Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Теоретические основы обучения математическому моделированию общественных процессов 10
1.1 Педагогические основы гуманитаризации математического образования 12
1.2 Обучение математическому моделированию в общеобразовательной школе 18
1.2.1 Понятия математической модели и математического моделирования 18
1.2.2 Использование элементов математического моделирования на занятиях по математике в общеобразовательной школе 25
1.2.3 Реализация прикладной направленности обучения математике 31
1.2.4 Реализация меж предметных связей при обучении математике 37
1.2.5 Возможности использования компьютеров при обучении математическому моделированию 43
1.3 Особенности применения метода математического моделирования в изучении общественных процессов 47
1.4 Пути совершенствования гуманитаризации математического образования через обучение математическому моделированию общественных процессов 60
Глава 2. Методика обучения математическому моделированию общественных процессов на занятиях по математике в старших классах 65
2.1 Особенности обучения математическому моделированию общественных процессов 67
2.2 Общественно-исторические процессы различных уровней как часть содержания математических занятий 75
2.3 Математическое содержание занятий 81
2.3.1 Математическое моделирование биосферы 85
2.3.2 Модель стачечного движения 89
2.3.3 Математическое моделирование этногенеза 93
2.4 Методика организации занятий по обучению математическому моделированию общественных процессов. 100
2.4.1 Обучение решению прикладных задач методом математического моделирования 100
2.4.2 Обучение построению математических моделей общественно-исторических процессов с помощью дифференциальных уравнений 106
2.4.3 Методы обучения решению математических моделей общественно-исторических процессов. 114
2.4-4 Приемы анализа и интерпретации результатов математических моделей общественно-исторических процессов 117
2.4.5 Формы организации занятий по изучению при кладных задач с общественно-историческим содержанием 119
2.5 Педагогический эксперимент 127
Приложение А. Примерное содержание исторического блока
факультативных занятий курса "Математическое моделирование. Математическое моделирование исторических процессов". 164
- Педагогические основы гуманитаризации математического образования
- Обучение математическому моделированию в общеобразовательной школе
- Особенности обучения математическому моделированию общественных процессов
Педагогические основы гуманитаризации математического образования
Одной из ведущих современных тенденций развития школы является гуманитаризации образования, которая затронула все учебные предметы, в том числе и математику. Ведущая роль технократической ориентированности образования была поставлена под сомнение в нашей стране в конце 80-ых годов. На Первом Всероссийском съезде работников образования была сформулирована задача гуманитаризации образования: "Именно гуманитарное мышление дает возможность преодолеть технократическое и узкопрофессиональное мышление, воспитывает духовно богатую личность, ориентированную на общечеловеческие ценности" [170, с.15]. Осознание необходимости пересмотра содержания и методов обучения математике для реализации гуманитарной направленности школьного курса математики заставило авторов [94] отметить, что существенную роль в повороте обучения к человеку, к его многообразным связям с окружающим миром может "сыграть ознакомление школьников с математикой как с определенным методом мир опознания, формирование у школьников представлений о математике как части общечеловеческой культуры, усиления практического и прикладного аспектов в ее преподавании".
Начиная с этого времени, в литературе происходит широкое обсуждение проблем гуманизации и гуманитаризации образования как на обобщенном философском уровне, так и на прикладном.
Очевидно, что важным для формирования понятия гуманитаризации математического образования становится определение понятия гуманитаризации научного знания, которое в свою очередь зависит от решения проблемы классификации наук. Не вдаваясь в по-доробное рассмотрение этого вопроса, приведем мнение философов А.А.Касьяна и М.С.Кагана, которые придерживаются классификации наук, определяющей математику вместе с философией и языкознанием к культурологическим наукам, подлинно же гуманитарными науками считают психологию, педагогику, этику (так как гуманитарное знание "есть человекознание, преодолевающее одностороннее изучение индивида только как природного, биологического существа, или только как носителя некой социальной функции, или только как хранителя культурной информации. ... Гуманитарное знание призвано "схватывать" человека в его целостности" [101, с. 18]). В связи с этим можно сделать вывод, что позитивное влияние гуманитаризации математического образования на процесс развития учащегося средствами математики, обязательно связан с включением в содержание образования материала, относящегося к гуманитарным областям знания и к областям "двойного подчинения" (то есть к наукам, относящимся к сфере естествознания, обществоэнания, области наук о культуре, но при этом имеющих характер гуманитарности: психофизиология, социальная психология, антропологически ориентированная история, эстетика математики и др.).
Обучение математическому моделированию в общеобразовательной школе
Высокий уровень проникновения математики во все сферы человеческой деятельности связывают прежде всего со спецификой математического познания. Существуют различные точки зрения на математический способ познания действительности. Многие считают, что математика разделяется на две ветви: чистая (теоретическая) и прикладная. Конечно, такое разделение весьма условно. Но при этом для некоторых ученых математика служит способом познания окружающей реальности, и в этом они видят мотив расширения математического знания. А для других математика сама представляет целый мир для изучения.
