Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Обратная кинематическая задача сейсмики и первые интегралы уравнений луча 12
I. Постановка обратной кинематической задачи
сейсмики и задачи интегральной геометрии 12
2. Тождества и неравенства в обратной кинематической задаче 15
3. Постановка задачи определения первого интег рала.. 22
4. Теорема единственности в задаче определения симметрической т - формы 26
5. Об определении первого интеграла 30
6. Линеаризованная обратная кинематическая задача для анизотропной среды 37
Глава 2. Линейный и квадратичный первые интегралы 42
7. Геометрический смысл линейного интеграла 42
8. Среды, допускающие линейный первый интеграл...46
9. Квадратичный первый интеграл. 59
10. Обратная кинематическая задача для среды с коэффициентом преломления II. Обратная кинематическая задача на плоскости 74
12. Некоторые замечания. 77
Глава 3. Некоторые многомерные обратные динамические задачи сейсмики 81
13. Задача определения коэффициентов уравнений теории упургости изотропной среды 81
14. Обратная задача теории очага землетрясения .87
15. Задача определения однородного источника 95
16. Одна задача определения правой части уравнения . Гельмгольца 100
Глава 4.- Результаты тестовых расчетов по определению линей ного первого интеграла 106
17. Алгоритм определения линейного первого интеграла.
18. Формулы в одной прямой кинематической задаче
19. Результаты расчетов 114
Литература
- Тождества и неравенства в обратной кинематической задаче
- Обратная кинематическая задача для среды с коэффициентом преломления II. Обратная кинематическая задача на плоскости
- Обратная задача теории очага землетрясения
- Формулы в одной прямой кинематической задаче
Введение к работе
Наиболее важной целью сейсмических исследований является определение внутреннего строения Земли, то есть ее физических характеристик-плотности, упругих параметров Ламе, скоростей распространения сейсмических волн, а также источников сейсмических возмущений, входящих в виде коэффициентов и правой части в систему уравнений теории упругости. В связи с этим основные задачи сейсмики относятся к обратным задачам для дифференциальных уравнений, в которых ищутся коэффициенты в уравнениях, начальные данные или правая часть по некоторой информации о решениях этих уравнений.
Первая постановка обратной задачи для дифференциального уравнения обязана геофизике и заклю- чалась в определении скорости распространения сейсмических волн Xf-ПХ по времени движения. В одномерном варианте, когда А- С\(К3),при дополнительном предположении о монотонности функции "М*з)> решение этой задачи было получено в начале XX века немецкими геофизиками Г.Герглотцем и Е.Вихертом. В дальнейшем теория одномерной кинематической задачи как для рефра-гированных,так и для отраженных волн получила значительное развитие в работах М.Л.Гервера, В.М.Маркушевича [24,25] ,В.С.Гейко [22] ,С.В.Гольдина [26,27] , Г.М.Молчана [45]. В частности был выяснен характер неоднозначности решения одномерных задач.
Первые исследования обратной кинематической задачи для горизонтально-неоднородных сред в линеаризованной постановке бели выполнены М.М.Лаврентьевым и В.Г.Романовым [38,5б] . На основе этих работ был создан численный алгоритм решения трехмерной обратной кинематической задачи [з].
В.М.Маркушевич и Е.Л.Резников рассмотрели случай, когда скорость распространения волн в трехмерном пространстве не зависит от одной из переменных, а система наблюдений выбрана специальным образом [43] .
