Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Теоретико-методические особенности изучения симметрии и их применений в курсе алгебры и начал анализа в классах с углубленным изучением математики 14
1. Теоретические основы выбора содержания и анализ литературы 14
2. Методические основы изучения геометрических преобразований и симметричных фигур в классах с углубленным изучением математики 27
3. Приемы учебной деятельности и теоретические основы организации системы задач при решении уравнений функциональными (основанными на свойстве симметрии
графиков функции) методами 35
Выводы по главе 1 43
Глава 2. Симметрии и их применения 44
1. Преобразования прямой 46
2. Симметрии графиков функций 55
3. Инварианты и квазиинварианты функции и уравнения 58
4. «^-инварианты функций и уравнения 100
Выводы по главе 2 120
Глава 3. Содержание и методика экспериментального обучения 121
1 . Организация, проведение и анализ основных результатов констатирующего педагогического эксперимента 121
2. Организация, проведение и анализ основных результатов обучающего педагогического эксперимента 124
3. Организация, проведение и анализ основных результатов контрольного педагогического эксперимента 136
Выводы по главе 3 141
Заключение 142
Литература 144
Приложения 158
- Теоретические основы выбора содержания и анализ литературы
- Преобразования прямой
- . Организация, проведение и анализ основных результатов констатирующего педагогического эксперимента
Введение к работе
Углубленное изучение математики в школе предусматривает, помимо получения учащимися расширенного объема знаний и техники владения предметом, формирования у учащихся устойчивого интереса к предмету, выявление и развитие математических способностей, выработку ориентации на профессии, существенным образом связанные с математикой.
Реализация этих задач вновь делает актуальной проблему содержания математического образования. В последние годы признано, что включение в программу различных разделов высшей математики не всегда целесообразно. Это объясняется как отсутствием достаточного времени для рассмотрения этих разделов в необходимом объеме, так и недостижимостью должной логической строгости изложения в силу объективных трудностей, которые представляют для учащихся те или иные методы мышления, возрастные психологические возможности школьников.
Ведущие ученые А.К. Артемов, Я.И. Груденов, В.А. Гусев, В.А. Да-лингер, М.И. Зайкин, Ю.М. Колягин, Е.С. Канин, В.И. Крупич, Р.А. Май-ер, В.И. Мишин, Г.И. Саранцев, Н.А. Терешин и др. едины во мнении, что углубленное изучение математики должно происходить в основном через решение систем задач. Личный опыт работы в университете, анализ современной педагогической и методической литературы показывает, что многие студенты-первокурсники естественно-научных факультетов университета, в том числе и выпускники математических школ и классов, испытывают серьезные трудности прежде всего на первых этапах обучения при изучении математических теорий высокого уровня абстракций. Поскольку в классах с углубленным изучением математики обучаются, как правило, те дети, которые связывают свое будущее со специальностями, тесно связанными с математикой, то безусловно, еще в средней школе следует готовить их к преодолению вышеупомянутых трудностей.
Алгебра и начала анализа изучаются отдельно от геометрии, тем более изолированно изучаются числовая функция и геометрические преобразования, которые имеют одну основу - понятие отображения.
Идея введения понятия функциональной зависимости в школьные программы по математике была выдвинута более 100 лет тому назад. Одним из выдающихся математиков, возглавивших это движение, был немецкий математик Ф. Клейн. На I Международном конгрессе математиков, состоявшемся в Цюрихе в 1897 году, он выступил с четкой программой реформы, являющейся продолжением его "Эрлангенской программы", среди важнейших принципов которой было положение о перестройке преподавания математики на основе развития функционального мышления путем пронизывания всего школьного курса математики идеей функциональной зависимости, в частности перестройке преподавания геометрии на основе геометрических преобразований [20].
Сторонниками введения в школьный курс математики функциональной зависимости были многие отечественные математики в том числе М.В. Остроградский, П.Л. Чебышев, Н.И. Лобачевский, A.M. Ляпунов, А.А. Марков и т.д. Однако лишь через несколько десятилетий понятие функции вошло в школьный курс математики. Этому способствовали видные ученые-математики П.С. Александров, A.M. Маркушевич, А.Я. Хинчин. Реформа математического образования, осуществленная под руководством академика А.Н. Колмогорова в 70-е годы, позволила занять функциональной зависимости, как в алгебре так и в геометрии, достойное место.
