Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Научно-методический анализ реализации идейного потенциала основ математического анализа при обучении математике в школе 16
1.1. Категория «идея» с философской и математической точек зрения 16
1.2. Проблемы изучения основных фундаментальных понятий математического анализа в школе 25
1.3. Теоретическое обоснование реализации идейного потенциала основ математического анализа при изучении фундаментальных понятий начал анализа в школе 38
Глава 2. Методика реализации идейного потенциала основ математиче ского анализа в школьном математическом образовании 48
2.1. Методика изучения понятия функции на базе идеи соответствия 48
2.2. Методика изучения понятий предела и непрерывности на базе идей близости и окрестности 62
2.3. Методика изучения основ дифференциального исчисления на базе идеи локальной линеаризации отображений 93
2.4. Методика изучения понятия интеграла на базе идеи меры ... 106
2.5. Экспериментальная работа по реализации идейного потенциала основ математического анализа в школьное математическое образование 129
Заключение 141
Библиография 145
Приложения 160
- Категория «идея» с философской и математической точек зрения
- Проблемы изучения основных фундаментальных понятий математического анализа в школе
- Методика изучения понятия функции на базе идеи соответствия
Введение к работе
В определении целей общего математического образования всегда соседствовали два направления:
1) утилитарное, нацеленное на потребности в применении математики в практической жизни;
2) концептуальное, нацеленное на усиление роли математики в общем развитии человека.
В 50-90-х гг. XX в. в школьном математическом образовании преобладал первый, прагматический подход, что было обусловлено особенностями состояния общества в этот период. Изменения, происходящие в последние десятилетия, диктуют явный перевес концептуальных целей обучения, причем эта тенденция в ближайшем будущем очевидно будет только усиливаться.
На данный момент еще более актуальны слова великого Платона «Эта наука, Главкон, подходит для того, чтобы установить закон и убедить всех, кто собирается занять высшие должности в государстве, обратиться к искусству счёта, причём заниматься им они должны будут не как попало, а до тех пор, пока не придут с помощью самого мышления к созерцанию природы чисел - не ради для купли-продажи,... и чтобы облегчить самой душе её обращение от становления к истинному бытию» [153, с. 308].
Здесь в очередной раз проявляется величие философа - одной ёмкой фразой он указывает на место и роль математики в жизни человека.
Далее, в предисловии к программам по математике для средней школы 1918 года написано: «Курс математики строится, проводится в своей про-грамме-минимум не столько в интересах будущих техников, химиков, статистов и т. п., сколько в целях пополнения тех недостающих звеньев в системе гуманитарного образования, понимая последнее в широком смысле слова, какие может дать только математика».
Мы всецело соглашаемся со словами известного математика и педагога A.M. Абрамова, сказанными на заседании Московского математического общества 5 октября 1999 г.: «Надо посмотреть на математику с точки зрения ее места в общей картине образования. Математика должна быть средством воспитания личности. Но тогда это должна быть другая математика. Она будет сосредоточиваться на тех видах, которые «ум в порядок приводят», а не на тех знаниях, которые помогают один раз в жизни в течение пяти часов решить тригонометрические уравнения с параметром, а потом забыть все это, как кошмарный сон.... В конечном счете нужно повысить его идейное содержание, его привлекательность для школьников и показать его тесную связь с другими предметами» [86, с. 3].
Таким образом, на сегодняшний день в школьном математическом образовании наблюдаются следующие противоречия:
- разрыв между уровнем развития современной математики и состоянием математического образования в школе;
- разрыв между уровнем математических знаний выпускников школы и требованиями вузов;
- требованиями к уровню подготовки школьников и обязательным минимумом содержания образовательной программы;
- требованиями современности (действительности, жизни) и реальными знаниями учащихся.
Для разрешения этих противоречий в стандарте среднего (полного) общего образования по математике базового уровня среди целей указано:
- формирование представлений о математике как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов, об идеях и методах математики;
- воспитание средствами математики культуры личности, понимание значимости математики для научно-технического процесса, отношение к ма тематике как части общечеловеческой культуры через знакомство с историей развития математики, эволюцией математических идей [178, с. 9]. На профильном уровне на первое место выходит:
- формирование представлений об идеях и методах математики;
- воспитание средствами математики культуры личности через знакомство с историей развития математики, эволюцией математических идей; [178, с. 12].
