Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Научно-педагогические условия совершенствования математической подготовки абитуриентов вузов
1 Условия функционирования и использования представлений математического моделирования...
2. Роль метрических пространств в формировании понятия функции
ГЛАЗА II. Вопросы методики совершенствования математической подготовки абитуриентов вузов
I. Методика математического моделирования в обучении
2. Методика изучения основных понятий математического анализа
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
ПРИЛОЖЕНИЯ.
- Условия функционирования и использования представлений математического моделирования...
- Роль метрических пространств в формировании понятия функции
- Методика математического моделирования в обучении
Введение к работе
Актуальность исследования. На современном этапе развития общества невозможно сочетать достижение высоких результатов школьного образования с учётом индивидуальных склонностей , способностей к потребностей учащихся без продуманной системы дифференциации обучения и, в частности дифференциации математического образования. Дифференциация изучения математики в системе школьного обучения способствует совершенствованию математической подготовки учащихся, обеспечивает выявление к развитие их интересов и дальнейшее профессиональное самоопределение. На этой основе целесообразно решать проблемы школ с углубленным изучением математики. Например, за счет традиционных разделов алгебры к геометрии.
Учитывая современные обжепедагогическис тенденции совершенствования учебного процессе, связанные с требованием гуманизации и личностной ориентации образования,нет смысла развивать навыки освоения дополнительных разделов высшей математики в рамках школьного обучения.
Однако з процессе обучения математике могут быть значительно усилены методические аспекты содержения математического образования за счет применения различных типов задач и способов их решения (включение нестандартных методов решения» использование прикладных задач) с целью развития математического мышления учащихся; формирования представлений о математическом моделировании; усиления экономической ориентации курса алгебры средней школы; использования системы исследовательских задач, алгебраических приложений производной и интеграла, развития понятия пространства, і частности векторного пространства, для решения задач линейного программирования.
Это тем более необходимо осуществлять в настоящее время з условиях значительного сокращения числа учебных часов, отводимых на изучение математики в учебных планах базовой 9-летней школы.
Такой методический комплекс можно реализовать, например, в системе обучения математике в рамках колледжа финансово-экономического пройиял.
Проблема совершенствования математического образования может быть решена не только путем насыщения курса математики новым прикладным содержанием, но и целесообоазной
2) ориентацией курса математики в целом. Значительные результаты в этом направлении получены учеными-математиками и методистами (й.Н.Антягов, О.А.Бокознев, С.И.Волкова, Г.Д.Глейзер, В.А.Гусев, иЛ.Колягин, Г.Л.Луканкин, А.П.Назгретов, В.А.Оганесян, Г.И. Саранцев, Ю.В. Сидоров, \ М.З.Ткачева, К.Е.Федорова, В.З.Фирсов, .ї.И.Шабунин,
Г,Н.Яковлев). і
Важнейшим средством усиления практической направленно- ; сти обучения математике является решение задач. Математи- | ческие задачи в школе обладают значительными дидактлчес- !
I ким;і возможностями совершенствования учебно-математичес- ; і кой деятельности учащихся. Отсюда вытекает методическое
Арнольд В.И.(академик РАН), "Математическая безграмотность губительнее костров инквизиции", Известия, № 7, | 16 января 1998 г. !
Фирсов В.В., О прикладной ориентации курса математик; В сб. Углубленное изучение алгебры и анализа. Пособие для ; учителей (из опыта работы). Сост. С.К.Шварцбурд, О.А.Бокоз нев, И.,Просвещение, 1977, с. 215-139. j условие специальной ориентации системы учебных задач на организацию самостоятельной учебной деятельности школьников. Можно также усилить это требование и прийти к построению специально ориентированного алгебраического практикума и разработке его структуры и содержания (Л.М.
Короткова, О.Н.Доброва).
Практика показывает, что значительное число учащихся плохо представляют себе, как приступить к решению задачи, если она поставлена необычно, или ее формулировка отличается от стандартной. Это позволяет выдвинуть условие выявления основных элементов исследовательской деятельности учащихся при изучении математики. Процесс формирования элементов исследовательской деятельности требует более широкого использования исследовательского и эвристического методов обучение (Б.А.Викол, С.И.ІЗварцбурд). В настоящее время все еще существует противоречие между необходимостью формирования знаний и ограниченностью объема содержания обучения, которое может быть усвоено з процессе обучения.
