Содержание к диссертации
Введение
1. Обзор основных положений теории планирования регрессионных экспериментов 9
1.1. Планирование регрессионных экспериментов при наличии линейной адекватной модели 9
1.2. Оптимизация планов эксперимента при нелинейной параметризации модели 16
1.3. Поиск оптимальных планов эксперимента для случая неадекватной модели 19
2. Разработка методики оптимизации эксперимента при исследовании теплошзических свойств веществ 25
2.1. Особенности планирования теплофизического эксперимента 25
2.2. Построение D -оптимальных планов измерений
при наличии одного контролируемого фактора 29
2.3. Планирование р,lf,T и других теплофизических экспериментов при двух контролируемых факторах 33
2.4. Методика последовательного планирования с оценкой степени адекватности применяемой модели 38
3. Построение оптимальных однофакторных планов экспериментального решения ряда задач теплофизики 47
3.1. Определение параметров температурной зависимости второго вириального коэффициента 47
3.2. Планы экспериментального исследования давления насыщенного пара чистого вещества 52
3.3. Оптимальные планы проведения градуировочных опытов в метрологии 69
4. Определение параметров термического уравнения состояния чистого вещества на основе планируемого эксперимента 73
4.1. Планирование эксперимента по исследованию зависимости в газовой фазе 73
4.2. Построение оптимального плана определения коэффициентов уравнения состояния жидкости 76
4.3. Оптимальный план проведения D, Т - измерений с целью оценки параметров уравнения состояния Гиршфельдера 82
Заключение 95
Литература
- Поиск оптимальных планов эксперимента для случая неадекватной модели
- Планирование р,lf,T и других теплофизических экспериментов при двух контролируемых факторах
- Планы экспериментального исследования давления насыщенного пара чистого вещества
- Построение оптимального плана определения коэффициентов уравнения состояния жидкости
Введение к работе
При решении многих научно-технических задач, связанных с проектированием и разработкой современных технологических процессов в нефтехимической, нефтеперерабатывающей и других отраслях промышленности, необходимо располагать надежными данными о теплофизиче-ских свойствах широкого круга веществ. Число различных веществ, применяющихся в качестве исходных, промежуточных и конечных продуктов в химической и нефтеперерабатывающей промышленности, превышает уже две тысячи и продолжает непрерывно расти. Основным, а в ряде случаев, единственно возможным источником данных о теплофизи-ческих свойствах индивидуальных веществ и их смесей служит в настоящее время эксперимент. Современный теплофизический эксперимент /ТЗ>Э/, в т.ч. экспериментальное исследование теплофизических свойств веществ, связан с применением дорогостоящей аппаратуры, привлечением высококвалифицированных специалистов и значительными затратами времени.
В связи с этим большое значение приобретает проблема повышения эффективности экспериментальных исследований, ускорения их и экономии материальных ресурсов при их проведении. Решить эту проблему невозможно без применения методов теории планирования эксперимента /ПЭ/, позволяющих организовать исследования с наименьшими затратами средств и времени. Вместе с тем в силу ряда специфических для ТФЭ причин, таких как высокий уровень точности измерений, выдвигающий на первый план проблему адекватности применяемых математических моделей, сложный вид применяемых обычно уравнений регрессии, искомые параметры в которые зачастую входят нелинейно и т.д. методы ПЭ практически не находили применения в исследованиях теплофизических свойств веществ.
Настоящая работа выполнена в рамках решения научно-технической проблемы 0.80.18 "Разработать и внедрить отраслевую систему
стандартизации и расчета теплофизических свойств веществ для предприятий и организаций МНХП СССР'Узадание 03.15 по координационному плану ПШТ СССР/.
Целью работы является разработка методики планирования эксперимента по исследованию теплофизических свойств веществ и построение оптимальных планов решения наиболее часто встречающихся в исследовательской практике задач с учетом особенностей теплофизиче-ского эксперимента.
Методы ПЭ делятся обычно на методы поиска оптимальных условий /"I Jia планирования эксперимента в задачах идентификации и экстраполяции [ZJ\
Основная задача, возникающая в процессе планирования теплофи-зического эксперимента - это определение коэффициентов уравнения, описывающего исследуемое свойство - относится ко второму направлению. Она сводится к поиску оптимального /в смысле того или иного критерия оптимальности/ плана, позволяющего найти искомые коэффициенты с наибольшей точностью при минимальном числе измерений. Постановка такой задачи целесообразна лишь в таком эксперименте, в процессе которого не преследуется цель обнаружить какие-либо особенности в поведении вещества, а решается задача количественного описания поведения теплофизических свойств того или иного вещества.