Итак, на сегодняшний день одна из актуальных задач - построение школьной математики на идейной основе. В вопросе разрешения этой проблемы должен сыграть математический анализ, обеспечивающий метод для количественного исследования процессов изменения, движения зависимостей одних величин от других. Наличие основ математического анализа, в частности его основных фундаментальных понятий, в средних школах разных типов повышает идейно-теоретический уровень школьного курса математики, приближает его к современной математике и «...сколько-нибудь удовлетворительное завершенное изложение элементарных основ математической науки без этих основных понятий следует признать немыслимым при современном состоянии науки» [203, с. 7].
Выдающийся математик первой половины XIX в. М.В. Остроградский первым поднял вопрос о введении элементов математического анализа в школах России. Ученый резко критиковал формальный стиль обучения, когда от учащихся скрыт подлинный смысл математических операций, когда им не показывается связь предмета с практикой. Он подчеркивал значение сведений по истории науки, поскольку они имеют большое воспитывающее воздействие.
Исходя из этих рассуждений, на наш взгляд, весьма неоправданными являются доводы, предъявляемые в пользу исключения из школьного математического образования некоторых вопросов начал математического анализа, а именно - теории пределов, интеграла. Надо лишь несколько изменить подход к их преподаванию, причем в профильных классах: гуманитарных, естественно-экономических, математических - этот подход должен быть соответственно дифференцированным.
Преподавание начал анализа в школе даже в классах с углубленным изучением математики процедура очень не простая. Трудности возникают, прежде всего, в том, что учащиеся оказываются неподготовленными к восприятию нового содержания, богатого сложными понятиями и своеобразными методами рассуждений. Учащиеся не имеют представления о тех идеях, в рамках которых сформировались основные понятия, методы и факты, лежащие в основе математического анализа и его школьных начал. Здесь, как нам представляется, следует руководствоваться педагогическим наследием выдающегося математика и методиста А.Я. Хинчина, который всегда старался обстоятельно раскрывать принципиальные моменты излагаемой дисциплины, говорить о тенденциях, проблемах, целях и методах, о связях ведущих идей между собой и об основных понятиях в рамках этих идей с приложениями, что чрезвычайно важно в общеобразовательном процессе. Наконец, у учащихся к началу изучения математического анализа недостаточно подготовлена теоретико-множественная база, которая, как известно, лежит в основе всей современной математики. Трудности у учащихся возникают и при рассмотрении трактовки понятия бесконечности. Учащиеся осознают бесконечность в форме потенциальной бесконечности, и осознают ее значительно раньше, чем актуальную. Для их интуиции потенциальная бесконечность более естественна и очевидна. Учащиеся воспринимают ее как становящуюся, процессуальную бесконечность, как неограниченный процесс построения математических объектов. Поэтому на вопрос: «Может ли бесконечное множество быть ограниченным?» учащиеся как правило отвечают: «Нет».
В практике преподавания приходится проявлять немало стараний, чтобы учащиеся поняли, что актуальная бесконечность возникает в результате процесса идеализации, состоящего в том, что о бесконечном множестве ведутся рассуждения как о конечном.
Основные идеи математического анализа являются важным связующим звеном между ранее известной школьникам теорией и фундаментальными понятиями начал математического анализа, которые еще надо изучить, они пронизывают всю теорию и осуществляют функцию синтезирования, а также прогнозируют дальнейшее развитие теории. Наглядность содержания идей, лежащих в основе фундаментальных понятий математического анализа, возможности их выражения в различных пригодных для восприятия формах, позволяют задействовать образное мышление учащихся, что, на наш взгляд, значительно облегчает усвоение начал анализа.
Начать обучение математическому анализу необходимо с раскрытия заложенных в нем идей. Это дает возможность установить связи между изучаемыми понятиями, между идеями и понятиями, между различными идеями, проследить исторический путь формирования понятий (а ученику - индивидуально повторить этот путь в процессе познания), приблизить теорию к ее практическому применению.
Речь идет о некоторых идеях, определившихся в математическом анализе в рамках теоретико-множественной основы и получивших отражение в школьных началах анализа: это идея соответствия между множествами, окрестности, близости, т.е. сравнительной взаимоудаленности для элементов множества, локальной линеаризации отображений, меры.
Исходя из названных положений, может быть сформулирована проблема исследования: определение путей совершенствования методики обучения началам анализа в школе, через реализацию идейного потенциала математического анализа.