Позднее в 80-90-ые годы учебники, изданные под руководством А.Н. Колмогорова, подверглись резкой критике, а использование учеб ников геометрии было признано неудачным. Однако мы полностью согласны с мнением Г.И. Саранцева, что "наиболее серьезная попытка подойти к проблеме отбора содержания обучения математике, отправляясь от структуры личности, закономерностей развития мышления, была предпринята А.Н. Колмогоровым при подготовке учебника геометрии ... , идейному насыщению которого нет равных на сегодняшний день в мировой практике создания учебников геометрии" [90].
Вопросам методики изучения в средней школе функциональной зависимости и геометрических преобразований посвящено большое число исследований. Ими занимались почти все ведущие ученые методисты: В.Г. Болтянский, Н.Я. Виленкин, В.Л. Гончаров, И.П. Гурский, Г.В. Дорофеев, Ю.М. Колягин, А.Н. Колмогоров, В.И. Крупич, П.К. Ку-чинов, Г.Л. Луканкин, Ю.Н. Макарычев, Н.Х. Розов, П.С. Моденов, А.С. Пархоменко, Н.Н. РогановскиЙ, Г.И. Саранцев, З.Я Скопец, Н.А. Те-решин, Р.С. Черкасов и др. Этим же вопросам посвящены диссертационные исследования В.А. Гуськова, ГЛ. Гукосяна, Р.А. Майера, М.В. Ткачевой ([36], [33], [65], [123]) и др. Исследования главным образом касались следующих проблем: методики изучения функционального содержания школьного курса математики, раскрытия функциональной направленности школьного курса математики, в частности роли геометрических преобразований в построении школьного курса геометрии, преподавания функциональной зависимости (в частности геометрических преобразований), методики изучения элементов математического анализа и геометрических преобразований, формирования функциональных умений учащихся при решении алгебраических и геометрических задач, применение геометрических преобразований к доказательству теорем и задач на построение.
Но, несмотря на вышеизложенное, идея функционального подхода как объединяющая идея математики, полностью так и не реализова на. Геометрические преобразования и числовая функция - две модели общего понятия отображения изучаются, вообще говоря, изолировано. Хотя общепризнано, что методика изучения геометрических преобразований должна быть ориентирована на подчеркивание идеи функции. Это отмечается почти во всех работах, посвященных проблемам преподавания геометрических преобразований, среди которых отметим работы Н.В. Аммосовой, А.В. Байдака, А.Н. Колмогорова, Г.И. Саранцева, Е.А. Семенко, А.Д. Семушина, А.А. Столяра, А.А. Ундуск, А.И. Фетисова ([7], [11], [56], [98], [101], [103], [112], [125], [129]) и др.
Многие ученые (Л.И. Кузнецова, Я.П. Понарин, Г.И. Саранцев и др.) отмечают определенные трудности в практике преподавания геометрических преобразований, как в усвоении понятий геометрического преобразования и симметричной фигуры относительно данного преобразования, так и в применении конкретных преобразований и симметричности фигур при решении задач.
Трудно усваиваются способы задания (определения) геометрических преобразований, действия над преобразованиями, определения обратного преобразования, симметричности и несимметричности фигуры относительно преобразования. Предлагая способы устранения этих трудностей, ученые-методисты отмечают ([98], [112], [103]), что они эффективно могут быть разрешены, используя функциональную точку зрения.
Однако до сих пор в школьном курсе математики функция не рассматривается как преобразование числовой прямой. Если же изучение геометрических преобразований начинать не с преобразований плоскости, а с преобразований прямой (в этом случае взаимно однозначные функции выступают как аналитические способы заданий преобразований числовой прямой), то эти трудности преодолеваются /достаточно легко. Кроме того появляется возможность демонстрации на простых примерах обогащения понятия геометрического преобразования в связи с ростом размерности пространства (переход от прямой к плоскости, от плоскости к пространству). Учитывая, что изучению функции уделяется в курсе алгебры и начал анализа достаточно большое время, имеется возможность ввести изучение геометрических преобразований прямой в этом курсе. Отметим также, что в курсе алгебры и начал анализа фактически затрагиваются вопросы геометрических преобразований плоскости при изучении способов построения графиков функции у = cf(ax + b) + d, исходя из графика функции у = f(x).