Подобные эксперименты в настоящее время проводятся во многих научно-исследовательских лабораториях и на их проведение отвлекаются значительные силы и средства. Оптимизация затрат на проведение таких исследований позволит теми же силами провести значительно больший объем экспериментальных исследований. Этим определяется актуальность решения поставленной задачи.
Научная новизна работы. В работе предложен способ последовательного планирования теплофизического эксперимента с поэтапной проверкой адекватности используемых для обработки опытных данных
математических моделей. Методы теории ПЭ впервые применены для оптимизации процесса проведения экспериментальных исследований термодинамических свойств чистых веществ в газовой, жидкой фазе и на линии насыщения, а также градуировочных опытов в некоторых задачах метрологии.
Автор защищает:
Методику поэтапного планирования экспериментального исследования теплофизических свойств веществ, предусматривающую проверку адекватности применяемых математических моделей.
Эффективность применения прямых методов поиска максимума определителя информационной матрицы для построенияD - оптимальных планов эксперимента.
Оптимальные планы решения задач экспериментального исследования давления насыщенных паров чистого вещества, р, ІҐ, Т -измерений в газовой и жидкой фазах, температурной зависимости второго вириального коэффициента и параметров ряда эталонных датчиков температуры.
Практическая ценность работы. Внедрение оптимального планирования в практику ТФЭ позволяет существенно повысить эффективность экспериментальных исследований теплофизических свойств веществ. Применение разработанных планов дает возможность резко сократить число необходимых измерений без ущерба для точности описания результатов опыта. При этом появляется возможность сосредоточить измерения в тех областях параметров состояния, в которых они несут наибольшую информацию о поведении исследуемых свойств. В рамках автоматизированных систем генерации информации о теплофизических свойствах веществ предлагаемая методика позволяет отбирать из массивов имеющихся опытных данных наиболее информативную их часть и существенно уменьшать тем самым необходимый для хранения такой информации объем машинной памяти.
Реализация результатов работы. Комплекс программ и таблиц оптимальных планов внедрены в Автоматизированную единую систему теплофизического абонирования /АВЕСТА/ и во Всесоюзном научно-исследовательском институте физико-технических и радиотехнических измерений. Справки об использовании результатов работы прилагаются к диссертации.
Диссертационная работа состоит из введения, четырех главг заключения, и приложения.
В первой главе приведен краткий обзор основных положений теории планирования регрессионных экспериментов. Проведен анализ методов ПЭ при нелинейной параметризации уравнения регрессии, кратко рассмотрены методы построения оптимальных планов для неадекватных моделей.
Вторая глава посвящена разработке методики оптимизации эксперимента при исследовании теплофизических свойств веществ. В ней рассмотрены основные особенности планирования ТШЭ. С учетом этих особенностей разработана методика последовательного планирования ТФЭ с оценкой степени возможной неадекватности используемой модели.
В третьей главе приведены результаты построения оптимальных планов экспериментального решения ряда однофакторных задач, описана разработанная методика определения параметров температурной зависимости второго вириального коэффициента по минимальному числу опытных р, 1Ґ9Т - данных. Рассмотрена задача построения оптимальных планов экспериментального исследования Ps(T) применительно к трем видам эмпирических уравнений - Вагнера, Зиа-Тодоса и Ко-ломийца. Приведено сопоставление результатов расчета по уравнениям с коэффициентами^определенными по плану с опытными данными. Приведены оптимальные планы определения параметров градуировочных зависимостей ряда образцовых датчиков температуры.
Четвертая глава посвящена определению параметров термических
уравнений состояния чистого вещества на основе планируемого эксперимента. Приведены оптимальные планы определения параметров уравнения состояния в полиномиальной форме, уравнения состояния Кес-сельмана и сотр. и обобщенного уравнения Гиршфельдера. Надежность уравнений состояния с найденными таким образом параметрами продемонстрирована путем сравнения результатов расчета с опытными данными.
Поиск оптимальных планов эксперимента для случая неадекватной модели
В качестве начальных оценок при построении локально оптимальных планов могут быть приняты значения параметров, оцененные либо из физических соображений, либо из предыдущих опытов.