Проведенный анализ специальной математической и методической литературы показал, что остались значительные резервы в совершенствовании математической подготовки учащихся за счет методических средств, обобщения умений учащихся и личностной ориентации обучения.
Мы исходим из гипотезы, согласно которой использование разнообразных методических условий сохраняет объем изучаемого математического материала в рамках программы обучения абитуриентов института финансово-экономического поойи- их ля. и способствует совершенствованию математической подготовки с учетом интересов и возможностей.
Основная цель исследования заключается в выявлении путей и построении методической системы совершенствования процесса обучения математике на основе формирования, расширения и обобщения математических представлений.
Объектом исследования является процесс обучения математике в институте финансово-экономического профиля.
Предметом исследования является методические условия, необходимые для повышения математической подготовки студентов института финансово-экономического профиля,
В соответствии с целью исследования, его объектом и предметом, сформулированной гипотезой были поставлены следующие задачи исследования,
Изучить состояние данной проблемы в теории и практике, проанализировать имеющийся опыт проведения выпусках экзаменов в институте.
Определить возможности повышения эффективности обучения математике при обеспечении функционирования сформулированных методических условий (формирование представлений о математическом моделировании, понятий расстояния, метрического пространства и их роли в формировании понятия функции).
Разработать систему упражнений и задач, обеспечивающих усвоение программного материала и учитывающих склонности и способности абитуриентов института финансово-экономического профиля.
Проведенное исследование в теоретическом плане опирается на исследования по содержанию образования Ю.К.Васильева, В.Г.Горецкого, М.И.Зерецкой, А.К.Иванова, В.Ф.Криво-шеева, В.С.Кузина, Ю.В.Шеоонина, Т.Я.ШпикаловоЙ.
З теоретико- методологических исследованиях Ю.К.Балансного, З.З.Давыдова, И.Д.Зверева, В.В.Краевского, З.С.
Яеднеза, И.Я.Лернера получили развитие научные представления о важных компонентах деятельности школы: педагогическое обоснование содержания образования, многофункциональность методов и форм обучения, единство и многообразие составных элементов учения, средств активизации познавательной самостоятельной деятельности учащихся.
В теоретических работах П.Я.Гальперина, Н.Ф.Талызиной на основе теории поэтапного формирования умственных действий формулируются компоненты для определения принципиальных вопросов методики обучения, необходимых для обобщения многих математических представлений.
Для решения поставленных задач применялись следующие методы исследования: теоретлческпй анализ психолого-педагогической, методической к специальной математической литературы; анализ учебных программ; наблюдение за учебным процессом; изучение к обобщение педагогического опыта; педагогический эксперимент, внедрение результатов исследования.
Научная новизна исследования состоит в разработке научно обоснованной методической системы, обеспечивающей совершенствование математической подготовки студентов института финансово-экономического профиля.
Практическая значимость исследования обусловлена их многолетним внедрением в практику обучения математике студентов Московского финансово-экономического института (до 1994 - Высший финансово-экономический колледж при Финансовой академик при правительстве РФ). Созданы необходимые учебно-методические материалы: учебные задания, системы задач и упражнений, проверочные задания, материалы экзаменационных работ.
Результаты исследования можно использовать и в других типах учебных заведений - лицеях, школах, гимназиях, на подготовительных курсах, в вузах.
Оценка достоверности проведенного исследования, его результатов и вызодов обеспечены методологической и теоретической обоснованностью исходных данных, опорой на теоретические разработки из области психологии, педагогики, теории и методики обучения математике по рассматриваемой проблеме.
На защиту выносятся: научно обоснованное содержание обучения; система упражнений :г задач; система заданий для экзаменационных работ; - методическая система обобщающих заданий. Апробация результатов исследования осуществлялась в форме проведения открытых уроков, докладов, обсуждений разработанных материалов не заседаниях кафедр Московского финансово-экономического института при Финансовой академк;: при правительстве РФ (г.Москва), ка заседаниях лаборатории математического образования Института общего образования Министерства общего к профессионального образования Российской Федерации.
