Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Рекурсия как универсальная методология и теория алгоритмизации 25
1. Общеметодологическая категория рекурсии 25
1.1. Рекурсия в философии, биологии, 26
1.2. Рекурсия в информатике 30
1.3. Рекурсия в математике 39
1.4. Рекурсия и математическая индукция 45
2. Рекурсия в ретроспективе 54
2.1. Алгоритм Евклида 56
2.2. Числа Фибоначчи и рекурсия 69
2.3. А. Муавр, Л. Эйлер и рекуррентные последовательности 78
2.4. Рекурсивность арифметических операций 93
2.5. Метод Декарта и рекурсия 114
3 Отечественный и зарубежный опыт обучения рекурсии 123
4. Понятийно-терминологическое обеспечение рекурсии 142
5. Опорные схемы рекурсивных вычислений 158
5.1. Поэтапное формирование умственных действий 158
5.2. Опорная схема "Увидеть" 165
5.3. Опорная схема "Переформулировать" 176
5.4. Опорная схема "Обобщить" 182
5.5. Опорная схема "Характеристические свойства" 187
5.6. Другие опорные схемы 191
6. Познавательные аспекты рекурсивной тавтологии 200
Глава II. Проектирование и разработка содержания обучения алгоритмизации на основе рекурсии 21
1. Развивающее обучение и рекурсия 210
2. Инвариантная часть содержания 217
3. Дидактические модули вариативной части содержания 231
4. Методика оценки трудоемкости рекурсивных алгоритмов . 244
4.1. Асимптотические обозначения и оценки 245
4.2. Методы решения рекуррентных соотношений 248
4.2.1. Метод подстановки 248
4.2.2. Метод замены переменных 250
4.2.3. Метод итераций 251
4.2.4. Специальный метод 252
4.2.5. Метод производящих функций 254
4.3. Рекуррентные соотношения и тождества 261
4.4. Свойства производящих функций 266
5. Динамическая база и способы работы с ней 270
Глава III. Учебный Web-сайт "Рекурсия в информатике 284
1. Методические принципы отбора содержания 285
2. Организация учебного процесса 288
3. Вычислительные схемы возвратной рекурсии 296
Глава IV. Методика проведения педагогического эксперимента 308
1. Основные задачи и методы педагогического эксперимента 308
2. Результаты педагогического эксперимента 314
2.1. Динамика уровня реактивной и личной тревожности при обучении рекурсии 314
2.2. Направленность личности и успешность обучения рекурсии 322
2.3. Результативность обучения алгоритмизации на основе рекурсии 328
2.4. Рекурсия и компоненты мышления 334
Заключение 339
Библиографический СПИСОК 342
Приложения 360
Приложение 1. Список используемых сокращений 360
Приложение 2. Описание стандартных и пользовательских коне- 362
- Общеметодологическая категория рекурсии
- Развивающее обучение и рекурсия
- Методические принципы отбора содержания
Введение к работе
Актуальность исследования. В настоящее время весь мир, и Россия не исключение, переживает эпоху перемен. Происходят фундаментальные изменения в социально-политической и экономической сферах жизни. Стремительно возрастает объем новой научной информации и высокоинтеллектуальных технологий общественного производства. Конец XX и начало XXI века войдут в историю как время перехода человечества от индустриального к постиндустриальному и затем к информационному обществу. Процесс, обеспечивающий этот переход, получил название "информатизация". К нему относят создание, развитие и применение информационных средств и технологий, способствующих кардинальному улучшению качества труда и жизни людей. Процесс информатизации общества инициирует процесс информатизации образования, направленный на повышение качества содержания образования, а также внедрение, сопровождение и развитие новых информационных технологий во всех видах образовательной деятельности. Фундаментом информатизации является новая научно-естественная дисциплина информатика, только лишь начинающая выходить из этапа накопления и осмысления эмпирического материала.
Существует несколько подходов к толкованию понятия "информатика" (англ. computer science или informatics, фр. informatique, нем. Informatik). С учетом сегодняшнего понимания быстро меняющегося объема и содержания, изучаемых информатикой предметов и явлений объективной действительности, её определяют как область деятельности человека, связанную с изучением при помощи компьютеров общих свойств и структуры информации, закономер
ностей и принципов её создания, накопления, преобразования, передачи и использования. Структура информатики или её отдельных частей может быть выстроена по разному основанию [232, с. 36-39]. Как отрасль науки или прикладная дисциплина она состоит из технических (hardware), программных (software) и алгоритмических (brainware) средств. Как учебную дисциплину, а точнее совокупность учебных дисциплин, А. А. Кузнецов очень удачно структурировал информатику по содержанию, выделив в ней так называемые "содержательные линии": линию информационных процессов, линию представления информации (данных), алгоритмическую линию, линию исполнителя, линию формализации и моделирования, линию информационных технологий [330]. Ключевыми понятиями для информатики являются алгоритм и алгоритмизация. В узком смысле под алгоритмизацией понимают науку о разработке и анализе алгоритмов. В более широком смысле к ней относят также разработку и конструирование программ для компьютеров (программирование). В педагогической информатике к алгоритмизации следует отнести также процесс обучения построению алгоритмов и программ и проектирование этого процесса как метода деятельностного познания. Именно на это широкое понимание алгоритмизации и опираются проведенные исследования.
