Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА І.ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОБУЧЕНИЯ УЧАЩИХСЯ МАТЕМАТИКЕ ПОСРЕДСТВОМ ФОРМИРОВАНИЯ И РАЗВИТИЯ ИХ АЛГОРИТМИЧЕСКОЙ КУЛЬТУРЫ 14
1.1. Основные требования к качеству математического образования выпускников средней школы 14
1.2. Современное представление об алгоритмической культуре учащихся 23
1.3 моделирование в учебном процессе 27
1.4. Алгоритмизация и моделирование при решении математических задач 40
1.5. Общие подходы к обучению математике посредством формирования и развития алгоритмической культуры учащихся 46
Выводы по ПЕРВОЙ ГЛАВЕ 66
ТЛАВА II. ПОВЫШЕНИЕ КАЧЕСТВА МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЧАЩИХСЯ В ПРОЦЕССЕ ОБОБЩАЮЩЕГО ПОВТОРЕНИЯ ПОСРЕДСТВОМ ФОРМИРОВАНИЯ И РАЗВИТИЯ ИХ АЛГОРИТМИЧЕСКОЙ КУЛЬТУРЫ 68
2.1. Методика обобщающего повторения математики посредством формирования и развития алгоритмической культуры учащихся (аку) . 68
2.2. Методика итогово-систематизирующего обобщающего повторения математики на школьном спецкурсе 79
2.3. Методика применения алгоритмического подхода при обобщающем Повторении решений неравенств 90
2.4. Ажоритмической подход к построёнию-графиков функций в процессе обобщающего повторения 111
2.5. Развитие творческого мышления учащихся посредством алгоритмизации 122
Выводы ПО ВТОРОЙ ГЛАВЕ 128
ГЛАВА III ОПИСАНИЕ И РЕЗУЛЬТАТЫ ОПЫТНО-ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ РАБОТЫ 130
3.1 Опытно-экспериментальная работа на констатирующем и поисковом этапах педагогического эксперимента 130
3.2. Описание и результаты,обучающего этапа педагогического эксперимента 134
3.3. Результаты педагогического эксперимента 148
Выводы по ЭКСПЕРИМЕНТУ 155
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 157
БИБЛИОГРАФИЯ 162
ПРИЛОЖЕНИЯ 179
- Основные требования к качеству математического образования выпускников средней школы
- Методика обобщающего повторения математики посредством формирования и развития алгоритмической культуры учащихся (аку)
- Опытно-экспериментальная работа на констатирующем и поисковом этапах педагогического эксперимента
Введение к работе
Развитие цивилизации повышает требования к выпускникам школ, к качеству их математического образования в связи с необходимостью овладения наукоемкими технологиями и специальностями. Рыночная экономика, современные общественные отношения требуют от членов общества способности адаптироваться к постоянно меняющимся условиям, в частности связанным с процессами интенсивного внедрения вычислительной техники. Достигнуты определенные успехи в развитии информационных технологий, требующих владения современными компьютерами, высокой алгоритмической культурой. Выпускники школы должны достаточно хорошо знать математику не только на уровне расчетов и создания простейших моделей, но и на более высоком теоретическом уровне. Решению этой проблемы в настоящее время способствует взаимодействие фундаментальной науки, информационных технологий в образовании и новых возможностей трансляции образовательных инноваций через средства типа INTERNET.
Проблема повышения качества математического образования учащихся не нова, ею занимались многие исследователи, работающие в области обучения математике. Решение теоретических и практических аспектов этой проблемы опирается на работы психологов, дидактов (П.Я.Гальперин, В.В.Давыдов, Д.Б.Эльконин, Р.Зинц, З.И.Калмыкова, А.Н.Леонтьев, Я.А.Пономарев, С.Л.Рубинштейн, Ю.А.Самарин, Н.Ф.Талызина, Л.М.Фридман, Ж.Пиаже, Ю.К.Бабанский, М.Ф.Данилов, Л.Б.Иттельсон, Л.Н.Ланда, Дж.Брунер и др.) и методистов (В.М.Монахов, В.А.Далингер, А.А.Столяр, В.И.Крупич и др.).
