Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Теоретические аспекты проблемы межпредметных связей экономики и математики 12
1. Характеристика содержания понятия «межпредметные связи» и его структура .
2. Межпредметные связи математики и экономики на научном и учебном уровнях.
3. Психолого-педагогические основы реализации межпредметных связей в средней школе. 22
4. История возникновения и развития факультативов. 28
5. Дидактические особенности межпредметных факультативных курсов. 33
6. Критерии отбора содержания межпредметного факультативного курса. 35
Глава II. Реализация межпредметных связей экономики и математики в факультативном курсе «Производная в экономике и математике», 41
1. Понятия «приращение аргумента», «приращение функции» в математике и экономике. 41
2. Предел функции и производная. 43
3. Производные элементарных функций. 51
4. Эластичность функции. 60
5. Геометрический образ производной. 71
6. Исследование функции с помощью производной. 76
7. Дифференциальные уравнения. 95
8. Организация педагогического эксперимента и его
результаты. 109
Заключение 129
Литература 130
- Характеристика содержания понятия «межпредметные связи» и его структура
- Межпредметные связи математики и экономики на научном и учебном уровнях.
- Понятия «приращение аргумента», «приращение функции» в математике и экономике.
Введение к работе
В период перехода России к рыночным отношениям существенно изменяется спектр приложений математики. Новый период требует качественного повышения экономической грамотности населения, поэтому актуальным в наши дни независимо от того, какую будущую профессию выберут старшеклассники, является использование экономических знаний в процессе преподавания математики.
В 2002 году была принята общая Концепция модернизации российского образования. Разработкой ее основных положений занимаются видные современные ученые: Д.В. Аносов, В.И. Арнольд, Я.И. Кузьминов, В.Л. Матросов, Н.Д. Никандров, В.Д. Шадриков и др.
Одним из приоритетных направлений реформирования средней школы названа профильная дифференциация обучения, именно она должна обеспечить условия для полной реализации индивидуальных особенностей учащихся, их интересов, задатков, склонностей, способностей, формирования личности и т.п.
Различным аспектам внедрения профильного обучения на старшей ступени среднего образования посвящены многочисленные исследования, среди которых работы; И.И, Баврина, Г.Д, Глейзера, В,А. Гусева, Н.И. Журавлевой, Ю.М. Колягина, Г.Л. Луканкина, И.М. Смирновой, М.В. Ткачевой, Н.С. Пурышевой, Н.Е. Федоровой, М.И. Шабунина и др.
С каждым годом растет число старших классов экономического профиля обучения, который является относительно новым явлением для российского образования. Математика в них - базовый общеобразовательный предмет. В связи с этим возникает объективная необходимость обновления старого содержания курса математики для классов экономической направленности и формирование нового содержания курса математики. Интенсивный процесс дифференциации обучения требует разработки и внедрения новых форм обучения, направленных на реализацию современных тенденций интеграции и взаимопроникновения наук в школьном курсе. При решении данной задачи в условиях традиционно сложившейся предметной системы изучения основ наук в школе большая роль, как известно, отводится межпредметным связям.
Проблемой межпредметных связей, родившейся в ходе создания системы знаний о природе, поиска путей отражения целостной картины мира в содержании учебных предметов, привлекала внимание еще Я.А.Коменского, И.Г.Песталоцци, К.Д.Ушинского, к этой проблеме позднее обращались многие известные психологи и педагоги, развивая и обогащая ее.
Различные теоретические аспекты осуществления межпредметных связей рассматриваются в работах известных психологов: Б.Г.Ананьева, И.П. Павлова, И.М. Сеченова, Ю.А.Самарина и др.
Дальнейшее развитие проблемы межпредметных связей получило в работах дидактов и методистов: И.Д.Зверева, И.Я.Лернера, В.Н.Максимовой, А.А.Пинского, А.В.Усовой, В.Н.Федоровой, В.Н.Янцена и др.