Цель исследования - теоретическое и практическое обоснование необходимости реализации идейного потенциала математического анализа в школьном курсе математики, создание теории и методики его реализации.
Объект исследования - процесс обучения основным фундаментальным понятиям математического анализа в средней школе.
Предмет исследования - формирование основных фундаментальных понятий математического анализа на базе его основных идей.
Гипотеза исследования. Идейный потенциал основ математического анализа способствует неформальному усвоению учащимися фундаментальных понятий начал анализа в школе. При этом эффективность методики реализации идейного потенциала определяется следующими моментами:
- фундаментальностью значения идеи в познании и научном поиске, где она является одновременно итогом и двигателем логического процесса; пронизывает всю теорию, осуществляя функцию синтезирования;
- ролью связующего звена между ранее известной школьникам теорией и новыми абстрактными понятиями начал анализа;
- наглядностью содержания идей, лежащих в основе фундаментальных понятий математического анализа, возможностью их выражения в различных пригодных для восприятия формах, что в свою очередь позволяет задействовать образное мышление учащихся;
- возможностью построения начал анализа в школе таким образом, чтобы научно-теоретический уровень соответствовал бы возможностям учащихся.
В процессе исследования проблемы и проверки достоверности сформулированной гипотезы необходимо было решить следующие задачи:
1) на основе анализа философской, научной и учебно-методической литературы, содержания школьного курса математического анализа, изучения опыта работы учителей средних школ выяснить возможности реализации идейного потенциала при изучении основных фундаментальных понятий начал анализа в школе, выяснить характерные недостатки в знаниях учащихся и их причины с точки зрения исследуемой проблемы;
2) разработать методику формирования основных фундаментальных понятий математического анализа, реализуя его идейный потенциал: функция - идея соответствия, предел и непрерывность - идеи окрестности и близости, основы дифференциального исчисления - идея локальной линеаризации отображений, интеграл - идея меры;
3) осуществить экспериментальную проверку разработанной методики изучения основ математического анализа в школе и проверку гипотезы.
Методологическую основу исследования в самом общем плане составляют мировоззренческие положения о креативно-творческой и социальной сущности личности как целостной системе, о всеобщей связи и взаимообусловленности явлений и процессов реального мира. Исследование также базируется на общенаучных принципах: принцип системности, комплексности, историзма, взаимодополнительности.
Теоретической основой исследования являются:
- теоретические и методические исследования в области школьных начал анализа (A.M. Абрамов, С.Н. Бернштейн, Ф. Клейн, А.Н. Колмогоров, В.И. Левин, А.И. Маркушевич, А.Г. Мордкович, Н.Г. Ованесов, М.В. Остроградский, П.Л. Чебышев и др.)
- идейный подход к содержанию основ математического анализа в школе (Ф. Клейн, Н.Г. Ованесов, А.Я. Хинчин)
- философские исследования категории идея и теории познания (И. Кант, Гегель, Платон, К. Маркс, Ф. Энгельс, В.Ф. Асмус, Ж.М. Абдиль- дин, И.Е. Ергалиев, Г.Г. Соловьёва и др.)
- психологическая теория умственного развития школьников (Ж. Ада-мар, Д.Н. Богоявленский, Л.М. Веккер, М. Вертгеймер, В.А. Ганзен, Л.В. Занков, А.Н. Лук, A.M. Матюшкин, Н.А. Менчинская, Ж. Пиаже)
- дидактические принципы обучения (СИ. Архангельский, В.М. Бра-дис, Л.И. Груденов, Г.Л. Луканкин, Г.И. Саранцев, А.А. Столяр, П.М. Эрдни-ев и др.)
- концептуальные исследования в области творческой активности учащихся в процессе обучения (Л.С. Выготский, Т.В. Габай, В.В. Давыдов, А.П. Карп, Д. Пойя и др.)
- современные концепции гуманизации и гуманитаризации образования в том числе математического (Е.В. Бондаревская, Г.В. Дорофеев, Т.А. Иванова, А.Г. Мордкович, Т.С. Полякова, Г.И. Саранцев и др.)
Для решения этих задач были использованы методы исследования:
- анализ научно-математической, методической, психолого-педагогической, философской литературы по проблеме исследования;
- анализ учебных программ курса алгебры и начал математического анализа в средней школе, содержания учебников и учебных пособий данного курса;
- беседы с учителями школ и преподавателями вузов соответствующей дисциплины, участие в работе городского методического семинара учителей «Технология обучения математике» (рук. Доц. С.С. Тасмуратов) и методического семинара при Московском пед. государственном университете (рук. А.Г.Мордкович, В.А. Гусев);
- организация и проведение констатирующего, поискового и формирующего экспериментов, количественная и качественная обработка их результатов.