Таким образом, противоречие между потребностью реализации идей функционального подхода, как объединяющей идеи алгебры и начал анализа и геометрии и ее фактическим состоянием определяет актуальность проблемы обучения школьников симметрии и ее применениям в углубленном курсе алгебры и начал анализа.
Проблема исследования заключается в поиске путей совершенствования среднего математического образования посредством развития функциональной идеи, как объединяющей курсы алгебры и начал анализа и геометрии, отвечающей целям углубленного изучения математики, способствующей формированию логического, эвристического и алгоритмического типов мышления.
Цель исследования состоит в разработке методики обучения школьников симметрии и ее применениям в углубленном курсе алгебры и начал анализа.
Объектом исследования является процесс обучения алгебре и началам анализа в школах (классах) с углубленным изучением математики.
Предметом исследования являлись содержание, методы, формы, средства обучения симметрии и ее применениям в углубленном курсе алгебры и начал анализа.
Гипотеза исследования: если разработать содержание раздела "Симметрии и их применения", как объединяющего понятия функции и геометрических преобразований учащихся, обучающихся в школах (классах) с углубленным изучением математики, построить классы уравнений и задач, при решении которых использовались бы изучаемые симметрии графиков функций, разработать приемы учебной деятельности учащихся, ориентированные на выполнение поиска решения уравнений нестандартными методами, создать систему соответствующих задач и внедрить это в практику, то качество знаний учащихся, как в алгебре так и в геометрии, повысится.
Достижение цели исследования и проверка сформулированной гипотезы предполагает решение ряда конкретных задач:
1. На основе анализа психолого-педагогической, методической и математической литературы исследовать целесообразность и возможность изучения симметрии графиков функций и методов их применения при решении уравнений в школах с углубленным изучением математики.
2. Ввести геометрические преобразования на прямой и на их основе определить симметрии графиков функций. Исследовать симметрии графиков основных элементарных функций.
3. Выделить специальные классы уравнений и разработать методы их решения на основе симметрии графиков функций; указать технологию конструирования таких уравнений.
4. Разработать приемы учебной деятельности учащихся, ориентированные на выполнение поиска решения уравнений нестандартными методами, основанными на симметриях графиков функций.
5. Разработать систему задач, решаемых на основе симметрии графиков функций.
6. Провести экспериментальную проверку разработанной методи ки изучения раздела "Симметрии и их применения".
При решении поставленных задач использовались следующие методы исследования:
- изучение математической, психолого-педагогической и методической литературы, программ, учебников, методических пособий по теме и близких к теме исследования;
- изучение опыта работы учителей, работающих в классах с углубленным изучением математики, с целью сбора и анализа данных по проблеме исследования; опыта проведения конкурсных экзаменов в ведущие вузы страны и опыта проведения олимпиад по математике;
- исследование и анализ специальных классов уравнений, решение которых основано на использовании симметрии;
- организация и проведение факультатива "Симметрии графиков функций и их применение при решении уравнений" в школе-лицее и в классах с углубленным изучением математики.
Исследование проводилось поэтапно.
На первом этапе осуществлялся анализ психолого-педагогической, методической и математической литературы по проблеме исследования, проводился констатирующий эксперимент.
На втором этапе было разработано содержание и структура раздела "Симметрии и их применения ", определена методика его изложения, разработаны приемы решения уравнений, на основе свойств симметрии и методика их обучения школьников, разработана система задач.
На третьем этапе проводился обучающий эксперимент с целью проверки эффективности и корректировки предлагаемой методики.
Базой исследования явились старшие классы школы-лицея № 4 города Саранска и математический факультет Мордовского университета. Исследование проводилось с 1995 по 2000 г.
Научная новизна проведенного исследования состоит в том, что в нем проблема обучения симметрии и ее применениям решена в контексте единства понятий функции и геометрического преобразования, а развитие функциональных приемов решения уравнений у учащихся -во взаимосвязи функциональной линии и линии уравнений.
Выделены классы уравнений, при решении которых используются стандартные (алгебраические) и нестандартные (основанные на свойстве симметрии) методы. Использование алгебраических методов в совокупности с функциональными наметило действенные резервы совершенствования методики обучения решению уравнений в углубленном курсе алгебры и начал анализа.