Нелинейная многомерная обратная кинематическая задача рассматривалась в работах Ю.Е. Аниконова [8,9], Р.Г. мухометова и В.Г.Романова [46,47], Г.Я.Бейлышна [іб] , И.Ы.Бернштейна и М.Л. Гервера [17] , в которых были получены результаты по единствен -ности, устойчивости и существованию решений обратных кинемати -ческих задач и тесно с ними связанных задач интегральной геометрии. другое направление в теории обратных задач сейсмики составляют обратные динамические задачи, связанные с определением ха -рактеристик среды и источников возмущений по полному полю колебаний точек среды на поверхности наблюдений. Существенный вклад в постановку обратных задач сейсмики и их исследование внес А.С. Алексеев [l-4J. Впервые обратная динамическая задача для системы уравнений теории упругости (обратная задача Лэмба) была рассмотрена А.С.Алексеевым [і]в предположении, что плотность среды и упругие параметры Ламе зависят только от одной переменной. В дальнейшем ванные результаты по обратным динамическим задачам были получены в работах В.Г. Романова[57,58], А.Л.Бухгежіа[і8Д9],А.Г.мегра-бова [4],А.С.Запреева[зз], Б.В.Кострова [Зб] , ,В.М.Маркушевича и Е.Л. Резникова [41] , С. И. Кабанихи на [34], Ю.Е. Аниконова и Г.Н.Ерохина [l2] , В.Г. Яхно [64] и др.
Несмотря на большое количество исследований,интерес к обратным задачам сейсмики продолжает стимулироваться тем, что конструктивные методы решения и наиболее эффективные алгоритмы получены в основном либо для линеаризованных постановок, либо для одномерных задач. Одномерная же модель часто оказывается недостаточной аппроксимацией реальной среды. Накопленные геофизические данные свидетельствуют о том, что физические параметры Земли по существу являются функциями трех переменных.
В диссертации рассматриваются некоторые постановки обратных задач сейсмики. Основное внимание уделяется способам исследования, которые, как правило, конструктивны и приводят либо к формулам обращения, либо позволяют свести обратную задачу к некоторой классической задаче.
Работа состоит из четырех глав. Первые две главы посвящены обратной кинематической задаче сейсмики рефрагированных волн и продолжают исследования Ю.Е.Аниконова, связанные с определением структуры поверхностей уровня скоростной функции по групповым свойствам годографов. В третьей главе рассмотрены некоторые постановки обратных динамических задач, связанные с определением плотности и упругих параметров Ламе изотропной среды и источников сейсмических возмущений. В четвертой главе приводятся тестовые расчеты, иллюстрирующие результаты первых двух глав. Приведем краткое содержание и основные результаты работы.
Как известно [9] , уравнения лучей в изотропной среде при специальной параметризации имеют вид где Л\Х) - коэффициент преломления и обратная кинематическая задача заключается в определении функции Л(х)по времени распространения возмущения T(f,7)=3^*)lci>(| К?,7) вдоль луча У("5 j?) » соединяющего источники и приемники, расположенные в точках 5 ' 7 ' пРбегаю1Цих множество точек поверхности наблюдений..Оказывается [lO,Il] , что наряду с этой задачей можно ставить и задачу определения не самой скоростной функции 1/в-//А , а задачу определения структуры ее поверхностей уровня, что позволяет получать как важную с геологической точки зрения информацию о структуре изучаемой среды, так и сузить множество возможных решений обратной кинематической задачи. При этом принципиальным является вопрос о том, существует ли взаимно-однозначное соответствие между структурами поверхностей уровня скоростной функции и групповыми свойствами годографов. В первой главе на основании исследования задачи интегральной геометрии определения симметрической формы для широкого класса сред доказывается существование такой связи, которая осуществляется через первые интегралы уравнений луча, представляющих собой по-линомы относительно вектора скорости луча. X m / / si
Здесь же- как частный случай доказанной теоремы об определении симметрической формы по ее интегралам вдоль геодезических римановой метрики: получен результат по единственности решения обратной кинематической задачи в случае анизотропной среды в аналитическом случае.
Во второй главе описываются среды, уравнения лучей, в которых допускают линейный и квадратичный относительно вектора скорости луча первые интегралы и приводятся частные решения обратной кинематической задачи для таких сред. Существование первых интегралов при этом позволяет провести конструктивное исследование, то есть получить алгоритм решения обратной задачи.
