Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ МЕТОДИКИ ИЗУЧЕНИЯ ПРЕДЕЛОВ В КУРСЕ МАТЕМАТИКИ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ
1. Предел последовательности ТІ
2. Предел функции 22
3. Система упражнений 35
ГЛАВА II. СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ МЕТОДИКИ ИЗУЧЕНИЯ ПРОИЗВОДОЙ
4. Производная 47
5. Применения производной 59
6. Система упражнений 68
ГЛАВА III. СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ МЕТОДИКИ ИЗУЧЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ.
7. Первообразная и неопределенный интеграл . 79
8. Определенный интеграл 87
9. Применения интегралов 99
10. Система упражнений 105
ВЫВОД 121
СПИСОК ОСНОВНОЙ ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 125
ПРИЛОЖЕНИЯ 134
Введение к работе
Прошло немногим более четверти века со дня провозглашения кубинской революции, которая за сравнительно короткий промежуток зремени принесла коренные политические, социально-экономические і культурные преобразования.
Сегодня на Кубе нет голода, нищеты, безработицы, рассовой дискриминации. Куба стала единственной страной сплошной грамотности за американском континенте.
К.У.Черненко с трибуны П съезда Коммунистической партии Кубы зказал: "Первой из стран Латинской Америки Іфба покончила с неграмотностью. Она распахнула двери школ и университетов перед детьми рабочих и крестьян. Нормой стало всеобщее образование. Сегодня с полным основанием можно сказать, что кубинский народ обрел широчайший доступ к знаниям, к достижениям науки и культуры" [5,с.1бЗ]. "Ни одна страна латинской Америки, - говорил Фидель Кастро, -яе имеет сегодня такого уровня народного образования, какого добился кубинский народ. Но на достигнутом останавливаться нельзя, необходимо совершенствовать и систему народного образования вце-лом и среднюю школу в особенности" рП , с. %. 1 «
Член ЦК Компартии Кубы, главный редактор газеты "Гранма" писал в газете "Правда" 26 декабря 1983 г.: "Пожалуй, наиболее зримо успехи кубинской революции проявились в области народного образования. .. Достижения 1фбы тут говорят оами за себя. В республике подготовлено 200 тысяч преподавателей, наши учебные программы используются в большинстве развивающихся стран. Сегодня из каждых трех кубинцев один учится, все дети школьного возраста сидят за партой. 200 тысяч студентов обучается в вузах, которых в стране насчитывается 42 - на 39 больше, чем до революции. Только за последние полтора десятилетия в стране построено 520 школ-интер- натов и 260 детских дошкольных учреждений"
Успешное решение сложнейших задач культурной революции в небольшой стране, расположенной всего в 180 км от главной цитадели мирового империализма - Соединенных Штатов Америки, оказалось возможным только в условиях существования мировой системы социализма, благодаря всесторонней братской помощи со стороны Советского Союза, других стран социалистического содружества. Сотрудничество Ity-бы с Советским Союзом и другими социалистическими странами - это сотрудничество принципиально нового типа, воплощающее единство самых гуманных устремлений народов этих стран,
В национальной системе образования Кубы полная средняя школа занимает особое место. Она - фундамент этой системы. Результаты деятельности этой школы непосредственно влияют на действенность и качество профессионально-технического и высшего образования. Состояние и перспективы развития средней школы, как главной подсистемы всей системы образования на Кубе, приобретают в силу этого большое методологическое и практическое значение в перестройке и совершенствовании других подсистем»
До революции на Кубе допускалось обучение населения до восьми классов, девочек и мальчиков учили отдельно. Существовали школы частного и государственного типов. После окончания восьмого класса молодой человек мог поступить в лицей (на три года). Лицей были двух профилей: гуманитарный и точный. В последних в 40-50-х годах началось преподавание дифференциального и интегрального исчисления.
Программа, кроме других, содержала и следующие темы:
Понятие функции.
Классификация функций.
График функции.
Предел*
Производные функции,
Геометрический смысл производной функции.
Физический смысл производной функции.
Производные несложных алгебраических функций.
Применение производной функции.
Уравнение нормали и касательной.
Вычисление скорости.
Вычисление ускорения.
На изучение этого материала отводилось 18 часов. Школы работали по учебнику кубинского математика Нарио О.Гонзалеса [lII,c.4J, Никаких наглядных пособий не существовало.
Экзамен за среднюю школу сдавали только желающие поступить в вуз.- Далеко не все из них, даже после благополучного экзамена,становились студентами. Некоторые из-за материальных условий, другие - по другим причинам.
Начиная с 1959 года все школы на ї^гбе были национализированы. Тогда же введено совместное обучение юношей и девушек и отменено два профиля средней школы. Школы преобразовались в общеобразовательные. Любой выпускник средней школы мог поступить в избранный вуз без экзаменов. Вопросов, касающихся дифференциального и интегрального исчисления, школьные программы тех лет не содержали.
Начало качественно новому этапу в развитии образования на Кубе было положено в 1961 г. Это был период становления новых звеньев и интенсивного роста системы образования, острой борьбы о отжившими концепциями и течениями, период творческих поисков решения проблем строительства социалистической школы. Именно тогда были заложены основы для проведения перестройки образования, которые на Кубе определены как "План совершенствования национальной системы образования". Понятно, что в первые годы после Кубинской рево- лгоции главное внимание обращалось на ликвидацию безграмотности.
Опираясь на революционные идеи крупнейших мыслителей и педагогов прошлого, на достижения педагогики и школы социалистических стран, и прежде всего Советского Союза, Куба вписала новую страницу в летопись становления и развития социалистической школы, подтвердила марксистское положение о ток, что с одной стороны, для установления правильной системы образования требуется изменение социальных условий, с другой стороны, для того, чтобы изменить социальные условия, нужна соответствующая система образования" [і, с.595].
I съезд Коммунистической партии 1$убы принял решение о постепенном переходе в восьмидесятые годы от начального шестилетнего всеобуча к девятилетнему неполному среднему образованию. Постепенный переход к девятилетнему всеобучу выдвинул проблему обеспечения тчебных заведений квалифицированными педагогическими кадрами. В связи с этим была поставлена задача опережающего развития среднего й высшего педагогического образования.
На П съезде Коммунистической партии Кубы Фидель Кастро сказал: "Образованию по-прежнему будет уделяться преимущественное внимание как одной из важнейших целей, стоящих перед нашим народом" [5,с.ЗЗ] .
В настоящее время, когда безграмотность среди взрослого на-зеления в нашей стране ликвидирована полностью, когда наиболее іеотложнне проблемы начальной и средней школы решены, на повестку [щя выступает вопрос повышения качества знаний и умений выпускников средних школ, в том числе и математических знаний и умений.
Можно сказать, что серьезное, глубокое и систематическое изу-іение дифференциального и интегрального исчисления в школах І^убн зачалось только с 1972 года. В связи с этим неразработанных, не- решенных проблем, вопросов, касающихся этой области, еще много.
Объем материала, предусмотренного школьной программой на изучение дифференциального и интегрального исчисления, большой. Но методика его преподавания разработана слабо. Весь материал дается учащимся только в одном плане, не всегда наилучшем. Нет указаний на практические применения таких понятий, как предел, производная, интеграл, на производстве и в других областях науки. А ведь они, как и другие математические понятия, играют большую роль в механике, экономике, физике и других отраслях. Надо еще добавить,что кубинские школы совсем не имеют наглядных пособий, связанных с этой тематикой. А использовать экранные средства, таблицы и модели, имеющиеся, например, в СССР, на Еубе не всегда можно, т.к. там и трактовки многих понятий не совпадают, и программы существенно отличаются. Ну ясны новые средства обучения.
Итак, совершенствование методики изучения в школах Кубы начал математического анализа - тема актуальная и не разработанная.
Вопросам преподавания начал математического анализа в советских общеобразовательных школах много внимания уделили известные академики А.Н.Колмогоров, С.М.Никольский, Л.СЛонтрягин и математики-методисты Ш.А.Алимов, Н.Я.Виленкин, Г.Д.Глейзер, О.С.Ивашев-Мусатов, Ю.М.Колягин, А.Г.Мордкович, З.И.Слепкань, С.И.Шварцбурд, Й.Е.Шиманский, Н.И.Шкиль и др. Методике преподавания начал математического анализа в общеобразовательных школах посвятили свои кандидатские диссертации М.Ахметов, В.В.Ветров, А.П.Войцеховский, Е.В.Галкин, В.А.іусев, В.С.Елин, В.П.Пирютко, Н.В.Покровский, К.Ф.Топольницкая и др.