Теоретическая значимость результатов исследования заключается в обосновании целесообразности и возможности изучения в школах (классах) с углубленным изучением математики симметрии графика функции и способов их применения при решении уравнений; в выделении специальных классов уравнений и их решения на основе симметрии графиков функций; в создании системы задач и технологии их конструирования.
Практическая значимость результатов исследования состоит в возможности использования разработанной методики изложения раздела "Симметрии и их применения" учителями школ с углубленным изучением математики на уроках и факультативах; в совершенствовании программы и учебных пособий для учащихся средних школ. Результаты исследования могут быть использованы преподавателями педагогических институтов и университетов при подготовке лекционных и практических занятий по математическому анализу и геометрии.
Методологическую основу исследования составили работы по проблемам диалектического единства теории и практики; теории познания, образования и воспитания; теории развития личности, концепции дся-тельностного подхода.
Обоснованность и достоверность выводов и рекомендаций исследования подтверждаются достижениями математики и теоретическими разработками в области психологии, педагогики, теории и методики обучения математике, результатами работы в школе-лицее и в классах с углубленным изучением математики преподавателей математического факультета Мордовского государственного университета, положительной оценкой методических материалов методистами, учителями, работающими в классах с углубленным изучением математики, проведенным экспериментом.
На защиту выносятся следующие положения:
1. Изучение раздела "Симметрии и их применения" в курсе алгебры и начал анализа позволяет совершенствовать процесс обучения математике в школах (классах) с ее углубленным изучением, способствует систематизации и углублению знаний учащихся, формирует умение решать задачи, ориентирует на профессии, связанные с математикой.
2. Использование функциональных приемов предполагает конструирование специальных классов уравнений {f{g(x)) = /(/i(ar)), /($( )) + /(ОД) = 0, f{g{x)) = (/( ( ))), где /(аг), д(х), h(x) - некоторые функции, причем график функции f{x) симметричен относительно преобразования координатной плоскости, при котором точка (х;у) переходит в точку (ф{х)\ ip{x)) и других задач, допускающих стандартное (алгебраическое) и нестандартное (основанное на свойстве симметрии) решения.
3. Методика обучения решению уравнений нестандартными методами основывается на приемах, учитывающих симметрии графика функции f(x) и вид уравнения.
На защиту также выносятся: специальные классы уравнений и других задач, позволяющих осуществить переход от традиционных способов решения к функциональным (на основе свойства симметрии); тех нология конструирования таких задач, которая может быть использована учителями школ (классов) с углубленным изучением математики; система учебных задач.
Апробация и внедрение результатов исследования проводились в виде докладов и выступлений на научно-методических семинарах кафедры математического анализа и кафедры общей математики Мордовского университета (1994-1999 г.), на научных конференциях университета (1995-1997 гг.), на Всероссийской научной конференции (Саранск, 1998 г.), на межрегиональных научных конференциях (Киров, 1998 г., Вятка, 1998 г.), а также в форме занятий в школе-лицее №4и классах с углубленным изучением математики, практикума по решению задач со студентами математического факультета Мордовского университета.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 работ .
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и двух приложений. Основное содержание изложено на 176 страницах машинописного текста. Библиография составляет 149 наименований.
Теоретические основы выбора содержания и анализ литературы
Проблема модернизации содержания школьного математического образования получила международное признание с начала XX века в связи с движением за реформу преподавания математики в средней школе. Прогрессивные идеи этого движения были использованы в советской школе и получили дальнейшее развитие в 20-е годы и затем в реформе, начатой в конце 60-х годов и продолжающейся сегодня. Несмотря на некоторые недостатки, эта реформа, как показывают теоретические и экспериментальные исследования, заслуживает в целом положительной оценки и является основой современной перестройки школьного математического образования, повышения его эффективности, реализации дифференцированного обучения. Теоретические основы содержания общего среднего образования разработаны в трудах видных ученых В.В. Давыдова, Л.В. Занкова, В.В. Краевского, И.Я. Лер-нера, М.Н. Скаткина и других ([37], [38], [49], [64], [121], [79]).