Теоретические вопросы качества образования разрабатывались И.Я.Лернером, М.Н.Скаткиным, Т.И.Шамовой, И.И.Кулибабой и другими.
Важнейшими звеньями процесса обучения математике являются моделирование и алгоритмизация. Уже более четверти века многие ученые ведут активный поиск решения проблемы повышения эффективности обучения
посредством алгоритмизации и моделирования. Наиболее значимые результаты в этом направлении были получены при обучении курсу математики средней школы.
Исследованием совершенствования процесса обучения учащихся математике посредством алгоритмизации занимались В.М.Монахов, В.А.Далингер, М.П.Лапчик, Ю.А.Макаренков, И.Н.Антипов, А.А.Михно, А.А.Столяр, Л.П.Червочкина и др. Один из первых фундаментальных трудов, посвященных алгоритмизации обучения, был опубликован в 1966 г. Л.Н.Ланда [80]. Им дано определение алгоритмического подхода в обучении, а также его психолого-педагогическое обоснование.
Понятию алгоритма и его применению в обучении математике посвящены исследования Ю.А.Макаренкова [88], Р.Д.Раковер [131] и ряда других.
Определение алгоритмической культуры учащихся (АКУ) дал М.П.Лапчик [83] в 1974 г. Им же выделены ее основные компоненты, а также проанализирована алгоритмическая линия школьного курса математики ([84], [82], [81]). В частности, в изучении числовых систем учащимися 4-5-х классов эта линия рассмотрена Е.И.Жилиной [57]. Изучался также процесс формирования у учащихся навыков овладения общими методами решения математических задач на основе алгоритмизации (В.А.Далингер, А.А.Ляпунов, А.А.Михно, И.В.Роберт, М.В.Крутихина и др.).
Процесс формирования АКУ исследовали В.М.Монахов, М.П.Лапчик, Л.П.Червочкина и другие. Этой проблеме посвящено пособие для учителя [106]. Анализ содержания курса математики 8-летней школы с целью определения возможной структуры методической системы формирования основных элементов алгоритмической культуры школьников проведен А.П.Червочкиной [164].
Необходимо отметить выдающиеся заслуги А.П.Ершова во введении информатики в школьное образование.
Процесс формирования общих алгоритмических умений учащихся при обучении математике в средних специальных учебных заведениях изучался А.А.Михно [102]. Методику обучения слушателей подготовительного отделения выбору учебного алгоритма представила Е.И.Скафа [138]. Алгоритмические аспекты и подходы в обучении математике, в частности, алгебре и элементарным функциям, рассматривались в кандидатской диссертации Б.Д.Раковер [131], а также в работе И.Г.Шеина, посвященной обучению математике учащихся 4-5-х классов и алгебре 8-летней школы [168]. Вопросами формирования обобщенных умений учащихся 6-8-го класса решать геометрические задачи занималась Г.Н.Глыва [29], а алгоритмический подход в обучении геометрии учащихся 6-8-го класса исследовала Л.И.Боженкова [14].
Несмотря на многочисленные исследования, проблема повышения качества математического образования учащихся посредством формирования и развития их алгоритмической культуры полностью еще не решена, в частности, недостаточно изучены возможности применения алгоритмического подхода в процессе обобщающего повторения математики, являющемся важнейшим этапом для систематизации знаний, перехода их качества на более высокий уровень.
Опыт работы в школе и на подготовительном отделении (ПО)
педуниверситета, беседы с учителями-практиками, анализ результатов
констатирующего эксперимента и вступительных экзаменов по математике
абитуриентов Новосибирского государственного педагогического
университета показали, что большая часть старшеклассников обладает низким и средним уровнем математической и алгоритмической культур, качество математической подготовки учащихся недостаточно высокое. Это противоречит потребностям современного общества, переходящего к информационным технологиям.
Все вышеизложенное обусловливает актуальность нашего диссертационного исследования, посвященного проблеме повышения качества
математического образования старшеклассников и слушателей подготовительного отделения на этапе обобщающего повторения.
Целью нашего исследования является выявление зависимости качества математического образования учащихся от уровня развития их алгоритмической культуры, а также разработка методики проведения обобщающего повторения школьного курса математики с широким применением алгоритмизации.
