Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. ОБУЧЕНИЕ, НАЦЕЛЕННОЕ НА КУЛЬТУРНОЕ ПОНИМАНИЕ ПРЕДЕЛЬНОГО ПЕРЕХОДА В СТАРШЕЙ ШКОЛЕ.. 17
1. Изучение предельного перехода в старшей школе в концепции понимания 17
1.1. Постановка проблемы понимания начал математического анализа в старшей школе 17
1.2. Современное состояние обучения пределу функции в точке в старшей школе 23
2. Содержательный анализ метода предельного перехода 29
2.1. Определения предела функции в точке 30
2.2. Содержательный анализ понятия «предельный переход» 33
3. Нацеленность на культурное понимание при обучении предельному переходу в старшей школе 62
4. Интерпретация как главное условие достижения понимания предельного перехода 65
4.1. Смысл и значение математического выражения 66
4.2. Интерпретация как основное условие обучения, нацеленного на понимание предельного перехода 69
4.3. Семантические поля как средство достижения понимания предельного перехода 81
ВЫВОДЫ ПО I ГЛАВЕ 90
ГЛАВА II. МЕТОДИКА СОЗДАНИЯ УСЛОВИЙ ДЛЯ ПОНИМАНИЯ ШКОЛЬНИКАМИ ПРЕДЕЛЬНОГО ПЕРЕХОДА 92
5. Методика использования интерпретации для достижения житейского уровня понимания предела функции в точке 92
6. Условия достижения понимания предельного перехода в старшей школе 98
6.1. Достижение базисного уровня понимания предельного перехода 98
6.2. Методические рекомендации по обучению пределу функции в точке на предметном уровне понимания 108
7. Результаты эксперимента 113
Заключение 134
- Изучение предельного перехода в старшей школе в концепции понимания
- Методика использования интерпретации для достижения житейского уровня понимания предела функции в точке
- Условия достижения понимания предельного перехода в старшей школе
Введение к работе
На современном этапе основным направлением развития школьного математического образования становится идея гуманизации, которая подразумевает новые отношения между учащимся и предметом. Цель данного подхода состоит в том, чтобы обеспечить развитие и саморазвитие учащегося; сформировать личностно значимые для него знания и способы деятельности; способствовать образованию интегративного взгляда на всю математику
Для того чтобы реализовать гуманитарный подход в школьном обучении, необходимо разрешить противоречие между высоким уровнем абстракции понятий математики и субъектным опытом школьника Особенно это важно при изучении начал математического анализа в школе. Выйти из данного противоречия возможно, если процесс учебной деятельности при изучении начал математического анализа ориентировать не только на усвоение значений понятий, но и на поиск смысла, на достижение культурного понимания (В П Зинченко). Культурное понимание нацелено на решение мыслительных задач, которые составляют суть математической деятельности Понимающее обучение отличается от объяснительного активностью и самостоятельностью учащихся, нацеленных на раскрытие внутренних связей предмета.
Изучение начал математического анализа в старшей школе связано с рядом трудностей С одной стороны, это высокий уровень абстракции математических понятий, сложная структура определений, недостаточность учебного времени для осмысления вопросов, а значит, зачастую формальный характер изучения материала. С другой стороны, это появление совершенно новых для школьника идей математического анализа (предельного перехода, бесконечности, дискретности, непрерывности и тп), связанных с универсальными проблемами движения, развития, поисками характеристик сложных объектов, прогнозированием будущего и г.д. Так, структура определения предела числовой функции в точке носит родовидовой характер Родовая характеристика его - число Но видовые отличия не всегда конструктивно (операционно) соединены. И использовать это определение для операции нахождения предела функции или для доказательства существования предела непосредственно не представляется возможным Необходимо в ситуациях, обеспечивающих понимание данного понятия, раскрыть его смысл Нам представляется, это подтвердил наш эксперимент, будет более продуктивно и экономично раскрыть смысл, суть метода предельного перехода, его существенные характеристики (идеи изменения, стремления, непрерывности, близости) на материале предела функции в точке.