Рекомендации по выбору начальных оценок при планировании теплофизического эксперимента будут рассмотрены ниже.
Описанный выше подход к планированию эксперимента при нелинейной параметризации предполагает наличие некоторой априорной информации об объекте исследования, а если такой информации нет, то более перспективным является подход, использующий стратегию последовательного планирования.
Стратегия последовательного планирования заключается в том, что планирование эксперимента и, собственно говоря, сам эксперимент, проводится в несколько этапов. После каждого этапа проводится анализ полученных результатов и принятие решения о продолжении или прекращении экспериментальных исследований. Особенно полезен такой подход при использовании нелинейных моделей. Так, в случае отсутствия априорной информации о параметрах, входящих в модель нелинейно, необходимо провести "затравочный" эксперимент. Проведение такого эксперимента необходимо для получения приближенных оценок неизвестных параметров. Построение оптимального плана "затравочного" эксперимента не представляется возможным. От "затравочного плана можно лишь требовать, чтобы он был невырожден, т.е. давал однозначные оценки В . После этого, обработав результаты такого эксперимента и получив начальные оценки неизвестных параметров модели, находится локально D -оптимальный план.
На втором этапе эксперимент проводится согласно полученному локально-оптимальному плану. Результаты этого эксперимента используются для нахождения оценок искомых параметров уравнения регрессии.
При построении локально оптимального плана обычно используются начальные значения оценок BUCm в достоверности которых исследователь сомневается. Для проверки достоверности полученного плана можно повторить процедуру построения локально-оптимального плана, приняв при этом в качестве начальных оценок значения параметров, определенных уже не по результатам "затравочного" эксперимента, а по результатам, полученным по локально-оптимальному плану. Если эти планы с достаточной степенью точности совпадут, эксперимент можно больше не продолжать.
В предыдущих разделах рассмотрена математическая постановка задачи планирования эксперимента в предположении, что функция, описывающая объект исследования, известна. При решении большинства экспериментальных теплофизических задач исследователь не знает точной функциональной связи между измеряемой величиной и контролируемыми переменными. К настоящему времени методы планирования экспериментов, учитывающие возможную неадекватность, являются недостаточно развитыми как с идейной, так и с вычислительной точек зрения.
Рассмотрим некоторые из существующих методов планирования для решения подобных задач. В работе / 13_7 предлагается метод построения квазиоптимальных планов при наличии неадекватной модели. В этом методе авторы предлагают реальную зависимость аппроксимировать, например, ее разложением в ряд Тейлора по неизвестным параметрам внутри области планирования.
Пусть функция Ч (ос, Зист) описывает реальную зависимость, функциональный вид которой мы не знаем, но предполагаем, что существует функция Ч (ссуО) , которая с некоторой степенью точности описывает реальную зависимость, т.е. Ч(ОС, Вист) = Ч (Х, G)+& (ОС, В, G) /1.14/ Причем функция Л (ОО, В?Є) - неизвестна.
При такой постановке задачи целью планирования регрессионного эксперимента является отыскание функции Ч (ОО, О) , которая была бы возможно ближе к истинному значению Ф(С, Вист) . В качестве характеристики степени близости поверхностей У(дО, Вист) и Р(OCJQJ можно использовать величину: d(Os) ш таж Є [1Ч (Х, Вист) - V(x, S]2} /1.15/ ОС С Л где Е обозначает операцию усреднения по результатам наблюдений при заданном плане эксперимента. В качестве величин О берутся их наилучшие линейные, либо квазилинейные, оценки, полученные в предположении, что Ч (оо76) является поверхностью отклика. Величина CL , характеризующая степень неадекватности, зависит от плана эксперимента, и поэтому цель планирования в этом случае состоит в выборе такого плана, который минимизировал бы эту величину.
Планирование р,lf,T и других теплофизических экспериментов при двух контролируемых факторах
Наиболее удобным для планирования случаем является сочетание уравнения типа I с видом области планирования I/, при этом независимо от метода измерения возможно двукратное применение методики одномерного планирования для полиномальной регрессии. Если, к тому же, изменением функции эффективности эксперимента можно при-небречь, то для составления плана достаточно воспользоваться планами, приведенными в таблице 2.1.
