Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Происхождение, сущность и пути реализации "открытого подхода" в обучении математике
1. Генетический подход в преподавании математики 9
2. Метод "переоткрытий" в обучении математике.. 26
3. "Открытый подход" в обучении геометрии 42
4. Общая характеристика и классификация задач, реализующих от крытый подход в обучении математике 78
Выводы к главе ......93
Глава II. Методика обучения решению задач, реализующих открытый подход в обучении геометрии
1. Составление задач, реализующих открытый подход в обучении геометрии 95
2. Решение задач, моделирующих процесс открытия, при изучении темы "Многоугольники"
3. Реализация "открытого подхода" в обучении геометрии при ре шении задач по теме "Площади многоугольников" 125
4. Описание экспериментальной работы 137
Заключение 147
Список литературы 148
- Генетический подход в преподавании математики
- Метод "переоткрытий" в обучении математике..
- Составление задач, реализующих открытый подход в обучении геометрии
Введение к работе
Современная система образования претерпевает значительные изменения, связанные с изменившимися целями общества в области образования. Быстрое развитие высоких технологий и усложнение экономических отношений в обществе требует повышения качества подготовки кадров, способных к творческому развитию, стремящихся к познанию окружающего мира, самосовершенствованию и самореализации. Большая роль в формировании человека как интеллектуальной и творческой личности отводится школе.
Проблема развития мышления учащихся - одна из важных в современной методике преподавания математики. Приоритетное значение в обучении этому предмету придается формированию абстрактного, дедуктивного, алгоритмического, эвристического мышления школьников; таких его качеств как гибкость, широта, критичность и др.
Однако в настоящее время целям развития, овладения учащимися методами познания и исследовательскими умениями уделяется учителями недостаточно внимания, поэтому огромный развивающий потенциал математики используется в неполной мере. Такое положение дел продолжает сохранять неразрешенным противоречие между декларируемыми целями образования, стремлением достичь развития учащихся средствами учебного предмета — с одной стороны, и реальными результатами обучения - с другой стороны.
Один из возможных путей разрешения этого противоречия состоит во внедрении в практику обучения методов, позволяющих активизировать деятельность учеников, привлечь их к самостоятельному добыванию знаний. Приобщить школьников к этому можно по-разному. В нашем исследовании будет рассмотрен так называемый генетический подход в преподавании, согласно которому, методика обучения предмету должна опираться на характерные для соответствующей науки пути и методы позна- ния. При этом ученик выступает не как потребитель готовых знаний, а как их активный добытчик.
Подобные мысли высказывали в разное время известные педагоги и философы (Ж.-Ж. Руссо, А. Дистервег, К. Д. Ушинский, П..Ф. Каптерев, Б. В. Всехсвятский, Л. Н. Толстой, Э. В. Ильенков и др.)- Однако этот подход, будучи востребованным и разработанным на теоретическом уровне, пока не получил широкого применения в практике школьного обучения, нуждающейся в конкретных методах и средствах его воплощения.
Применительно к предмету "математика", идея генетического обучения, встречается в работах ряда известных отечественных и зарубежных методистов, а также математиков, интересовавшихся вопросами преподавания этой науки (Н. М. Бескина, В. М. Брадиса, MJ Вагеншайна, Н. А. Извольского, Ф. Клейна, Д. Пойа, А. Пуанкаре, У. У. Сойера, О. Теплица и др.). Позже она получила воплощение в методе "переоткрытий" математических знаний, описанном голландским специалистом Г. Фройденталем. Од-наш рекомендации автора носили общий характер.
В начале 90-х годов прошлого века ряд японских и американских исследователей (Н. Нохда, С. Шимада, Дж. Беккер, А. Шенфельд) наряду с термином "генетический подход" стали использовать термин "открытый подход" в обучении математике. Цель "открытого подхода" - научить школьников делать математику и мыслить математически, что может быть достигнуто в процессе решения определенных видов задач. Однако предъявленные (авторами) к последним требования не позволяют однозначно выделить эти задачи из множества используемых в обучении задач, тем более - дать им классификацию.