В третьей главе рассмотрены некоторые обратные динамические задачи. В 13 исследуется следующая задача. Пусть -- уравнения движения изотропной среды, где тензор напряжений Оц связан с вектором смещений законом Гука и на плоскости Х3=0 задан вектор смещений U ( Xf, Уг, о ,i ), напряжения бз (>v, Хг, о , і ) и функции А ( х,, уг, О ), f/ ( xt, Х2, О ), а также при t =0 начальные смещения U(X, 0).
По этой информации требуется определить вектор смещений U ( X , ), плотность р (X) и упругие параметры Ламе Д ( X ), //(X). Доказана единственность ж существование решения этой обратной задачи в классе аналитических функций. Исследование основано на редукции исходной задачи к нелинейной системе уравнений типа Коши-Ковалевской с данными на плоскости Х3 =0.
В 14 третьей главы изучается одна обратная задача сейсмо-логии-определение тектонической картины в районе очага землетрясения по сейсмологическим наблюдениям на поверхности Земли. Математическая постановка задачи заключается в следующем. Пусть D -область, заполненная однородной изотропной упругой средой и - система Ламе после преобразования Фурье по времени. На границе О области и выполнено условие свободной границы имеет вид где /7 - вектор нормали к »J , а вектор функция г(Х>Щ) '1 Эх, = i&Sw+M&fa) Q. = 0.(yit^,VO) , у=/,2,3, где о - функция Дирака. А
Такой вид вектор-функции f(X,w) соответствует модели Б.В. Кострова [зб] очага землетрясения и физически означает, что сейсмические возмущения вызваны разрывом сплошности среды, а вектор-функция а{У.^и) имеет смысл скачка вектора смещений вдоль плоскости разрыва У- =0. Обратная задача заключается в определении вектор-функции С?(Х}Ю) по Фурье-образу вектора смещений, заданному на границе Д . В случае, когда информация задается на всей поверхности h> г о помощью редукции этой краевой задачи к задаче во всем пространстве, основанной на применении формулы
Сомильяны и использования преобразования Фурье получена формула обращения для решения обратной задачи.
В 15 третьей главы рассматривается задача определения правой части волнового уравнения и системы Ламе, представляющей собой однородную функцию f(X,t) (вектор-функцию f(X,t) ) по переменным Уу і % по следу решения соответствующей обобщенной задачи Коши, з-аданному на поверхности наблюдений. Физически- однородная вектор-функция -f(XX) может моделировать источник типа землетрясения. Оказывается, что в этом случае волновое поле U(Xft) (вектор смещений U(X$t)) также являются однородными и решение обратной задачи строится путем продолжения волнового поля (вектора смещений) с множества задания в область источника по однородности.
В 16 изучается задача определения правой части уравнения Гельмгольца по информации, заданной на границе *J области U : U (І, к), Ъи(хук)/дп , х е s, где Э /Эг? - производная по нормали к *i , если относительно правой части известно, что она удовлетворяет дифференциальному уравнению первого порядка
Под функцией f(X}K) понимается некоторый объемный источник (или вторичный источник, связанный с неоднородностью среды) специального вида. При этом условие /if =0 есть условие на его поверхности уровня по пространственным переменным. Решение' этой задачи основано на ее редукции к интегральному уравнению второго рода. - II -
В четвертой главе приводятся результаты тестовых расчетов по определению структуры поверхностей уровня скоростной функции, иллюстрирующие результаты, полученные в первых двух главах диссертации. Здесь же получены формулы для решения прямой кинематической задачи для среды с коэффициентом преломления
Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю д.ф.-м.н., профессору Ю.Е.Аниконову за постановку задач и постоянное внимание к работе.