Специфику чистой математики многие видят прежде всего в абстрактности суждений. Затем, в особенностях рассуждений, основу которых составляет набор аксиом и применение к этим аксиомам дедуктивного вывода. А также в логической определенности и строгости формулировок. Так, например, А.Д.Александров [8] указывает на следующие наглядно воспринимаемые особенности: отвлеченность, абстрактность суждений; логическая определенность; строгость формулировок.
М.Клайн подробно описывает следующие существенные особенности математического метода:
1) введение основных понятий (как подсказанных материальным миром, например, точка, линия, целое число и другие, так и созданных человеческим разумом, например, отрицательное число, бесконечные ряды и тому подобное);
2) абстрактность (то есть в одном понятии схватываются существенные особенности всех физических проявлении этого понятия);
3) идеализация, которая сама по себе не является серьезным отступлением от реальности, но при попытке приложить её к реальности возникает вопрос, достаточно ли близок исследуемый объект к его идеальному образу;
4) используемый метод рассуждений, основу которого составляет набор аксиом и применение к этим аксиомам дедуктивного вывода;
5) использование специальных обозначений [102].
Как видим, различные авторы выделяют и описывают с небольшими отличиями одни и те же черты.
В.В. Фирсов акцентирует внимание на особенности, которая действительно выделяет из ряда естественно - научных дисциплин ветвь математики, отвечающую за внутреннее развитие математических теорий, - на возможности "отказа от обязательной экспериментальной проверки математических утверждений. Именно подобный отказ приводит к необходимости уделять внимание логике точного математического рассуждения, которое становится единственным критерием его корректности" [197, с.223].
При решении конкретных прикладных задач в математическом методе становятся существенными иные черты. Так, например, Г.И.Рузавин отмечает: "Методы чистой математики основываются на использовании только строго дедуктивных методов рассуждений... В прикладной математике приходится отказываться от таких жёстких стандартов и обращаться к понятиям менее огрубляющим действительность и пользоваться правдоподобными рассуждениями" [171, с. 31]. И.И.Блехман, А.Д.Мышкис, Я.Г.Пановко делают акцент на том, что прикладная математика это - "наука об оптимальном решении математических задач, возникающих вне математики" [24, с.35]. Многими математиками отмечается, что принципиальной особенностью решения прикладных задач является широкое использование эвристических или правдоподобных рассуждении. К их числу относят :
- рассуждение по аналогии;
- применение понятий вне рамок их первоначального определения;
- применение актуальной бесконечности (то есть трактовка бесконечно малых и бесконечно больших величин как постоянных, но имеющих другой порядок, чем остальные величины);
- использование результатов приближенного решения при отсутствии точного решения,[38]
Особенности обучения математическому моделированию общественных процессов
В соответствии с выделенными этапами математического моделирования под обучением математическому моделированию мы понимаем:
— обучение построению математических моделей, то есть обучение анализу реальной задачи, выбору подходящего математического аппарата, переводу конкретной задачи практики на язык математики;
— обучение решению математических моделей, то есть обучение применению имеющихся математических знаний, умений и навыков для решения уже построенных математических моделей;
— обучение анализу и интерпретации полученных результатов, то есть анализ исходной реальной задачи с точки зрения полученных результатов, исследование влияния параметров модели на результаты, уточнение модели.
Деятельность учителя имеет при этом обучающий и воспитательный характер. Это не только процесс постепенной передачи выполнения отдельных компонентов структуры математического моделирования ученику для самостоятельного осуществления их без вмешательства учителя, но и деятельность учителя, передающая навыки синтеза структуры математического моделирования, формирующая знания о роли современной математики в исследованиях общественных наук.
Обучение математике, любому математическому методу, в том числе методу математического моделирования и его компонентам, можно условно отнести к одной из следующих групп: обучение уже готовым алгоритмам и обучение поиску. Обучение первой группе знаний, безусловно, проще, без знания алгоритмов невозможен поиск, математическое творчество. Обучение решению математических моделей в большинстве случаев носит алгоритмический характер, когда нужно применить известные и отработанные методы для решения уравнения, неравенства, их систем, найти экстремум функции, посчитать интеграл.
Обучение построению математической модели и ее анализу чаще имеет эвристические черты, за исключением случая повторения практической задачи с простой заменой числовых данных, терминов и понятии. И здесь часто необходимо проявить высокий уровень математической культуры, нужно уметь абстрагироваться проводить аналогии, свободно владеть математикой, чтобы выбрать адекватный математический аппарат для построения модели реального процесса. Но и здесь возможна некоторая алгоритмизация рассуждений. Например, на этапе построения математической модели алгоритмизация процесса получения функциональной зависимости или дифференциального уравнения, выбор закона распределения и тому подобное Но полностью алгоритмизировать этот этап невозможно, всегда в реальной задаче возникают особенности, существенно отличающие ее от других задач.
Все это позволяет сказать, что сложность обучения математическому моделированию определяется эвристическим, поисковым характером построения математической модели и интерпретации полученных результатов.