Конечно,мнобо полезного имеется в этих исследованиях. Но ни в одной из них не затрагиваются вопросы преподавания начал математического анализа в школах Кубы.
Особенно актуальной для кубинских школ является проблема со- здания средств наглядности. В СССР создано немало удачных демонстрационных средств к рассматриваемым темам, имеем в виду кинофильмы, диафильмы, серии диапозитивов, демонстрационных таблиц (см.с. 35 и юо ). К сожалению, учителя математики Кубы подобными средствами обучения не располагают. Не можем мы воспользоваться изданными в СССР средствами. Не только потому, что русские надписи на них непонятны кубинским школьникам, но и потому, что трактовки важнейших понятий, подходы к их введению в наших школах не всегда совпадают. Например, все перечисленные экранные средства, изданные в СССР, приспособлены к определению предела Функции по Коши, а в школах Кубы определяется это понятие по Гейне. В современных кубинских школах учащиеся рассматриваю! и неопределенный интеграл, а в СССР - только определенный. Имеются и другие несоответствия. Вот почему созрела необходимость для учащихся школ Кубы создать свои средства наглядности. Понятно, что это - огромная работа, '.требующая усилий многих специалистов и многих лет. В данной диссертационной работе мы только подступаем к этой работе.
Цель исследования - разработать эффективную методику изучения начал математического анализа в общеобразовательных средних школах 1фбы*
Рабочая гипотеза. Если изменить методику введения важнейших понятий, последовательность их изучения, если уделить больше внимания практическим и самостоятельным работам учащихся при изучении начал математического анализа, если дать учителям хорошие наглядные пособия и дидактические натериалы, этим можно существенно улучшить качество знаний и умений учащихся по началам математического анализа.
Объект исследования - начала математического анализа в курсе математики старших классов средней школы Е^бы.
Предмет - совершенствование содержания, методов и средств изучения в средних школах начал математического анализа.
Чтобы достиь цели, пришлось разрешить следующие задачи исследования;
Изучить опыт преподавания начал математического анализа в советской общеобразовательной средней школе.
Проанализировать трактовки важнейших понятий математического анализа, изучаемых в кубинских школах, последовательность и методику их введения с точки зрения усовершенствования этой методики,
Исследовать систему упражнений, предлагаемых в настоящее время учащимся средних школ Кубы при изучении ими начал математического анализа, и наметить пути ее совершенствования.
Разработать систему наглядных пособий, позволяющих улучшить методику изучения начал математического анализа в кубинских школах0
Методологической основой исследования явились труды классиков марксизма-ленинизма, касающиеся проблем образования, решения I и П съездов КП Кубы, документы КПСС и Советского правительства по вопросам совершенствования среднего образования в СССР, труды видных советских педагогов, психологов, методистов.
Б качестве методов исследования использовались: наблюдения (как непосредственные, так и опосредствованные); беседы с учащимися, учителями, студентами и методистами; анализ научной и методической литературы; анализ учебных программ, учебников и учебных пособий для школьников; анализ методических пособий для учителей математики, дидактических материалов и др.
Исследование проводилось в три этапа. На первом этапе (1980-1981 г., Ity6a, СССР) изучалось состояние преподавания пределов, производной и интегралов в общеобразовательных школах Кубы, анализировались программы, учебники и методические пособия для кубинских школ, вычленялись актуальные проблемы, возникающие в процессе изучения названных разделов.
На втором этапе (I98I-I982 г., Киев) были изучены и проанализированы программы, учебные и методические пособия по алгебре и началам анализа для советских школ и специальная литература. Проведены также наблюдения за ходом изучения рассматриваемых тем в Киевской СМ 90.
На третьем этапе (1983-1984 г., Куба) проводились экспериментальные исследования и апробация результатов в школах Кубы. Проверялась, в основном, эффективность использования на уроках разработанных нами средств наглядности при изучении начал математического анализа, доступность дидактических материалов. С учителями-практиками обсуждались вопросы о целесообразности изменения последовательности изучения некоторых тем, о способах решения отдельных примеров и упражнений,, о совершенствовании системы упражнений и т.п. Обсуждения проводились с опытными учителями математики трех икол: имени Фрустуосо Родригес (Санта-Клара), имени Мартирес дел Эскамбраи (Маникарагуа), Мартирос дел 9 Абриль (Корралие). Все они одобрили выводы данных исследований и пожелали побыстрее получить разработанные диссертантом наглядные пособия и дидактические материалы.
С докладами и сообщениями автор неоднократно выступал также яа кафедре математики и методики математики Киевского цединститу-га им.А .М.Горького, перед студентами-математиками и участниками методического кружка института, перед учителями Киевской СШ $ 90. Зекоторые материалы исследования опубликованы в работе [55],' другие приняты к опубликованию в кубинском издании.
Новизна работы состоит в том, что в ней впервые поставлена и частично решена актуальная проблема совершенствования методики изучения начал математического анализа в средних школах 1фбы.
Практическая значимость работы. В ней даны конкретные рекомендации по совершенствованию изучения в школе разделов "Пределы", "Производная", "Интеграл". Результаты могут быть использованы авторами учебно-методической литературы, методистами, учителями средних школ.
Работа состоит из "^ведения", трех разделов, "Выводов", списка основной использованной литературы и "Дополнений". В каждом из трех разделов рассмотрены важнейшие вопросы онтодидактики изучения исследуемой темы, предложены разработанные автором наглядные пособия (таблицы, диафильмы, диапозитивы), проанализирована система упражнений к рассматриваемым темам и намечены пути совершенствования этой системы. В дополнениях помещены наглядные пособия и другие дидактические материалы, составленные автором.
ГІАВА І
СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ МЕТОДЩКИ
ИЗУЧЕНИЯ ПРЩЛОВ В КУРСЕ МАТЕМАТИКИ СРЕДНЕЙ МОЛЫ
I. Предел последовательности.
Понятие предела является одним из важнейших понятий математики. В настоящее время оно кладется в основу определения почти всех понятий математического анализа (производной, интеграла, суммы бесконечного ряда и т.д.).' Вот почему этому понятию необходимо уделить достаточно внимания, чтобы ученики хорошо понимали его смысл и умели использовать в нужных случаях.
Хотя известны предложения о том, "что начинать изложение анализа в средней школе с теории пределов не следует" [бО,с.5|большинство авторов не разделяют этого мнения. И в школах Кубы понятия производной, интеграла и многие другие вводятся с помощью пределов.
В математическом анализе различают: I) цредел последовательности и 2) цредел функции. Так как последовательность ' - отдельный вид функции - (именно: функция, заданная на множестве натуральных чисел), то и предел последовательности можно трактовать как частный случай предела функции. Значит, начинать изучать материал в школе можно было бы и из предела функции. Но такая последовательность была бы неоправданной с дидактической точки зрения. Понятие предела последовательности проще для понимания учащихся. К тому же, если определять цредел функции в точке по Гейне (а именно такое определение даетея в школах Кубы), то сначала надо вводить предел последовательности.
I) Здесь и далее под "последовательностью" понимаем только числовую последовательность.
В школах Кубы эти понятия изучаются в 11-м классе на протяжение 22 часов. Приведем соответствующую часть программы.
I.I. Предел последовательности (II час)* I. I. I. Исследование последовательностей (-—1W (-—*-)
Определение 8 - окрестности ТОЧКИ Хо (] Хо- Вj Хо+ e[j.
1.1.2. Определение предела последовательности.
Определение расходящейся и сходящейся последовательности. Определение нулевой последовательности. Доказательство единства предела последовательности. Теорема о связи между знаком предела и знаком членов последовательности.
1.1.3. Пределы монотонных последовательностей.
Теоремы о пределах монотонных ограниченных последовательностей.
Пределы геометрических последовательностей.
Теоремы о пределах последовательностей. Вычисление пределов.^ Из многих программных вопросов рассмотрим прежде всего методику введения понятия "предел последовательности". Определять его можно по-разному.