В рассматриваемом случае для экспериментального метода группы А, может быть построен точный D - оптимальный план, путем применения численных методов. В случае невысоких степеней to и п можно воспользоваться известными каталогами планов /"27J» В той же ситуации в случае использования экспериментального метода группы В, разумно сохранить упомянутый выше подход двукратного планирования.
К примеру, рассмотрим задачу планирования р, 7Ґ, Т измерений методом пьезометра постоянного объема. При таком подходе эксперимент планируется на изохорах, а затем на фиксированных изо-хорах - по температурам. В этом методе более трудоемкой операцией является заправка пьезометра, то есть переход с изохоры на изохо-ру, установление же заданного температурного режима сопровождается меньшими трудностями, поэтому предлагаемый подход планирования является оптимальным не только в смысле минимизации числа измерений, но и оптимальным в смысле общих затрат на проведение эксперимента, так как позволяет сократить число заправок пьезометра, а значит и время проведения исследований.
Еще одним примером двухфакторного планирования является исследование изохорной теплоемкости в широкой области параметров состояния. Решение этой задачи рассмотрим применительно к методу адиабатного калориметра в случае, когда для описания результатов эксперимента применяется полиномиальная модель / 28_/.
Рассматриваемый экспериментальный метод относится к группе методов с явно неравноценными факторами. Установление заданной плотности связано с большими техническими трудностями, чем установление температурного режима. Поэтому при решении этой задачи можно использовать двукратное планирование при котором, как и в предыдущем примере, вначале определяются опорные изохоры, а затем составляется план измерений по температурам на фиксированных изохорах.
Представление об особенностях планирования эксперимента при различных сочетаниях вида уравнения, метода измерения и области планирования дает таблица 2,2.
Подробнее рассмотрим вопросы планирования эксперимента в случае нелинейной параметризации уравнения регрессии - тип уравнения III.
Краткий обзор методов ПЭ, применяемых при решении подобных задач приведен в подразделе 1.2. Анализ этих методов показал, что наиболее приемлемым при решении задач планирования теплофизичес-кого эксперимента является метод квазилинейных оценок.
Общая схема построения локально-оптимальных планов состоит в этом случае из процедуры линеаризации модели и выбора начальных оценок неизвестных коэффициентов.
Для линеаризации модели мы применяли обычно используемый метод линеаризации с помощью отрезка Тейлора. Для этого необходимо разложить функцию в ряд Тейлора
Общие рекомендации по выбору начальных оценок неизвестных параметров дать, вообще говоря, затруднительно, но приведенные в подразделе 4.2 и 4.3 примеры демонстрируют два возможных пути их решения.
Одной из особенностей планирования теплофизического эксперимента является использование математических моделей, адекватность которых реальному поведению исследуемого объекта не может быть гарантирована заранее.
Основные причины возможной неадекватности можно сформулировать следующим образом: - эмпирический характер большинства уравнений состояния, - использование в качестве математической модели уравнения состояния теоретически обоснованного лишь в узкой области параметров состояния, - применение в теоретически обоснованных моделях упрощающих расчет допущений о характере взаимодействия молекул, - исследование недостаточно химически чистых веществ, т.е. содержащих примеси и т.д.
При решении большинства теплофизических задач используются уравнения эмпирического и полуэмпирического характера. При использовании таких уравнений в качестве математических моделей важное значение приобретают вопросы предварительного анализа пригодности этих уравнений для описания свойств исследуемых объектов. Прежде чем приступить к процедуре планирования, необходимо провести тщательный анализ существующих уравнений и выбрать из них то, которое наилучшим образом способно описать предполагаемый объект исследования. Но даже самый тщательный поиск не может гарантиро- , вать от неудачи и это прежде всего объясняется эмпирическим характером уравнения состояния.
Как правило, каждое из таких уравнений разработано для отдельных групп веществ, принадлежащих определенному классу. При этом обеспечивается достаточно высокая точность описания свойств внутри группы веществ, экспериментальные данные которых использовались при составлении уравнения.
При планировании эксперимента по исследованию свойств вещества, не принадлежащего к той же группе, необходимо предусмотреть проверку пригодности уравнения.