Укажем также на работу польского методиста М. Клякли, посвященную проблеме формирования творческой математической деятельности учащихся, аналогичной по сути исследовательской деятельности ученого-математика. Одной из отличительных черт такой учебной деятельности является субъективная новизна результата. (Отметим, что этот вопрос затрагивался еще в трудах Д. Пойа.)
Проблема самостоятельного добывания школьниками математических знаний рассматривается и в работах современных российских методистов (В. А. Гусева, А. X. Назиева, Г. И. Саранцева, А. Я. Цукаря и др.). Они указывают на то, что при существующем построении курса математики ученики едва успевают запоминать знания, наблюдая за работой учителя по их выведению из ранее полученных знаний, зачастую не понимая,\ как и почему он делает это так, а не иначе. Знания по-прежнему сообщаются школьникам в готовом виде, дети не овладевают способами их получения.
У этой проблемы есть и другой аспект. Использование в преподавании математики фактически одного только дедуктивного подхода привело к тому, что не разработана система обучения школьников построению индуктивных умозаключений. У учащихся недостаточно практики самостоятельного получения математических результатов, выявления закономерностей, открытия и обоснования свойств объектов на доступном им уровне; мало материала для сравнения строгих и нестрогих рассуждений, анализа ошибок в доказательствах. Все это приводит к формализму в знаниях.
В обучении математике огромную роль играют задачи. Большинство представленных в учебниках задач не вскрывают сути рассматриваемых понятий и направлены на отработку опять же формальных, а не содержательных сторон учебного материала. Следует отметить, что в некоторых учебных пособиях и сборниках дидактических материалов (авторы: В. А. Гусев, А. Я. Цукарь, коллективы: JL С. Атанасян и др.; А. Л. Вернер, В. И. Рыжик, Г. Ходот) можно встретить отдельные виды задач, позволяющие приобщить школьников к математическим исследованиям и реализовать тем самым "открытый подход" в преподавании геометрии. Однако анализ методической и учебной литературы показал, что не разработаны ни классификация таких задач, ни методика их составления и использования в обучении геометрии в основной школе.
Все вышесказанное определило актуальность исследования.
Цель исследования: разработать методику составления и использования задач, реализующих открытый подход в обучении геометрии, в основной школе.
Объект исследования: процесс обучения геометрии в основной школе.
Предмет^ исследования: методика составления и использования задач, реализующих открытый подход в обучении геометрии, в основной школе.
Гипотеза исследования: систематическое и целенаправленное использование специально разработанных задач, моделирующих процесс математического открытия и позволяющих: приобщить. учащихся і к исследовательской деятельности по самостоятельному добыванию математических знаний, будет способствовать реализации "открытого подхода" в обучении геометрии в основной школе и развитию у учащихся исследовательских умений как основы формирования научного стиля мышления.
Цель и гипотеза исследования потребовали решения следующих задач:
Провести анализ психолого-педагогической и методической литературы по данной проблеме с целью выявить сущность и сформулировать определение "открытого подхода" в преподавании математики.
Определить возможные пути и средства реализации "открытого подхода" в обучении геометрии в основной школе.
Дать характеристику и классификацию задач, позволяющих осуществить "открытый подход" в обучении геометрии в основной школе.
Разработать методику составления и использования задач, реализующих открытый подход в обучении геометрии, в основной школе.
Экспериментально проверить эффективность предлагаемой методики.
В ходе решения поставленных задач применялись различные методы; исследования: анализ философской, психолого-педагогической, математической и научно-методической литературы, школьных учебников и учебных пособий, обобщение отечественного и зарубежного опыта по исследуемой проблеме, анализ личного опыта работы в школе и работы других учителей, педагогическое наблюдение и эксперимент по проверке основных положений диссертации.