В университетах и высших технических учебных заведениях информатика в виде курсов по кибернетике или программированию "прописалась" практически сразу же за появлением компьютеров. С некоторым запозданием этот процесс начался в педагогических вузах. Предпосылки информатизации школы начали появляться в начале 60-х годов. Пионерами этого нового и еще мало кем понимае
мого тогда дела были С. И. Шварцбурд \ В. С. Леднев 2, В. М. Монахов 3, И. Н. Антипов 4, М. П. Лапчик. Важнейшим этапом информатизации школы стало введение в 1985 году информатики и вычислительной техники как обязательного учебного предмета. В предельно сжатые сроки под руководством академика А. П. Ершова были качественно подготовлены программа, пробные учебные пособия по курсу "Основы информатики и вычислительной техники" для 9-10 классов, а также первые методические руководства для учителей. С этого момента, по существу, началась информатизация образования и в педагогических вузах. Есть смысл напомнить деловую атмосферу, царящую в те дни в педвузах страны. Вот, например, перечень мероприятий, организованных диссертантом и проведенных при его непосредственном участии в Тульском педагогическом институте им. Л. Н. Толстого в 1984-1985 годах [307, с. 24-26]. Созданы программы, организованы и проведены занятия по информатике: с деканами и заведующими кафедрами (24 ч), с большей частью тех преподавателей математического и физического факультетов, которые ранее не пользовались услугами ЭВМ (36 ч), с выпускниками физического факультета (120 ч), с выпускниками математического факультета (120 ч.). Организован студенческий клуб "Компьютер", функционирующий до настоящего времени, но уже под названием "Интеллект", и два кружка по программированию для школьников г. Тулы. Подготовлены методические пособия по программированию для учителей. На летних курсах при институте
были подготовлены к чтению курса информатики в средних учебных заведениях 350 учителей математики и физики. На факультете математики открыта новая специальность - "Математика, информатика и вычислительная техника", - на которую принято 50 абитуриентов. Для преподавателей разных факультетов начал функционировать постоянно действующий учебный семинар по информатике. Институт стал абонентом вычислительного центра коллективного пользования (ВЦКП), получил и установил удаленную дисплейную станцию ЕС-7920 на 8 дисплеев. Станция имела выход на ЭВМ ЕС-ЮЗОиЕС-1045.
Следует признать, что на первой стадии обучение информатике в средней школе, да и в педагогическом вузе сводилось в основном к алгоритмизации (построению и анализу алгоритмов, разработке и конструированию программ). На то были веские причины. К ним можно отнести плохую материальную базу образовательных учреждений, недостаточную информатическую подготовку преподавателей, отсутствие вариативных методических разработок, примитивное программное обеспечение и неразвитые информационные технологии, недопонимание необходимости информатизации образования административными работниками и т. д. Но, несмотря на все эти сложности, школьники и студенты получали достаточные представления, умения и навыки, связанные с овладением наиболее общими компонентами алгоритмизации, которые на современном этапе развития общества начинают рассматриваться как естественное требование к части общей культуры каждого человека и называют алгоритмической культурой. И формировать её было кому. Ведь преподавателями информатики в то время были учителя математики, физики, инженеры-программисты вычислительных центров, научно-исследовательских учреждений и предприятий во
енно-промышленного комплекса. Наряду со многими отрицательными моментами, этот факт нес в себе ещё и мощный положительный заряд: обучение алгоритмизации практически всегда проводилось на достаточно высоком научном уровне.
Со временем и в школе, и в вузе алгоритмизации стали уделять все меньше и меньше внимания. Сравнительный анализ школьных программ и программ педагогических вузов за 1985-2000 гг., по которым учились и учатся будущие учителя информатики, показывает постоянное сокращение за это время количества учебных часов, отводимых алгоритмизации. В итоге к настоящему времени эти часы сокращены не менее чем в два раза. Постепенно алгоритмизация заняла свою достаточно прочную, но весьма скромную нишу в обучении информатике среди многих других компонентов ин-форматического знания. Процесс этот объективный и связан с осознанием важности каждой содержательной линии информатики и, прежде всего, с бурным развитием информационных технологий, без освоения базовой части которых выпускник средней школы становится функционально неграмотным.
Но реалии сегодняшнего дня таковы, что многие выпускники педагогических вузов - будущие учителя информатики (математики и информатики) обладают недостаточными умениями и навыками алгоритмизации, а потому и уровень алгоритмической культуры выпускников школ оставляет желать лучшего, а подчас они просто оказываются функционально неграмотными. За примерами ходить далеко не приходится. Даже по хорошо написанной инструкции не каждый из них может разобраться во всем спектре возможностей современных многофункциональных бытовых фактически программируемых устройств со встроенными микропроцессорами (телефон, стиральная машина, пылесос, утюг и т. д.) и, в силу этого, реально
вынужден довольствоваться лишь их несколькими простейшими функциями. Или другой пример: освоив довольно прилично текстовый процессор Word, лаборант (секретарь, бухгалтер, экономист и т. д.) довольно часто работает непроизводительно, ибо не в состоянии написать для себя несколько макросов для простой и быстрой реализации часто встречающихся фиксированных последовательностей действий при работе с текстом. Где же выход? Увеличение количества учебных часов в программах по информатике на алгоритмизацию вряд ли предвидится. А обучение в педагогическом вузе должно проводиться так, чтобы достигался достаточный для современной школы уровень сформированности основ профессионального мастерства учителя. Иными словами, налицо противоречие между тем, как студенты изучают алгоритмизацию в вузе, и тем что и как им предстоит делать в будущем в качестве учителя информатики. Но выход есть - задействовать в системе вузовского педагогического образования мощный познавательный и развивающий потенциал, заложенный в фундаментальных свойствах рекурсивное™ широкого класса объектов и процессов. Это должно способствовать формированию у будущих учителей информатики алгоритмической культуры, широты кругозора, практических знаний и умений, необходимых для последующей качественной подготовки школьников, свободно ориентирующихся в современном, насыщенном рекурсивными алгоритмами мире, способных обеспечить информационную независимость страны. Отсюда и актуальность исследования. Она обусловлена отсутствием на сегодняшний день целостной системы изучения рекурсивных методов решения практических задач. Слабыми опорными элементами существующих приемов и методов обучения рекурсии являются: неточность (путаница) соответствующего терминологического и понятийного аппара
та, отсутствие дидактически приемлемой классификации типов рекурсии, недостаточная разработанность схем ориентировочной основы действий и содержательного материала исполнительной части действий. В этом же ряду "гнилых подпорок" методам обучения является исторически сложившийся у большинства педагогов ошибочный взгляд на рекурсию как на частный и малоэффективный прием программирования. Все вышесказанное позволяет сделать вывод, что назрела настоятельная необходимость модификации традиционного курса информатики в педагогических вузах путем насыщения его наиболее перспективными и методически оправданными универсальными методами решения широкого класса практических задач и, в первую очередь, рекурсией как одной из перспективных технологических схем проблемного обучения, наводящей реальный мостик между обучением и непосредственно следующим за ним и продолжающимся всю жизнь самообучением или, в более широком смысле, между образованием и самообразованием.