Наилучшим решением вопроса выбора математической модели было бы использование теоретически обоснованного уравнения состояния. Но к настоящему времени таких уравнений разработано явно недостаточно. Одним из них является уравнение состояния в вириальной форме Я= 1 + Вр+ С-р2+ Dp5+ у пригодное для неидеального газа. Применение этого уравнения для описания умеренно плотных газов дает возможность описать опытные результаты в пределах погрешности эксперимента. Однако применение этого уравнения для расчета термодинамических свойств вещества в широком интервале плотности невозможно.
При планировании теплофизического эксперимента речь идет, как правило, об экспериментах, при описании которых существенной неадекватности не предполагается. Поэтому необходимо найти такой способ оценки степени неадекватности модели, который не требовал знания истинного вида адекватной модели и требовал бы минимальных дополнительных затрат.
Планы экспериментального исследования давления насыщенного пара чистого вещества
Учитывая связь между переменной 30 и температурой /3.8/5 нетрудно выразить значения температур, при которых необходимо провести измерения,через точки спектра плана.
Используя закон Трутона crlRHt 10 и примерное соотношение между ГИк и критической температурой Тн.к 076 Ткр » можно записать формулу /3.9/ в приведенном виде следующим образом
Согласно этой формуле, при тах- і у то есть когда верхний предел совпадает с критической температурой, для Ван-дер-Ваальсов-ского приближения измерения надо провести при критической температуре и С - 0,857, а при использовании полинома второй степени это соответствует измерениям при = І; ЧІ - 0,904; 1 = 0,717. Как видно, уже в последнем случае нижняя температура, в которой необходимо провести измерения, приближается к температуре нормального кипения. Поскольку при этом резко возрастает погрешность определения Bf Tj , то можно представить себе следующую методику планирования. Сначала определяют ту минимальную температуру Т/п/л при которой экспериментальная установка дает возможность определить В(Т) с достаточной точностью. Потом выбирают математическую модель и строят для нее оптимальный приведенный план. Затем уже находят 7/77ах такую, чтобы крайняя точка плана совпадала с Tmin Tmax = Tmirl /(/- Tmin ZCmax/R- Ткр)р /ЗЛІ/ где JCmax максимальное значение в плане. Аналогично решается задача ПЭ и в случае, когда используются другие математические модели для описания температурной зависимости. Однако при этом необходимо применение численных методов поиска оптимального плана.
Одной из важнейших теплофизических характеристик вещества является давление насыщенного пара. Изучению этой характеристики посвящено большое количество работ [21, 46-56] . При решении задачи планирования эксперимента нами выбраны три уравнения, которые используются в качестве математических моделей исследуемых объектов, неизвестные параметры которых необходимо определить из эксперимента.
Уравнение /3.12/ выбрано как наиболее предпочтительное при аппроксимации экспериментальных данных ряда веществ с целью создания подробных таблиц [ 23, 24, 25 J.
Уравнения /3.13/ и /3.14/ включены в Автоматизированную единую систему теплофизического абонирования /АВЕСТА/ [ 57j , и составление плана эксперимента под эти модели представляет практический интерес.
После того, как выбрана математическая модель /одно из уравнений /3.12/-/3.14 , задача ПЭ сводится к нахождению оптимального плана проведения измерений, то есть к определению значений температур, вблизи которых необходимо сосредоточить измерения давления насыщенных паров. Затем по результатам измерений необходимо определить неизвестные коэффициенты уравнений.
В качестве объектов исследования выбраны азот, этилен, метан и аргон. Выбор объектов обусловлен тем, что по этим веществам имеются подробные таблицы Ts Ps , а по таким веществам, как аргон и азот опубликованы и подробные экспериментальные данные [47 J , что позволяет в ряде случаев максимально приблизиться к реальным условиям проведения эксперимента.
Вместо проведения натурного эксперимента в работе применяется метод выборки из массивов опубликованных различными авторами опытных данных. В этих массивах находятся экспериментальные точки, наиболее близкие к точкам спектра оптимального плана и по ним определяются параметры уравнения регрессии. Проверка адекватности также ведется по опытным точкам ближайшим к точкам минимума дисперсии предсказания по уравнению регрессии.
Построение оптимального плана определения коэффициентов уравнения состояния жидкости
Уравнение получено авторами работы / 68_7 в рамках ячеечной модели жидкости в сочетании с методом эффективного потенциала. Оно справедливо для области параметров 7т/ 7" 1,3 Гкр и fi l PKp . Уравнение /4.5/ имеет достаточную теоретическую обоснованность и с высокой точностью описывает термические свойства жидкости. Это было проверено на большом количестве веществ, включая полярные / 69_/.