Исследования проводились в три этапа в период с 1999 по 2003 г.
На первом этапе (1999-2001 гг.) осуществлялся анализ психолого-педагогической литературы по проблеме исследования, изучение опыта работы учителей средних школ по преподаванию начал математического анализа и состояния обучения этому курсу. Был проведен анализ содержания школьного курса математического анализа, уточнена проблема исследования и выявлены возможности применения основных идей при изучении основных фундаментальных понятий математического анализа. Проведена первая стадия констатирующего эксперимента.
На втором этапе (2001-2002 гг.) в условиях поискового эксперимента был произведен отбор средств изучения фундаментальных понятий математического анализа, разработана методика обучения, ориентированная на учеников средней общеобразовательной школы и учитывающая результаты констатирующего и поискового экспериментов. Проведена первая стадия формирующего эксперимента.
На третьем этапе (2002-2003 гг.) был продолжен формирующий эксперимент в других классах. Обобщены экспериментальные и теоретические результаты, сделаны выводы.
Апробация результатов исследования. Основные положения и результаты исследования докладывались и получили одобрение на методических семинарах аспирантов кафедры математического анализа АГПУ (1999-2002 гг., руководитель - проф. Н.Г. Ованесов) на городском семинаре учителей «Технология обучения математике» (1998-1999 гг., руководитель - доц. С.С. Тасмуратов), докладывались на научно-практической конференции Школы Одаренных Детей г. Астрахани (1999 г.), итоговых научных конференциях АГПУ (2000-2002 гг.), VIII Международной конференции «Образование. Экология. Экономика. Информатика» (2003 г.). Внедрение научных результатов осуществлялась в процессе публикации статей, научно-методических материалов, а также в ходе экспериментальной работы в Школе Одаренных детей (г. Астрахань), в физико-математической школе № 32 (г. Астрахань), на спецкурсах с учащимися 10-11 классов при АГТУ, Мумринской средней школе (Астраханская область). Материалы работы использовались на лекционных и практических занятиях со студентами АГПУ и АГТУ.
Научная новизна и теоретическая значимость исследования заключается в том, что впервые предпринята попытка построить изучение основ математического анализа в школе, реализуя его идейный потенциал. Дано научно-математическое обоснование целесообразности и правомерности применения основных идей математического анализа при обучении математике в школе. Сформированы основные положения методики изучения основных фундаментальных понятий математического анализа в школе на базе основных идей.
Практическая значимость исследования обусловлена возможностью использования разработанных методических подходов и соответствующих рекомендации учителями в классах с углубленным изучением математики, в общеобразовательных классах, в лекциях для учителей и студентов, а также при совершенствовании школьных учебников и методических пособий.
Достоверность и обоснованность полученных научных результатов обеспечивается: методологическими подходами к разработке теоретических основ исследования; использованием комплекса методов, соответствующих предмету исследования и адекватных поставленным целям и задачам; положительными результатами опытно-экспериментальной работы. Достоверность теоретического исследования подтверждается по критериям практической проверки, неопровергнутости теории практикой на данном этапе их развития, непротиворечивости логики исследования, контекстуальной достоверности. Достоверность практического компонента исследования обеспечена позитивными результатами его внедрения в практику преподавания начал анализа некоторых школ области, в практику преподавания методики математики в рамках специальности учитель математики Астраханского государственного университета, положительной его оценкой со стороны учителей математики и преподавателей математических кафедр. Достоверность эмпирического компонента исследования подтверждается статистической значимостью полученных экспериментальных данных, сочетанием количественного и качественного анализа.
Положения, выносимые на защиту:
1. Современное развитие математического образования направлено на доминирование концептуальных целей обучения, усиление роли математики в общем развитии человека. Преодоление разрыва между современным со стоянием математической науки и школьным курсом математики обусловливает необходимость повысить его идейное содержание, что в свою очередь, с одной стороны, способствует разрешению ранее указанных противоречий в системе школьного математического образования, с другой - удовлетворяет целям изучения математики, сформулированным в стандарте среднего (полного) общего математического образования.
2. Предложенная нами методика реализации идейного потенциала математического анализа в школьном курсе математики научно обоснована и органично встроена в систему разнопрофильного школьного образования.