Анализ научно-методической литературы показал, что ранее были попытки найти пути постижения математического смысла предела функции в точке Но исследования проводились в контексте предметного подхода, а не гуманитарного Представленные в о|и»яшитеяьной^нкевдеиции, они были направлены на анализ особа иосТей фЬрмадьнбі э изложения
і—„г..
математического материала без особого учета как идей действия предельного перехода, так и субъектного опыта учашегося. Были разработаны различные способы введения понятия предела функции в точке: на языке последовательностей (В.Е Шумов, 1980); на основе направленного множества (В.В Рыжов, 1980), на основе использования топологических структур, в частности, окрестностей (ГМ. Серегин, 1978; Э.К. Брейтигам, 1982); на основе использования графического языка (Г.Т. Юртаева, 1978, АН Земляков, 1977-1980) и др. Характер исследований диктовался, преимущественно, математическим аспектом изучаемого понятия, а не личным опытом школьника, не нацеленностью на достижение понимания Математический же аспект предельного перехода раскрывался в большей мере с алгебраической стороны, а не со стороны принципиальных особенностей анализа (идей изменения, стремления, непрерывности, близости и др.).
Современное состояние школьного обучения пределу функции в точке в частности и началам математического анализа вообще полно противоречий. В курсе математики общеобразовательной школы «предел функции в точке» не рассматривается как основное понятие математического анализа, а иногда предлагается вообще заменить алгебраической операцией, что противоречит смыслу данного понятия. Поэтому нельзя говорить об обучении, нацеленном на раскрытие внутренних связей начал математического анализа. Многие знания учащихся по началам математического анализа оказываются в итоге «чужими» для них, формальными.
Процессу понимания в традиционном обучении началам математического анализа чаще всего отводится вспомогательная, неосновная роль как эффективного средства для запоминания учащимся передаваемой ему учителем некоторой суммы математических знаний Но именно при обучении предельному переходу проблема понимания особенно актуальна. Во-первых, в курсе математики до изучения предельного перехода учащиеся уже встречаются с математическими понятиями, связанными с основным аналитическим действием, но рассматриваемыми в алгебраическом контексте Это и длина окружности, и действительное число, и площадь круга, и др Необходимо осмыслить их в аналитическом контексте. Во-вторых, в курсе начал математического анализа изучаются понятия производной и интеграла, основанные на действии предельного перехода. Без осмысления предельного перехода данные понятия раскрываются не с аналитической, а с алгебраической стороны, значит, не выполняют своего предметного значения. Проблема понимающего усвоения предельного перехода стоит и перед студентами, изучающими математический анализ.
Понимать предел функции в точке - значит осознавать математический смысл данного понятия (связь идей изменения, стремления, близости, непрерывности).
Таким образом, возможность разрешить проблему понимания учащимися (и студентами) такой абстракции высокого уровня как
предельный переход, попытаться найти средства обучения, помогающие достичь понимания, и определяет актуальность нашего исследования.
Исходя из названных положений, может быть сформулирована проблема исследования' поиск методических средств, создающих условия для понимания учащимися предельного перехода.
Цель исследования состоит в разработке методики использования этих средств при изучении предельного перехода в старшей школе.
Объект исследования процесс изучения начал математического анализа в старшей школе.
Фундаментом обучения, содержательно направленного на достижение понимания, выступает связь идей, смысл Смысл предельного перехода есть система содержательных связей и отношений, которые устанавливаются самим учащимся. Создать условия для раскрытия смысла возможно с помощью разнообразных интерпретаций, состоящих из задач и заданий к ним, включающих действия по смыслообразованию (обратимые межъязыковые переводы, постановку вопросов и др.). Формой организации процесса смыслообразования выступает диалог.
