Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПРЕДПОСЫЛКИ СОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ МЕТОДИКИ ИЗУЧЕНИЯ ТЕМЫ "ВЕКТОРЫ НА ПЛОСКОСТИ" II
I . Методические основы совершенствования изучения векторов в курсе планиметрии II
2. Психолого-педагогические предпосылки обучения приложениям векторов в курсе геометрии 32
ГЛАВА П. РЕАЛИЗАЦИЯ ВОЗМОЖНОСТЕЙ СОВЕРШЕНСТЮВАНИЯ МЕТОДИКИ ИЗУЧЕНИЯ ТЕМ "ВЕКТОРЫ" В ВОСЬМИЛЕТНЕЙ МОЛЕ 45
I Конкретизация программных требований по теме "Векторы на плоскости" до уровня системы задач 45
2.Методические особенности обучению приложениям векторов в курсе математики 84
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 153
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 156
- Методические основы совершенствования изучения векторов в курсе планиметрии
- Психолого-педагогические предпосылки обучения приложениям векторов в курсе геометрии
- Конкретизация программных требований по теме "Векторы на плоскости" до уровня системы задач
Введение к работе
Переход ко всеобщему среднему образованию поставил перед педагогической наукой и практикой нашей страны ряд важных и неотложных задач: разгрузить школьные курсы за счет выделения основного содержания и исключения второстепенных вопросов, освободить их от излишнего теоретизирования, усилить практическую направленность обучения. Со всей остротой встала проблема определения уровня подготовки учащихся средней школы, гарантированного для всех ее выпускников, и путей достижения этого уровня. Очевидно, что необходимым шагом на пути к решению этой проблемы являются уточнение, конкретизация и научное обоснование требований к общеобразовательной подготовке школьников. Явное задание таких требований должно повлечь за собой и существенное изменение методик обучения в плане усиления их целенаправленности на обеспечение формирования знаний и умений на обязательном для всех уровне, предполагаемом средним образованием.
Одним из средств достижения этого уровня в условиях всеобщего среднего образования в эпоху НТР является перенос акцента с обучения фактам на обучение методам, благодаря чему знания учащихся приобретают действенность и способность к саморазвитию.
Обучение математике является важнейшим компонентом среднего образования, так как в эпоху научно-технической революции математика больше, чем когда-либо, становится языком и аппаратом естествознания, техники и производства.
Одним из эффективных и имеющих широкие приложения математических методов, изучаемых в школе, является векторный метод. Поэтому проблема совершенствования содержания и методов обучения математике в школе в свете современных требований с необходимостью включает совершенствование методики изучения векторов. Все сказанное выше свидетельствует об актуальности темы данного исследования.
Место и значение векторов в школьном курсе математики исследовались многими авторами.
Так, в ряде диссертационных исследований показаны возможность и целесообразность введения векторной алгебры в курс средней школы (Э.Э.Луфт (59), К.Ф.Михайлов (69), М.С.Толстенков (100)), восьмилетней школы (А.А.Боцу (20), И.Г.Вишняцкая (22)) и даже в курс начальной школы (М.С.Королева (46)).
Возможность углубления межпредметных связей дисциплин естественно-математического цикла при изучении элементов векторной алгебры показана в работах С.В.Бабаджанян (3) и А.С.Сергеевой (95).
Вопросы изучения векторов в школе нашли широкое отражение в работах, посвященных перестройке курсов планиметрии (Ф.Мали-ков (62)) и стереометрии (К.А.Лабуркин (54), Л.Т.Малько (63), Н.Я.Милин (67), О.Н.Ушверидзе (103), Чан Фук Чинь (108), Т.Ша-диев (109), Л.Я.Щербакова (НО)) на векторной основе.
Исследования Й.В.Баума (8) и By Зыонг Туя (24) показали возможность построения на векторной основе не только курса геометрии, но и курса тригонометрии.
Развивая идею введения векторной алгебры в школьный курс математики, О.А.Боковнев (14), В.Г.Михеева (70), А.Н.Плиев (83) рассматривают возможность формирования понятия векторного пространства, играющего большую роль в приложениях математики в курсе математики средней школы.
Представляют интерес исследования, авторы которых рассматривают операции над векторами не только в геометрической, но и в координатной форме. Это позволяет им эффективно изложить элементы аналитической геометрии в факультативных курсах (К.О.Бу- кубаева (21), К.Э.Кушкова (53), Е.С.Петрова (81), Фам Ван Хоан (10*0, Н.Г.Федин (105), Е.М.Пасечник (77)) и ввести основы матричного исчисления (В.А.Коротина (47)). В этих работах рассматриваются действия над векторами в координатной форме после подробного изучения этих действий в геометрической форме.