Проблема исследования возникла в результате фиксации существующего и прогнозируемого противоречия между реальным процессом подготовки будущего учителя информатики в педвузе и предстоящей его профессиональной деятельностью. Формулируется она так: можно ли, и если можно, то как проводить обучение в педвузе будущих учителей информатики (математики и информатики) алгоритмизации на основе рекурсии, чтобы достигался достаточный для современной школы уровень сформированности основ профессионального мастерства учителя.
Объектом исследования являлся процесс информатической и методической подготовки будущих учителей информатики (математики и информатики) в педагогическом вузе.
Предметом исследования являлась теория и методика обучения алгоритмизации на основе рекурсии в курсах информатики при подготовке учителей информатики (математики и информатики) в педагогическом вузе.
Целью исследования являлась разработка научно обоснованной системы обучения алгоритмизации на основе рекурсии, которая отвечает требованиям общей и частных дидактик, позволяет совершенствовать учебный процесс по педвузовскому курсу информатики и является основой формирования информационной культуры будущего учителя информатики.
Гипотеза исследования состояла в том, что существует принципиальная возможность обучения алгоритмизации на основе рекурсии и что подобная технология обучения, удовлетворяя всем основным принципам дидактики высшей школы [283, с. 135-137], позволит:
• увеличить уровень адекватности содержания обучения алгоритмизации её современным достижениям и на этой основе повысить профессиональный уровень учителей информатики, достаточный для последующего самообразования и самосовершенствования и обеспечивающий их конкурентоспособность на рынке труда;
• сформировать структуру алгоритмической культуры студентов на основе проблемного изложения, частично-поискового и исследовательского характера учебной деятельности, опирающейся на теорию поэтапного формирования умственных действий П. Я. Гальперина;
• осуществить реальное взаимодействие между отдельными учебными предметами, организуя обучение алгоритмизации на инвариантном и вариативном содержании, по необходимости ориен
тированном на задачи комбинаторики, алгебры, геометрии, теории чисел, экономики и т. д. (межпредметные связи).
Задачи исследования определялись исходя из стратификации проблемы, сущности предмета, частных подцелей общей цели, структурирования выдвинутой гипотезы и могут быть сформулированы следующим образом:
1. Выявить методологическую и теоретическую роль рекурсии в системе научного знания и создать научную концепцию обучения алгоритмизации на основе рекурсии.
2. Провести исторический анализ отечественной и зарубежной практики использования рекурсии в обучении решению прикладных задач.
3. Разработать рекурсивные алгоритмы решения большей части задач, с которыми приходится сталкиваться студентам при изучении информатики, а также многих задач алгебры, геометрии и анализа. Реализовать эти алгоритмы на конкретных языках программирования и провести сравнительный анализ характеристик (время разработки, быстродействие, компактность записи, легкость усвоения, модифицируемость и т. д.) полученных рекурсивных и соответствующих им нерекурсивных алгоритмов и программ. Разработать инвариантную и вариативную части содержания алгоритмической линии на основе рекурсии, обеспечивающие высокий уровень профессиональной подготовки будущих учителей информатики (математики и информатики).
4. Систематизировать, уточнить и расширить существующий понятийный аппарат рекурсии в информатике с целью создания простого и ясного языка описания рекурсивных алгоритмов и процессов, а на его базе - методики обучения алгоритмизации на основе рекурсии.
5. Провести классификацию существующих схем (приемов) и разработать новые схемы решения прикладных задач с использованием рекурсии, которые должны являться ориентировочной основой начальных действий при поиске рекурсивных методов решения конкретных задач.
6. Создать методику оценки трудоемкости некоторых классов рекурсивных алгоритмов.
7. Разработать и внедрить в учебный процесс дидактический комплекс по алгоритмизации на основе рекурсии (электронные тетради, учебные пособия, лабораторные практикумы, учебный Web-сайт по рекурсивным методам решения прикладных задач).
8. Проверить эффективность разработанных теоретических положений в условиях констатирующего и формирующего эксперимента.