Тождества и неравенства в обратной кинематической задаче
Пусть V ( V , 2 ) геодезические римановой метрики (лучи в анизотропной среде) п п и - значение симметрической ГП - формы на векторе скорости X геодезической, порожденной ковариантным тензорным полем Дт с компонентами .., (м) и пусть для всех точек \ G-S , I S известны интегралы
Требуется определить поле Пт(ЮjX - D при известной метрике. Как будет видно из дальнейшего, эта задача тесно связана с задачей определения первых интегралов уравнений луча или что. по существу то же самое с задачей определения структуры множеств уровня скоростной функции по годографам. Другой смысл этой задачи заключается в том, что при /77 =0 (Wm при этом просто функция GL(Z) ) и при 9ty = А Оц ( о}; - символ Кронекера) это по существу обратная кинематическая задача для изотропной среды в линеаризованной постановке, а при /77 =2 - линеаризованная постановка обратной кинематической задачи для анизотропной среды (по поводу линеаризованных постановок обратной кинематической задачи см. [58J ).
В случае евклидовой метрики у= 7 В.А.Шарафутдиновым в [бі] получен следующий результат: для того, чтобы (1% ) = для всех точек feS,2eS при выполнении некоторых условий гладкости,необходимо и достаточно, чтобы пт = (5VBn7_f , где $m-i - ковариантное тензорное поле валентности т-1 и Втч\ =0,
У означает ковариантное дифференцирование (в данном случае совпадающее с обычным), (5 - обозначение операции симметрирования по всем индексам. В случае /77 =0 вопросы единственности решения этой задачи для произвольной римановои метрики рассматривались в работах Р.Г.Мухометова [46], В.Г.Романова [бб] , И.Н. Бернштейна, М.Л.Гервера [17] , а при т =1 в работе Ю.Е.Аниконо-ва и В.Г.Романова [із] .
Решение обратной кинематической задачи сейсмики для произвольной трехмерной модели скоростной функции имеет значительные трудности. Успех интерпретации данных о временах пробега во многом определяется удачным выбором аппроксимирующей модели. В связи с этим интерес представляет способ исследования обратной кинематической задачи, основанный на понятии первого интеграла уравнений луча, предложенный Ю.Е.Аниконовым. Суть его заключается в определении структуры множеств уровня скоростной функции (а не самой функции как в постановке обратной кинематической задаче) по годографам. Принципиальным при этом является вопрос о том, существует ли взаимно-однозначная связь между структурами и соответствующими групповыми свойствами годографов. Поясним это на следующем примере.
Пусть плоскость Уъ =0 есть поверхность наблюдений и пусть на её некотором куске функция времени пробега TCg f li z) как функция координат источника и приемника удовлетворяет диф ференциальному равенству то есть допускает при фиксированных 2 , %z группу сдвигов вдоль прямых - = const # Возникает вопрос, является ли выполнение этого равенства достаточным условием (необходимость очевидна) того, что коэффициент преломления вблизи поверхности наблюдений зависит только от координат Хг , х3 , то есть имеет цилиндрические поверхности уровня.
Изучение подобных и более сложных задач было начато Ю.Е. Аниконовым в [6, 7J . Ниже в этом параграфе приводятся результаты работ Ю.Е.Аниконова [іО, її] ..связанные с линейным и квадратичным первым интегралом уравнений геодезических. Геодезические У метрики (І.І) или лучи (в дальнейшем используются оба термина) при выборе параметра z в виде где ols - риманов элемент длины дуги, определенный формулой (I.I), (в отличие от евклидова, который будем обозначать clL ) определяются системой обыкновенных дифференциальных уравнений: Система (1.4) есть система Ньютона с потенциалом Ф(х) = = - 1/2.) (%) ПРИ равенстве нулю полной энергии.