Научная новизна и теоретическая значимость исследования заключается в следующем:
1. Обоснована возможность и предложена реализация генетического подхода в обучении математике через "открытый подход" в обучении посред-CTBOM5 специальных задач, моделирующих процесс математического открытия.
1... Сформулированы требования к; составлению и использованию задач, реализующих открытый подход в обучении математике, дана общая характеристика и классификация таких задач.
3. Разработана методика составления и использования задач, моделирующих процесс математического открытия и приобщающих школьников к исследовательской деятельности, аналогичной по структуре и формам проявления творческой деятельности ученого-математика.
Практическая значимость исследования состоит в том, что в нем даны методические рекомендации по составлению и обучению решению задач, реализующих "открытый подход" в обучении геометрии, в основной школе, предложены подборки таких задач по темам "Многоугольники" и "Площади многоугольников". И сами задачи, и данные рекомендации могут применяться учителями математики в их работе, а также использоваться при создании учебных пособий и дидактических материалов по геометрии и при работе со студентами педагогических вузов.
Обоснование и достоверность результатов исследования обеспечиваются: системным и целостным подходом к исследуемой проблеме, опорой на основные положения теории познания, исследований в области педагогической психологии, дидактики и методики; согласованностью выводов с основными положениями методики преподавания математике и концепцией школьного математического образования; результатами опытно-экспериментальной работы.
Апробация и внедрение. Основные положения диссертации обсуждались на занятиях спецкурса по методике преподавания математики у студентов IV-V курсов и магистрантов I курса математического факультета
МПГУ, докладывались на педагогических чтениях МПГУ. Результаты диссертационного исследования отражены в 7 публикациях и нашли применение в практике работы учителей математики гимназии №1529,. школы-лаборатории №825 и школы №703 г. Москвы. На защиту выносятся:
Пути реализации "открытого подхода" в обучении геометрии в основной школе.
Методика составления и использования задач, реализующих открытый подход в обучении геометрии.
Содержание геометрических задач, моделирующих процесс математического открытия, которые позволяют приобщить учеников к самостоятельному добыванию математических знаний и способствуют развитию у них исследовательских умений как основы формирования научного стиля мышления;
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы.
В первой главе анализируются работы отечественных и зарубежных ученых (педагогов, психологов, методистов, математиков), относящиеся к проблеме исследования, рассматривается история возникновения идеи "открытого подхода" в преподавании математики, раскрывается сущность, определяются пути и перспективы реализации "открытого подхода" в обучении геометрии. Отдельный параграф посвящен характеристике и классификации задач, моделирующих процесс математического открытия.
Во второй главе на примере тем "Многоугольники" и "Площади многоугольников" описывается методика обучения решению задач, позволяющих привлечь школьников к самостоятельным исследованиям в области геометрии, перечисляются требования к формулировке таких задач, на конкретных примерах показывается процесс их создания. Кроме того, приводятся подборки задач по обеим темам. В последнем параграфе описывается экспериментальная работа, проходившая в рамках исследования.
В заключении излагаются основные результаты исследования.
Генетический подход в преподавании математики
В философии под генетическим методом (греч. genesis - происхождение, развитие) понимают способ исследования природных и социальных явлений, а также явлений познания, основанный на анализе их развития Исторически этот метод возник в результате утверждения в науке (начиная: с XVII века) идеи развития - закономерного и направленного качественного изменения материальных и идеальных объектов, а его основная цель -выявление связей изучаемых явлений во времени: начальных условий, главных этапов и тенденций их развития [111].
Генетический метод нашел применение в самых разных науках. В частности, в математике он используется как один из методов построения новых объектов теории на основе некоторой системы исходных объектов. Одним из проявлений этого являются так называемые генетические определения, в которых в качестве специфического отличительного признака рассматриваемого предмета выступает способ его возникновения или образования, построения [25].