Методологическую основу исследования составляют обще-философский системный подход, основывающийся на положении о всеобщей связи явлений и поиске целостных характеристик изучаемых объектов и процессов, достижения психолого-педагогической науки и положения, продуцируемые выявленным при описании актуальности темы противоречием. К ним можно отнести:
• исследования по психологии мышления (Б. Г. Ананьев, П. Я. Гальперин, А. Н. Леонтьев, С. Л. Рубинштейн), трансактный анализ (Э. Берн), теорию словесных действий (П. М. Ершов, А. П. Ершова, В. М. Букатов);
• деятельностный подход и теория развивающего обучения (Л. С. Выготский, П. Я. Гальперин, В. В. Давыдов, Л. В. Занков, Н. Ф. Талызина, Д. Б. Эльконин), психологические аспекты обучения студентов в вузе (В. А. Якунин), теорию непрерывного образования
(С. И. Архангельский, Ю. К. Бабанский, В. С. Леднев, М. Н. Скаткин, Н. А. Шайденко и др.);
• работы по информатике, философии и методологии инфор-матического образования, методике обучения информатике (А. А. Ляпунов, А. Н. Колмогоров, С. Л. Соболев, А. И. Берг, Д. А. Поспелов, О. Б. Лупанов, В. М. Глушков, А. П. Ершов, О. М. Белоцерков-ский, Е. П. Велихов, А. А. Дородницын, Я. А. Ваграменко, В. М. Монахов, И. В. Роберт, С. А. Абрамов, А. Г. Кушниренко, В. К. Бело-шапка, В. Л. Матросов, А. А. Кузнецов, В. С. Леднев, С. Г. Григорьев, Э. И. Кузнецов, В. В. Щенников, В. В. Лаптев, Ю. А. Первин, И. А. Румянцев, М. П. Лапчик, М. В. Швецкий, И. Н. Антипов, С. А. Жданов, А. Г. Гейн, Н. В. Макарова, В. А. Каймин, С. Б. Гашков, В. Н. Чубариков, Н. М. Добровольский, Т. А. Бороненко и др.);
• идеи, воззрения, педагогические и методические работы лауреатов премии Тьюринга (Э. Деикстра, Д. Кнут, Дж. Бэкус, Р. Флойд, Ч. Хоар, Д. Ритчи, Н. Вирт, Дж. Маккарти, Э. Ф. Кодд, Р. Карп);
• работы по философии, методологии и методике использования рекурсии в практике решения задач (Д. Кнут, А. П. Ершов, Д. Баррон, Ф. Л. Бауэр, Г. Гооз, С. А. Абрамов, Ч. Хоар, А. В. Анисимов, С. Гудман, В. В. Щенников, Т. Кормен, Я. А. Ваграменко, И. К. Антипов, Ч. Лейзерсон, К. К. Колин, Р. Ривест, Н. М. Добровольский, Б. Мейер, К. Бодуэн, Э. Рейнгольд, Ю. Нивергельд, Н. Део, Д. Бентли, В. Липский, А. Ахо, Дж. Хопкрофт, Дж. Ульман, Э. Йодан, А. Кофман, Ж. Арсак и др.)
• работы по философии, методологии математического образования (Р. Декарт, Б. Рассел, А. Пуанкаре, Д. Пойа, И. Я. Виленкин, Б. В. Гнеденко, Л. Д. Кудрявцев, А. И. Маркушевич, X. Фройденталь, И. М. Яглом и др.);
• концепцию развития системы общего среднего и вузовского математического образования и методические работы (Ю. М. Коля- гин, В. М. Монахов, Г. В. Дорофеев, В. А. Гусев, А. Г. Мордкович, Г. Л. Луканкин, Г. Г. Хамов, Е. К. Хеннер, М. И. Башмаков, Г. Д. Глей- зер, В. А. Далингер, П. М. Эрдниев и др.).
Методы и инструментарий, используемые для решения поставленных задач, были комплексными, взаимодополняющими и адекватными рассматриваемой теме:
• анализ философской, психолого-педагогической, информати-ческой и методической отечественной и зарубежной литературы, связанной с теоретическим осмыслением природы рекурсивного мышления или практикой использования рекурсии при решении прикладных задач;
• анализ государственных образовательных стандартов высшего профессионального образования, вузовских и школьных программ, учебников и учебных пособий по информатике и смежным дисциплинам;
• организация экспериментальной работы по обучению алгоритмизации на основе рекурсии в ряде университетов, институтов и школ;
• анализ результатов использования учениками, студентами и учителями созданных автором методических материалов по рекурсии;
• длительное педагогическое наблюдение, сравнительный анализ результатов основной и дополнительной учебной деятельности (материалы олимпиад, рефератов, курсовых и дипломных работ, научных студенческих кружков), анкетирование, тестирование,
беседы с учителями, студентами и школьниками для оценки результативности проводимого педагогического эксперимента;
• математико-статистическая обработка результатов педагогического эксперимента;
• вычислительные среды Mathcad 7 Professional и Mathcad 2000 Professional, язык Object Pascal (Delphi 5), язык гипертекстовой разметки HTML 4, среда визуального проектирования Web-страниц Front Page 2000, визуальная среда набора математических формул и программ MathType 4, графические пакеты Microsoft Photo Editor, Adobe PhotoShop и другие информационные технологии.
Этапы исследования начинают отсчет с 1984 года, охватывают достаточно длинный период времени и отражают динамику развития информатики как науки и как цикла учебных дисциплин педагогического вуза.
Первый этап (1984-1994 гг.). На первом этапе исследований, связанном с констатирующим и частично с поисковым экспериментом, решались следующие основные задачи: получение первичного, содержательного, эмпирического материала для его теоретического осмысления и практического использования на следующих этапах исследований; формирование гипотезы и задач исследования, а также поиск путей решения этих задач; выявление методологической и теоретической роли рекурсии в системе научного знания; проведение качественного контент-анализа учебной и научной литературы; анализ текущего уровня и направлений развития содержания алгоритмической компоненты в обучении; подготовка и издание пособий и методических рекомендаций.
