидкости от времени при Т» = 2,3 и Кп 0,005. Как легко видеть, результаты совместного решения незначительно отличаются от результатов решения уравнения Больцмана, причем различия находятся в пределах погрешности используемых методов. Кроме приведенных результатов, сравнение проводилось для других значений температуры нагревателя и числа Кнудсена, и различия между результатами решения с помощью разных подходов оказались примерно такими же. Зависимости макро параметров пара от координаты в течение нестационарного процесса, полученные различными методами, также различаются несущественно. Заметим, что поток массы в стационарном состоянии (отличающийся от нуля из-за погрешности) для совместного решения меньше, чем для решения уравнения Больцмана, что позволяет говорить о большей точности данного подхода.
Сокращение времени расчетов очень значительно. Например, на одном и том же компьютере для решения уравнения Больцмана при Tw = 2,3 и Кп = 0,005 требовалось около 4 суток, а для совместного решения - около 1 суток. С уменьшением числа Кнудсена разрыв еще более увеличивается. Так, при Т„ = 2,3 и Кп = 0,001 расчеты проводились в течение примерно 5 суток, а оценка затрат времени для решения уравнения Больцмана при таких условиях дает около 100 суток. Сопоставление используемых подходов показывает, что применение совместного решения кинетического уравнения Больцмана и уравнений сохранения является корректным для исследуемой задачи и позволяет существенно снизить затраты времени. Рис. 28. Зависимость плотности от координаты (Tw 2,3; Кп = 0,001) На рис. 28-31 показаны примеры результатов для пленки максимальной толщины (Z. = 1000) в том же виде, что и для более тонких пленок в предыдущем разделе.
Решение задачи методами механики сплошной среды
Рассмотрим решение исследуемой задачи методами механики сплошной среды. Следует отметить, что заметное отличие результатов, полученных при использовании такого подхода, от результатов численного решения уравнения Больцмана само по себе не может рассматриваться как свидетельство недостоверности полученных результатов. Такое отличие может быть вызвано существенной неравновесностью исследуемых процессов, и в этом случае оно подтверждает неприменимость их описания на основе уравнений газодинамики. В первом приближении можно не учитывать зависимость коэффициентов вязкости и теплопроводности от температуры. Тогда система уравнений сохранения для одномерного нестационарного течения сжимаемой среды записывается следующим образом [23]: Здесь p - плотность, и - скорость, р - давление, ц. - динамическая вязкость, е = СуТ внутренняя энергия, Т — температура, X — теплопроводность. Система замыкается с помощью уравнения состояния идеального газа (2.10). Так как для нестационарных процессов нет соотношений для расчета разности температур и давлений между какой-либо поверхностью и паром вблизи нее, в первом приближении рассмотрим решение задачи без учета неравновесности процессов переноса на границах раздела фаз. По условиям задачи на поверхности нагревателя известны температура (или тепловой поток) и поток массы (равный нулю). На поверхности жидкости задана температура, а также плотность и давление, определяемые по линии насыщения. Этих данных недостаточно для решения системы уравнений сохранения, для этого необходимо знать еще скорость пара при х = L. Если предположить, что вся энергия, поступающая на поверхность жидкости, идет на испарение, то эту скорость можно легко определить: где Е - поток энергии, г — теплота парообразования, и - искомая скорость (соотношение записано для х = L), Однако при допущениях, принятых при численном решении уравнения Больцмана, испарение невозможно, а результаты показали, что пар конденсируется. При таком подходе скорость пара при х = L не может быть определена.