В этих работах отмечается, что в качестве одной из наиболее эффективных форм реализации межпредметных связей в средней школе указываются межпредметные факультативные курсы, являющиеся формой внешней элективной дифференциации.
Разработке факультативной формы обучения посвящены исследования: Н.Я. Виленкина, Б.В. Гнеденко, В.А. Гусева, И. Кадырова, И.М. Смирновой, В.В. Фирсова, И.Ф. Шарыгина, СИ. Шварцбурда и др.
В диссертационных исследованиях Н.Б. Мельниковой, Е.Ю. Никонова, А. С. Симонова, Н.А. Хоркиной рассматриваются возможности осуществления связей математики и экономики
Анализ данных исследований, а также опыта преподавания в школе показывает, что осуществление двусторонних связей математики и экономики целесообразно проводить на основе их общих фундаментальных понятий. В качестве такого понятия в нашем исследовании выбрано понятие производной. Этот выбор не случаен. В экономическом среднем образовании понятие производной имеет большое значение для, например, нахождения наилучшего или оптимального значения того или иного экономического показателя (наименьшие издержки, максимальная прибыль и т.д.). Использование дифференциального исчисления в курсе математики средней школы также имеет большое значение для физики, геометрии и т.д.. Также на основе понятия производной возможно обобщить и систематизировать знания учащихся как по экономике, так и по математике.
Несмотря на то, что проблема межпредметных связей в науке достаточно исследована, анализ результатов проведенного нами изучения состояния проблемы реализации межпредметных связей в средней школе, показал, что практически отсутствуют разработки межпредметных факультативных курсов, посвященных систематизации и обобщению знаний учащихся об общем, фундаментальном понятии экономики и математики, каковым является производная.
Таким образом, противоречие между возможностями, которые предоставляют межпредметные связи для углубления и расширения знаний школьников на факультативных занятиях в старших классах и недостаточным их использованием потребовала разработать методику проведения факультативного курса, направленного на обобщение и систематизацию знаний учащихся о производной как в экономике, так и в математике, что обуславливает актуальность нашего исследования.
В связи с вышеизложенным проблема исследования состоит в поиске ответа на вопрос о том, какой должна быть методика реализации двусторонних связей экономики и математики на основе общего понятия производной в межпредметном факультативном курсе.
Объектом исследования является процесс обучения математике на факультативных занятиях учащихся старших классов экономического профиля.
Предметом исследования является реализация межпредметных связей математики и экономики на факультативном курсе со старшеклассниками.
Цель исследования заключается в теоретическом обосновании содержания и разработке методики проведения межпредметного факультативного курса «Производная в экономике и математике», способствующего повышению качества знаний школьников как по экономике, так и по математике, и экспериментальной проверке эффективности предложенной методики.
При определении гипотезы исследования мы опирались на результаты работ психологов, посвященных развитию интеллектуальных способностей учащихся, а также структуре общих и специальных способностей (Б.М. Теплов, В.А.Крутецкий, Н.С.Лейтес, А.Н.Леонтьев, Ж.Пиаже и др.).
Гипотеза исследования: межпредметный факультативный курс для старшеклассников, реализующий двусторонние связи математіжи и экономики на основе общего понятия производной, будет способствовать повышению качества знаний учащихся о производной как по экономике, так и по математике.
Цель и гипотеза исследования определили его задачи, а именно:
1. Проанализировать научно-методическую литературу по проблеме исследования и определить дидактические и методические особенности реализации межпредметных связей курсов экономики и математики в средней школе.
2. Изучить состояние факультативных занятий по экономике и математике, выявить особенности проведения межпредметных факультативных занятий в старших классах и разработать критерии отбора материала для межпредметных факультативных курсов.
3. Обосновать и разработать методику проведения межпредметных факультативных занятий, направленных на реализацию двусторонних связей экономики и математики на основе общего понятия производной, способствующих углублению и расширению знаний школьников по этим дисциплинам.
4. Экспериментально проверить доступность содержания предлагаемого межпредметного факультативного курса и эффективность разработанной методики.