Второй этап (1995-1998 гг.). На втором этапе исследований, связанном с констатирующим и формирующим экспериментом, ре
шались следующие основные задачи: уточнение проблемы, цели, гипотезы и задач исследования; разработка инвариантной и вариативной части содержания обучения алгоритмизации на основе рекурсии с учетом анализа, опыта и перспектив информатизации в сфере образования, а также действующих государственных образовательных стандартов высшего профессионального образования; систематизация, уточнение и расширение существующего понятийного аппарата рекурсии в информатике; классификация существующих приемов (схем) и разработка новых схем решения прикладных задач с использованием рекурсии; сравнительный анализ характеристик рекурсивных алгоритмов и их нерекурсивных аналогов; проведение констатирующего и формирующего эксперимента на занятиях по информатике и в серии дисциплин и курсов по выбору студента, дисциплин специализации и факультативов, где, по существу, была предпринята первая попытка систематического обучения студентов 2-4 курсов факультета математики и информатики рекурсивным методам решения прикладных задач. Проектирование учебного процесса базировалось на понятии дидактического модуля [255, 258].
Третий этап (1999-2000 гг.). На третьем этапе исследований, связанном с формирующим и контрольно-оценивающим экспериментом, решались такие основные задачи: окончательная корректировка методологических принципов и теоретических основ организации обучения алгоритмизации на основе рекурсии; корректировка и уточнение схем ориентировочной основы действий (ООД) и модулей инвариантной и вариативной частей содержания обучения рекурсии; модификация контент-сайта "Рекурсия в информатике"; проведение экспериментальной работы, обработка её результатов;
формулирование и анализ выводов; издание учебных пособий, оформление диссертационной работы.
Научная новизна исследования состоит в том, что впервые в теории и методике обучения информатике разработаны теоретические основы и методика алгоритмизации на основе рекурсии в курсах информатики педагогического вуза при подготовке учителя информатики (математики и информатики). В том числе:
• Систематизирован, уточнен и расширен понятийный аппарат рекурсии, используемый в информатике и составляющий основу простого и ясного языка описания рекурсивных алгоритмов и процессов, а на его базе - методики обучения алгоритмизации на основе рекурсии.
• Разработано порядка 300 учебных рекурсивных алгоритмов, которые реализованы на языке программирования вычислительной среды Mathcad или языках программирования Object Pascal (Delphi 5) и Qbasic. Проведен сравнительный анализ различных характеристик этих алгоритмов и программ с соответствующими их нерекурсивными аналогами. Спроектирован и создан дидактический комплекс для обучения алгоритмизации на основе рекурсии, включающий схемы ориентировочной основы действий и инвариантную и вариативную части содержания исполнительной части действий.
• Спроектирована структура и содержание учебного Web-сайта по рекурсии. Сайт создан, функционирует и не только содержит обширный общедоступный справочный материал по рекурсивным алгоритмам, но при некоторых дополнительных условиях позволяет непосредственно проводить "живые" вычисления по соответствующим программам в разных средах.
• Разработана методика оценки трудоемкости рекурсивных алгоритмов с опорой на соответствующие результаты математического анализа (формальные степенные ряды, производящие функции).
• Описана схема улучшения быстродействия рекурсивных алгоритмов за счет введения понятия динамической базы. Введено понятие рекурсивной тавтологии и разработана методика приближенного вычисления значений соответствующих функций.
Теоретическая значимость исследования состоит:
• в обосновании возможности и эффективности обучения алгоритмизации на основе рекурсии будущих учителей информатики (математики и информатики) в педагогическом вузе, обеспечивающего достаточный для современной школы уровень сформированное™ основ профессионального мастерства учителя, способного к последующему непрерывному самообразованию в своей предметной области;
• в уточнении, расширении и систематизации понятийного аппарата рекурсии в информатике;
• в разработке опорных схем вычислений при решении прикладных задач с использованием рекурсии и уточнении классификации типов рекурсии;
• в появлении побочных эффектов тщательной методической проработки рекурсивных алгоритмов - получении новых эмпирических и теоретических научных знаний в предметной области (результаты: по быстродействию s-арных пирамидальных сортировок, по возвратным приближениям к решениям линейных операторных уравнений второго рода, по эффективной оценке нормы линейного функционала погрешностей квадратурных формул с параллелепи-педальными сетками и т. д.).
Апробация результатов исследования проводилась на следующей опытно-экспериментальной базе:
• Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого (основная и факультативная учебная работа, проведение студенческих олимпиад по информатике и информационным технологиям, руководство курсовыми и дипломными работами, кружковая работа, работа со студентами, поступившими в университет из педагогического колледжа по результатам собеседования без вступительных экзаменов, участие в работе научно-исследовательских семинаров по информационным технологиям и теоретико-числовым методам приближенного анализа);
• Институт повышения квалификации и профессиональной переподготовки работников образования Тульской области (ИПКиП-ПРО) (работа с учителями информатики школ г. Тулы и области на годичных курсах повышения квалификации, учебно-научный семинар по обучению алгоритмизации на основе рекурсии, организация и проведение районных и областного туров олимпиад школьников по информатике);
• Институт новых образовательных систем и технологий (ИНОСТ) при Тульском государственном педагогическом университете им. Л. Н. Толстого; Тульский государственный университет;
• Образовательно-оздоровительный комплекс - школа № 12 г. Новомосковска Тульской области, средние общеобразовательные школы № 1 и 2 г. Плавска Тульской области, Яснополянская школа-интернат им. Л. Н. Толстого Щекинского района Тульской области (в рамках выполнения федеральной программы "Дети Чернобыля").