3. Уровень знаний выпускников школ по началам анализа чрезвычайно низок, формален. Механически оперируя понятиями, учащиеся не имеют представления о тех идеях, в рамках которых сформировались основные понятия, методы и факты, лежащие в основе математического анализа и его школьных начал. Всё это диктует необходимость внедрения идейного потенциала математического анализа в изучение школьных начал анализа.
4. Идейный потенциал математического анализа, реализуемый при изучении фундаментальных понятий начал анализа в школе, базируется на идеях:
- соответствия между множествами (понятие функции);
- окрестности, близости, то есть сравнительной взаимноудалённости для элементов множества (понятия предела, непрерывности);
- локальной линеаризации отображений (понятие производной, основы дифференциального исчисления);
- меры (понятие интеграла, основы интегрального исчисления).
5. Реализация идейного потенциала основ математического анализа в школьное математическое образование показало свою эффективность, обеспечив повышение уровня знаний учащихся, установив связи между изучаемыми понятиями, приблизив теорию к её практическому применению.
Публикации. По материалам диссертации опубликовано семь работ.
1. Кенжалиева С.З. Интуиция и логика при изучении основных понятий начала анализа // Содержание школьного образования: цели и пути их реализации: Тез. докл. III научно-практич. конф. ШОД. Астрахань: Изд-во АОИУУ, 1999.-0,1 п.л.
2. Кенжалиева С.З. О понятии предела в школьных началах анализа // Ученые записки. Мат-лы докл. итог. науч. конф. АГПУ. Астрахань: Изд-во АГПУ, 2001.-0,6 п.л.
3. Кенжалиева С.З. Об изучении понятия функции в школе // Тез. докл. итог, науч. конф. АГПУ. Астрахань: Изд-во АГПУ, 2001. - 0,1 п.л.
4. Кенжалиева С.З. Научно-методический анализ использования основных идей математического анализа при преподавании в школе // Тез. докл. итог. науч. конф. АГПУ. Астрахань: Изд-во АГПУ, 2002. - 0,1 п.л.
5. Кенжалиева С.З. Идея локальной линеаризации при изучении основ дифференциального исчисления // Образование. Экология. Экономика. Информатика: Тез. докл. VIII Междунар. конф. Сер. Нелинейный мир. Астрахань: Изд-во АГТУ, 2003. - 0,1 п.л..
6. Понятие предела в школьном курсе начал анализа: Методические рекомендации / Сост. С.З. Кенжалиева. Астрахань: Изд-во «Астраханский Университет», 2004. - 1,9 п.л.
7. Кенжалиева С.З. Экспериментальное обоснование эффективности реализации идейного потенциала основ математического анализа в школьное математическое образование // Ученые записки. Мат-лы докл. итог. науч. конф. АТУ. Астрахань: Изд-во «Астраханский Университет», 2004. -0,5 п.л.
Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, библиографии, пяти приложений.
Во введении обосновывается актуальность темы, формулируются проблема и частные задачи, указываются методы исследования.
В первой главе проводится научно-методический анализ реализации идейного потенциала основ математического анализа при обучении математике в школе. Раскрывается смысл категории идеи с философской и математической точек зрения (1.1), исследуются проблемы изучения фундаментальных понятий математического анализа в школе (1.2), теоретически обосновываются возможности применения основных идей при изучении фундаментальных понятий математического анализа в школе (1.3).
Во второй главе излагается методика реализации идейного потенциала основ математического анализа в школьном математическом образовании. Строятся методики введения: понятия функции на базе идеи соответст-вия(2.1); понятия предела, которое лежит в основе метода пределов - основного метода математического анализа и его школьных начал и связанного с ним понятия непрерывности на базе идей окрестности и близости (2.2); основ дифференциального исчисления в рамках понятий производной, дифференциала и дифференцируемости функций на базе идеи локальной линеаризации (2.3); понятия интеграла на базе идеи меры (2.4). Здесь же проводится анализ дидактического эксперимента.
В заключении обобщены результаты исследования в логике сформулированных во введении задач, изложены его основные выводы, подтверждающие гипотезу и положения, выносимые на защиту.
В приложениях выборочно даны результаты исследования практического характера.
Категория «идея» с философской и математической точек зрения
Категория «идея» имеет фундаментальное значение в познании, в художественном творчестве и научном поиске, являясь одновременно итогом и двигателем логического мышления. Для раскрытия логической природы идеи, её сущности необходимо проследить этапы её формирования в процессе развития философии и научного познания.