Методологической основой исследования явились современные концепции профильной дифференциации, гуманизации, гуманитаризации, личностно ориентированного обучения математике.
Цели и задачи исследования определили выбор методов исследования: анализ философской, психолого-педагогической, методической, математической, экономической литературы по исследуемой проблеме; анализ школьных программ, учебников и учебных пособий; изучение педагогического опыта работы учителей по проведению факультативных занятий в старших классах; обобщение собственного опыта работы в школе; интервирование, анкетирование, тестирование учащихся и учителей; применение экспертных оценок полученных результатов, проведение педагогического эксперимента по проверке основных теоретических положений диссертаций.
Научная новизна исследования состоит в том, что в нем выявлены особенности и возможности факультативных курсов для реализации межпредметных связей математики и экономики на примере разработки факультатива «Производная в экономике и математике» для учащихся старших классов.
Теоретическая значимость исследования заключается в том, что в нем: определены роль и место межпредметных факультативных курсов в системе факультативов для учащихся старших классов; выявлены критерии отбора содержания межпредметного факультативного курса на примере «Производная в экономике и математике»; разработана методика организации и проведения межпредметного факультативного курса по экономике и математике, включающая цели, содержание, методы, формы и средства его проведения на примере формирования общего фундаментального понятия производной,
Практическая значимость работы заключается в том, что разработана программа межпредметного факультативного курса «Производная в экономике и математике», методическое обеспечение для его проведения, составлены методические рекомендации к занятиям и описаны методические приемы работы с учащимися на факультативных занятиях. Результаты исследования могут быть использованы в учебном процессе в старших классах средней школы.
Результаты исследования внедрены в практику работы Московской экономической школы и школы № 226 САО г. Москвы.
Апробация результатов исследования осуществлялась: на конференциях МПГУ по итогам научно-исследовательской работы (1999 г., 2000 г., 2001 г., 2002 г., 2003 г.); кафедрах методики преподавания математики и физики для естественных факультетов МПГУ.
На защиту выносятся следующие положения:
- Факультативная форма обучения обладает целым рядом особенностей и возможностей для разработки межпредметных связей, в частности математики и экономики.
- Успешная реализация межпредметных связей математики и экономики предполагает включение в содержание факультативных курсов фундаментальных понятий математики.
- Содержание учебного материала включающее в себя понятие производной как общего, фундаментального понятия экономики и математики, и использование экономических понятий для решения математических задач направлено на углубление знаний учащихся по математике, расширение их общего кругозора.
Также на защиту выносится методическое обеспечение факультативного курса. Методическое обеспечение факультативного курса «Производная в экономике и математике» для учащихся старших классов, включающее в себя программу методические рекомендации по проведению занятий данного факультативного курса, задания для учащихся по каждой предлагаемой теме. Логика исследования определила структуру диссертации, которая состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы.
Диссертация содержит 144 страницы основного текста.
Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, определяется предмет и объект исследования, выдвигается гипотеза, ставятся цели и задачи, формулируются методы достижения и решения проблемы исследования, раскрывается новизна, теоретическая значимость работы, излагаются основные положения выносимые на защиту.
Первая глава «Теоретические аспекты проблемы межпредметных связей экономики и математики», состоящая из шести параграфов,
посвящена различным подходам к определению понятия межпредметные связи и их классификации, интеграции наук. В данной главе раскрываются психолого-педагогические аспекты проблемы реализации межпредметных связей школьных курсов экономики и математики, обосновывается методика проведения межпредметных факультативных курсов. Рассмотрению критериев отбора содержания межпредметного факультативного курса посвящен один из параграфов первой главы.
Вторая глава «Реализация межпредметных связей экономики и математики в факультативном курсе «Производная в экономике и математике» состоит из восьми параграфов.
Предлагаемая методика проведения факультативного курса «Производная в экономике и математике», на наш взгляд, является универсальной. Ее можно применять при изложении темы «Производная», используя задачи физического, химического содержания, задачи с экономической фабулой.