Число ос называется пределом последовательности ( ^* ), если для любого є > о при всех достаточно больших номерах п выполняется неравенство I X - Х-Л <Є [IS,с.29].
Число о. называется пределом последовательности ( а«. ), если для любого положительного числа Є найдется такое натуральное число п0 t что для всех членов последовательности с номерами Yi> п0 выполняется неравенство ( осп - а1 < Є [30,с.28]
Число Ь называют пределом последовательности ( Q-n ) и пишут: Mm an = Ь , ЄСЛИ dn~b+oln , ГДЄ ( ^п) - бЄСКОНЄЧ- но малая последовательность ^23,c.5IJ. Перед этим, конечно, разъясняется, что последовательность (^Л ) называют бесконечно малой, если для любого Я. > о при всех достаточно больших натуральных значениях и выполняется неравенство | ^п\<
Число называется пределом последовательности ( Q-п. ),если для каждого е >о почти все члены Сіп. этой последовательности принадлежат - окрестности числа [91,с.8]. Отдельно разъясняется здесь, что такое Є - окрестность и что обозначает "почти все члены последовательности".
В учебном пособии [13] , которым сейчас пользуются учащиеся СССР, дается первое из этих определений, в учебнике [9] для кубинских школ - последнее.
Понятно, что начинать объяснение этого материала надо не с определения, а с примеров. Процесс формирования понятий, вообще говоря, должен содержать следующие структурные элементы познавательной деятельности школьника: I) восприятие и первичное представление и понимание нобого понятия; 2) актуализация опыта, знаний и воспроизведения образа понятия; 3) осмысление объективных связей и отношений в изучаемом понятии; 4) раскрытие и осмысление внутренней сущности понятия и запоминание его образа, определения, термина, знака; 5) обобщение и включение понятия в систему; 6) практическое использование нового понятия [70,c.I34j
Когда вводится новое понятие, особенно сложное, желательно иллюстрировать его примерами. Лишь после рассмотрения нескольких примеров следует делать обобщения и формулировать определение. Этого требует принцип сознательности обучения.
Б кубинских школах понятие предела числовой последовательности вводят,используя понятие В - окрестности точки Х0 . Делается это так.
Пусть дана числовая последовательность &п : п I 2 З 4 5 . л-( '23456 ^
Она монотонно возрастает, т.к. для всех пе N выполняется еравенство &п < &п+1 Вод ПРИ натуральных п
71-1 ґі ак как re- I < и
Данная последовательность ограниченная сверху, потому что гг_ — і , і
Когда /і возрастает, члены рассматриваемой последовательно-ти ( tf-rt) приближаются к I, то есть для каждого е>о (і-є<і) уществугат члены большие, чем і - и поэтому они находятся в по-уинтерЕале (і - є^ і"] -
Покажем, что это свойство выполняется для любого
Сначала рассмотрим несколько примеров, усть є = — . Тогда ю "То* и ~Q"
, значит, йц^ <Хкг>'- ; О-п, " находятся в интервале (0,9; I ), і / 99 ЮО _ л
Если --—, то \ - ~ =. -у-1- ^ пгг - ^/0 1 и все члены /0<г юо too i{
, при ю.>100 находятся в интервале (0,99; I].
Пусть =: _!— и мы хотим знать, какие члены данной после- v с 500 овательности находятся в интервале ( I - т^ ; і], то есть для аких п выполняется неравенство —=1 > \ - ^щ ешив это неравенство, получаем п. > 500. Значит все члены ап при > 500 находятся в интервале ( I - щ^ , ij, а вне его имеется олько конечное количество членов. И вообще, все члены последова- ельности <ХЛ , удовлетворяющие неравенству dn > і-є » лежат интервале ( і- є у ij . Ведь для всех п > -g- выполняется нера-внство -^^ > 1-е Поэтому можно утверждать, что для каждого ^>о существует такое тг, , что для всех n.>nt , члены последо-ательности ( (Хп ) лежат в интервале (i-^i] » а вне этого интер- вала имеется только конечное число членов последовательности.
Вообще, все члены последовательности ( йп ), которые удовлетворяют неравенству &п>)-8 , принадлежат интервалу 0~, і]
В таком случае говорят, что пределом последовательности йп = _ 7Z-I является число I.' Пишут:
Лиг? ~=-t- = / .
Аналогично рассматривают еще один - два примера и в водят понятие - окрестности. Если > О, то интервал {oCo~s , Х0 + S ) называется 8 - окрестность точки Х0 ; обозначают его символом
Показав, что в В - окрестности точки zt0 лежат все IX, ,
КОТОрые уДОБЛеТБОХЗЯЮТ уСЛОБИЮ Хо ~ Є
Число ос называется пределом последовательности [эСп), если для любого > о при всех достаточно больших номерах тг выполняется неравенство . .
Сразу же после формулировки этого определения следует рассмотреть и конкретный пример, иллюстрирующий его.
Докажем, что у. п^»-* п
Доказательство. «%я произвольного >о неравенство выполняется при уіу-L* Например, для = 4пп неравенство 6 ± <, J-п ^ ioo
Зудет выполнено при п. > 100, т.е. для всех номеров, начиная c n-\o[ . Для 8 = jqqqq получаем, что неравенство ±
В учебном пособии [l3J к понятию предела числовой последовательности авторы подводят на примере приближений с недостатком и с избытком с точностью до / 0~п числа g .
Оба рассмотренше способы объяснения хороши тем, что в них используются известные ученикам понятия приближения, неравенства. Но они ненаглядны. Представим себе урок, на котором учитель без какой-либо иллюстрации почти дословно пересказывает текст учебного пособия [13J : "Каждому действительному числу ОС при любом натуральном п соответствуют два приближения к ^ : приближение осп с точностью до №~п по недостатку и приближение -х'п по избытку с такой же точностью. Разности оС-хп и JC-x'n по абсолютной величине не превосходят id . Заметим теперь, что какое бы положительное число S ни задать, для всех достаточно больших натуральных чисел будет выполнено неравенство to < Є . Действительно, если бт -
ПерВЫЙ ДеСЯТИЧНЫЙ ЗНаК g , ОТЛИЧНЫЙ ОТ НУЛЯ, Т.Є. 8= 0,00--- ОСт—^ то неравенство ю~п< є выполнено при всех п > m,tt -
Хотя этот абзац считается примером последовательности, но ученики никакого конкретного примера в нем не видят. Учитель продолжает: "Например, последовательности *п - 0; 33- --33, и осі = 4,33-;-ЗУ, имеют предел, равный числу oc~~g ".
Это токе не всем ученикам понятно. Не удивительно, что сле-ующее за ним определение предела последовательности усваивается елегко.
Мы предлагаем перед формулировкой определения предела после-овательности сначала с помощью рисунка (на координатной прямой) ассказать смысл этого понятия. Объяснение можно начать так: - Сегодня мы будем изучать предел числовой последовательно- ти. Рассмотрим несколько примеров. Пусть дана последовательность _L jL iL- JL , -к-
2. ) з j v ) J ) n-hi ) зобразим ее на координатной прямой (учитель рисует). Как видим, лены данной последовательности подходят все ближе и ближе к чис-у I. Говорят: пределом последовательности j~-j является число . Пишут Mm ~г, = ! *
Одного примера не достаточно, желательно привести еще несколь-о, можно - без подробных объяснений, чтобы не тратить много време-и, а только указать последовательность, дать рисунок и сделать выезд. С этой целью еще перед уроком полезно записать на классной доке (или на пленке для кодоскопа) несколько последовательностей и х иллюстраций на координатной прямой. Например, та±ие: а) 2, vy ^ #; /^ ,,. у а /г, - - - б) -^-^-3,-^-^ .,-;-П;,.. „і - , j 1 , 7г. 4- г , . „
В) 3J z,-& ) -J;' ' ' J —-> p) і з. 5. JL д) Vy й Ш. 1L . . .. , з/г,-(-.)* , r,
Надо обратить внимание учеников на то, что все пять последо-ательностей бесконечны.
Члены первой последовательности увеличиваются так, что среди их всегда найдется число, больше любого наперед заданного числа, лены второй последовательности уменьшаются и могут стать меньше -нелюбого наперед заданного отрицательного числа. В двух первых примерах члены этих последовательностей ни к каким пределам не стремятся.