Апробация результатов исследования осуществлялась путем публикаций и участия в работе международных, всероссийских,
межвузовских и региональных научных и научно-практических конференций по информатике, проблемам обучения информатике и математике.
Международные конференции:
• "Проблемы становления и развития ценностных ориентации учителя на рубеже XXI века", ТГПУ, Тула, 1997;
• "Квалификацията на учителите - реалности и перспективи", Болгария, Варна, 1998;
• "Динамика педагогического образования: от института - к университету", ТГПУ, Тула, 1998;
• "Теория приближений и гармонический анализ"; ТулГУ, Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, МГУ им. М. В. Ломоносова, Тула, 1998;
• "ИТО-99. Информационные технологии в образовании", Москва, 1999;
• "Педагогика как наука и как учебный предмет"; ТГПУ, Министерство образования Российской Федерации, Российская академия образования, Международная академия наук педагогического образования, Департамент образования Тульской области, Тула, 2000;
• "ИТО-2000. Информационные технологии в образовании", Москва, 2000.
Всероссийские конференции:
• "Измерения в педагогике", Комитет по образованию мэрии Санкт-Петербурга, Санкт-Петербург, 1994;
• "Теория и вариативные технологии гуманистического обучения и воспитания", РГПУ, Рязань, 1998;
• "Проблемы физико-математического образования в педагогических вузах России на современном этапе", МГПИ, Магнитогорск, 1999;
• "Региональные проблемы информатизации образования", Департамент образования и науки Пермской области, Пермь, 1999;
• "Современные проблемы математики, механики, информатики", ТулГУ, Тула, 2000;
• "Математика и общество. Математическое образование на рубеже веков", Дубна, 2000.
Межвузовские и региональные конференции:
• Терценовские чтения - 98", РПГУ, Санкт-Петербург, 1994;
• "Тулаинформ-99. Проблемы информатизации образования", ТулГУ, Тула, 1999;
• "Гуманитарная информатика", ТИРО, Тула, 1999;
• "4-я ежегодная конференция Академии информатизации образования", Тула, 1999;
• "Современные образовательные технологии, их применение в учебном процессе и перспективы подготовки специалистов с высшим образованием", Юридический институт МВД России, Москва, Тула, 2000.
• "Новые информационно-компьютерные технологии в образовании", Департамент образования Тульской области, Тула, 2001.
Практическая значимость исследования определяется тем, что предложенный вариант обучения алгоритмизации на основе рекурсии был доведен до практического использования и оказался достаточно универсальным способом интенсификации учебного процесса и активизации учебной и познавательной деятельности студентов. Тем самым вносится конкретный вклад в разрешение
противоречий между процессом предметной подготовки будущего учителя информатики и предстоящей его профессиональной деятельностью. Результаты исследования внедрены в практику работы базовых учреждений, где проводилась их апробация. Кроме того, учителя информатики общеобразовательных школ и других средних учебных заведений, прошедшие за последние десять лет годичные курсы повышения квалификации в Тульском областном институте повышения квалификации и профессиональной переподготовки работников образования (ИПКиППРО), знакомились с рекурсивными методами решения прикладных задач и, в той или иной мере, используют эти знания в своей практической работе. Разработанный в настоящее время учебный Web-сайт по рекурсии предназначен расширить географию использования описанной технологии обучения алгоритмизации.
Достоверность и обоснованность научных положений и выводов исследования обеспечены:
• ясностью методологических и теоретических позиций работы, базирующихся на общепризнанных фундаментальных трудах из различных областей современной науки и адекватных проблеме, целям, предмету и задачам исследования;
• целостным подходом к решению поставленной проблемы;
• тенденцией использования рекурсии в обучении информатике (computer science) в мировой практике;
• критическим сопоставлением характеристик рекурсивных алгоритмов и программ с их нерекурсивными аналогами;
• простотой и ясностью методики проведения педагогического эксперимента и его результатами.
На защиту выносятся следующие положения:
1. Научная концепция обучения алгоритмизации на основе рекурсии и соответствующие дидактические материалы в бумажном и (или) электронном вариантах.
2. Уточненная и расширенная открытая система понятийно-терминологического обеспечения методики обучения алгоритмизации на основе рекурсии.
3. Система основных схем ориентировочной основы действий и модули инвариантной и вариативной ветвей содержания исполнительной части действий решения прикладных задач с использованием рекурсии.
4. Методика оценки трудоемкости рекурсивных алгоритмов и увеличения их быстродействия за счет использования динамической базы.
5. Дидактический комплекс по алгоритмизации на основе рекурсии (электронные тетради, учебные пособия, лабораторные практикумы, структура и гипертекстовые ресурсы Web-сайта "Рекурсия в информатике").
6. Положительные результаты педагогического эксперимента, подтвердившие эффективность разработанных теоретических положений в условиях констатирующего и формирующего эксперимента.