Обратная кинематическая задача для среды с коэффициентом преломления II. Обратная кинематическая задача на плоскости
Рассмотрим плоскую обратную кинематическую задачу при условии, что уравнения лучей допускают неизвестный квадратичный интеграл. Пусть c/sZ Ах НЖ Ч Ол хеА1 (2.37) - конформно-евклидова метрика, такая что её геодезические допускают квадратичный интеграл Требуется определить У[УД) по заданной функции
Известно [62] , что геодезичесіоіе римановой метрики при /7=2 допускают квадратичный первый интеграл тогда и только тогда, когда метрика является метрикой Лиувилля, то есть,когда существует преобразование координат X Х(х $) t $жу(Х у), такое, что в новых координатах Л (а(х) + т( г+ Ґ) (2.38)
Поскольку метрика (2.37) и (2.38) конформно-евклидовы, то это преобразование, очевидно, есть конформное преобразование. Для метрики (2.38) обратная кинематическая задача решается в явном виде [7] (имеются формулы обращения типа формулы
Герглотца). Таким образом,задача сводится к определению конформного преобразования переводящего (2.37) в (2.38). Покажем, что последняя задача эквивалентна задаче определения квадратичного интеграла. Во-первых,заметим, что уравнения геодезических метрики(2;38) при-.выборе .параметра в виде допускают первые интегралы Поэтому геодезические метрики (2.37) при аналогичной параметризации (1.3 ) допускают квадратичный первый интеграл вида 1г = ( и( #)& ф#)$)г - fCKfJ . (2.39) Вычисляя производную jr J и приравнивая её нулю в силу (1.4), получим
Поскольку это равенство должно выполняться тождественно относительно вектора скорости геодезической (я , у ) , получаем уравнения Следовательно, 4/{хлу) и vfay) - гармонические сопряженные функции, которые определяют также гармонические сопряженные функции X(v ij) и у ( yj такие, что V 3 J U2 v2-K (2.41) - 76 Нетрудно проверить, что условия разрешимости этих уравнений выполнены. Преобразование У -(х ) , У к/( }%) есть конформное преобразование, причем cfyz+c/f (и +гїг)(с ) 1+с/$г) .
Покажем, что преобразование есть искомое конформное преобразование. Действительно, полагая из (2.40) на функцию fifayj,получаем уравнения или в координатах X , у Функции Х( ії)) и yfay) определяются из соотношений (2.41) через I/fay) и #/ / ) с точностью до постоянной. Поскольку L/ ж V гармонические сопряженные функции, то uf= и с v t І= ГТ - аналитическая функция комплексного переменного 2 - Ч + іу, Таким образом, если-известны и(уло) , tffy oj , то задача построения нужного конформного преобразования сводится к задаче аналитического продолжения функции Uffi) в верхнюю полуплоскость с"действительной оси.
Существование первого интеграла (2.39) эквивалентно тому, что функция 2YJ"; %) удовлетворяет дифференциальному соотношению которое в частности выполняется при Х=СЇ4;0), J-Сї о) . Отсюда также .как и в 8,можно определить t-f(XjO) , vfXjO) f то есть значения ztfft) на действительной оси.
Как видно,имеется существенная разница в задаче определения квадратичного первого интеграла между плоским случаем и задачей в пространстве. Если в пространстве некоректность этой задачи заключается в дифференцировании таблично заданной функции времени пробега, то при /7=2 добавляется ещё некорректность задачи аналитического продолжения. Эта разница является следствием бедности множества конформных преобразований при /7 2 . С другой стороны, в плоском случае запас функций M yJ , таких, что геодезические допускают квадратичный первый интеграл шире, чем в пространстве,что опять же связано с бедностью множества конформных преобразований при п 2. Так,если при п - 2 множество конформных преобразований совпадает с множеством аналитических функций комплексного переменного, то при П 2, как утверждает теорема Лиувилля [32] , всякое конформное преобразование есть суперпозиция сдвигов, поворотов осей координат, растяжений и инверсий.
Обратная задача теории очага землетрясения
На основании теоремы Копій - Ковалевской заключаем, что система (3.7), (3.8) (3.10)-(3.12) с данными (3.14) однозначно разрешима в окрестности задания начальных данных в классе аналитических функций. При этом решение обратной задачи определяется соотношениями t й(Ц)= ]v(x t )M , / ($) = тк(х) , MXhtyx), _ о а 0 у определяется формулой (3.9). С помощью подстановки нетрудно убедиться, что так определенные ЇЇ(х ,і), !Х(х) ,/"(%) flxj удовлетворяют условиям (3.1)-(3.6), то есть являются решением обратной задачи. Теорема доказана.