В третьем примере имеем бесконечно убывающую последовательность, члены которой как угодно близко приближаются к I, оставаясь справа. То есть при возрастании номера п члены этой последовательности подходят все ближе к единице, оставаясь на числовой оси справа от I.
В четвертом примере при возрастании порядкового номера члены последовательности подходят все ближе к числу 2, оставаясь на числовой оси все время левее него.
В последнем примере члены бесконечной последовательности при возрастании номера п все ближе то слева, то справа подходят к числу 3.
В трех последних примерах, в отличие от двух первых, при возрастании номера -п члены последовательности приближаются к определенному числу; 1,2, 3. Эти числа являются пределами данных числовых последовательностей. Так можно ввести термин "предел последовательности- еще не определив этого понятия.
Здесь же можно сказать: тот факт, что число а. является пределом числовой последовательности ( ^п ), записывается следующим образом: .
Чтобы дать определение предела последовательности, лучше всего рассмотреть более подробно третий пример (с использованием числа Є ). Показать, что для любого положительного числа s найдется такое натуральное Ы , что при всех п> Ы выполняется неравенство | Хп - а| < S , где си - предел этой последовательности.
Теперь уже можно давать точное определение предела последовательности и заметить, что последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, а не имеющая предела - расходящейся. Желательно тут же задать ученикам такие вопросы. Пусть АІ7Г7 Сіп. - f .
Сколько членов последовательности находится в в - окрестности точки - ? (бесконечное множество).
Сколько членов последовательности находится вне - окрестности точки ? (конечное множество).
Полезно еще раз подчеркнуть, что "если число tf является пределом последовательности ( эса ), то в произвольную (как угодно малую) окрестность точки г? попадают все члены данной последовательности, кроме конечного их числа".
Как показывает опыт, такое разъяснение способствует более глубокому и сознательному пониманию учащимися предела последовательности.
Выше мы предлагали иллюстрировать объяснение предела по-следоватльности с помощью координатной прямой. А позже можно привести хотя бы 1-2 иллюстрации этого понятия и на координатной плоскости. Такие иллюстрации позже помогутлучше подвести учащихся к понятию предел функции.
Отдельно рассматривают учащиеся кубинских школ нулевые последовательности - такие, пределы которых равны 0, Но используется это понятие редко. Несколько уроков отводят для изучения подпоследовательностей и монотонных последовательностей. Материал этот изложен в учебнике достаточно полно, с необходигшми разъяснениями и примерами.
Геометрическими последовательностями на Кубе называют последовательности, которые в СССР называют геометрическими прогрессия- и. Учащимся доказывается следующая теорема. Геометрическая после-овательность ( ^ ) сходится при - і < ^ < і и расходится при ^> і при з < - і
Заканчивается рассматриваемый раздел теоремами о пределах оследовательностей. Речь идет о следующих теоремах:
ЕСЛИ Мгг&п ~а и Js> Ун =ь то
I) Mm (<2п+ Ь^)= а + Ь > 3) Mm (ап- Ьп)= а<Ь j Jc (an- b*)=r а-і , 4) M~ ҐЗД-.- . последнее равенство - при Ь^гО , Уц^о),
В условиях средней школы доказать достаточно только одну из тих теорем, например, первую. Сделать это можно так.
Теорема. Если М dn ~ а и .Ллгп bti ^ b f то последо-ательность (й^/і?л ) сходится и Л* {йп/-Ьп) — а.-/- У-
Доказательство. Пусть J^m Сіп.- а М Ьп ~ ь #-*- со / &.—> м> : пусть В - любое положительное число. Тогда _ - $' тоже положи-ельное число. Из определения предела последовательности следует, ;то почти для всех п (раньше учащимся разъяснялось,что это значит) Хп принадлежат в' - окрестности точки a , а Ьп. - 8Г - окрестности очки b . То есть для произвольного Є > о существуют такие 71, , :nJt что
Для всех п > nt а- в' < an < &/-е'
ДЛЯ БСЄХ П. > Пг. Ь- ' < Wc < Ь+Є'
Пусть п большее из чисел ті, и п2 . Тогда, сложив приве-[енные выше двойные неравенства, получим, что при любом е>о, для ісех п>ьг выполняется условие і это значит, что при люйом > о почти для всех "YL число
А-и.4- W принадлежит - окрестности точки (&/Ь). То есть, по- следовательность ( О-п+Ьл) сходится и ее предел равен числу (ft-f-b).
Как уже отмечалось, в кубинских школах нет никаких экранных средств для иллюстрации понятия предел последовательности. А такие средства очень нужны. Поэтому автор настоящей работы составил соответствующую серию диапозитивов (см.Приложение I):
Примеры последовательностей.
Расходящиеся последовательности.
Сходящиеся последовательности. S - окрестность точки Хо .
Предел последовательности.
Предел последовательности.
Предел последовательности.
Последовательность, не имеющая предела.
Пулевые последовательности.
Упражнения
Упражнения
Предел суммы последовательностей .
Предел разности последовательностей.
Предел произведения последовательностей.
Предел геометрической последовательности.
Предел последовательности на координатной плоскости.
17. Вычисление предела последовательности. 18-20. Упражнения.
Использовать некоторые из этих диапозитивов можно при объяснении нового материала, другие - при выполнении упражнений. Осо-, бенно они оказались полезные при повторении материала на обобщающих уроках.
Неплохо эти, или игл подобные кадры, перенести на кодопленки и демонстрировать с помощью кодоскопа.
2. Предел функции .
В школах Кубы на изучение пределов (и непрерывности) функции отводится II учебных часов в II классе. Материал прорабатывается в соответствии с программой, фрагмент которой приведен ниже.
1.2. Предел функции (II час.)
Определение предела функции в точке. Предел функции справа и слева.
Теоремы о пределах функции (без доказательства). Применение теорем о пределах функций. Вычисление пределов.
I.2.3.4 Определение непрерывности функции в точке.
Определение непрерывности функции на интервале. 1.2.4. Теоремы о непрерывности функций. Как известно, понятие предела функции в точке можно вводить двумя способами: по Коши, т.е. в символах Е-с/1; по Гейне, т.е. через предел последовательности. Рассмотрим два эти определения сначала в теоретическом плане. Определение І. "їисло Ь называется пределом функции / в точке а , если для любого положительного числа S найдется такое число а>о , что при всех ХФа , удовлетворяющих неравенству \х-а\ *<Р фудет выполнено неравенство
Определение 2. Число Ь является пределом функции Ц Б точке а. , если: функция & определена в окрестности точки ol (кроме, быть может, самой этой точки), и для каждой последовательности (з:й) ( ЭСП ФО. для всех ?г ), -2.3- которая стремится к (X. и члены которой принадлежат этой окрестности, последовательность значений функций ( f (*u)) стремится к \о .
Хотя по форме эти два определения различны, каждое из них определяет одно и то же понятие.
В институте или университете можно предложить студентам оба определения. Но в средней школе так делать не следует. Здесь достаточно сформулировать только одно определение. Чтобы отобрать лучшее, надо проанализировать их с дидактической точки зрения.
В школах Кубы до революции понятие предела функции вводилось по Коши, а теперь - по Гейне. В школах СССР это понятие определяется по Коши, хотя в несколько упрощенном варианте (без использования символа о ), Но многие методисты, специально исследовавшие этот вопрос, утверждают, что изложение теш о пределе функции по Гейне в дидактическом отношении проще и естественней, чем по Коши. Об этом пишут, в частности Ю.Марнянский [52,с.68], З.И.Слепкань f64,0.77] и другие. Об этом свидетельствует и опыт: "Опыт показывает, что определение по Гейне намного лучше воспринимается девятиклассниками. .." [ 64, с.77].
Конечно, есть много "за" и "против" относительно каждой из этих трактовок. Их подробно проанализировали авторы упошнутых работ и многие диссертанты, поэтому повторяться нет надобности. Считаем, что в настоящее время в школах Кубы лучше давать определение, имеющееся в учебнике [91] , т.е. определение по Гейне.