В истории философии впервые глубокое и оригинальное учение об идее разработано Платоном. По мнению философа, сущность, целое никак не сводится к простой взаимосвязи и совокупности элементов. Для объяснения целостности необходимо выдвинуть некоторое целое, всеобщее, которое делает данный предмет данным предметом. При этом идеи, всеобщее, в понимании Платона, существуют объективно, сами по себе, являясь в то же время сверхчувствительными, безусловными сущностями.
По Платону, подлинным предметом познания являются идеи. Следовательно задача диалектики прежде всего состоит в познании идей. Идеи трактуются им как подлинные. Идеи существуют сами по себе, и только благодаря им существуют все другие единичные вещи.
Гегель о значении идеи в платоновской философии говорил: «Идея есть не что иное, как то, что нам более знакомо и привычно под названием «всеобщего», и это последнее.... к тому же рассматривается не как формально всеобщее, которое есть лишь некое свойство вещей, а как само по себе сущее, как сущность, как то, что единственно лишь истинно. Мы ближайшим образом переводим eidos через «род», «вид», и идея, несомненно, также представляет собой род, но род, каким он постигается больше мыслью и существует для последней» [48, с. 147].
Платон, исследовав пути движения теоретической мысли, пришёл к выводу, чтобы познать истинную природу вещей, необходимо восходить ступенька за ступенькой от частного к всеобщему, идее: «Начав с отдельных проявлений прекрасного, надо всё время, словно бы по ступенькам, подниматься ради этой высшей красоты вверх - от одного прекрасного тела к двум, от двух - ко всем, а затем от прекрасных тел к прекрасным делам, а от прекрасных дел к прекрасным учениям, пока не поднимешься от этих учений к тому, которое и есть учение о высшей красоте, и не познаешь наконец, что же есть красота» [152, с. 169].
Платоновское учение об идее имело недостатки, однако в нём содержались также глубокие логико-теоретические мысли, которые были использованы, переосмыслены и существенно развиты в последующей философской науке.
Философский вопрос о природе и сущности знания Платон и Аристотель сводили к проблеме идеи. Кант развивает их учение, рассматривая идею как универсальную форму и соединяет её с разумом и диалектикой. Кант был непримирим с теми, кто отождествлял идею с чувственным представлением, и с теми, кто смешивал её со всеми понятиями, категориями. Он указал на то, что в философии имеются обозначения для видов представлений и дал им градацию. «Представление вообще (repraesentatio) есть род. Ему подчинено сознательное представление (perceptio). Ощущение (sensatio) есть перцепция, имеющая отношение исключительно к субъекту как модификация его состояния; объективная перцепция есть познание (cognitio). Познание есть или созерцание, или понятие (intuitus vel conceptus). Созерцание имеет непосредственное отношение к предмету и всегда бывает единичным, а понятие имеет отношение к предмету опосредованно, при посредстве признака, который может быть общим для нескольких вещей. Понятие бывает или эмпирическим или чистым; чистое понятие, поскольку оно имеет своё начало исключительно в рассудке (а не в чистом образе чувственности) называется notio. Понятие, состоящее из notions и выходящее за пределы возможного опыта, есть идея, или понятие разума» [84, с. 354].
Общее в учениях об идее Платона и Канта заключается в том, что у обоих мыслителей идея есть идеальная сущность. По Канту, идея - своеобразная идеальная сущность, поскольку предельное понятие разума истолковывается им как вещь в себе «...То, что может быть представлено только чистым разумом, что должно быть причислено к идеям... - это вещь в себе» [85, с. 302]. Под вещью в себе Кант подразумевает особые объекты умопостигаемого мира. У Платона идея - это идеальная сущность бытия, всеобщее, бесконечное. И у Канта и у Платона идея не имеет предметного аналога в объективной действительности.
Главное различие в учениях Канта и Платона - различное отношение к познанию. Платон движется от идей к познанию явлений, а Кант, наоборот, от познания явлений идет к идеи. Знания человека, по Платону, из мира идей, а единственный кантовский объект, который нам «дан» и познается нами, -это явление. Идея у Канта выступает в форме знания, существующего до познания в форме идеальной сущности, а не реального существования, как было у Платона.