Таким образом, решение исследуемой задачи о нестационарном тепломассопереносе в паровой пленке методами механики сплошной среды с учетом принятых допущений невозможно. В рамках данного подхода рассмотрим решение стационарной задачи с коэффициентами вязкости и теплопроводности, зависящими от температуры. В данном случае система уравнений сохранения имеет следующий вид: Проблема с граничными условиями для скорости отсутствует, так как из уравнения неразрывности и непроницаемости поверхности нагревателя следует, что для всех значений координаты поток массы (следовательно, и скорость) равен нулю. В связи с этим в уравнениях сохранения импульса и энергии все члены, содержащие скорость, также равны нулю, и система приобретает следующий вид: (4.16) При этом уравнение энергии превращается в уравнение теплопроводности. В первом приближении рассмотрим решение этой системы без учета неравновесности процессов переноса на межфазных поверхностях. Давление пара не зависит от координаты, и в рассматриваемом случае оно равно давлению насыщения при температуре жидкости. Проинтегрировав уравнение теплопроводности (4.16) со значением А., вычисляемым по (2.69), получим зависимость температуры от координаты: Постоянные интегрирования Сі и Сг определяются из граничных условий: при х = 0 Г = Г„, при х = L Т = Т(. Тогда С2 = т/2, С, = (ф - T/A/L . Плотность вычисляется по уравнению состояния идеального газа. Таким образом, при пренебрежении неравновесностью теплопереноса на межфазных поверхностях состояние пара в пленке определяется по следующим выражениям: Выражения (4.21) - (4.23) записаны в размерном виде. Приведя их к безразмерной форме, получим Рассмотрим решение стационарной задачи (то есть системы (4Л5) -(4.16)) с учетом неравновесности процессов теплопереноса на поверхностях нагревателя и жидкости. Предположим, что тепловой поток достаточно мал, и можно использовать линейные соотношения (4.1) и (4.2). Решение уравнения теплопроводности имеет тот же вид, что и в предыдущем случае, с другими постоянными интегрирования {С2=Т/2, Сг={т/2 /AlL, где Т0 и TL -температуры пара при х = 0 и х = L соответственно): Дальнейший анализ проводится для безразмерных параметров. Зависимость температуры от координаты (4.27) в безразмерном виде записывается точно так же. Разности температур между поверхностями и паром вблизи них вычисляются по соотношениям (4.3) и (4.4), тепловой поток, входящий в эти формулы, определяется по закону Фурье: теплового потока по (4.28) в соотношения (4.3) и (4.4), получаем систему уравнений для определения температур пара вблизи поверхностей: Давление пара в пленке вычисляется по соотношению (4.5) с тепловым потоком (4.28), плотность - по уравнению состояния. Таким образом, при пренебрежении неравновесностью на межфазных поверхностях состояние пара в пленке определяется по следующим выражениям;
В таблице 6 приведены результаты сравнения полученного численного решения исследуемой задачи с расчетами на основе механики сплошной среды. Как и в предыдущих случаях, для наглядности сравниваются значения теплового потока. Результаты решения уравнения теплопроводности в таблице приведены с учетом разностей температур, вызванных неравновесностью процессов переноса через межфазные поверхности. На рис. 45 результаты сравнения численного решения и других методик показаны в виде зависимости стационарного теплового потока от числа Кнудсена. Приведены расчетные зависимости для решения уравнения Больцмана моментным методом (расчет теплового потока по формуле (4.7)) и для решения уравнения теплопроводности (расчет по (4.28)). В работе [58] для исследования процесса одномерной нестационарной переконденсации использовалось решение модельного уравнения Бхатнагара — Гросса - Крука (БГК): где v - частота столкновений, /9 - равновесная функция распределения, такая, что рассчитанные по ней плотность, скорость и температура равны соответствующим величинам, определяемой по искомой функции/: В равновесном состоянии правая часть уравнения БГК равна нулю, как и интеграл столкновений. По мере отклонения от равновесия роль правой части увеличивается, что также по тенденции совпадает с поведением интеграла столкновений. Однако уравнение БГК дает для одноатомного газа число Прандтля, равное единице (вместо точного значения 2/3). Расчетные данные в [58] приведены в безразмерном виде, причем обезразмеривание для плотности, температуры и давления совпадает с используемым в настоящей работе. Решение в [58] получено при сильном возмущении (рг = 9,74, Гг =1,3). Примеры результатов сравнения решения уравнения Больцмана (штриховые линии) и данных [58] (сплошные линии) приведены на рис. 46 и 47 в виде зависимостей давления и температуры от координаты при одинаковом времени.
Похожие диссертации на Исследование некоторых задач тепломассопереноса в паровых пленках методами молекулярно-кинетической теории