В данной главе рассматривается возможность формирования общего понятия производной, предлагается следующее содержание занятий: приращение аргумента и приращение функции, средние предельные величины, производная функции, правила вычисления производных, эластичность функции, геометрический образ производной функции, применение производной к исследованию функции, дифференциальные уравнения и методы их решения.
В заключительном параграфе второй главы описано проведение педагогического эксперимента. Экспериментальная проверка методического обеспечения межпредметного факультативного курса «Производная в экономике и математике», предназначенного для старших классов, доказала его эффективность.
Характеристика содержания понятия «межпредметные связи» и его структура
Проблема установления межпредметных связей возникла вместе с началом раздельного преподавания учебных предметов, обусловленным развитием науки.
В эпоху Возрождения прогрессивные педагоги, выступая против схоластики в обучении подчеркивали важность формирования у учащихся представлений о взаимосвязях природных явлений. Я.А. Коменский говорил: «Все, что находится во взаимной связи, должно преподаваться в такой же связи» ([27], с.232). Он считал, что необходимо устанавливать связи между учебными предметами для формирования системы знаний. К этой мысли обращались потом многие педагоги вплоть до наших дней, развивая и обогащая ее.
И.Г. Пестаяоцци, используя обширный дидактический материал, выдвигал требования: «Приведи в своем сознании все по существу взаимосвязанные между собой предметы в ту именно связь, в которой они действительно находятся в природе» ([123], с. 175), Он отмечал особую опасность отрыва одного предмета от другого в старших классах.
Первую попытку психологически обосновать межпредметные связи предпринял И.Ф. Герберт. Он считал, что область «умственной сферы» проявляется в способности воспроизвести ранее усвоенные знания в связи с теми, которые усваиваются в данный момент: в этих условиях создаются возможности применения знаний на практике.
Наиболее полное в классической педагогике обоснование дидактической значимости межпредметных связей дал К.Д.Ушинский.
Он выводил межпредметные связи из различных ассоциативных связей (по противоположности, по сходству, по порядку времени, единству места, связи, развития). К.Д.Ушинский считал, что «знания и идеи сообщаемые какими-то ни было науками, должны органически строяться в светлый и, по возможности, обширный взгляд на мир и его жизнь» ([51], стр.178), важно приводить знания в систему по мере их накопления: «Голова, наполненная отрывочными, бессвязными знаниями, похожа на кладовую, в которой все в беспорядке и где сам хозяин ничего не отыщет» ([51], с. 177). Система знаний позволяет подняться до высоких логических и философских абстракций. Большую роль при формировании системы знаний К.Д.Ушинский отводил межпредметным связям, которые, по его мнению, создают ясные, полные и взаимосвязанные представления о предметах реального мира. Преодолеть хаос в голове ученика можно при согласованной работе учителей, когда каждый из них заботится не только о своем предмете, а обо всем умственном развитии детей.
Методической разработкой межпредметных связей занимались многие педагоги, особенно В.Я.Стоюнин, Н.Ф.Бунаков, В.И.Водовозов, жившие на рубеже XIX и XX веков.
Таким образом, в истории педагогики накопилось ценное наследие по теории и практике межпредметных связей:
Обосновывалась объективная необходимость отражать реальные взаимосвязи реального мира в учебном преподавании.
Подчеркивалась мировоззренческая функция межпредметных связей, их роль в общем умственном развитии учащихся.
Выявилось их положительное влияние на формирование системы знаний.
Разрабатывалась методика скоординированного преподавания различных учебных предметов.
Предпринимались попытки готовить учителей к реализации межпредметных связей.
Понятие «межпредметные связи» в литературе характеризуется по-разному. В «Педагогическом словаре» оно определяется как взаимная согласованность учебных программ ([121], с. 37).