Проблемы изучения основных фундаментальных понятий математического анализа в школе
Изучение основ математического анализа в школе и, прежде всего, усвоение учащимися его основных фундаментальных понятий сопряжено с определенными трудностями. Богатство содержания, новизна идей, большое число новых сложных понятий и своеобразных методов оказываются трудно преодолимой для учащихся преградой. Учащиеся испытывают значительные трудности в понимании методов рассуждений, в логических схемах построений теорий, наконец, в порой уже принятых уровнях «научности» изложения материала. Здесь уместно привести высказывания выдающегося математика Ф. Клейна, что «научно обучать - значит научить человека научно думать, а не оглушать его с самого начала холодной, научно напряженной систематикой» [94, с. 426]. Следовательно, построение начал анализа в школе должно быть таким, чтобы научно-теоретический его уровень соответствовал бы возможностям учащихся.
Если проследить историю развития математического образования в школе, то нетрудно заметить наличие серьезных проблем изучения элементов математического анализа; последние периодически то включались в школьную программу, то ... извлекались из неё.
В начале XIX в. передовых русских математиков серьезно занимал вопрос о содержании и, естественно, преподавании математики в школе. Согласно уставу, в 1804 г. в школьную программу по математике как раз были включены начала высшей математики, но уже в 1819 г., по уваровскому плану, из программы были исключены начала дифференциального и интегрального исчислений.
В 40-х гг. XIX в. академик М.В. Остроградский добивался введения в курс математики средней школы основ высшей математики, которые в итоге были введены в 1850 г., но лишь в кадетских корпусах. Он же разработал методику их преподавания.
За 50 лет до Ф. Клейна, автора Меранской программы, М.В. Остроградский, требуя научности и доступности в преподавании, соблюдения связи теории с практикой, наглядности и конкретности в преподавании, воспитания интереса и активности учащихся, рекомендовал, чтобы в преподавании доказательства теорем учащиеся находили сами, чтобы преподаватели заботились о развитии математического мышления и самостоятельного творчества учащихся.
Великий русский математик П.Л. Чебышев настаивал на включении в школьную программу по математике элементов высшей математики, но его доводы не смогли убедить сторонников классического направления, и программа оставалась прежней.
Под влиянием передовых слоев общества в 1906 г. были опубликованы новые учебные планы для реальных училищ, согласно которым составленная по математике программа содержала основы анализа бесконечно малых. Это был первый существенный шаг для реальных училищ, а в гимназиях положение не изменилось. И хотя в программе элементы анализа оказались как бы инородными в общей массе вопросов, тем не менее успеваемость учащихся по началам анализа (как отмечал в 1909 г. известный математик С.Н. Берн-штейн) была обнадеживающей. С.Н. Бернштейн подчеркивал, что в преподавании элементов анализа следует уделять внимание идейной стороне вопроса и учить школьников пользоваться самостоятельно приемами логического мышления при изучении элементов дифференциального и интегрального исчислений.
На Всероссийских съездах преподавателей-математиков с 1911 по 1913 г. было принято решение сделать идею функциональной зависимости, проходящей через весь курс школьной математики, и ознакомить учащихся с простейшими, но доступными им идеями аналитической геометрии и анализа бесконечно малых.
Период 1917-1920 гг. был периодом становления единой трудовой школы РСФСР. К его концу были составлены первые программы по математике, которые, с одной стороны, приближали школьное математическое образование к современной науке, а с другой - связывали обучение с трудовой деятельностью.
В проекте программы II ступени школы имелись и элементы анализа. Однако в 1923 г. были приняты программы ГУСа, которые ориентировали на служебное положение математики при изучении практических задач. Вслед за постановлениями правительства о школе (1931-1934 гг.) была составлена новая программа по математике, в которой, к сожалению, отсутствовали элементы анализа.
После Великой Отечественной войны, в 1947 г. в ИМО АПН РСФСР был разработан проект программы, в которой нашли отражение элементы дифференциального исчисления в порядке первого шага, а в 1953 г. был издан проект программы для обсуждения, где также содержались основы дифференциального исчисления. Наконец, в 1957 г., после широкого обсуждения проекта, в школьном курсе математики появилась тема «Функции и их исследование. Производная», которая была сохранена в последующие годы. Дискуссионным был лишь вопрос об объеме и содержании этой темы.