На основе разработанной системы содержания общего среднего образования формировались основы содержания общего математического образования. Этому уделяли много внимания известные математики и педагоги П.С. Александров, А.Д. Александров, Г.Д. Глейзер, Б.В. Гнеденко, В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев, А.Н. Колмогоров, Ю.М. Ко-лягин, А.В. Погорелов, В.В. Репьев, Г.И. Саранцев, З.И. Слепкань, А.А. Столяр, Н.А. Терешин, Ю.Ф. Фоминых, Л.М. Фридман, А.Я. Хин-чин и другие ([2], [5], [29], [30], [36], [42], [43], [56], [58], [90], [108], [112], [130], [131], [132]). Работы этих и других авторов внесли большой вклад в теоретическое решение проблемы развития школьников средствами математики. Они способствовали и повышению уровня математической подготовки наших школьников, которая по праву считалась одной из лучших в мире.
Современные подходы к организации системы школьного образования, в том числе и математического образования, определяются прежде всего отказом от единообразной, унитарной средней школы. Направляющими векторами этого подхода являются гуманизация и гуманитаризация школьного образования [43].
Гуманитаризация образования - это процесс, направленный на усвоение личностью гуманитарного знания, гуманитарного потенциала каждой изучаемой области знаний, на присвоение личностью общественно значимых ценностей каждой изучаемой области знаний. Основная задача гуманитаризации образования - сделать общественно значимые ценности любого вида образования, в том числе и математического, личностно значимыми для конкретного ученика. Сущность гуманитаризации общего математического образования можно выразить одной фразой - она является целью и средством целостного развития личности средствами математики [53].
Гуманитаризация школьного математического образования реализуется как гуманитарная ориентация обучения математике и выражающаяся, условно говоря, тезисом "не ученик для математики, а математика для ученика", означающим постановку акцента на личность, на человека. Эта ориентация требует внимательного учета параметров личности ученика, конструированию курса "Математика для каждого", методического обеспечения его.
Этим определяется переход от принципа "вся математика для всех" к внимательному учету индивидуальных параметров личности - для чего конкретному ученику нужна и будет нужна в дальнейшем математика, в каких пределах и на каком уровне он хочет или может ее освоить, к конструированию курса "Математика для каждого"[43].
Вопрос о гуманитаризации математического образования широко обсуждался как в статьях В.Г. Болтянского, Г.Д. Глейзера, Г.В. Дорофеева, Г.И. Саранцева, А.А. Столяра, В.М. Тихомирова, Р.С. Черкасова, И.Ф. Шарыгина и др. ([17], [29], [30], [42], [43], [122], [90], [112], [139]), так и в диссертационных исследованиях Т.А. Ивановой, И.М. Смирновой, И.О. Соловьевой, М.В. Ткачевой, О.В. Шабашовой, и др. ([53], [ПО], [123]). Последние посвящены в основном преподаванию математики в профилированных классах. Обсуждение принципа гуманитаризации математического образования в научно-методической литературе показывает, что одни авторы гуманитаризацию сводят к развитию логического мышления школьников посредством математики, другие рекомендуют усилить в содержании прикладные аспекты, особенно в социальных и гуманитарных областях знания, третьи связывают гуманитаризацию с введением элементов историзма в содержание и т.д.
Преобразования прямой
В углубленном курсе алгебры и начал анализа учащиеся, как уже отмечалось, встречаются с графиками функций симметричных относительно оси и симметричных относительно точки (обычно относительно начала координат), симметрическими уравнениями n-ft степени (симметрическими многочленами гг-й степени одной переменной), симметрическими многочленами многих переменных. При этом только для последних имеется необходимый теоретический материал для использования его при решении задач. Изучение симметрических многочленов как одной переменной, так и многих переменных в школьном курсе не позволяет формировать понятие симметрического множества как неизменного относительно некоторого преобразования (симметрии этого множества). Это объясняется тем, что для определения совокупности всех симметрических многочленов как одной так и многих переменных требуется введение функциональных множеств, изучаемых только в вузах, обычно на математических факультетах. Поэтому формирование понятия симметрического множества в углубленном курсе алгебры и начал анализа за счет более детального изучения симметрических многочленов малоэффективно.
Поскольку содержание обучения для школ (классов) с углубленным изучением математики включает содержание курса математики общеобразовательной школы и материала, непосредственно примыкающего к этому курсу и углубляющих его по основным идейным линиям, а функциональная линия и линия уравнений и неравенств являются одними из основных, то наиболее приемлимым способом формирования понятия симметрического множества в курсе алгебры и начал анализа оказывается изучение симметрии графиков функций и приемов решения уравнений, основанных на использовании симметрии графиков.