Учитывая высокий уровень абстракции понятия предельного перехода, важно дифференцировать уровни его понимания: житейский, базисный и строгий (предметный). Базисный уровень, построенный на житейском, выявляет основные идеи предельного перехода в математике. Данный уровень является фундаментом для следующего уровня понимания, строгого или предметного, раскрывающего строгий математический смысл изучаемого понятия (например, определений по Коши, по Гейне, на языке окрестностей и т.д.)
Интерпретация выступает в качестве основного условия для самостоятельного «вычерпывания» учащимся идей, раскрывающих математический смысл изучаемого понятия. Цель интерпретации - показать, раскрыть определённую сторону математического смысла такого многоаспектного понятия как «предельный переход». Поэтому именно совокупность интерпретаций даст возможность учащемуся выявить все разнообразные смысловые связи в изучаемом понятии. Совокупность фактов, связей между ними, смысловых связей составляет семантическое поле понятия. Чтобы учащийся мог совершить переход от житейских представлений о пределе к строгому математическому понятию предела функции в точке, необходимо говорить о последовательности семантических полей житейского, базисного и предметного уровпей Последовательность семантических полей есть форма выражения результатов содержательного анализа. Содержательный анализ для понятия предельного перехода проводится с целью выделения главных идей. Поля всех уровней имеют общий «стержень» - основные идеи предельного перехода: изменения, стремления, близости, непрерывности
Предмет исследования - интерпретации, нацеленные на раскрытие смысла предельного перехода, с использованием обратимого межъязыкового перевода
Посредством разнообразных интерпретаций, объединенных в семантические поля того или иного уровня, актуализируется и систематизируется субъектный опыт учащихся, происходит осознание связей, обнаружение идей, то есть раскрытие смысла предельного перехода В качестве действий по смыслообразованию применяются обратимый межъязыковый перевод, вопросы и диалог.
В эксперименте участвовали учащиеся классов с углубленным изучением математики, но разного уровня подготовленности (по уровню предметных фоновых знаний и по уровню математического мышления).
Гипотеза исследования' организация диалога через использование интерпретаций, объединенных в семантические поля того или иного уровня, позволяет достичь различных уровней понимания предельного перехода в зависимости от разной подготовленности учащихся
В процессе исследования проблемы и проверки достоверности сформулированной гипотезы необходимо было решить следующие задачи:
На основе анализа философской, математической, психолого-педагогической, научно-методической литературы, содержания курсов математического анализа, изучения опыта работы учителей средних школ выяснить- а) особенности и основные уровни понимания магематических понятий и возможности учета этих особенностей в процессе обучения; б) возможность использования различных средств обучения абстракциям высокого уровня, позволяющих достичь понимания.
Установить уровни понимания школьниками (и студентами) смысла предельного перехода.
Разработать методику организации учебного материала и деятельности учащихся, нацеленную на достижение понимания понятия предела функции в точке (в зависимости от разной подготовленности учащихся).
Осуществить экспериментальную проверку разработанной методики
Для решения поставленных задач были использованы методы исследования:
изучение и анализ философской, математической, психолого-педагогической, научно-методической литературы по проблеме исследования;
анализ содержания школьного курса алгебры и начал математического анализа, вузовского курса математического анализа;
изучение опыта преподавания начал математического анализа в старшей школе и вузе и учебной деятельности школьников и студентов;
* организация и проведение констатирующего, поискового и обучающего экспериментов;
количественная и качественная обработка данных, полученных в ходе
экспериментов.
Исследование проводилось с 1998 по 2003 гг и включало три этапа. На первом этапе (1998-2000) осуществлялся анализ литературы и содержания школьного курса математики. Уточнена проблема исследования
и выявлены возможности использования различных действий, нацеленных на достижение понимания при изучении предельного перехода Проведена первая стадия констатирующего эксперимента. В результате были разработаны основные теоретические положения исследования
На втором этапе (2000-2001) в условиях поискового эксперимента был произведен отбор средств изучения предельного перехода, разработана методика использования этих средств Проведена первая стадия обучающего эксперимента для проверки достоверности выдвинутой гипотезы.