Такая последовательность изложения имеет ряд недостатков: свойства операций над векторами приходится доказывать дважды -в геометрической и координатной формах; доказательства некоторых из них в геометрической форме вызывают значительные затруднения (например, доказательство дистрибутивного закона для скалярного произведения векторов).
Попытка рассмотреть с единой точки зрения векторно-коорди-натный метод в курсе геометрии была предпринята в исследовании В.Б.Милушева (68) (для школ НРБ), но он остался на традиционных позициях с точки зрения изложения материала, что не позволило избежать трудностей, указанных выше.
В ходе реформы школьного математического образования 60--70-х годов понятие вектора прочно вошло как в курс планиметрии, так и в курс стереометрии. Однако, некоторое увлечение чисто математической стороной дела в ущерб приложениям при изучении векторов в школьном курсе геометрии вызвало серьезную критику. Отмечалось, что "приложения этого материала весьма скромные" (80, с.19), да и сама трактовка понятия вектор "не соответствует общепринятому аппарату физики, механики, всех точных наук" (88, C.I06).
В настоящее время никто не сомневается в необходимости и целесообразности введения элементов векторной алгебры в школьный курс математики. Раздел "Содержание обучения" усовершенствованной программы по математике предполагает изучение векторов на плоскости (6-8 кл.) и в пространстве (9-Ю кл.), не ориенти- - б - руя при этом жестко на какую-то определенную методику их изучения, то есть допускает различные подходы.
Традиционно вектор вводился как направленный отрезок.
При реформе школьного математического образования для введения вектора в курс геометрии был использован нетрадиционный подход: вектор трактовался как параллельный перенос. Такой подход позволил корректно и достаточно естественно ввести операции над векторами и использовать векторы при изложении теоретического материала, однако затруднил их приложения.
В ряде исследований рассматриваются другие трактовки вектора: вектор как элемент векторного пространства, вектор как класс эквивалентных направленных отрезков.
Каждый из этих подходов имеет свои методические достоинства и недостатки, однако традиционная трактовка векторов как направленных отрезков наиболее наглядна и приложима.
Для современной математики и ее приложений весьма существенной является координатная трактовка операций над векторами. Такая трактовка вектора важна для теории и практики линейного программирования, она находит широкое применение в анализе функций многих переменных, в линейной алгебре. В школьном курсе физики векторы, интерпретируемые как направленные отрезки, сразу же связываются с координатами, поэтому знакомство учащихся с координатами вектора необходимо для школьного курса физики.
Таким образом, исходя из важности практической и прикладной направленности обучения математике в школе можно утверждать, что наиболее целесообразной для школьного курса является трактовка вектора, как направленного отрезка,органически связанная с представлением вектора в координатной форме. Такой подход реализован в действующем учебнике "Геометрия 6-Ю" А.В.Погорелова.
В разделе программы "Требования к математической подготовке учащихся" указано, что учащиеся 9-Ю классов должны "уверенно применять аналитические методы при решении геометрических задач" (89, с.9). Векторный метод является одним из таких методов, и для реализации указанного требования программы необходимо заложить в восьмилетней школе основы его свободного применения. Как отмечал А.Н.Колмогоров, активное использование векторов в старших классах возможно, если "в УП-УШ классах на уроках математики и физики учащиеся привыкнут к обращению с векторами" (42, с.22).
В исследованиях, посвященных применению векторов к решению геометрических задач, этот вопрос решается односторонне: так, в диссертационном исследовании Г.Б.Кузнецовой (51) рассматривается применение только координатного метода, а в работах К.А.Жула-нова (34), Э.Г.Готмана (25), Т.М.Кориковой (45), Д.И.Хана (107) -использование "чисто" векторного метода.
Проблема нашего исследования состояла в определении и обосновании возможностей совершенствования методики изучения векторов в курсе геометрии восьмилетней школы с точки зрения современных требований к математической подготовке учащихся и в разработке способов реализации таких возможностей.
Проблема исследования потребовала постановки и решения следующих задач: выявить преимущества и недостатки различных подходов к изучению векторов в курсе геометрии с точки зрения современных требований к этому курсу; конкретизировать программные требования, относящиеся к изучению векторов в курсе планиметрии; выявить возможности наиболее полного удовлетворения прог- раммным требованиям при изучении темы "Векторы на плоскости"; - разработать методическую реализацию выявленных возмож ностей.
Для решения поставленной проблемы использовались следующие методы исследования: изучение трудов классиков марксизма-ленинизма, материалов партийных съездов, директивных документов партии и правительства о школе; анализ психолого-педагогической, методической и математической литературы по проблеме; анализ действующих программ и учебных пособий по математике и физике для средней школы; изучение опыта, накопленного в практике преподавания темы "Векторы", беседы с учителями; проведению педагогического эксперимента по разработанной методике.