Некоторые ученые (например, В.Н.Федорова [101]) считают, что межпредметные связи представляют собой отражение в содержании учебных дисциплин тех диалектических взаимосвязей, которые объективно действуют в природе и познаются современными науками, поэтому межпредметные связи следует рассматривать как эквивалент связей межнаучных. По отношению к процессу обучения межпредметные связи выступают как дидактическое условие, способствующее повышению научности и доступности обучения, значительному усилению познавательной деятельности учащихся, улучшению качества их знаний и позволяющее развивать научные взгляды и убеждения школьников. Вместе с тем межпредметные связи обладают организационным и воспитательным эффектом. Их реализация дает возможность экономнее во времени определить структуру учебного плана, программ, учебников ([101], с. 110).
Межпредметные связи математики и экономики на научном и учебном уровнях
На первый взгляд, математика имеет дело с отвлеченными понятиями, но, как считал А. Пуанкаре [133], нужно было бы окончательно забыть историю науки, чтобы не вспоминать, что стремление познать окружающий мир имело самое постоянное и самое счастливое влияние на развитие математики. Хотя основным методом математики является метод абстракции. Ведь для того, чтобы при изучении форм и отношений окружающего мира ее положения были верны, необходимо совершенно отделить их от содержания, оставить это последнее в стороне как нечто безразличное, т.е абстрагировать. Королева наук изучает количественные отношения и пространственные формы как существующих областей объектов так и тех, которые можно «сконструировать». «Экономическая наука изучает нормальную жизнедеятельность человеческого общества»,- такое определение экономики, остающееся и по сегодняшний день справедливым дал великий экономист девятнадцатого века А. Маршалл [94].
Экономическая наука возникла в результате ответа на вопрос: «От чего зависит благосостояние наций?». Первые два с половиной века (XV-XVII века) экономисты вели дискуссии о том, что более способствует обогащению страны: дешевая национальная валюта и запрет на вывоз иностранной валюты или превышение экспорта над импортом? Как наука экономика была признана лишь в восемнадцатом веке благодаря научным трудам физиократов и основоположников классической школы. Со второй половины девятнадцатого века развитие экономической мысли пошло по трем направлениям: к началу двадцатого века неоклассики создают теорию рыночного хозяйства, в котором экономическая роль государства сведена к нулю. Представители исторической школы пытаются оспорить наличие каких- либо экономических законов, К.Маркс создает «Политическую экономию пролетариата».
В течение двух последних столетий математика все глубже влияла на экономику. Сотрудничество двух наук выражается во взаимодействии их идей и методов. Связи математики и экономики можно разделить на три вида.
1. Развитая экономическая теория с ее идеями и математическим аппаратом для анализа экономических явлений, что часто приводит к созданию новой экономической теории, которая в свою очередь приводит к возникновению новых экономических проблем.
Например, введение предельных величин позволило создать новый инструмент исследования, посредством которого экономика получила возможность разрешать ранее нерешенные проблемы. Оно привело также к появлению таких понятий, как «предельные издержки», «предельный продукт труда», являющихся основными для современной экономической науки. Возникла область науки, называемая предельным анализом.
Благодаря предельному анализу, экономическая наука вышла на новый этап своего развития. В девятнадцатом веке произошел переворот в методах экономического анализа, который назвали маржиналистскои революцией.
Обнаружилось что экономические закономерности можно записать математическим языком. Экономисты широко начали использовать функции и их графики. Математическое представление экономических связей и зависимостей послужило большим толчком для развития науки. Для формулировки задач, решаемых с помощью математики требуются точные определения и формулировки. Следовательно, многие экономические определения и утверждения получили различные дополнения и уточнения. Дифференциальное исчисление позволило разрешать практические задачи на нахождение условного максимума, минимума функции. Например, французский экономист и математик А.О. Курно, рассматривая функцию совокупной прибыли, так сформулировал свое утверждение: «максимум прибыли монополиста достигается при таком объеме продукции, когда предельные издержки равны предельному доходу» ([94], с.358).