На третьем этапе (2001-2003) был продолжен обучающий эксперимент Обобщены экспериментальные результаты, сделаны выводы
Концептуальной основой исследования явились философские положения теории познания, положения теории деятельности в обучении, личностно ориентированная образовательная парадигма
Научная новизна и теоретическая значимость исследования заключаются в том, что
Обоснована возможность изучения в старшей школе предельного перехода на уровне культурного понимания.
Обоснован вывод, что изучение предельного перехода в старшей школе целесообразно только на уровне культурного понимания.
Разработаны и экспериментально проверены условия понимания понятия предельного перехода на различных уровнях К ним относятся содержательный анализ метода предельного перехода и выделение на его основе необходимых для школы идей - изменения, стремления, близости, непрерывности; интерпретации, составленные из различных задач и заданий к ним, включающие действия по смыслообразованшо (обратимый межъязыковый перевод, постановку вопросов, диалог) и объединяемые в семантические поля определенного уровня.
Практическая значимость исследования состоит в том, что-1. Предложена методика проведения содержательного анализа действия
предельного перехода. 2 Разработаны конкретные учебные материалы (задачи и задания к ним); примеры диалогового построения обучения; контрольные и самостоятельные работы для установления факта понимания
Все материалы могут быть использованы при обучении началам математического анализа в старшей школе и в вузе, нацеленном на достижение культурного понимания.
Достоверность результатов исследования обеспечивают разносторонний теоретический анализ проблемы и результаты экспериментальной проверки, подтвердившей на качественном уровне справедливость основных положений диссертации.
Апробация результатов исследования.
Результаты исследования докладывались на Герценовских чтениях в РГПУ им А И. Герцена (2000-2001); на методологических и научно-методических семинарах кафедры методики обучения математике РГПУ им А.И. Герцена (1999-2001); на V Международной конференции по проблемам
преподавания математики и физики в высшей и средней школе (Петрозаводск, 2000), на Научно-технической конференции профессорско-преподавательского состава, научных, инженерно-технических работников и аспирантов АГТУ (Архангельск, 2001); на III Российско-американской конференции по проблемам математического образования (С -Петербург, 2001); на XX Всероссийском семинаре преподавателей математики университетов и педагогических вузов (Вологда, 2001) Апробация работы осуществлялась в ходе экспериментальной работы в Архангельском государственном лицее № 19 им. MB Ломоносова; Архангельской городской гимназии № 3; средних общеобразовательных школах №№ 22, 43, 51 г Архангельска, в Поморском государственном университете им М.В Ломоносова, в Архангельском государственном техническом университете, в Российском государственном педагогическом университете им А И Герцена.
На защиту выносятся следующие положения:
Для достижения понимания школьниками предельного перехода необходимо выполнение следующих условий'
содержание интерпретаций, объединяемых в семантические поля определенного уровня, выстраивается на основе целостности, обусловленной главными идеями предельного перехода: изменения, стремления, близости, непрерывности;
для создания эффективных интерпретаций, состоящих из задач и заданий к ним, необходимо выполнять ряд требований:
задачи нацелены на вскрытие ведущих идей метода предельного перехода, свойств предела функции в точке, связей свойств;
в задачах используются различные формы предъявления содержания' графическая, символьная, вербальная, кинематическая и др, что позволяет использовать действия по смыслообразованию обратимый межъязыковый перевод, постановку вопросов, диалог;
3) соблюдение последовательности семантических полей от житейского к
базисному и далее к предметному уровню позволяет учащемуся
совершить осмысленный, самостоятельный переход от собственных
житейских представлений о пределе к строгому математическому
определению предела функции в точке
Изучение предельного перехода в старшей школе в концепции понимания
Принципиальной особенностью школьного математического образования на современном этапе развития становится идея гуманизации, подразумевающая новые отношения между учащимся и предметом. Переход в обучении математике от предметного подхода к гуманитарному, нацеленному на человека, происходит и в изучении начал математического анализа (НМА).