Если учитель хочет подвести учащихся к определению по Коши, он может излагать материал, например, так. - Рассмотрим свободное падение тела. Пройденный падающим телом путь 5 - функция времени t - задается формулой
Предположим, что нас интересует скорость падения тела в какой- либо момент времени ~60 . Рассмотрим промежуток времени от момента 4 до І = to + Д^ » он равен At . За этот промежуток времени тело пройдет путь:
Отношение -$- = ч0 + - лі называют средней скоростью движения тела за промежуток времени At . При малых At она очень мало отличается от у to . Например, если to ~ 2, значения при At , последовательно равных I, 0,1, 0,01, 0,001, ...., образуют последовательность 24,5 , 20,09, 19,649, 19,6049, ...
Как видим , если At принимает значения, все более близкие к нулю, то соответствующие значения Vcp приближаются к значению
Можно сказать и так. Средняя скорость Vcp при &t t стремящемся к нулю, стремится к пределу V0 , который и считают "мгновенно" скоростью падения данного тела в момент времени 0 . Записывают, . \/0 = Льгг) Vcp (й t)
Итак, речь идет о пределе функции в заданной точке. Определим это понятие.
Число Ь называется пределом функции $ в точке а , аесли для любого е>0 при всех эс^а , достаточно близких к л , выполняется неравенство |/(х)-Ь| -се -
Из этого определения видно, что для существования предела функции :f в точке необходимо, чтобы функция была определена во всех точках некоторой окрестности точки а , кроме,быть может, самой точки а .
В сильных классах можно привести и более строгое определение, введя понятие о - окрестности точки а .
Число Ь называется пределом функции j в точке а. , если для любого положительного числа В найдется такое число с/> о » что при всех X Ф а , удовлетворяющих неравенству х- а| ^(/ будет выполнено неравенство
В такой последовательности можно ввести понятие предела функции по Коши. Если же иметь ввиду определение по Гейне, начинать объяснять материал следует иначе. - Сегодня мы будем изучать тему "Предел функции в точкеи.Сначала рассмотрим несколько примеров.
Пример I. Пусть дана функция ^[х) — zx (на доске нарисован график). Когда переменная ос , возрастая, стремится к числу 3, то соответствующее значение функции ;|ta) стремится к числу. 6. И когда переменная х , убывая, стремится к числу 3, значения функции тоже стремятся к тому же числу 6. Подчеркиваю: к тому же. Говорят, что предел функции -\[х) = zx при х , стремящемся к 3, равен 6. Можно сказать и так: предел функции В этом примере предел функции в точке оказался равным значению функции в той же точке. Но бывает иначе. (х) = Зс-д > (хфг) (Учитель демонстрирует ее график - прямую с выколотой точкой). Когда значения X, возрастая или убывая, стремятся к числу 2, то соответствующие значения функции в обоих случаях стремятся к одному и тому же числу 4. Хотя функция в точке х-2 и не определена, все же считают, что ее предел в этой точке равен 4: 2 ЭС —> 2 Ж" 2- Пример 3. Рассмотрим график функции \ 5 при pc - 2 . Предел данной функции при х , стремящемся к 2, равен 4. Как видим, предел функции в точке может отличаться от значения этой функции в данной точке. Так что же такое "предел функции в точке"? Только теперь, создав проблемную ситуацию, можно с помощью учеников попытаться сформулировать нужное определение. Но даже если ученики поймут определение излагаемого понятия, нужно привести еще несколько контрпримеров. Пример 4. Пусть дана функция п \х -2 при -х. ^ъ ' [х - і при ос>з Когда х , возрастая стремится к числу 3, соответствующие значения функции стремятся к I. Когда же х , убывая, стремится к числу 3, соответствующие значения функции стремятся к числу 2. В обеих случаях значения функции стремтся к разным числам. Это зна- ' чит, что данная функция в точке эС= 3 предела не имеет. На закрепление изученного материала желательно предложить классу устно, например, по таблице I, определить, какие из данных функций в указанных учителем точках имеют пределы, а какие не имеют. Считаем, что для преодоления формализма в знаниях учащихся учитель средней школы должен усилить работу по раскрытию содержательной, смысловой стороны изучаемых математических понятий. Если определение сложное, трудно воспринимается учащимися, то учитель может на первом этапе дать вводимому понятию наглядно-описательное определение. Только позже уточнить, отработать это понятие при решении задач и в приложениях. Особенно полезны контрпримеры. Именно придерживаясь таких взглядов, мы предлагаем еще перед формулировкой Тдибшіф* і нестрогого определения рассмотреть несколько конкретных примеров, разъяснить учащимся на рисунках, что такое "предел функций".Только после таких предварительных графических иллюстраций желательно подвести учащихся к строгому определению. - Допустим, что дана функция ^(лі = эс^ / . Нам нужно изучить, как эта функция ведет себя при условии, когда ос стремится к 0. Рассмотрим числовую последовательность ( ^л. ), предел которой равен нулю, но все члены которой отличны от нуля. Например, згя-JL: Последовательность значений функции при таких значениях переменной будет f(0, f(i),m),:f(i),...,f^b''' или i + i , т + 1;^ + *А + ^ - ;~к+ *;" Эта последовательность сходящаяся, потому что Аналогично рассматриваем еще одну последовательность, например, с общим членом зСп. ~ —1~ , и показываем, что Mm $(x'h.) ~ і Если осп - л.,ю...б а я числовая последовательность, отремя-щаяся к 0, то можно показать, что соответствующая последовательность значений функции ( f (3^) ) имеет сбоим пределом число I. В таком случае говорят, что предел функции hx) = х-/-1 при стремящемся к нулю; равен I. Пишут: В учебнике [91,с,26] для кубинских школ проводится параллельное изучение двух функций при стремлении их аргумента X к I. Функции j(x) — ~ / и 5 (х) = Zoc'{ нб определенные в точке ос^ і . Нам необходимо изучить, как эти функции ведут себя при условии, что сс-ъ і. Для этого мы можем рассмотреть последовательность оСп, для которой выполняется условие Mm Ха - \ при Хп4/ * Возьмем, например, последовательность эс^ - \ - — « При данной последовательности значений ас^ рассматриваемые ункции будут: х - I _ii-ibJ- ,-Jl., -J- ^- beледовательность ( ^{Хп) ) сходящаяся, т.к. <){х*)=.2 =2 г Последовательность ( 9(х«)) сходящаяся, т.к. Ы-9-oG Jbsm Н (Xtx.) = ЛХ —— *-!->«<> - - - - ^ _^, оо Д іейчас мы рассмотрим еще последовательность { Хп ) 9 где Z„. = l^-^j :акже удовлетворяющую условию Ляг*. Хк=\ . При таких значениях яс санные функции будут соответственно: J(x*)=-2 Jtx'\ ІІІІІ^-І- = л v- X приближается к I справа или слева... Только после таких сопоставлений формулируется определение. Число является пределом функции і в точке Хо , если: I) функция і определена в окрестности точки Хо (кроме, 5ыть может, самой этой точки); [оследовательность ( f(xU)) схо- щщаяся, т.к. fa получили последовательность ! I IxU) ), предел которой равен іределу последовательности Как видим, функции J* и Последовательность ( J(x'*)) расходящаяся, т.к. Здесь мы получили последовательность ( Ч(Хн) ), предел которой не равен пределу последовательности ( ^tXn) ) ч, ведут себя по-разному, когда 2) для каждой последовательности хп ( хп ф х0 для всех п ), которая стреьштся к ос0 и ее точки принадлежат этой окрестности, последовательность значений функции (2 (х*)) стремится к На закрепление можно привести следующие примеры (сопровождая их графиками). Пример I. Предел функции hx)~ -х.2 в точке 2 равен 4. Действительно, если ос п. - любая последовательность, при которой Лып Хп = 2 ъ ?Спф2 для всех тг. , тогда последовательность зна-чений функции будет (f (Хч)) = (Xn)z t причем sli^r) і(ХуС) =. sum OCn = {^Urn ЭСп J =i JLJ . Значит, Mm осг=4 Пример 2. Пусть дана функция j(*) = x. Найдем предел этой функции в точке оСо= о . Рассмотрим любую последовательность ОСп, , для которой Лт хп=.ож сСп±о для всех -п . Тогда последова-тельность значений фуніщии ( ^ (Хп)) = (ссп) . Выполняется условие ^O^rr? J-(Хп) =. ЛАґґя (ЭСа) — I * п.