В работах педагогов, математиков, методистов можно встретить близкие по звучанию и по смыслу термины: "генетический подход (или принцип) в преподавании",."генетический метод обучения", "генетическое обучение", "генетическое изложение предмета (учебного материала)". Рассмотрим их подробнее.
Генетический подход в преподавании заключается в том, что методика обучения предмету должна опираться, по мере возможности, на естественные пути и методы познания, присущие соответствующей науке, т. е. обучение должно следовать путям происхождения знания. При этом ученику отводится роль не пассивного слушателя и потребителя готовых знаний, а их активного добытчика. Педагогические идеи такого характера выдвигали и разрабатывали, начиная с середины XVIII века, Ж.-Ж. Руссо, И. Г. Пес-талоцци, А. Дистервег, а позже в России К. Д. Ушинский, Л. Н. Толстой, П. Ф. ЬСаптерев и др.
Вероятно, первым; использовал термин "генетическое изложение" известный немецкий дидакт А. Дистервег, который писал о том, что развитие способностей учащихся требует генетического изложения всех допускающих этого предметов, поскольку последние таким же путем возникли или проникли в сознание человека. Правильный метод обучения должен происходить из самой природы предмета и быть "принципиально сообразным". Если он соответствует природе учащегося-индивидуума, то соответствует и сущности науки.
Пройденный человечеством за всю историю его существования путь указывает направление для обучения и развития отдельного человека, только ученик преодолевает его с помощью учителя всего за несколько лет. При этом не следует вести его к цели "с завязанными глазами": он должен сам открыть истину, а не воспринимать ее как готовый результат. Задача учителя состоит в том, чтобы руководить этой экспедицией открытий, а не быть простым зрителем Как справедливо заметил А. Дистервег, плохой учитель преподносит истину в готовом виде, а хороший учит ее находить.
Идею генетического подхода в преподавании высказывали и ученые-математики, причем некоторые из них связывали ее с историей науки.
Так, по мнению известного немецкого математика Ф. Клейна, обучение в школе должно быть генетическим и более наглядным: "Тот способ изложения, который в настоящее время господствует... в школах, можно лучше всего охарактеризовать словами "наглядно" и "генетически", - писал Клейн. - Это значит, что весь материал развивается постепенно на почве хорошо известных, наглядных представлений" [52, с. 20]. Именно в этом ученый видел коренное отличие школьного преподавания математики от вузовского, поскольку последнее основано на логическом и систематическом методе обучения.
Он считал, что обучение математике и другим наукам должно идти по тому же самому пути, по которому все человечество, начиная со своего первобытного состояния, дошло до вершин современного знания. Ссылаясь на "биогенетический закон, по которому индивид в своем развитии пробегает все стадии развития вида", Клейн указывал на необходимость "приспособляться к природным склонностям юношей, медленно вести их к высшим вопросам: и лишь в заключение ознакомить их с абстрактными идеями" [52, с. 381].
Кроме того, он придавал большое значение знакомству учеников с историей предмета, отражающей процесс возникновения математических идей, почти всегда возникающих из догадки и после долгого развития приобретающих форму систематического изложения.
Похожих взглядов придерживался и выдающийся французский математик А. Пуанкаре, затрагивавший в своих работах вопросы преподавания:: "Воспитатель должен заставить ребенка пройти через те ступени, которые были пройдены его предками, пройти быстрее, но без пропуска промежуточных этапов. В этом смысле история науки должна быть нашим первым руководителем" [91, с. 463].
Метод "переоткрытий" в обучении математике..
Близки к генетическому подходу в обучении взгляды педагогов и методистов, писавших о самостоятельном получении учениками новых знаний в процессе их "переоткрытия", которому присущи некоторые черты научного открытия. Название этого метода достаточно точно отражает его суть. Развитие всей науки можно рассматривать как овладение методом совершения открытий. А учебное исследование, приводящее к установлению конкретного (нового для школьников) факта, в определенной степени его имитирует.