2. Развитие экономической теории опирается на имеющийся математический аппарат, но последний изменяется и совершенствуется по мере его использования в экономике. Такое параллельное взаимодействие наук характерно для сегодняшнего дня.
Особенно это ярко выражается в развитии эконометрики. Эконометрика - наука, исследующая количественные закономерности и взаимозависимости в экономике при помощи методов математической статистики.
3. Экономические отношения, возникающие между людьми, ставят задачи, которые в дальнейшем служат базой для развития математики.
Связь между математикой и экономикой возникла еще на заре цивилизации. Экономические отношения между людьми способствовали появлению отрицательных чисел, дробей, процентов и т.д. Если человек, например, берет в долг 5 монет, то он имеет -5 монет, т.е. должен 5 монет. Так трактовали отрицательные числа индийские математики, сталкиваясь с ними при решении уравнений. «Как разделить один надел между членами общины?», -этот вопрос вставал при обработке земли. И, отвечая на него, члены общины вынуждены были производить операцию деления, оперировать с дробями.
Понятия «приращение аргумента», «приращение функции» в математике и экономике.
Нахождение наибольшего (наименьшего) значения функции Очень часто в своей практической деятельности человек сталкивается с задачей: как располагать своими средствами для получения наилучших результатов. Задачи такого рода носят название задач на оптимизацию (от латинского optimum - наилучший). В самых простых задачах на оптимизацию мы имеем дело с величиной, зависящей от другой величины, и надо найти такое значение второй величины, при котором первая принимает свое наибольшее или наименьшее (наилучшее в данных условиях) значение.
При решении данного рода задач, как правило, школьники испытывают трудности, поэтому полезно будет им предложить алгоритм решения задач на оптимизацию ([48, с.26]):
1. Проанализировав условие задачи, выделить оптимизируемую величину и обозначить ее буквой у (или любой другой в зависимости от содержания задачи).
2. Одну из участвующих в задаче величин (сторону, угол и т.д.) принять за независимую переменную и обозначить ее буквой х, установить реальные границы изменения х в соответствии с условием задачи.
3. Исходя из условий задачи, выразить у через х и известные величины.
4. Для полученной функции y=f(x) найти наибольшее (или наименьшее, в зависимости от условия задачи) значение в промежутке реального изменения х, который указан на шаге 2.
5. Исходя из результатов исследования, полученных на шаге 4, записать ответ в терминах предложенной задачи.
Четвертый шаг - это самостоятельная математическая задача внутри заданной задачи с реальным содержанием. На этом шаге исходная реальная ситуация нас не интересует.
Приведем алгоритм, позволяющий найти наименьшее и наибольшее значения непрерывной на этом отрезке функции y=f(x), причем данная функция на этом отрезке имеет конечное число критических точек. В данном алгоритме используется теорема Вейерштрасса.
Теорема Вейерштрасса. Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [а;Ь], то она принимает на этом отрезке наибольшее и наименьшее значения.
Алгоритм:
1. Находим производную функции у -f (x).
2. Находим критические точки функции y=f(x), принадлежащие отрезку [а;Ъ].
3. Вычисляем значения функции y=f(x) в критических точках, принадлежащих отрезку a;bj, и в точках а и Ь.
4. Выбираем среди значений функции, полученных в п.З., наибольшее и наименьшее.
Приведем примеры экономических задач на оптимизацию.
Пример 1. Трехлетний поросенок Анны весит 100 кг и прибавляет ежедневно по 2 кг. Анна может продать поросенка за 9000 рублей сегодня (по 90 рублей за каждый килограмм) или подождать, пока поросенок еще наберет вес, и продать его дороже, чем за 9000 рублей. Но, к сожалению, цена за 1 кг свинины падает каждый день на 50 копеек. Через сколько дней в течение года Анна должна продать поросенка? Какова будет цена при продаже? (Замечание к условию задачи: затратами на содержание поросенка можно пренебречь).
Похожие диссертации на Реализация межпредметных связей экономики и математики в средней школе (На примере факультативного курса "Производная в экономике и математике")