—»*о >i-*-~ Значит, - , 0 J*m j- (х) — Лы* Ж - 1 Следует обратить внимание, что х> при ос=-о значения не имеет, но Jaw ос - существует. До сих пор речь шла о пределе функции в точке. Б учебнике для кубинских пжол имеется также понятие предела функции на бесконечности. Но приводится оно позже, при исследовании рациональной функции. Определение, Функция ^ имеет предел при бесконечном возрастании переменной ос (обозначают Л* т(х) — ), когда: определена для каждого ее , удовлетворяющего условию ос ^ Хо ; - 5І- 2) Для каждой возрастающей последовательности ( х>г ) (^ для всех yz- ) последовательность \ {'Хп.) сходится к числу -в . По аналогии разъясняется и смысл предела функции при х—> Эти понятия полезны не только потому, что они позволяют хорошо понять, что такое асимптота, но и показывают то общее, что имеют предел функции и предел последовательности. Поэтому желательно ознакомить старшеклассников с пределами функции при бесконечном возрастании или убывании аргумента. Соотношения между различными видами пределов, рассматриваемых в школе, можно иллюстрировать следующей схемой Пределы функции на бесконечности предел последовательности другие Тот факт, что предел числовой последовательности является частым случаем предела функции при бесконечном возрастании ее аргумента, хорошо иллюстрировать на координатной плоскости (см. с. 145 ). Что же касается правостороннего и левостороннего пределов, то им, по нашему мнению, в общеобразовательной школе особого внимания уделять не следует. К понятию предела функции в точке тесно примыкает понятие непрерывности функции. Вводить его можно так. - На рассмотренных ранее примерах мы убедились, что предел функции б точке может: I) равняться значению данной функции в^оч-ке; 2) быть отличным от этого значения. Значение функции даже может не существовать в рассматриваемой точке. Особенно заслуживает яимания первый случай. Если он имеет место, такую функцию называют непрерывной в данной точке. Определение. Функция | называется непрерывной в точке X0 , ели: функция | определена в точке сСо ; существует Mm f№ ) выполняется равенство М>т ft*) -J-(**>) PC —? Х-о Понятно, что главное (определяющее) здесь условие 3. Ведь юли имеет место равенство Алл* ft*-) — (хо) , значит: I) Существует f(Xo) - фуНКЦИЯ определена В ТОЧКе Хс \ 2) существует и Ль f(x-) - выполняется второе условие. ч їое же с дидактических соображений можно предлагать приведенное \ учебнике определение. Введенные понятия рекомендуем иллюстрировать несколькими при-шрами. функция .(*)= эх непрерывна в любой точке. Функция 1(х) - -х ~'- не является непрерывной в точке / ОС - I ±% + і » если ос^ъ ~x+z t если х^з с= I, потому что она не определена в этой точке. Во всех других ?очках она непрерывна. 3) Функция icx) ~ їв является непрерывной в точке х~Ъ , так как не существует Х~*>3 ' 4) Функция Jfc) — -^г (X фо) не является непрерывной і точке Х-о , потому что она не определена в этой точке и, кроме [ого, когда ос ~* о , то ^ Сх) —* * 5) функция г 0 , если х. принадлежит 2. [oceZ) 1(х) ={ t , если X ф Z шеет бесконечно много точек разрыва, т.к. для каждого целого чис- ла эСс ЭС—rJCo Кроме непрерывности функции в точке рассматривают ее непрерывность на промежутке и на области определения. Функция ^ непрерывна на промежутке I , если она непрерывна в каждой точке этого промежутка. / . Функция j называется непрерывной, если она непрерывна в каждой точке области определения. В учебнике f9I,c.S7j,для кубинских школ формулируются следующие теоремы о непрерывных функциях. Если функции и и V непрерывны в точке -Хо , то функции S(X) яг U(X) + 'V(x) } d(x) - U(x) - -V(x) ^ pfx) = U(x) . T/fx) j ^(x)= i^ ) -у(Хо) фо j также непрерывны в точке х0. Если функция *}~ |(х) йепрерывна на отрезке [а; Ь] и ее значения на концах отрезка имеют различные знаки, то существует точка ОС интервала ( а, Ь ), в которой J с*-)-О (тео- рема Больцано-Коши). Если функция і непрерывна в интервале ( а, Ь) и если ^ (<\) =+ -f (Ь) , для любого , удовлетворяющему условию |(а)< ^< jib) или ^(a)>4>f("b) , то найдется в интервале (а, Ь) такое число ос , что -2 (х) - Ч . В современных условиях не рекомендуем в общеобразовательной школе полностью доказывать все эти теоремы. Первую из них можно доказать для случая суммы двух функций, остальные - только иллюстрировать на графиках. В СССР имеются специальные математические кинофильмы и кинофрагменты о пределе функции: Переменная и ее предел - звуковой, черно-белый, 3 части (ав- торы сценария Житомирский В.Г. и Трахтєнбєрг И.Ш., режиссер Мельникова А.И.), Свердловская киностудия научно-популярных фильмов. Переменная величина и ее виды (консультант Вейцман И.Б.), Студия "Школьфильм", 1966. Предел переменной величины (консультант Вейцман И.Б.), студия Школфильм", 1966. Предел функции. Непрерывность функции (консультант Вейцман И.Б.), студия "Школфильм", 1966. Теорема Вейерштрасса. Длина окружности, (консультант Вейцман И.Б.), студия "Школфильм", 1966. Имеется и диафильм: Предел функции. Производная - цветной, 47 кадров (авторы Ю.Н.Макарычев и С.Б.Суворова), 1977. Могут использовать советские учителя математики и серии таблиц Гельфанда Б.М., Олейника Г.Ф. и др. К сожалению, учителя математики Кубы подобными средствами обучения не располагают. Поэтому по теме "Предел функции" мы составили серию диапозитивов (20 кадров): Предел функции h-x.) =.0,5 ос при X—* 4 * Предел функции ^(х) = з - ос При а: —> -1 Предел функции ;/("*)= ос_г при oc—^Z- Имеет ли предел в точке з:=2 функция о у - 4 , если эс2 ' , если з:-/! ' 5. Имеет ли предел в точке Х- В функция fw = Х- 2 При X ^3 х - і при ос>Ъ ? . Упражнения Предел функции hx)-= Xl-h J при х —> о 8. Определение предела функции 9. Пределы функций j{*) = ^_ и Ч(х) ^ р. при .%-* I. Предел функции при ос—> ^> Предел функции при DC ~^> - ~ * Предел функции и предел последовательности . Определение непрерывности функции в точке. Примеры функций,непрерывных в точке. Примеры функций, разрывных в точке . Пример функции, имеющей много точек разрыва. Функции, непрерывные на промежутках. Упражнения. Упражнения. Теорема Больцано-Коши. Как использовать эти диапозитивы, ясно из предыдущего текста. Понятно, что можно вместо отдельных кадров диапозитива составить демонстрационные таблицы или кодопозитивы. Но ни в коем случае подобные средства наглядности не должны вытеснить меловые рисунки на классной доске. 3. Система упражнений Проблема выработки навыков и умений по математике - одна из важнейших. Традиционно сложилось так, что в школах Кубы намного больше, чем, например, в СССР, отводят времени на изучение теоретического материала, в результате чего на решение примеров и задач времени остается мало. К тому же далеко не всегда учителя хорошо организуют самостоятельную работу учащихся. Министр образования Кубы Хосе Р.Фернандес в 1982 г. говорил: "Один из самых острых вопросов нашего всеобщего образования явля- тся наше пассивное участие в организации самостоятельной работы чащихся. Все мы хорошо знаем, что ученики не учат. Мы не даем им ;омашних заданий, ничего от них не требуем..." [?8 o.zd] Создавшееся положение можно объяснить многими причинами. Од-а из них - традиция. Раньше учителя математики главное внимание бращали на подготовку к экзаменам. Учащиеся (а их 40-45 в классе) отовились к экзаменам преимущественно по конспектам, акцентируя внимание на теории. Упражнения нередко считали вещами второетепен-нми. В настоящее время ситуация изменяется к лучшему. Учителя ма-ематики все чаще предлагают учащимся всевозможные задачи и упраж-ения для самостоятельного решения. Цель обучения - не только дать чащимся знания, но и выработать необходимый минимум умений и навы-,ов. В этом важную роль играет система упражнений. Учителя кубинских школ четко различают примеры и упражнения. :римеры - это задачи, иллюстрирующие то или иное понятие или тео-іему, которую учитель решает сам перед учащимися. Они - необходи-,ая составляющая часть объяснения нового материала. Хотя иногда, досматривая такой пример, учитель ставит и перед учащимися вопро-ы, выслушивает'их мнение. Но в подавляющем числе случаев примеры решает на классной доске сам учитель. Таких примеров традиционно . кубинских школах предлагают даже больше, чем в школах СССР. Упражнения - это задачи, предлагаемые учащимся для самостоя-ельного решения, их в общеобразовательных школах Кубы решают .