Описывая метод "переоткрытий", Г. Фройденталь говорит о нем как о разновидности сократовского метода - лекции-беседы, в которой учитель предлагает слушателям продуманные заранее верные и неверные идеи, а ученики принимают или опровергают их, выражая таким образом свое восприятие беседы. По Фройденталю, изучаемое как бы создается или открывается школьниками заново; факты не сообщаются им в готовом виде, напротив, дети прослеживают их возникновение, и у них появляется чувство, что учебный материал как будто рождается в процессе занятий, а учитель лишь способствует этому.
Автор подчеркивает, что математические идеи надо преподносить вместе с процессом их возникновения, но это не означает, что их надо показывать так, как они появлялись. В данном случае "переоткрытие" не стоит понимать буквально: оно не настоящее, а стимулирующее. Инициативу Фройденталь возлагает на учителя, который должен не только помогать ученику, но и показывать, как происходит "переоткрытие", причем все это он должен заранее продумать в своем мысленном эксперименте (в мысленной беседе с учеником).
Конечно, приводящее к "переоткрытию" того или иного факта исследование на уроке отличается от научного некоторыми существенными особенностями..
Во-первых, и сама поставленная перед учениками проблема, и та истина, которую они в итоге открывают, не являются новыми для науки, но они, несомненно, новы для учащихся, которые на этом этапе своей учебной ; деятельности мыслят и действуют как первооткрыватели. Добытые знания в данном случае ценны для самих школьников. Иначе говоря, результат обучения субъективно всегда является новым, а объективно, напротив, таковым не является.
Во-вторых, познание нового происходит в учебном процессе в облегченных, специально организованных, лишь имитирующих открытие условиях и не представляет собой бесконечную цепь поисков, ошибок и находок, характерную для реального процесса научного познания. Но неправильно было бы ограничиться рассмотрением фактов, возникновение которых в свете логики изложения готового знания кажется естественным и закономерным. Учеников следует знакомить также с примерами противоречий, нередко приводивших к открытию этих самых фактов и пересмотру устоявшихся представлений и способствовавших, в конечном счете, развитию науки.
В-третьих, стимулы учащихся к проведению исследования отличны от стимулов, побуждающих к той же деятельности ученого. Различна и степень их самостоятельности. Учебное исследование, лишь моделирующее процесс открытия, проходит, как правило, под руководством, с личным участием и с помощью учителя. Вот что пишет Д. Пойа: "Помогать ученику - одна из важных обязанностей учителя. Эту обязанность нельзя назвать легкой: она требует времени; опыта, преданности делу и разумных принципов... Ученик должен приобрести как можно больше опыта самостоятельной работы. Учитель должен помогать, но не слишком много и не слишком мало, так, чтобы ученику оставалась разумная доля работы.
Если ученику и не по силам сделать много, учителю следует, по крайней мере, создать некоторую иллюзию самостоятельной работы. Поэтому помощь учителя должна быть осторожной и неназойливой.
Лучше всего, однако, помогать ученику естественно. Учитель должен: поставить себя на место ученика... и задать вопрос или указать шаг, до которого учащийся мог бы додуматься самостоятельно" [87, с. 8].
Конечно, лучшее, что может сделать учитель для решающего задачу ученика - подсказать ему "блестящую идею", задавая простые по формулировке наводящие вопросы и предлагая советы общего характера а не частные, например: "Примени теорему синусов", "Сначала вычисли площадь ромба" или "Дострой треугольник до параллелограмма". Последние, часто произносимые учителями на уроках, представляют собой скорее прямые указания на то, что и как следует делать, и не отвечают на главные вопросы, характеризующие настоящий творческий поиск: зачем и почему надо так делать? Любого рода подсказка, ставящая целью развитие способностей учащегося, должна вызывать у него мыслительный процесс, благодаря которому тот сможет "додуматься самостоятельно" до следующего шага или даже предвидеть его. Наводящий вопрос, совет или рекомендация действительно полезны только в том случае, когда они призваны направлять деятельность ученика, показывать возможные пути поисков, а не принуждать его к выполнению чужих указаний и выдавать готовые ответы на поставленные вопросы.