Все вышеизложенное обусловливает актуальность нашего диссертационного исследования, посвященного проблеме повышения качества математического образования старшеклассников и слушателей подготовительного отделения, на этапе обобщающего повторения.
Анализ теоретических исследований и практических потребностей образования, собственный практический опыт и результаты поискового эксперимента позволили сформулировать гипотезу исследования:
целенаправленное формирование и развитие алгоритмической культуры учащихся в процессе обобщающего повторения математики обеспечивает повышение качества их математического образования.
Методика проведения обобщающего повторения школьного курса математики посредством формирования и развития алгоритмической культуры учащихся разработана нами на базе содержательного и процедурного подходов с учетом ориентировочной основы деятельности и таких принципов, как системность и последовательность, объемность связей. Базовыми для исследования являются также принципы оптимального сочетания между содержанием учебного предмета, обучающей и воспитывающей деятельностью преподавателя и учебно-познавательной деятельностью обучаемых (между целями, содержанием, формами, методами и средствами обучения).
При целенаправленном формировании и развитии АКУ в процессе обучения математике особую роль играют осмысление задачи, анализ ее содержания, четкое выделение исходных данных и искомых результатов,
выявление связей между данными и искомыми, построение процесса преобразования исходных данных в искомый результат.
Объект исследования: процесс обобщающего повторения школьного курса математики.
Предмет исследования: процесс формирования и развития алгоритмической культуры учащихся на основе алгоритмического подхода при обобщающем повторении школьного курса математики.
Для достижения поставленной цели и проверки гипотезы исследования необходимо было решить следующие задачи:
1. Провести анализ психолого-педагогической и методической
литературы по проблемам, связанным с алгоритмизацией и моделированием
при обучении математике, в частности, при ее обобщающем повторении, а
также по проблемам повышения качества математического образования.
Уточнить содержание понятия алгоритмической культуры учащихся. Выделить уровни алгоритмической компетентности учащихся.
Выявить особенности методики проведения обобщающего повторения школьного курса математики посредством формирования и развития алгоритмической культуры учащихся, ориентированной на повышение качества их математического образования.
4. Построить систему алгоритмов и моделей решений задач по
некоторым темам курса математики средней школы на базе имеющихся
учебных пособий и дидактических материалов.
5. Провести опытную апробацию и оформить результаты исследования.
Для решения поставленных задач в процессе работы над диссертацией
применялись следующие методы и приемы исследования:
- сопоставительный метод (при изучении и анализе философских, психолого-педагогических и научно-методических исследований, посвященных проблемам повышения качества математического образования и формированию алгоритмической культуры учащихся; при анализе
государственных образовательных стандартов, Закона об образовании, действующих программ и других нормативных документов, учебных пособий и дидактических материалов по математике, информатике и другим школьным предметам);
экспериментальный метод (проведение педагогического эксперимента с целью уточнения и проверки основных положений гипотезы на ПО Новосибирского государственного педагогического университета и в школах Новосибирска и области);
тестирование, анкетирование, беседы с учащимися и учителями;
различные методы статистической обработки результатов эксперимента.
Методологическая основа исследования - основные положения теории познания.
Теоретической основой исследования явились концепции учебной деятельности В.В.Давыдова, Д.Б.Эльконина, П.Я.Гальперина и других, теории активизации учения школьников и качества обучения И.Я.Лернера, М.Н.Скаткина, И.И.Кулибабы, Т.И.Шамовой и других, теория моделирования и основы алгоритмического подхода к обучению математике, заложенные Л.Н.Ланда, В.М.Монаховым, В.А.Далингером, М.П.Лапчиком, Л.М. Фридманом и другими.
Теоретическая значимость и научная новизна исследования:
1) уточнение понятия алгоритмической культуры учащихся в соответствии
с современным состоянием информатизации общества, выявление взаимосвязи
между моделями и алгоритмами решений математических задач;
2) раскрытие методических условий применения алгоритмического
подхода в процессе обобщающего повторения школьного курса математики,
ориентированного на повышение качества математического образования;
3) возможность использования основных положений диссертации при
разработке новых учебных курсов школьной математики (в частности,
интегрированных с информатикой), при написании учебных пособий, программ и т.д. как для основного курса, так и для спецкурсов.