Предметный подход характеризуется тем, что на первом месте в процессе обучения поставлен предмет «математика», а сам учащийся - на втором. От учителя требуется, прежде всего, правильно донести учебный материал до школьника, пусть зачастую и формально. Данный подход реализуется в школе через объяснительное обучение, построенное на приоритете запоминания и повторения [94: 19].
Анализ результатов современных международных исследований состояния российского школьного математического образования свидетельствует об ориентации преимущественно на предметный подход при обучении НМА [74]. Так, результаты международных исследований иллюстрируют направленность российской системы математического образования на высокий уровень знания фактов, усвоения навыков использования известных процедур в знакомых ситуациях, т.е. на выполнение заданий репродуктивного характера, отражающих овладение предметными знаниями и умениями. В то же время выявлены явно низкие результаты «при проверке понимания содержательного смысла математических понятий и при решении задач» и, как следствие, сравнительно низкий уровень развития интеллектуальных умений, связанных с решением творческих задач, интеграцией знаний, их применением в новых ситуациях [74: 82-83].
В центре гуманитарного подхода находится учащийся с его личным опытом, с его психологическими особенностями. Цель ориентации «математика для ученика» состоит в том, чтобы обеспечить развитие и саморазвитие учащегося; сформировать личностно значимые для него знания и способы деятельности; способствовать формированию единого интегративного взгляда на всю математику.
Изучение НМА в старшей школе связано с множеством трудностей. С одной стороны, это и высокий уровень абстракции математических понятий, и сложная структура определений, и недостаточность учебного времени для осмысления вопросов, а значит, зачастую формальный характер предъявления учебного материала. С другой стороны, в данном курсе появляются совершенно новые для школьника идеи - математического анализа (предельного перехода, бесконечности, дискретности и непрерывности и т.п.). Так, структура определения предела числовой функции в точке носит родовидовой характер. Родовая характеристика его - есть число, видовые отличия не конструктивны. Данного свойства для раскрытия смысла такого многообразного понятия явно не достаточно. Использовать это определение для операции нахождения предела функции или для доказательства существования предела непосредственно не представляется возможным. Важно осмыслить свойства, имеющие и операционную, и не операционную природу. Необходимо в ситуациях, обеспечивающих понимание данного понятия, раскрыть его смысл.
Для того чтобы в школьном обучении реализовать гуманитарный подход, необходимо разрешить противоречие между высоким уровнем абстракции понятий математического анализа и субъектным опытом школьника. Объяснение при традиционном обучении математике строится, по словам В.П. Зинченко, на «фундаменте значения», а не смысла знания [58]. Чтобы выйти из противоречия между субъектным опытом учащегося и формальным изложением НМЛ, надо найти пути постижения математического смысла изучаемых понятий. Тогда обучение будет нацелено, прежде всего, на осознание математического материала, на понимание, на выявление смысла знания, а не на запоминание определенной суммы математических знаний. Здесь понимание выступает как средство и как цель при обучении математике. Реализация понимающего усвоения отличается активностью и пристрастностью учащихся, выстраивающих знания в совместном с учителем диалоге. Следует отметить, что при таком усвоении запоминание принимает непроизвольной характер, ибо «...в запоминающей системе записывается не материал нашего опыта, а смысл этого материала. Люди стараются не столько запомнить, сколько понять» [86: 414].
Методика использования интерпретации для достижения житейского уровня понимания предела функции в точке
Цель создания семантического поля житейского уровня состоит в актуализации и систематизации знаний о пределе из субъектного опыта учащихся.
Прежде всего, для создания семантического поля житейского уровня каждому учащемуся могут быть предложены задания для актуализации житейских представлений о пределе, описанные выше в первой главе (гл. I, 4, п. 4.3, пр. 4.8). Далее в диалоге упорядочиваются актуализированные житейские представления учащихся о пределе, конкретизируются различия и сходства житейского и научного понятия, которые обусловят противопоставление или опору на житейские понятия для дальнейшего понимания. Диалог может быть построен следующим образом.