Составление задач, реализующих открытый подход в обучении геометрии
Формулировка задачи, реализующей открытый подход в обучении математике, не должна давать готовый ответ на поставленный вопрос или содержать прямое указание на него, либо на способ его достижения.
Например, вместо таких общих формулировок, как "Докажите, что...", "Используя теорему (прием, метод и т. д.)..., найдите..." в задачах, реализующих открытый подход в обучении математике, следует использовать следующие: "Согласны ли вы с тем, что...?", "Какие из утверждений можно доказать на основе.,,?", "Найдите отношение, связывающее.,.", "Оцените..." и т. п. Понятно, что в последнем случае предполагается неоднозначность ответа, в тексте условия не всегда может быть указано, в каком виде он должен быть представлен. С другой стороны, формулировка как бы расширяет поле деятельности, давая возможность выдвигать различные гипотезы. А многие ли задачи, представленные в школьных учебниках, действительно дают простор детскому творчеству и позволяют приобщить учащихся к исследованию, аналогичному научному? Формулировка задачи должна содержать косвенное требование обосновать любой ответ.
Речь идет о представленном в неявной форме требовании обосновать данный учеником ответ. Последний же, каким бы очевидным, не вызывающим сомнений или, напротив, неправдоподобным, неверным на первый взгляд, он не казался, изначально должен восприниматься учащимся только как предположение, нуждающееся в проверке. Иначе говоря, каждый ответ (а их может быть несколько) носит лишь гипотетический характер до того момента, пока не будет доказан или опровергнут.
В целях формирования потребности; в доказательствах на начальном этапе изучения геометрии следует акцентировать на этом внимание учеников, включая в формулировку явное требование объяснить ответ. Например: "Верно ли, что...? Почему?", "Сколько существует...? Объясните", "Можно ли построить...? Обоснуйте ответ". Со временем такая необходимость отпадает, ученики ориентируются на знакомую им первую часть формулировки. Кроме того, если их ответ не убедителен или они не задались главным вопросом (а цель - научить школьников задавать его самим себе), учитель всегда может его "озвучить": почему вы так считаете? на чем основывается ваша уверенность в правильности ответа? Таким образом, отсутствуя в тексте задачи, требование объяснить ответ тем не менее всегда "молчаливо подразумевается". Ф Формулировка допускает изменение уровня сложности задачи.
Решаемые на уроках задачи должны быть не только понятны и интересны ученикам, но и доступны большинству из них. Выдвигая это (и другие) требование, мы исходили из принятых в психологии ив методике представлений, что сложность задачи определяется двумя основными характеристиками: тем, в какой форме присутствует требование использовать известные знания (прямо, косвенно или оно вообще отсутствует), и насколько явно выражено множество факторов, определяющее решение.
При составлении задач, реализующих открытый подход в обучении математике, учитель может варьировать уровнем их сложности с учетом особенностей и подготовки класса. Этого можно достичь, во-первых, за счет различной постановки требования. Так, более общая и "расплывчатая" его формулировка расширяет возможности учеников для самостоятельных поисков, поскольку не указывает, что именно надо найти ("открыть") ив каком виде может быть получен ответ, и, тем самым, повышает уровень сложности задачи.
Во-вторых, благодаря комбинации и форме представления исходных условий: важно не только их количество, но и "качество". При формулировке задачи следует учитывать, что если число исходных данных необходимо и достаточно для решения, то их выбор должен оптимально соответствовать требованию. В противном случае (если предполагается, что по ходу решения будут вводиться дополнительные данные), возможны различные постановки вопроса или разные ответы при одном вопросе.
В-третьих, уровень сложности задачи можно изменять с помощью системы указаний, подсказок, готовых чертежей (так, увеличение их числа или конкретизация формулировки приводит к его снижению).