Параметры уравнения состояния /4.5/ 5 . и ёожъ соответствии с / 69 / могут быть представлены аналитическими выражениями критическая температура, Л/ - число Авогадро.
Таким образом, уравнение состояния /4.5/ содержит всего три константы CLy1o,C , которые должны определяться из эксперимента. Задача ПЭ здесь заключается в том, чтобы найти D оптимальный план определения этих коэффициентов. Спектр этого плана, естественно, должен содержать всего три точки. Ниже в качестве объекта исследования выбран этан. Для этого вещества имеются подробные экспериментальные данные Z 70_7 как раз в той области параметров состояния, где рекомендуется применять уравнение /4.5/.
Положим, что эксперимент проводится в интервале температур -100 - 270 К, а по плотности область планирования ограничена линией насыщения и уравнением изобары Р = бОМПа. Руководствуясь таблицей 2.2, выбираем способ планирования для решения этой задачи.
Выбранное уравнение состояния /4.5/ относится к Ш группе, то есть является нелинейным относительно неизвестных параметров. Вид области планирования произвольный, значит, независимо от методики измерения необходимо использовать численные методы построения оптимальных планов.
Выбранное уравнение нелинейно, поэтому при построении оптимального плана воспользуемся методом квазилинейных оценок.
Линеаризуем уравнение /4.5/. Разложив функцию г = [{ -) в ряд Тейлора и вычислив частные производные по неизвестным параметрам, получим линеаризованное выражение в виде:
- начальные оценки неизвестных параметров. В качестве начальных оценок неизвестных параметров приняты численные значения CL = 0,2; ё = 0,05; С = 2,0, близкие к определенным ранее для метана. Располагая сведениями о значениях констант ряда веществ, строились локально-оптимальные планы с различными значениями CL0 7 &о Со . Оказалось, что на результаты построения плана выбор начальных оценок существенного влияния не оказывает. В таблице 4.3 представлены квази-оптимальные планы, полученные при различных начальных оценках неизвестных параметров.
При построении точных планов рекомендуется их поиск повторять несколько раз с различными начальными планами, что и было сделано в данном случае. точка найдена для проверки адекватности уравнения состояния /4.5/. Соответствующая ей плотность fi - 597,17 , температура Т = 190,08 К, в наиболее близкой к контрольной опытной точке /JD- 581,83 Ці- , Та 190,05/ проведено сопоставление результатов расчета по уравнению с коэффициентами, определенными по плану и опытным значениям плотности. Относительная погрешность описания контрольной точки уравнением /4.5/ составляет 0,04$.
Таблица 4.5 дает представление о согласии расчета с экспериментом в целом. Как видно из таблицы, подавляющее большинство опытных данных описывается с погрешностью 5р - 0-0,2%, лишь в четырех экспериментальных точках она составляет &р = 0,3-0,4%. Среднеквадратичная погрешность описания всего массива опытных данных составляет брер = 0,01%. Анализ полученных результатов показывает, что при удачно выбранной модели уравнения состояния использование методики ПЭ позволяет существенно сократить объем экспериментальных исследований.
Уравнение Гиршфельдера /"74, IbJ является базовым при расчете термических и калорических свойств обширного круга веществ, включенных в номенклатуру системы АВЕСТА.
Расчет термических свойств веществ в системе производится в двух режимах. Первый режим работы предполагает расчет свойств по обобщенным методикам, точность таких расчетов для многих веществ невелика и составляет, например, для плотности 2-3$. Второй режим работы предполагает "оптимизацию" методик, т.е. уточнение констант аналитических соотношений на основе экспериментальных данных по веществу, свойства которого требуется рассчитать/ 7б, 77_7.
Если экспериментальные данные по веществу, свойства которого необходимо рассчитать, отсутствуют в банке данных системы, либо имеются в узкой области параметров состояния, то для выполнения "оптимизации" необходимо провести экспериментальные исследования.
Составление программы таких исследований с использованием методики ПЭ позволяет значительно сократить объем и время выполнения экспериментальных работ.
Ниже на примере азота рассматривается задача планирования Р7 V, Т- измерений в широкой области параметров состояния с целью определения коэффициентов уравнения состояния Гиршфельдера.