Учитель: Используя составленные предложения, приведите примеры ситуаций, когда можно говорить о существовании или несуществовании предела.
Учащиеся: Например, при приближении поезда к вокзалу расстояние между поездом и вокзалом уменьшается. В процессе приближения изменяется и скорость поезда - стремится к нулю. Предельное положение поезда -есть место остановки, состояние покоя, «поезд стоит». Предельное расстояние и предельная скорость равны нулю.
Жизнь человека имеет предел - смерть. Урок математики тоже имеет предел, урок закончится, когда прозвенит звонок. Терпение имеет предел -состояние нетерпения («Мое терпение лопнуло!»). Рост цен на товары не имеет предела. Компьютер - это предел моих мечтаний, т.е. буду мечтать о компьютере до тех пор, пока его не получу. И т.д.
Учитель: С какими словами «предел» близок по смыслу?
Учащиеся: Со словами: «конец», «кульминация», «граница», «рубеж», «последняя стадия», «тупик», «максимум», «пик» и пр.
Учитель: Какими существенными характеристиками, свойствами обладает предел, если он существует в заданном процессе?
Учащиеся: Постоянство, стабильность, статичность...
Учитель: Какой должна быть ситуация или явление, чтобы можно было говорить о существовании или несуществовании предела? Что должна описывать такая ситуация?
Учащиеся: Это описание какого-либо процесса, перехода из одного состояния в другое, ситуация, при которой изменение одной величины влечет за собой изменение другой. Например, ситуация приближения поезда к вокзалу, процесс жизни человека, процесс роста цен на товар, процесс мечтания о чем-то и пр.
Учитель: Если в заданной ситуации изменение одной величины влечет за собой изменение другой, то первую величину будем называть независимой, в вторую - зависимой в данном процессе изменения. Какие условия необходимы для того, чтобы в данной ситуации существовал предел, каким образом должен развиваться процесс?
Учащиеся: Важно, чтобы изменение величин характеризовалось некоторым стремлением, приближением к чему-либо, направленностью к определенным качественному и количественному состояниям. Например, стремление к состоянию покоя (расстояние стремится к нулю); приближение к реализации своей мечты и пр.
Учитель: При каких условиях предела не существует?
Учащиеся: Во-первых, если не задано изменение независимой величины. Во-вторых, если процесс (как связь изменений хотя бы двух величин, т.е. смена состояний) имеется, но он не характеризуется никакой конкретной направленностью, нет определенного стремления зависимой величины, потому нет и предела как результата несуществующего стремления. В-третьих, нельзя говорить о существовании предела в процессе со стремлением без всякого ограничения (как колебания маятника в вакууме).
Учитель: Колебания маятника в вакууме не прекращаются, совершаются без ограничений, без предела, то есть бесконечно. Какие еще бесконечные процессы вы знаете?
Учащиеся: Колония микробов увеличивается бесконечно, рост населения на Земле, движение Луны вокруг Земли и т.д.
Учитель: Назовите существенные характеристики какого-либо объекта, чтобы его можно было бы обозначить «предел».
Учащиеся: Например, «мечта». Человек в течение некоторого времени стремится к некоторому осуществлению мечты. Кто-то достигает ее, кто-то - нет. Или «идеал». Учитель: Всегда ли в процессе стремления к пределу он должен быть достигнут?
Учащиеся: Нет, не всегда. Если в данном процессе у изменяющейся величины существует предел, то он может быть как достигнут ею, так и не достигнут.
Учитель: Когда, при каких условиях можно говорить о существовании предела?
Учащиеся: Во-первых, необходимо наличие некоторого процесса как связи изменений чего-либо. Во-вторых, процесс характеризуется определенной направленностью, стремлением, приближением к чему-либо. В-третьих, стремление зависимой величины исполняется в определенных границах, в результате стремления осуществляется переход в новое качественное состояние, называемое «предел».