Геометрические преобразования и числовая функция - две модели общего понятия отображения изучаются в школьном курсе математики вообще говоря изолированно. В частности, взаимно однозначная функция не рассматривается как преобразование числовых множеств. Изучение же геометрических преобразований прямой является хорошей пропедевтикой для изучения геометрических преобразований плоскости и пространтва и позволяет естественным образом при минимуме теории изучить симметрии графиков функций. Тем самым изучение функции и геометрических преобразований, функций, графики которых симметричны, и симметрических фигур в геометрии, оказывается тесно связано.
. Организация, проведение и анализ основных результатов констатирующего педагогического эксперимента
Обучающий эксперимент проводился в течении 1995 - 1998 гг. для предварительной проверки теоретических положений и рекомендаций, выступающих первоначально лишь в форме гипотез.
На данном этапе экспериментального исследования нами была реализована программа спецкурса "Симметрии графиков функций и их применение при решении уравнений", произведена ее общая оценка, внесены необходимые коррективы.
Основной целью обучающего эксперимента являлось усвоение учащимися понятия "симметрия" и отработка навыков применения симметрии графиков функции при решении уравнений. Помимо основной цели, мы преследовали и другие не менее важные цели. Это:
- создание активного запаса решенных задач. (Это означает, что ученик должен уметь увидеть в непохожей внешне задаче возможность использовать известный ему прием или метод, примененный в ранее решаемой задаче. Тогда эта задача переходит в активный запас);
- расширение множества стандартных задач;
- подготовка выпускников к поступлению в вузы страны. (Задачи вступительных экзаменов очень часто содержат в себе идеи редко встречающиеся в школьной математике. Этим в основном определяется особенность данного спецкурса).
Программа спецкурса
"Симметрии графиков функций и их применение при решении уравнений"
(И класс, 2 часа в неделю, всего 52 часа).
1. Преобразования движения, подобия, инверсии на числовой прямой (3 часа).
2. Преобразования, задаваемые дробно-линейными функциями (1 час).
3. Преобразования графиков функций (1 час).
4. Симметрия графиков функций (6 часов).
5. Основные элементарные функции и их характеристики (2 часа).
6. Контрольная работа (2 часа).
7. Инварианты и квазиинварианты функций, их свойства (2 часа).
8. Равносильность уравнений. Уравнения-следствия. Инварианты функций и уравнения (4 часа).
9. Функции, графики которых имеют вертикальную ось симме трии и уравнения (4 часа).
10. Периодические функции и уравнения (4 часа).
11. Дробно-квадратические функции и уравнения (4 часа).
12. Контрольная работа (1 час).
13. Квазиинварианты функций и уравнения (6 часов).
14. ( -инварианты функций, их свойства (2 часа).
15. -инварианты функции и уравнения (4 часа).
16. Сужения и продолжения функций и уравнения f{g(x)) = = (/( ( ))) (Зчаса).
17. Частные случаи использования -инвариантов (2 часа).
18. Контрольная работа (1 час).
Дидактический материал обучающего эксперимента подробно раскрыт в главе 2. Рассмотрим лишь некоторые актуальные методические вопросы.
На первых уроках рассматривались особенности изучаемых в школьном курсе преобразований (движения, подобия, инверсии) только на прямой. Затем перешли к рассмотрению симметрии графиков функций в зависимости от преобразования оси ординат, т.е. когда преобразование (р: тождественное {у{у) — у), симметрия с центром в нуле ( р(у) — —у), сдвиг на а единиц а ф 0 ( р(у) = а + у), симметрия с центром в точке, а ф 0 ( р(у) = 2а — у), единичная инверсия ( р(у) = 1/2/)« Следующий урок был посвящен повторению основных элементарных функций, их характеристик. Далее ставился вопрос: "Как все рассмотренные симметрии могут быть использованы при решении уравнений?" Учитель формулировал утверждение об использовании инвариантов при решении уравнений вида f(g(x)) — f{h(x)), а учащиеся доказывали этот факт. В качестве примеров разбиралось несколько уравнений такого