Достоверность и обоснованность полученных в диссертационной работе результатов и выводов обеспечивается опорой на результаты современных психолого-педагогических, дидактико-методических и методологических исследований; анализом различных подходов к проблеме повышения качества математического образования учащихся посредством формирования и развития их алгоритмической культуры, использованием разнообразных методов исследований, адекватных поставленным задачам; проверкой разработанной методики на практике. Результаты теоретического исследования и экспериментального обучения подтвердили выдвинутую в диссертации гипотезу.
Практическая значимость работы обусловлена выявленными методическими условиями проведения обобщающего повторения математики посредством формирования и развития АКУ, созданием конкретных алгоритмов и моделей решений задач школьного курса математики, обеспечивающих повышение качества математического образования, укреплением и расширением межпредметных связей, более высокой адаптированностью учебного процесса к новым педагогическим технологиям и системам обучения (в первую очередь, профильной, разноуровневой и дистанционной). Учебное пособие, разработанное с участием автора, а также конкретные алгоритмы применяются учителями в практике работы школ, их могут использовать выпускники и абитуриенты при подготовке к выпускным и вступительным экзаменам.
На защиту выносятся: - теоретическое и экспериментальное обоснование зависимости качества математического образования учащихся от уровня развития их алгоритмической культуры;
методика проведения обобщающего повторения школьного курса математики на основе формирования и развития алгоритмической культуры учащихся;
система алгоритмов по конкретным темам школьного курса математики и особенности их создания;
уточнение содержания понятия алгоритмической культуры учащихся;
уровни сформированное алгоритмической культуры учащихся (репродуктивный, конструктивный и творческий) и методические рекомендации по дифференцированному обучению математике с их учетом.
Апробация и внедрение результатов исследования. Основные теоретические и практические положения исследования докладывались на международных, республиканских, областных и районных конференциях, в том числе:
Втором Сибирском Конгрессе по прикладной и индустриальной математике (INPRJJM-96, Новосибирск, 1996);
международных научно-методических конференциях "Новые информационные технологии в университетском образовании" (Новосибирск, 1995, 1996);
международных конференциях "Развитие личности в системе непрерывного образования" (Новосибирск, 1995,1997);
X Республиканской научно-практической конференции (Омск, 1993); XI Республиканской научно-практической конференции Регинформ-93 (Пермь, 1993);
научных конференциях преподавателей НГПИ и НГПУ (1991-1997);
научно-методических семинарах и заседаниях кафедр математической логики и информатики, геометрии и методики преподавания математики НГПУ; методических объединениях учителей математики Новосибирска и области (1987-1997 гг.).
- методических объединениях учителей математики (Новосибирск: 1987— 1997, г. Обь: 1990-1997 и г. Куйбышев Новосибирской области: 1994-1997), курсах повышения квалификации учителей. Экспериментальная работа проводилась лично автором и под его руководством на подготовительном отделении НГПИ (1985-1993) и НГПУ (1993-1997), в общеобразовательных и специализированных школах (№№ 98 и 189 (1987-1996), Аэро-Космический Лицей (АКЛ) Новосибирска (1995-1997), № 60 г.Обь (1989-1997 г.г. совместно с учителем Л.Я.Бородой ), № 1 г. Куйбышев Новосибирской области (1995 -1997 гг. совместно с учителем Л.Б.Голомаздиной).
Автором прочитаны спецкурсы по тематике диссертационного исследования студентам математического факультета Новосибирского государственного педагогического университета (1994, 1995, 1996 и 1997 гг.), учителям на курсах повышения квалификации в Новосибирске и г. Куйбышеве Новосибирской области, лекции на августовских педагогических конференциях, на методическом объединении (кафедре) учителей математики г. Обь. В течение 1996/1997 учебного года автором осуществлялось научное руководство школой-лабораторией опытно-экспериментальной работы по углубленному изучению предметов естественно-математических дисциплин в школе при Первомайском РОНО Новосибирска.