равнительно мало, причем только из учебника. Никакими дополни-ельными сборниками задач, дидактическими материалами, наподобие «пускаемых в СССР сборников самостоятельных или контрольных ра- бот, математических диктантов и т.п., учителя Кубы не пользуются. Весь учебник /[9IJ/ разбит на две части: теорию (разделы А, В,С,Д) и задачи (разделы а,в,с, & соответственно). В теоретической части имеются только иллюстративные примеры. Задачи и упражнения для самостоятельной работы приведены во второй части учебника. По теме "Пределы" здесь имеется всего 55 номеров задач, некоторые с пунктами а,в,с и т.д. Никаких ответов к задачам из второй части нет ни в учебнике, ни в пособии для учителя. С одной стороны это хорошо, т.к.- ученики, решая эти задачи, не подгоняют их под готовые ответы. Но с другой - плохо, ведь далеко не всегда можно выполнить проверку и проконтролировать правильно решена задача или нет. В учебнике для кубинских школ перед упражнениями на нахождение пределов последовательностей предлагаются учащимся упражнения на нахождение верхней и нижней граней. Приведем одну из них. В приведенном^иже упражнении даны последовательность ( #«.) и число . Найдите первые пять членов этой последовательности и покажите, что они увеличиваются. Проверьте, является ли число і точной верхней гранью данной последовательности, то есть і -ли^(ап) Для каждого t-^ж Є= ~г найдите такое п , что 0~п принадлежит - окрестности точки а) (Л*) ; йп = ^~1 и e=-L} г) (an) aa = ~4±L и Є=-і Последний пример оформить в тетради можно так: -38-2 __L_ _ ц_ _ s_ _, A. г) Вычисляем устно: - ^-J ~ Т j ~ Т'; ~ ~ч ' ~~ ~t?j Пусть 6-у- . Дтобы йп є Г-І-Є ~ |4-І , достаточно, что-бы выполнялось неравенство |- У*- + х. _ (-1)) <-j- или j - У-< Yo Гак как ?г число натуральное, то последнее неравенство равносильно следующему -~ < — , откуда тг. > і о Для = т^ имеем аналогично: , Л-Н ~ f-i)l< — — < — п>\оо \г к '\ loo ) п }оо > Конечно, такие упражнения полезны, они помогают учащимся лучше понять и сущность понятия предела последовательности, и его определение. Но в общеобразовательной школе достаточно выполнить 3-4 таких упражнения. Главными здесь должны быть упражнения на нахождение пределов различных последовательностей. Выработке навыков вычисления пределов последовательностей в вузовских курсах уделяют много внимания. Делают это на основании теорем о пределах. В средних общеобразовательных школах СССР специальных теорем о пределах последовательностей сейчас не изучают, поэтому здесь можно пользоваться, по существу, только определением предела последовательности. Само это определение позволяет лишь доказывать, что то или иное число является пределом данной последовательности. Делать это можно, например, так. Докажите, что -М^гл -__— — ).$ Доказательство. Покажем, что для любого положительного числа найдется такое натуральное число S , что при всех натуральных п > N выполняется неравенство - \,& Решим это неравенство относительно переменной s"-2-u|<( 4=»1ая:;-э"|<е <=* ^^=,> --1- Как видим, исходное неравенство равносильно ~- < (ведь ищем натуральные значения іг ) или п. > -L . Целую часть числа -можем принять за М Итак, доказано, что для любого положительного числа & найдется такое натуральное число N , что при всех и. > Ы выполняется неравенство 22Lni-ly5U . Значит, 1,5 есть предел данной последовательности: А бот пример на опровержение. Докажите, что число I не является пределом последовательности 714-1 2 П. Доказательство. Рассуждать будем методом от противного. Пред- ПОЛОЖИМ, что Тогда из определения предела последовательности следует, что для любого положительного числа найдется такое натуральное число W ,: что при всех П > N выполняется неравенство О. \и Преобразуем это неравенство \ W. + I - э.п an. S l 0-YL | Число и натуральное, большее I, значит полученное неравен- П-\ .о тг«т» і стбо равносильно такому _—L < или 4 — < Понятно, что, вапример, при = 0,01 невозможно найти такое М , чтобы при всех п> А/ выполнялось неравенство -І- - -~ < . Следовательно, пред-положение неверно, число I не является пределом последовательности ап - тяг В школах Кубы рассматриваются и теоремы о пределах последовательности, поэтому там можно расширить систему упражнений. Чтобы подвести учащихся к пониманию смысла этих теорем, еще перед их доказательством предлагают упражнение. Пусть даны: последовательность О-п. —~^ZT/ (*->!), предел которой ^-з , и Ьп. - Щ^~ (У1>0 » пРеДел которой & — Л . Напишите пять первых членов предложенных ниже последовательностей и покажите, что их пределы можно получить сложением, умножением, вычитанием и делением пределов в, и ( последовательностей (ауь) и Ьч) J а) [Сп.) , СЛ =. Cln+bn j б) (da) } dru - Q-n. - On. j в) ( Єп) j Єк- OLn-bn. } Г)(^) J $K= dn'.bn. - Такое упражнение нужно, без него знание, теорем может быть только формальным. Решим пример 2). Решение. ЕСЛИ (X п := $SL , A rl = 2-^ZL , ТО Докажем, что предел последовательности п.~ ^-^-— равен 0 ;^ = ^L, т.е. что при любом є> ' Ъ п. 3_.| ^g \ btYL -ЬП+3 чп-з. an- /2-І | 3(^/2-/) Учитывая, что *ь - число натуральное, это неравенство можно преобразовать в равносильное ему: ЦП - 2 j ЧІІ-2 ' откуда з < V/2 - 2е , n > 3^є J Итак, каким бы малым ни было положительное число в , при п. > 5j^- выполняется неравенство \гп- \ z. I ^ й >> а это и значит, что 0„ - ЛЛОг7 2 П Только после изучения теорем о пределе суммы, разности, про- изведения и частного последовательностей можно предлагать учащимся управления на нахождение пределов, например, следующих. Найдите пределы последовательностей: Решать такие упражнения после изучения теорем о пределах можно так: , jU„ SJl^L ~JL*,[**rt - ~U JL S- - U, JLE = o- a=o Q) iloo 3tZ3 n-~-*\3n' 3*1*) ^^oo ЭУ1 «-»^ЗЙг Перейдем теперь к упражнениям на определение пределов функций в данных точках. В разное время их можно решать разными способами. До изучения теорем о пределах функций это можно делать на основании определения предела. Понятно, что в зависимости от того, какое определение изучают ученики, решать подобные упражнения можно по-разному. Рассмотрим пример. Покажите, что ^Мт ~ ~ _ ^ Девятиклассники СССР, которым известно определение Коши, но не Гейне, это упражнение могут выполнять с помощью неравенств. Решение. Функция 4(ос)~ а ~ 1 определена всюду, за исклю- чением точки їх = - / . Докажем, что Аьт ~ _ 2. . Надо доказать, что каким бы ни было положительное число , существует такое число а , что из неравенства |^с-(~о| < а следует | ~^~ - (~г-)\< . Или из |a: + i| < У1 следует !| .^ "J +^Ц^ Так как при эс Ф-\ то можно принять с>= . Какие бы ни были >4, существует с/^е такое, что если \ эсч-1\ <с/ t то и А это значит, что Мгу, Х'-' = г Понятно, что вместо чисел, удовлетворяющих неравенству |х-н|^сг , можно говорить о с/ - окрестности числа - I. В школах Кубы этот пример (да ознакомления с теоремами о пределах функций) учащиеся могут решать иначе. Пусть осл _ любая последовательность, для которой выполня- ется А^ -х-п -- \ и сел Ф - і для всех П- f}_й- оо М ^п=~» и ОСлф-1 Тогда и получаем: ОТКуда x6*w //) =: ^^w jfe*) :=: - 2 . После ознакомления с важнейшими теоремами о пределах последовательностей решать этот пример^можно намного проще: Упражнений на непрерывность функций в учебнике /[9і]/ мало. I/ Конечно, сопровождая необходимыми разъяснениями. Это упражнения следующего вида. 1. Нарисуйте графие функции a) j(x)-\x-z\ , б) п _ |Х4 2 при эс>г f-Ы — | ц при ее < г . и исследуйте, является ли она непрерывной в точке х-(1. 