Условия функционирования и использования представлений математического моделирования
Математическое моделирование можно рассматривать как метод познания реальности, состоящий в применении к изучению различных видов явлений к процессов математических понятий и теорий. Посредников при построении математической модели сяаневияся наука, специально ориентированная на изучение этого класса явлений. Важнейшей стадией построения модели является установление соответствия между системами понятий науки- посредника и одной из математических теорий.
Если это соответствие установлено удачно, то вся совокупность логических и вычислительных методов математики обращается в инструмент изучения и анализа данного явления.
Уже в древности были созданы философские теории, чрезвычайно близкие по духу идеям математического моделирования Прежде всего следует назвать филсофию пифагорейцев, оказавшую глубокое влияние на античное мировоззрение в целом. Школой пифагорейцев были достигнуты крупные успехи в развитии математики и в применении понятий числа и пропорции к явлениям реальности, прежде всего к музыке. Пифагором и его последователями была создана математическая теория музыки, основанная на теории пропорций.
Открытие "того факта, что гармонические созвучия характеризуются отношениями целых чисел, позволило пифагорейцам высказать мысль о том, что число является основой зселенс кой гармонии. Видный пифагореец Филолай называл число всемогущей и самородной связью пребывания космических вещей ОІІ такке характеризует число, как оплот истины: "А лжи вовсе не допускает природа числа и гармония, ибо ока им не свойственна. Ложь и зависть присуща природе безграничного, непостижимого и иррационального Ложь вовсе не овевает числа, ибо докь враждебна, супротивне природе, а истина свойственна и прироядена роду числа"
Может показаться, что рассуждения Филолая носят чисто мистический и даже произвольный характер. На самом же деле пифагорейцы имели важные практические основания, чтобы связать число с истиной к справедливостью. Еще один крупный пифагореец, Архит, дает по этому поводу следующее разъяснение: "Изобретение счета положило конец раздору, умножив согласие. С изобретением счета исчезло наступило равенство, ибо благодаря ему мы рассчитываемся в сделках" Недаром одна из пифагорейских легенд говорит, что числа изобрел египетский бог Тот, которого греки отождествляли с Гермесом, - покровителем торговли ( 63; еЛб),
Свидетельство Стовея почти впрямую связывает пифагорей?г ство и математическое моделирование: "Судя по всему, больше всех наук Пифагор почитал науку о числах; он продвинул ее вперед, выведя ее за пределы практического употребления в торговле и сравнивая вещи с числами возможно толкование: "выражая, моделируя все вещи числами" . По его мнению все вещи имеют число, и между всеми числами имеется отношение (логос)" (65 e.fyGfj.
В чем же суть взаимосвязи вещей ;: чисел? "И многие эллины, как мне известно, думают, будто Пифагор говорил, что рождается из числе. Но это учение вызывает недоумение: каким образом то, что деже не существует, мыслится порождающим? Цеаду тем он говорил, что все возникает ке из числа, а согласно числу, так как в числе - первый порядок, по причастности которому и в счислимых вещах устанавливается нечто первое, второе т.д." итак, число, с пифагорейской точки зрения, является моделью порядка, присущего всем процессам Вселенной. Эти представления воодушевляли многих ученых более поздних времен, однако конкретное понимание соответствия между числами (или иньки математическими понятиями) и объектами реальности менялось в зависимости от уровня математических и естественно- научных знаний.
Усилиям;: математиков и физиков было выработано важное понятие величины, которое является центральным для математического моделирования. Это понятие основывается на идее математического порядка и переносит его на те объекты реальности, к которым прилагается.
Роль метрических пространств в формировании понятия функции
Познавая объективную реальность, человек сравнивает величины, в том числе сравнивает расстояния от одного объекта до двух других. Но что такое расстояние? Как понимать, что объект А расположен ближе к объекту В, чем к объекту С? Объективная ли эта характеристика или субъективная? Есть ли общие характеристики расстояния?
Поставим перед собой цель научиться определять расстояние между объектами множества X любой природы, если только в этом множестве возможно введение этого понятия.
Задача о расстоянии между двумя точками на прямой к плоскости.