По результатам исследования опубликовано 14 работ.
В соответствии с гипотезой и задачами исследования был проведен педагогический эксперимент, в котором выделялись три этапа констатирующий, поисковый и обучающий.
Краткое содержание работы.
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, библиографии и приложений.
Во введении обоснована актуальность темы исследования, сформулированы проблема, цель и гипотеза исследования, частные задачи, определены объект, предмет. Освещены основные методы, приемы и этапы
исследования, раскрывается научная новизна и показывается теоретическая и практическая значимость работы, излагаются основные положения, выносимые на защиту.
Первая глава "Теоретические основы обучения учащихся математике посредством формирования и развития алгоритмической культуры" посвящена обзору работ исследователей по проблемам обучения школьному курсу математики с точки зрения алгоритмизации и моделирования. Здесь сформулированы требования к алгоритмическим умениям выпускников школ и качеству их математического образования. Рассмотрены понятия "алгоритм", "алгоритмическая культура учащихся", "модель" и "моделирование", их место в учебной деятельности. Уточнено содержание понятия АКУ в соответствии с современным состоянием информатизации общества добавлением еще одного компонента. Здесь же раскрыта суть алгоритмического подхода, рассмотрены общие приемы формирования алгоритмической культуры учащихся при обучении математике, ориентированные на повышение качества их математического образования.
Во второй главе изложены теоретические и методические основы обобщающего повторения математики, сформулированы принципы отбора заданий для обобщающего повторения, представлена программа спецкурса (факультатива) для школьников, имеющего своей целью повторение и углубление их знаний, рассмотрены особенности соответствующей методики на примере повторения прогрессий, решений неравенств, построения графиков функций. Рассмотрена система алгоритмов и моделей решения задач (а также методы и приемы их разработки), ориентированная на повышение качества математического образования. Показано, что навыки построения алгоритмов и моделей решений задач являются необходимым условием творческого развития учащихся.
В третьей главе диссертационного исследования сформулированы задачи констатирующего, поискового и обучающего этапов педагогического
эксперимента, дано описание опытно-экспериментальной работы, приведены результаты статистической обработки данных, сделаны выводы по их итогам. Рассмотрена на конкретных примерах методика алгоритмического подхода к обобщающему повторению математики, апробированная на практике.
Основные требования к качеству математического образования выпускников средней школы
Математика является важным элементом человеческой культуры, она становится все более значимой во всех отраслях и сферах человеческой деятельности, в первую очередь, в науке и современном производстве. Нарастающее значение математики в жизни современного общества понятно не только математикам и преподающим эту науку. Большая часть курса математики средней школы имеет либо непосредственное приложение на практике, либо является основанием для других научных областей, поэтому качество математического образования учащихся должно быть на достаточно высоком уровне.
Понятие "образование" (в широком смысле) - "это сложная категория, раскрываемая через систему определений, отражающих два взаимодополняющих класса оснований - социоцентристских (культуроцентристских) и человекоцентристских (антропоцентристских).
Социоцентристсте определения образования:
- механизм воспроизводства общественного интеллекта и его основных составляющих - науки, культуры и образования;
- способ трансляции социокультурного опыта из поколения в поколение в общественно организованных формах - социогенетический механизм развития;
- духовное, образовательно-педагогическое воспроизводство человека;
- общественный институт социального наследования культуры, искусства, науки, ценностей, нравственности, духовности, национально-этнического архетипа, стандартов образованности, знаний.
Человекоцентристские определения образования:
- способ развития человека (социализации человека, трансформации его в личности) через общественно организованную совокупность коммуникаций и деятельностей разных типов: с учителями и учениками; с книгами (содержащими знания о прошлом и настоящем социокультурном опыте человечества), с современными компьютерными информационными системами - хранителями и генераторами знаний; с организованной социальной практикой;
- целенаправленный процесс обучения, воспитания и образования в узком смысле (как трансляции знаний) в интересах личности, сопровождающийся констатацией достижения гражданином образовательных уровней (или образовательных цензов)" [111, с. 16].