Методика изучения понятия функции на базе идеи соответствия
Обоснование функциональной линии как ведущей для школьного курса математики - одно из крупнейших достижений современной методики. Понятие функции является стержнем, вокруг которого группируются почти все вопросы школьного курса алгебры и начал анализа и который позволяет сделать для учащихся более осмысленным их изучение. Традиционные алгебраические вопросы, такие как уравнения и неравенства, тождественные преобразования, выигрывают в научном и методическом отношениях при рассмотрении их с функциональных позиций.
Данный подход отражает фактическое положение дела, когда школьный предмет, именуемый в прошлом алгеброй, а ныне алгеброй и началами анализа, не был и не является подготовительной ступенью к изучению современной алгебры, предметом изучения которой служат множества произвольной природы объектов с заданными на них алгебраическими операциями, а являются подготовительной ступенью к изучению математического анализа, который обеспечивает метод для количественного исследования процессов изменения, движения, зависимостей одних величин от других.
Свойства функций, геометрические образы широко используются при изучении уравнений и неравенств. Например, требование решить уравнение f(x) = g(x) (неравенство /О) ( ) g(jc)) эквивалентно требованию найти множество значений аргумента, при которых функции y=f(x) ny=g(x) принимают равные значения (значения функции у=/(х) больше или меньше соответствующих значений функции y=g(x)). В ряде случаев графики функций служат отправным пунктом в формировании приемов решения уравнений или неравенств. Такая методика принята, например, при обучении решению показательных уравнений и неравенств первой и второй степеней. Геометрические образы часто помогают учащимся осмыслить результат, получаемый при решении уравнений, неравенств, систем, проанализировать возможность того или иного ответа.
Использование функциональных представлений определяет методику изучения выражений и их тождественных преобразований. Таким образом, в курсе алгебры, в котором широко используются функциональные элементы, прослеживается функциональная линия, приобретает необходимую стройность и целеустремленность.
В истории развития математического анализа выделяются четыре периода. Первый, протянувшийся от работ Архимеда до середины XVII века. Второй - от работ Ньютона и Лейбница, охватывает вторую половину XVII и полностью XVIII в. Третий, охватывающий XIX в. до 80-х гг., явился периодом первого логического обоснования математического анализа. Четвертый период с конца XIX и начала XX в. явился периодом перестройки математического анализа на базе канторовой теории множеств, с одной стороны, и попыткой второго его логического обоснования, с другой.
В рамках этих периодов развивались основные понятия математического анализа и, в частности, одно из основных понятий - понятие функции, которое с начала XIX в. способствовало преобразованию математического анализа в общую теорию функций.
Велико в методологическом плане значение понятия функции в школьном преподавании. По этому поводу выдающийся математик и методист А.Я. Хинчин писал, что «... ни одно из других понятий не отражает явлений... действительности с такой непосредственностью и с такой конкретностью, ...в которой воплощены и подвижность, и динамичность реального мира, и взаимная обусловленность реальных величин. ...Это понятие, как ниодно другое, воплощает в себя диалектические черты современного математического мышления...» [197, с. 36].
Введение понятия функции в школе может быть проведено многими различными путями. Среди многообразия подходов к понятию функции определились два: генетический (классический) и логический (теоретико-множественный).
Генетическая трактовка понятия функции основана на освоении основных черт, вошедших в понятие функции до середины XIX в. Наиболее существенными понятиями, которые при этой трактовке входят в систему функциональных представлений, служат переменная величина, функциональная зависимость переменных величин, а формула (аналитическое выражение), зачастую выражающая одну переменную через некоторую комбинацию других переменных, выступает как формальный аппарат, призванный для анализа и обслуживания функциональных зависимостей [130, с. 154].
При логическом подходе функция выступает в виде соответствия специального вида между двумя множествами [130, с. 155]. Здесь в математическом анализе и теории функций выделились, в свою очередь, три трактовки понятия функции. Первая встречается в ряде руководств, например, в книге П.С. Александрова «Введение в теорию множеств и общую топологию» [8, с. 14] и в книге А.Н. Колмогорова и СВ. Фомина «Элементы теории функции и функционального анализа» [98, с. 21], в которых определяется не само понятие функции, а некое функциональное соотношение, некая функциональная ситуация. Во второй имеет место толкование функции как правила или закона, согласно которому каждому элементу одного множества сопоставляется некоторый элемент второго множества, то есть правила, перерабатывающего элементы одного множества в элементы другого множества. Такое толкование, например, имеет место в книге Дж. Кемени и др. «Введение в конечную математику» [88, с. 95]. В третьей функцию трактуют как соответствие.