Общеметодологическая категория рекурсии
В реальном мире рекурсия может проявляться в виде всевозможных форм, связей, неформальных определений, структур, способов рассуждений, методов познания и иных действиях. Каждому, по-видимому, приходилось видеть изображение, повторяющееся в двух зеркалах, установленных друг против друга или рекламную картинку, на которой изображена та же самая картинка и т. д. Деревья, растения, реки, облака, повторяя себя в своих частях, имеют рекурсивное строение. Размножение вирусов и молекул ДНК связано с рекурсивными процессами. Музыкальные формы и действия также могут быть рекурсивными. Например, в каноне основная мелодия сопровождается той же мелодией, но с задержкой по времени. Наиболее ярко рекурсивность проявляется в процессе развития природы, человека и общества. В клетке заложена информация обо всем организме, дети "повторяют" своих родителей, а общество и материя развиваются по сложной рекурсивной спирали. В некоторых восточных религиях рекурсивность Вселенной подчеркнута её изображением в виде змея, пытающегося проглотить самого себя, начиная с хвоста. Эволюция Вселенной также в какой-то степени подчинена законам рекурсивного развития. Анализ процесса творчества показывает, что рекурсивность заложена в глубинных слоях человеческого сознания и проявляется как метод и форма познания действительности. В работах [6-8] говорится о рекурсивности в литературе (стиль Ф. М. Достоевского и Л. Н. Толстого), музыке (рекурсивное строение фуг Баха), живописи (композиции нидерландского художника М.-К. Эшера) и в других областях творческой деятельности, проводится анализ рекурсивных снов героев многих художественных произведений. Нетрудно увидеть наличие рекурсивности в структуре или содержании текстов приведенных в [352, 353, 316, 6-8]:
В начале было Слово, и Слово было у Бога, и Слово было Бог (Новый Завет);
Истинное знание состоит в знании того, что мы знаем то, что знаем, и в знании того, что мы не знаем то, чего не знаем (Конфуций);
Мы - те, кто падает и стонет и те, чье нынче торжество. Мы -тот корабль, который тонет, и тот, что потопил его (Г. Раевский);
Я знаю, что я ничего не знаю (Сократ);
Тот, кто полагает, что нельзя ничего знать, не знает и того, можно ли знать, почему он утверждает, что он ничего не знает (М. Монтень);
Сделать, заставить сделать, заставить, чтобы заставили сделать...;
Нужно быть очень терпеливым, чтобы научиться терпению (Е. Лец);
Всё трудно до тех пор, пока не станет легким (Т. Фуллер);
Головной мозг - это орган, которым мы думаем, будто мы думаем (А. Бирс);
Нельзя говорить нельзя (Д. Араго);
Замени х этим предложением;
Знаю, что знаю, но не помню;
В этой фразе двадцать восемь букв;
Маша сказала, что Нина сказала, что Света...;
Это предложение содержит двенадцать слов, двадцать шесть слогов и семьдесят три буквы (С. Л. Табачников);
Девять слов назад это предложение ещё не началось (С. Л. Табачников);
У попа была собака. Он её любил. Она съела кусок мяса - он её убил. Убил и закопал. И надпись написал: "У попа была собака. Он её любил. ..." (из русского фольклора).
Наивные понятия рекурсивных объектов и процессов достаточно прозрачны, но их уточнения и формальные описания требуют специальных усилий и адекватных языковых средств.
До недавнего времени термины "рекурсия" и "рекурсивность" можно было встретить только в толковых математических словарях и толковых словарях по информатике и кибернетике. В последнее время на эти понятия обратили внимание и философы. В "Современном философском словаре" 1998 года издания термин "рекурсивность" уже имеется. Т. X. Керимовым он определен следующим образом: "Рекурсивность - термин, обозначающий повторяющийся характер человеческой деятельности и любого социального феномена как такового, устанавливающий отношения различия с тем, что повторяется. Основная теоретическая нагрузка понятия рекур-сивности заключается в преодолении традиционных метафизических оппозиций социальной структуры и индивидуального действия, производства и воспроизводства, субъекта и объекта, внутреннего и внешнего и т. д. Наличие любого социального явления признается лишь в том случае, если повторение изначально вписано в структуру этого феномена. Рекурсивность скрывает структурную возможность тождественности (нетождественности) социального феномена. Производство и воспроизводство не находятся в отношении логического следования. Воспроизводство структурно вписано в производство. Производство не предшествует воспроизводству, а предполагает его как собственную структурную возможность.
Развивающее обучение и рекурсия
Разговор о технологии РО начнем с какого-либо из многочисленных определений более общего понятия "педагогическая технология". Будем опираться на следующие приемлемые для нас дефиниции. По В. М. Монахову, под педагогической технологией понимается продуманная во всех деталях модель совместной педагогической деятельности по проектированию, организации и проведению учебного процесса с безусловным обеспечением комфортных условий для субъектов учения. ЮНЕСКО определило педагогическую технологию как системный метод создания и применения всего процесса преподавания и усвоения знаний с учетом технических и человеческих ресурсов и их взаимодействия, ставящий своей задачей оптимизацию форм образования [308, с. 15].