Как видно из доказательства существенным является отличие от нуля функции ЦС ( kf , #г ). По крайней мере это означает, что граница X =0 не может быть свободной. Кроме того, требуется задание вектора /смещений . при і =0, компоненты которого должны быть также отличны от нуля. Но в практически важных задачах обычно известно, что среда до какого-то момента времени находилась в покое, то есть Ы,(Я{о) =0. В такой ситуации можно ввести ненулевое начальное данное Ц (Xj о) О , соответствующим образом изменив правую часть системы (3.1), которая при этом становится, вообще говоря,обобщенной вектор-функцией. Все это затрудняет практическое использование теоремы 3.1, но,с другой стороны,эта теорема устанавливает тот минимум информации, которую необходимо задавать для решения обратной задачи.
В этом параграфе изучается одна обратная задача сейсмологии - определение тектонической картины в районе очага землетрясения . по сейсмологическим наблюдениям на поверхности Земли. Математически эта задача по существу эквивалентна задаче определения правой части системы уравнений Ламе специального вида.
Пусть J) z - ограниченная область с гладкой границей tS } заполненная однородной изотропной упругой средой с плотностью j5 и параметрами Ламе Х J и . Запишем уравнения движения среды I - х- ъР TI JW , (3.15) Lij - I» 2, 3, где как и выше м($)/ - вектор смещений, J-(x,i) - внешняя сила. Границу считаем свободной, то есть где п(Юа( Ъ, fatty)- единичный вектор нормали к поверхности S в точке У
Согласно Б.В.Кострову [Зб] , механизм землетрясения заключается в разрыве сплошности среды вдоль некоторой поверхности S0C & РИ этом, если CZfXjt) Х& 30 . - вектор-функция скачка смещений на берегах разрыва, то сейсмические возмущения, вызванные разрывом описываются формулой з Vi ,V J J Z-, &lj( ilo/S i\ (3.17) где / - Л , 4 (%7 тензор плотности сейсмического момента, пс(% ) - единичный вектор нормали к поверхности ,5 о в точке Xі , Oil - компонента тензора Грина, являющаяся решением краевой задачи с однородными граничными условиями (3.16) для мгновенной единичной силы, приложенной в точке , направленной вдоль оси С?У; ; Qf =0 при т и . if Обратная задача теории очага землетрясения заключается в определении вектор-функции й(Я ) скачка смещений на поверхности Д по следу вектора смещений L/0(x,4) ,Х& Ь , заданному на свободной границе S . Покажем, что модель Б.В.Кострова по су ществу эквивалентна выбору вектор-функции в правой части (3.15) специального вида.
Формулы в одной прямой кинематической задаче
Рассмотрим задачу определения правой части волнового урав нения DaU = ин-0 Ди=(хЛ), X&R3 (3.27) - 96 4 o (3.28 по следу решения обобщенной задачи Коши (3.27), (3.28), заданному на боковой поверхности цилиндра Гт= 2 [,Т] . где S граница области Da К . Относительно источника предполагается, что -р Є С fR M J/ и является однородной функцией переменных 3? і і степени /7?
Будем считать, что тф -Ъ-К ни при каком целом к. Известно [23 3 , что тогда ( ) порождает обобщенную однородную функцию той же степени, являющуюся регуляризацией #( і). Физически такой источник можно интерпретировать как волну направленного излучения. Представим f в виде где /0($,1) - некоторая функция, заданная на единичной сфере 7Гг =1. Пусть 12 = suftfr = 3, ІІЛ {і-о] = Ф .