Эта система определений полно отражает все многообразие подходов и возможных трактовок понятия образования в широком смысле. В нашем исследовании понятие "образование" будет рассматриваться в основном в узком смысле, определяемым в одном из учебных пособий по педагогике для педвузов следующим образом: "Образование - овладение обучающимися научными знаниями, практическими умениями и навыками, развитие их умственно-познавательных способностей, мировоззрения, нравственности и общей культуры" [120, с. 100].
Данной трактовки этого понятия мы и будем придерживаться. Цели и задачи образования, согласно В.В.Давыдову, состоят "в единстве обучения и воспитания школьников, формировании знаний как убеждений, развитии у школьников основ диалектического мышления, привитии умения самостоятельно ориентироваться в знаниях и применять их на практике" [37,с.Ю].
Методика обобщающего повторения математики посредством формирования и развития алгоритмической культуры учащихся (аку)
При обучении любому предмету, а особенно математике, необходимы всевозможные повторения, т.е. воспроизведения ранее усвоенных знаний, умений и навыков с целью их закрепления, совершенствования и применения в новых ситуациях. В дидактико-методической литературе существуют разные классификации повторений учебного материала. Так, В.А.Далингер привел 5 разных классификаций видов повторений: по основной дидактической цели, по временному признаку, по частоте использования, по характеру мыслительной деятельности учащихся, по месту в процессе обучения. Обобщающее повторение он считает "средством формирования новых знаний с важными и сложными системами связей. Оно побуждает учащихся систематизировать ранее изученный материал, соотнеся новые сведения с уже имеющимися" [41, с. 5].
Среди обобщающих повторений выделяют тоже несколько видов, например, обобщение и систематизация знаний учащихся в начале учебного года, при завершении изучения темы или раздела и на этапе заключительного повторения в конце учебного года или изучаемого курса. В работе Т.А.Сентябовой [136] последнее названо итогово-систематизирующим. Обобщающее итогово-систематизирующее повторение проводится на завершающем этапе изучения основных вопросов курса математики и осуществляется в логической связи с изученным материалом по данным разделам курса. Следуя В.А.Далингеру, обобщающее повторение можно рассматривать на уровне понятий, на уровне системы понятий и на уровне теорий [41].
Для повышения качества математического образования выпускников школ важнейшую роль играет обобщающее повторение, и, в первую очередь, итогово-систематизирующее обобщающее повторение, которое может осуществляться как на обычных уроках, так и на занятиях спецкурса (факультатива). Мы будем рассматривать в данной работе только итогово-систематизирующее обобщающее повторение математики на школьном спецкурсе (факультативе) или на занятиях по математике со слушателями подготовительного отделения педуниверситета, так как все занятия по математике для слушателей подготовительного отделения педвуза фактически тоже носят характер обобщающего повторения.
Для выяснения сути обобщающего повторения необходимо предварительно рассмотреть смысл понятия "обобщение", имеющего важное значение в теории познания. Следуя Н.И.Кондакову: "Обобщение - мысленное выделение каких-нибудь свойств, принадлежащих некоторому классу предметов, и формулирование такого вывода, который распространяется на каждый отдельный предмет данного класса: переход от единичного к общему, от менее общего к более общему" [69, с. 395]. Некоторые философы (например, Д.П.Горский) разделяют обобщения на синтетические (результат анализа опыта, применения индуктивных процедур) и аналитические (мыслительные, основывающиеся на понимании языковых выражений, определений и применения к ним правил дедукции). В психологии обобщение трактуется неоднозначно. С.Л.Рубинштейн выделяет функцию обобщений как свойство общих умственных способностей [134]. В.В.Давыдов считает, что обобщение возникает как интериоризация внешних процессов, которые подвергаются специфическим трансформациям, становясь способными к дальнейшему развитию [36, с.84].
Процесс развития способности к обобщениям при обучении реализуется на нескольких уровнях. На низших ступенях он имеет в своей основе элементарные формы выделения общего в ряде объектов, процессов и явлений. На высших ступенях развитие способности к обобщению происходит через раскрытие связей и отношений, находящихся как в линейной, так и в объемной системе зависимостей между объектами, процессами и явлениями. Обобщение и систематизация осуществляются в процессе мыслительной деятельности, на первом этапе которой происходит выделение существенных свойств объектов, процессов или явлений. На втором этапе устанавливается некоторая совокупность связей между ними, на третьем этапе - общие закономерности этих явлений, процессов и свойств объектов.