две точки ка прямой, :- пример точки А и В, определяют единственный отрезок АВ . Практический опыт гозорит нам, что каждому отрезку A3 соответствует неотрицательное число - его длина !АВ/ Притом это число единственное. Таки?.: образом, каждой паре точек ка прямой соответствует неотрицательное число. Это неотрицательное число мы примем в качестве расстояния между двумя точками на прямой. Итак, расстояние между двумя точками на прямой определим как длину отрезка, соединяющего эти точки.
Рассмотрим любые две точки на плоскости. В силу аксиомь: ( аксиома прямой) планиметрии эти две точки определяют единственную пряную, проходящую через них Тогда расстояние между двумя точками на плоскости определим как длину отрезка прямой, проходящей через ати точки.
В курсе геометрии 6 класса расстояние между точками А к В обозначается JAB/ . сто обозначение MOSHO сохранить и в дальнейшем, однако, обычно в математике расстояние между двумя элементами А и 3 множества обозначают о ($,&) (читается: "ро от А,В"). В дальнейшем будем использовать оба эти обозначения, причем первое - чаще всего в курсе геометрии, второе - в курсе математического анализа.
Используя новое обозначение, сформулируем аксиомы расстояния курса планиметрии, причем отметим, что понятие " расстояние" в курсе планиметрии трактуется на основе понятия величины и является основным понятием.
Аксиома I. Для любых двух точек А к В имеется неотрицательная величина, называемая расстоянием от А до В, Расстояние разно кулю в ток и только в том случае, если точки А и В совпадают:
Методика математического моделирования в обучении
Понятие "модель" широко используется в современной теории познания наравне с понятием "образ" и "представление" Не затрагивая целого ряда важных тем, связывающих моделирование с процессом познания, остановимся только на вопросе о систематическом использовании з обучении пространственных моделей тех или иных явлений. Как сказано выше, математическая модель в школьном курсе моделирования кскет рассматриваться именно как средство создания нового пространственного ракурса явления. Поэтому курс математического моделирования в школе допускает единый методический подход, который и излагается в данной глазе.
Исходным пунктом наших рассуждении служит рассмотрение бытия предмета пли явления в сознании познающего субъекта. Человек включаемся в мир стихийно, еш.е лишенный сознания. Его становление происходит в процессе взаимодействия с ми-роу. По словам С.Л.Рубинштейна, "... первичное отношение-это отношение к аиру ке сознания, а человека. Зто значит, что первичным является не созерцательное, теоретическое, а действенное, практическое отношение человека к миру"
Е;це задолго до начала целенаправленного процесса учения, в ходе жизнедеятельности формируются основные структуру сознания, включающие картину мира з целом, отдельные предметы и явления, именно эта картина мира ложится в основание более высоких уровней познания, в частности теоретического» Таким обрезок к началу обучения любой учащийся уже знаком с огромным количеством явлений и, следовательно, они пребывают в той или иной форме в его сознании Как только предмет или явление стали фактором духовной жизни, они представляются Б психике переживанием субъекта, направленным на данный предмет. (В феноменологии Гуссерля переживание предмета названо интенциональностью). Предмет пребывает в психике субъекта как некий поток ощущений, ассоциаций, смыслов, представлений, интерпретируемых субъектом как предмет. Ванно отметить, что предмет не обязательно должен восприниматься органами чувств субъекта именно в данный момент. Он деже мокет не существовать вне сознания (классический пример - кентавр). Тем не менее в сознании он представлен и обладает рядом признаков. "Эти признаки не являются перцептуально наполненными; они представлены более или менее смутно..." (статья Д.Фоллес-даля "Понятие ноэмы з феноменологии Гуссерля").
Таким образом тот или иной предмет может существовать з сознании как переживание, ко при этом не обладать ярко воспринимаемыми признаками, многие из которых даже не осознаются в достаточной степени» Б таких случаях будем говорить о свернутом существовании предмета в сознании. Ребенок, узнавший о кентавре со слов взрослого, может плохо его себе представлять, но отныне кентавр начнет существование Е его психике как предмет. Увидев изображение кентавра, ребенок сделает ряд его признаков более ясным для себя. Обрез кентавра развернется, но лишь частично, затронут будет только внешний облик.