Условия достижения понимания предельного перехода в старшей школе
Идеи предела функции в точке на базисном уровне понимания раскрываются через интерпретации соответствующего семантического поля, использующие фоновые знания учащихся по предмету (гл. I, 4) и опирающиеся на упорядоченные в предыдущем СП житейские представления школьников о пределе. В результате интерпретирования суть предельного перехода (идеи изменения, близости, стремления, непрерывности) переводится на нестрогий математический язык.
В работе над СП базисного уровня можно организовать диалог, нацеленный на актуализацию предметных фоновых знаний; на раскрытие связей между понятиями «процесс», «изменение», «переменная величина», «функциональная зависимость» и др.; на осмысление в аналитическом контексте известных учащимся понятий длины окружности, площади круга, действительного числа и др.; на введение символьной формы предъявления материала для ситуаций предельного перехода. Диалог может быть организован следующим образом:
Учитель: Как вы думаете, что в математике понимают под величиной?
Учащиеся: Это все, что может быть измерено и выражено числом. Например, путь, масса, скорость и пр.
Учитель: Можно ли назвать величинами такие понятия, как сила игры музыканта, талант писателя?
Учащиеся: Нет, перечисленные Вами понятия нельзя отнести к величинам.
Учитель: Почему?
Учащиеся: Силу игры, талант писателя нельзя измерить.
Учитель: Говоря о предельном переходе, мы всегда имеем в виду наличие какого-то процесса. Какое явление можно назвать процессом?
Учащиеся: Процесс - есть изменение одних величин, участвующих в данном явлении, обусловленное изменением других. Главное в процессе -наличие изменения, движения. Например, при приближении поезда к вокзалу с течением времени расстояние между поездом и вокзалом уменьшается. В процессе приближения изменяется и скорость поезда - стремится к нулю. Но длина поезда не меняется.
Учитель: Такие величины как расстояние и скорость называют переменными величинами. Они принимают в данном процессе различные числовые значения. Какими свойствами должна обладать величина, чтобы быть переменной?
Учащиеся: Во-первых, должна быть задана вполне определенная величина (расстояние между поездом и вокзалом). Во-вторых, должна быть известен процесс ее изменения (процесс приближения к вокзалу, закон изменения расстояния).
Учитель: Может ли одна и та же величина быть в одном процессе переменной, а в другом - постоянной?
Учащиеся: Да, например, рассмотрим процесс полета спутника. Если он двигается вокруг Земли, то масса спутника - величина постоянная. Но в процессе запуска спутника его масса меняется за счет сгорания топлива.
Учитель: Как связаны между собой понятия «процесс», «переменная величина» и «функциональная зависимость»?
Учащиеся: Процесс есть взаимоизменяемость нескольких переменных величин. Функциональная зависимость - это модель процесса. Функция отражает взаимосвязь (взаимозависимость) переменных величин. В частности, взаимосвязь двух изменений - независимой и зависимой величин. Например, в процессе приближения поезда к вокзалу меняются расстояние между поездом и вокзалом и скорость. Данные величины связаны функцией.
Учитель: Как связаны изменения данных величин в заданном процессе? Как ведет себя соответствующая функция при этом?
Учащиеся: расстояние между поездом и вокзалом приближается к нулю (до остановки поезда). То есть при условии, что скорость поезда стремится к нулю, и значения функции расстояния стремятся к нулю.
Учитель: Мы знаем, что предел есть результат ограниченного изменения одной величины в связи с изменением другой в некотором процессе. Как вы думаете, что такое предел функции в точке?
Учащиеся: Предел функции в данной точке а есть результат изменения значений данной функции в связи с определенным стремлением аргумента. В нашем случае аргумент стремится к точке а. Другими словами, пределом функции f(x) в точке а называют число Ь, к которому стремятся значения функции при соответствующем изменении переменной.
Учитель: Можно ли определить ситуации предельного перехода в примере с приближением поезда к вокзалу?
Учащиеся: Действием предельного перехода можно связать скорость и расстояние: при стремлении скорости к нулю расстояние между поездом и вокзалом стремится к нулю.