2. Покажите, что функции непрерывны. 3. Нарисуйте график функции: s)f~xB+Jc-/ , б) ч~ссъ-г>х + 2 . Укажите интервал, в котором существует такое -х0 9 что (s&>) — о Понятно, что решая эти упражнения, учащиеся должны строить графики функций без использования производной, т.к. она им еще не известна. Непрерывность функций доказывают на основании теорем. Например, рассуждают: ******* J(Jc) = х3-зх+їі Jd непрерывна, т.к. каждая из функций х* » ~зх$ 5 и 10 непрерывны. При выполнении других упражнений используют понятия левостороннего и правостороннего пределов. Так, решая пример \- Х~*2 ' Х->27 ' ' эс< 7. ос>г как видим следовательно, функция j-(^) непрерывна в точке оС0~?- < Важную роль в обучении математике вообще, и особенно, обучении математическому анализу, играет система упражнений. Считаем, что система упражнений к любому разделу школьной математики должна отвечать следующим общим требованиям. 1. Каждое упражнение системы должно быть: а) доступным для всех или для подавляющего большинства учащихся данного класса, б) выполнимым за реально возможное время, в) грамотно и четко сформулированным, чтобы все гонимали его однозначно. 2, Вся система должна быть: полной с точки зрения охвата всех тем программы; полной с точки зрения трудности ее для работы в любом классе, кроме других содержать хотя бы 2С$ очень легких, не обязательных для сильных, и IQfa повышенной трудности, не обязательных для слабых; хорошо упорядоченной: а) в соответствии с темами, б) с точки зрения нарастания трудностей; содержать хотя бы часть упражнений, которые можно решать устно; быть разнообразной относительно требований, т.е. включать упражнения на вычисление, построение, доказательство, исследование ; целесообразно подобранной, позволяющей реализовать обучающие, развивающие, воспитывающие и контролирующие функции в обучении; содержать хотя бы 10$ упражнений прикладного характера; способной обеспечить достаточно частую повторяемость ситуаций и способов решений, обеспечивающей выработку нужных навыков; изложена в терминах и символах, соответствующих терминологии и символике действующего учебника или учебного пособия. Отвечает ли этим требованиям система упражнений по темам "Предел последовательности" и "предел функции", имеющаяся в учебнике математики для 11-го класса школ Кубы? В основном - отвечает. Но не полностью. Ее нельзя считать полной с точки зрения охвата всех вопросов программы. Например, учащиеся изучают много теорем, которые в учебнике не иллюстрируются ни одним примером, ни одним упражнением. Неполна эта система также с точки зрения наличия в ней упражнений различной трудности. Упразднения для устного решения отсутствуют. Нет е ней упражнений для самостоятельных и контрольных работ, нет упражнений прикладного характера. Не наблюдается достаточно частая повторяемость ситуаций и способов решений, обеспечивающая выработку нужных навыков. Нет в учебнике упразднений с заданными рисунками, например, таких: I. Имеет ли функция, график которой изображен на рис.1, пре- делы в точках ее, , х Рис.1 2. Дорисуйте графики функций (рис. 2 чтобы эти функции а) имели предел в точке х0 \ б) не имели предела в z0 Всегда ли это можно сделать?. ) справа от Х0 так, —> Рис.2 ках она имеет пределы, а в каких - не имеет. 4. Рассмотрите график функции 1{х) -чему равны пределы: a) JjJ |(*) у 3. Рассмотрите график функции ^х)^~- и укажите, в каких точ- и укажите, б) JU*i | Б) Xw ^j(x) . Х~> I ' -X—>0 ' ' 0L->-\ Итак, систему упражнении для рассматриваемой темы нужно совершенствовать. Частично это сделано в нашем исследовании - выделены направления, в которых нужно ее совершенствовать, составлены задания для самостоятельных и контрольных работ и т.д. Но главное еще предстоит сделать. Понятие предела является одним из важнейших понятий математики. В настоящее время оно кладется в основу определения почти всех понятий математического анализа (производной, интеграла, суммы бесконечного ряда и т.д.). Вот почему этому понятию необходимо уделить достаточно внимания, чтобы ученики хорошо понимали его смысл и умели использовать в нужных случаях. Хотя известны предложения о том, "что начинать изложение анализа в средней школе с теории пределов не следует" большинство авторов не разделяют этого мнения. И в школах Кубы понятия производной, интеграла и многие другие вводятся с помощью пределов. В математическом анализе различают: I) цредел последовательности и 2) цредел функции. Так как последовательность - отдельный вид функции - (именно: функция, заданная на множестве натуральных чисел), то и предел последовательности можно трактовать как частный случай предела функции. Значит, начинать изучать материал в школе можно было бы и из предела функции. Но такая последовательность была бы неоправданной с дидактической точки зрения. Понятие предела последовательности проще для понимания учащихся. К тому же, если определять цредел функции в точке по Гейне (а именно такое определение даетея в школах Кубы), то сначала надо вводить предел последовательности. Производная - важнейшее из понятий дифференциального исчисления. В общеобразовательных школах Кубы впервые оно вводится в 11-м классе. Изучаются его свойства и применения в соответствии с программой, фрагмент которой приведен ниже. 2.1. Производная функции (12 час.) 2.1.1. Повторение о наклоне прямой (3 часа): - касательная к кривой в точке; - наклон кривой в точке; - определение отношения приращения функции к приращению аргумента в точке. 2.1.2. Дифференцируемость (4 часа) - определение дифференцируемое и производной функции Б точке; - определение дифференцируемости функции в интервале (открытом); - определение производной функции как функции; - теорема о- связи между діїффереіщированностью функции и ее непрерывностью (несколько контрпримеров). 2.1.3. Правила дифференцирования (4 часа) - производная алгебраической суммы; - производная произведения; - производная степени; - производная дроби; - применение этих правил. 2.1.4. Определение производных высших порядков (I час). В связи с изучением производной в школе возникает несколько методических проблем. 1. Какую предварительную работу следует проводить непосредственно перед формулировкой определения производной? 2. Следует ли сначала дать физический и геометрический смысл производной или только какой-нибудь один из них? Или вообще не рассматривать никаких задач, приводящих к понятию производной, а вводить его абстрактно-дедуктивным методом? 3. Как формулировать определения? Рассматривать ли сначала производную функции в точке, или сразу назвать производной функции некоторую новую функцию f 4. Когда вводить понятие дифференцируемой функции: перед определением производной или после него? Теория дифференциального исчисления содержит много специальных понятий. Учителям математики следует особенно продумать методику изложения понятий приращения аргумента и функции, производная, дифференциал и т.п. В общеобразовательных школах СССР на изучение первообразной и интеграла (вместе с контрольными и самостоятельными работами, решением примеров и задач) отводится всего 12 часов. Поэтому теоретических сведений учащимся дают минимум. В частности, совершенно не вводится понятие "неопределенного интеграла", формула Ньютона-Лейбница дается без строгого доказательства. Основное понятие здесь - первообразная, интеграл вводится в конце теш, причем - через приращение первообразной. В школах Кубы интегралы изучаются в II и 12 классах. Объем и последовательность отдельных вопросов темы указана в программе.Предел последовательности
Производная
Первообразная и неопределенный интеграл
Похожие диссертации на Пути и средства совершенствования методики обучения началам математического анализа в средних школах Кубы