Носитель AZ. ив частности его размерность определяют направленность источника. Так, например, если \L - точка, то источник представляет собой излучающую точку, движущуюся вдоль луча, выходящего из начала координат с постоянной скоростью.
Очевидно, что если удастся продолжить функцию u(XiZj с границы цилиндра $ х [0 Т 1 в цилиндр D х [о, / J , то восстанавливается по формуле (3.27). Вопрос о продолжении L/(X}t) решается в данном случае просто, а именно, оказывается, что U(x,) является однородной функцией переменных У , t степени т+2 и если /77 известна, то Ц(х ч продолжается по однородности. Доказательство. Введем оператор и вычислим коммутатор Da " а Простые вычисления показывают, что
Поскольку U\ =0 , то \\Ц\ = 0. Отсюда и из единственности решения обобщенной задачи Кожи для волнового уравнения [20] следует, что / \и =0 в обобщенном смысле, то есть U(Xj-h) - однородная обобщенная функция степени т+2. , Теорема доказана.
Хорошо известно [20] , что решение обобщенной задачи Коши в классе обобщенных функций существует, единственно и представляется в виде волнового потенциала мую особенность только при 1=i , 1- CLT и f&C (К siOj ! то /1/ =С(К \К). При этом особенность источника в начале координат пространства д распространяется вдоль характеристического конуса. В частности след функции U(ytt) на боковой поверхности цилиндра дЗ Ґ0)/ J определен всюду кроме множества
Пусть (О) = Z) [о Т] Опишем область Ст , куда продолжается L/()( ) , последовательно, где восстанавливается f(X)t) Обозначим через / луч, соединяющий точку М- f ojT/, yo Є: S с началом координат в R . При изменении V0 вдоль jS c j опишет некоторую поверхность Z-± с особой точкой в нуле. Область, ограниченную поверхностью 2L » боковой поверхности цилиндра 5 Г Т ] и плоскостью і =0 обозначим через
Тогда G- G K. Если информация U($ i) , Х& о задается на куске Оо поверхности , то U(x i) продолжается в область G0C G (рис. 6).
Замечание. Очевидно, что с небольшими изменениями результаты сохраняются если f[X}t) однородна степени ґГ? по переменным Х-У-о у t to » Хо е -О . При этом точку ( У о . to ) можно определить по "первым вступлениям", то есть множеству А Л/-J Аналогичные результаты справедливы для системы уравнений Ламе. Действительно пусть ных (Lai =( ) - 1 +№и1-?ъ с (3.29) U i cT J:ri 2 a- (3.30) Пусть все ( « являются однородными функциями перемен X г I СТепеНИ /77 л»- - - - . =0 ГО /=1,2,3. Как и в случае волнового уравнения/легко устанавливается тождество откуда (L/1u).... = 1.2.3.
На основании единственности решения обобщенной задачи Коши (3.29), (3,30) в классе обобщенных функций (единственность следует хотя бы из того, что аналогичная задача для волнового уравнения имеет единственное решение, а система Ламе в случае однородной среды, как известно, эквивалентна скалярному и векторному волновым уравнениям для потенциалов) заключаем, что и(х,) однородная обобщенная вектор-функция переменных X , t степени ҐП + 2 . По-видимому, однородные вектор-функции можно использовать при моделировании очага землетрясения. Действительно, если в модели Б.В.Кострова вектор-функция G ( Xd , г , І ) скачка смещений является однородной функцией переменных X/ , Хг , і степени /77 , то источник / ( х , і ) в силу известных равенств [23] х(х)+М = о, б"(х)+гб Сх)=о будет однородной обобщенной вектор-функцией степени /77-2. При этом процесс разрушения происходит следующим образом. В момент времени t =0 в точке Хл =0, Х2 =0 на плоскости разрыва происходит вспарывание и начинает распространяться фронт подвижки произвольной формы, что соответствует современным представлениям о движении в области очага. С другой стороны, однородные функции с такими же особенностями движения позволяют моделировать и объемные источники с произвольной направленностью.