Начальные идеи теории РО восходят к работам И. Г. Песта-лоцци, А. Дестервега и К. Д. Ушинского, а научное обоснование она получила в трудах психолога Л. С. Выготского. Дальнейшее развитие и определенную, разнонаправленную завершеннось эта теория приобрела в эспериментальных работах Л. В. Занкова (система РО), Д. Б. Эльконина и В. В. Давыдова (технология РО), И. П. Волкова, Г. С. Альтшуллера и И. П. Иванова (РО с направленностью на развитие творческих качеств личности), И. С. Якиманской (система личностно-ориентированного РО), Г. К. Селевко (технология саморазвивающего обучения), В. М. Монахова (технология проектирования и освоения технологий) и т. д. Термин "развивающее обучение" обязан своим происхождением В. В. Давыдову и первоначально очерчивал достаточно конкретный круг явлений, касающихся ограниченной совокупности проблем постановки процесса обучения в начальных и экспериментальных средних школах. Современное понимание РО получило настолько широкое "содержательное обобщение" (термин В. В. Давыдова), что, во-первых, требует самостоятельного изучения, а во-вторых, все шире проникает в вузы, заменяя в них концепцию "обучаемого развития" (Ж. Пиаже, 3. Фрейд, Д. Дьюи). В связи с изменившейся парадигмой образования этот процесс можно только приветствовать. Но при этом необходимо четко осознавать, что напрямую переносу в вуз подлежат лишь основные принципы РО. Весьма осторожно следует использовать в своей практике конкретные экспериментальные выводы представителей разных направлений РО, полученные ими на содержательном материале начальной или средней школы. Вполне приемлемым, на наш взгляд, способом внедрения РО в вуз может быть такой. На базе триады, состоящей из выбранного конкретного содержательного материала, основных принципов РО (см. ниже "обобщения-определения") и технологии В. М. Монахова проектирования и освоения технологий создать собственный, авторский, вариант технологии развивающего обучения. Его и использовать сначала в ограниченном эксперименте, а при успешном его завершении - и в массовом обучении.
Современное содержание понятия "развивающее обучение" (РО) (как целенаправленная учебная деятельность), его смысловое значение и взаимосвязи с основными психолого-педагогическими категориями очень лаконично и ясно раскрыл Г. К. Селевко в ряде предложенных им обобщений-определений [308, с. 180-213]. Приведем их \
Под РО понимается новый, активно-деятельностный, способ обучения, идущий на смену объяснительно-иллюстративному способу.
РО учитывает и использует закономерности развития, приспосабливается к уровню и особенностям индивидуума. Развитие личности, происходящее согласно всеобщим диалектическим законам, обладает рядом специфических свойств или закономерностей, каковыми являются: имманентность, биогенность, социогенность, психогенность, индивидуальность и стадийность.
Методические принципы отбора содержания
При отборе содержания и формировании модулей Web-сайта, как и при решении многих других проблем, приходилось учитывать три фактора: цели, которые мы перед собой ставим, возможности, которыми мы располагаем для осуществления этих целей, и, наконец, условия, в которых мы используем наши возможности для достижения этих целей. Что касается факторов "возможности" и "условия", то они хоть и необходимы для эффективного решения проблем, но в нашем случае существенными не являются. Основная (общая, главная) цель, которую мы преследовали при формировании содержания модулей Web-сайта, - сделать этот сетевой компонент для организации процесса обучения студентов алгоритмизации на основе рекурсии соответствующим современной концепции преподавания информатики. Речь идет о концепции, выдвинутой рос сийскими учеными В. Г. Кинелевым, Ю. Л. Ершовым, Ю. А. Афанасьевым, К. К. Кол иным и др. и получившей признание и поддержку состоявшегося в 1996 году в Москве II Международного конгресса ЮНЕСКО "Образование и информатика". Отличительными особенностями этой концепции являются [193, с. 37]:
признание высокого развивающего потенциала информатики и придание ей статуса фундаментальной дисциплины;
изменение воззрений о структуре предметной области информатики;
модульное представление изучаемой предметной области (в отличие от дисциплинарного);
использование системного модульного формирования содержания подготовки, основанного на деятельностном подходе и позволяющего исходя из государственных образовательных стандартов сформировать программу, которая ориентирована на характеристики будущей профессиональной деятельности обучаемого, с учетом его личностных интересов и особенностей;
ориентация на новые информационные технологии.
Преследуемая при отборе содержания для модулей сайта общая цель породила серию микроцелей, которые могли и должны были достигаться при освоении рекурсивного способа решения конкретных задач. Об этих микроцелях и принципах их формирования мы уже достаточно подробно говорили в 2 и 3 главы II. Они задавали конкретные направления поиска содержательного материала при создании дидактических модулей. Кроме того, процесс создания модулей исходил из того факта, что ядро любого из них должно представлять собой укрупненную алгоритмическую единицу. Иными словами, оно обязано содержать описание и функционально завершенные реализации наиболее известных алгоритмов для отдельных учебных тем или групп тем по информатике и (или) математике на конкретном языке программирования в виде рекурсивных процедур, функций и их совокупностей, на основе которых строятся решения большинства других учебных задач. Комплекс таких прочно усвоенных дидактических модулей составляет одновременно и базу знаний, и операционную среду студента - будущего преподавателя информатики и математики.
Проектируя и создавая модель представления знаний о рекурсии в виде сайта, мы исходили из того, что по типу это будет некоммерческий контент-сайт, включающий в себя конкретные образовательные ресурсы. Общепринято, что содержание подобных сайтов по важности превосходит их оформление и какой-либо особый дизайн им не нужен. В принципе, трудно с этим не согласиться. Тем не менее мы полагаем, что для учебного сайта важна не только методическая проработанность предъявляемого содержательного материала. Не менее значимыми оказываются и другие его характеристики: во-первых, это структура сайта, опирающаяся на внутренние сущностные свойства содержательного материала и задаваемая тщательной проработкой нелинейных магистральных взаимосвязей его страниц; во-вторых, хорошо продуманный и ненавязчивый дизайн. В противном случае знакомство студентов или иных заинтересованных пользователей с сайтом, как правило, будет ограничиваться одноразовой беглой пробежкой по какому-либо его фрагменту или, хуже того, посещением лишь его начальной страницы. Заметим, что при некоторых особенностях дизайна возможна и частая посещаемость сайта, но совсем не по поводу его основного содержания.