В.А.Крутецкий, рассматривая особенности индивидуального развития учащихся, выделяет пять уровней их способностей к обобщению:
а) нулевой уровень - учащиеся не могут самостоятельно сравнивать и обобщать даже простейшие математические объекты и действия;
б) первый уровень - обобщения учащихся основаны на сравнении и сопоставлении ряда объектов с помощью учителя, анализ сводится к выделению одинаковых, наглядно воспринимаемых признаков (эмпирическое сравнение);
в) второй уровень - умение учащихся сравнивать в сочетании с анализом признаки, установление их иерархии характерным для обобщения способом, но с помощью учителя;
г) третий уровень - обобщение учащимися осуществляется на основе глубокого анализа, контролируемого сравнением, но на более узкой базе и с помощью учителя;
д) четвертый уровень - собственно способность учащихся к обобщению, понимаемая как "обобщение с места" на основе глубокого самостоятельного анализа существенных свойств и отношений одного объекта без сравнения с другим [77].
Выделенные уровни необходимо учитывать при организации дифференцированного обучения, в частности, при подборе учебных заданий, выборе приемов обучения, а также отслеживании динамики показателей качества знаний различных групп учащихся.
Как известно, основным средством формирования учебной деятельности, средством достижения сознательности усвоения понятий являются задачи. Вопросы применения моделирования и алгоритмизации при решении задач были рассмотрены в пункте 1.4. Поскольку функции задач реализуются в их совокупности, то сформулируем некоторые принципы отбора заданий с целью обобщения и систематизации знаний учащихся в процессе повторения математики, резюмируя теоретические и методические разработки многих авторов ([70], [144], [161], [173] и т.д.) и собственный практический опыт.
Опытно-экспериментальная работа на констатирующем и поисковом этапах педагогического эксперимента
Серьезной методической проблемой можно считать формирование одного из элементов математической культуры учащихся - умения работать с графиком функции: представлять по ее аналитическому выражению график или схему построения графика и обратно - по графику функции определять основные ее свойства, судить о характере аналитического выражения, имеющего данный график, и решать другие задачи. В средней школе уделяется достаточно много внимания вопросам построения графиков функций (см., например, [112]). После изучения темы "Производная и ее применение" у школьников появляется мощное дополнительное средство для решения этих задач. Заложенная на уроках алгебры и геометрии база позволяет существенно расширить возможности учащихся в технике построения графиков. Данным вопросам посвящаются публикации многих методистов и ученых-математиков, например, И.М.Гельфанд [27], А.А.Столяр[144] и других.
Создание такого сорта алгоритмов дает мощную подпитку развитию у учащихся навыков моделирования решения задач. Рассмотрим ряд примеров, позволяющих проиллюстрировать сказанное выше в отношении построения графиков функций. Для достаточно большого класса функций, рассматриваемых в школе, можно предложить довольно простые алгоритмы построения их графиков.
Многие учителя математики отмечают затруднения учащихся при решении задач с "модулем", в частности, при построении графиков функций, аналитические выражения которых содержат знак модуля. Рассмотрим, например, функцию, являющуюся линейной комбинацией выражений, содержащих под знаком модуля многочлены первой степени от одной переменной: у=0\ I х-Х\ \ +а21 х-х2 I +...+ап \ х-х„ \ +аоХ+Ь, (4) где аи Xj (/=0,1,...,п) и Ъ - заданные числа.
Функцию (4) будем называть линейной комбинацией модулей от линейных функций.
Алгоритм построения графика этой функции опирается на три факта:
1) знак значения линейной функции один и тот же для любых аргументов, лежащих по одну сторону от корня этой функции;
2) опустив модули на промежутке, не содержащем корни подмодульных выражений, получаем линейную функцию;
3) график линейной функции на промежутке строится по двум различным точкам, абсциссы которых взяты из данного промежутка.