Задачи исследования определили структуру и содержание диссертации, которая состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы.
Научная новизна исследования заключается в теоретическом и экспериментальном обосновании возможностей совершенствования методики изучения темы "Векторы на плоскости" в курсе геометрии за счет ориентации учебного процесса на программные требования, конкретизированные в виде системы задач. Теоретически обосновано, что подход к изучению векторов на основе органического сочетания координат вектора с трактовкой его как направленного отрезка в наибольшей степени соответствует целям изучения темы "Векторы" в школьном курсе геометрии. Разработана методика конкретизации программных требований по теме "Векторы на плоскости" до уровня системы задач. Разработана и обоснована схема обобщенного приема решения геометрических задач векторным методом.
Практическая значимость исследования заключается в том, что его результаты могут быть использованы: - для совершенствования учебников геометрии и создания _ 9 - задачников с целью усиления прикладной направленности курса геометрии в рамках действующей программы по математике; при разрабо на факультативных занятиях с учащимися 8-ого класса; в лекциях для учителей и студентов математических факультетов педвузов.
Апробация работы и внедрение результатов исследования в практику
О ходе исследования и его результатах докладывалось на заседаниях лаборатории обучения математике НИИ СиМО АПН СССР (1981-1983 гг.) и семинарах аспирантов, организованных при этой лаборатории, на УШ (1981 г.), IX (1982 г.) и X (1983 г.) научно-практических конференциях аспирантов и младших научных сотрудников НИИ СиМО АПН СССР, на лекциях для зав.кабинетами математики областных ИУУ в Центральном ИУУ, на заседаниях кафедры методики математики Харьковского государственного педагогического института им. Г.С.Сковороды (1980-1983 гг.), на научно-практических конференциях и курсах переподготовки учителей г.Харькова и Харьковской области, г.Одессы и Одесской области, г.Севастополя, г.Киева и Киевской области, Карельской АССР.
Разработанная нами методика решения геометрических задач векторным методом и система таких задач используется учителями г.Харькова и Харьковской области при изучении темы "Векторы". Результаты исследования использовались лабораторией обучения математике НИИ СиМО АПН СССР при подготовке (с участием диссертанта) методических рекомендаций (66) к изучению геометрии в 9 классе в 1983/84 учебном году для школ Украины.
Основные положения и результаты диссертационного исследования отражены в следующих публикациях:
Решение аффинных геометрических задач векторным методом. Методические рекомендации учителям математики. - Харьков, 1980, 76 с. В надзаг.: Харьковский областной совет педагогического общества, Харьковский гос. пед. ин-т им. Г.С.Сковороды (в соавт.).
Координатный подход к изучению векторов в восьмилетней школе как средство повышения эффективности обучения геометрии. В кн.: Совершенствование содержания и методов обучения естественно-математическим дисциплинам в средней школе. - М.: йзд-во НИИ СиМО АПН СССР, 1981, с. 5-27.
О формировании умений, необходимых для применения векторно-координатного метода к решению планиметрических задач. В кн.: Пути повышения качества обучения и воспитания учащихся в процессе изучения естественно-математических дисциплин в средней школе.- М.: Изд-во НИИ СиМО АПН СССР, 1982, с. 33-35.
4-. Особенности обучения учащихся векторному методу решения планиметрических задач. В кн.: Пути повышения качества обучения в процессе изучения основ наук в средней школе. - М.: Изд-во НИМ СиМО АПН СССР, 1983, с. 8-12.
5. Применение векторов при решении геометрических задач на доказательство. - Математикан ев физикан дпроцум (Математика и физика в школе), Ереван, 1983, № 6, с. 26-32 (в соавт.). - II -
Методические основы совершенствования изучения векторов в курсе планиметрии
Понятие "вектор" является одним из фундаментальных понятий современной математики, а аппарат векторного исчисления играет важную роль как в самой математике, так и во всех ее приложениях.
По существу векторное исчисление сложилось в связи с потребностями механики и физики, когда операции над векторными величинами стали производить непосредственно над самими векторами (в их геометрической интерпретации). Элементы векторной алгебры использовались еще в конце прошлого столетия при изложении отдельных тем и вопросов в учебниках. Например, тригонометрические формулы (в книге И.И.Макаревича (61))доказывались с применением векторов. Использовались векторы и при изложении теории комплексных чисел. Как видно из исследования А,С,Сергеевой (95) еще в ряде дореволюционных учебников физики (например, И.И.Косоно-гова) говорится о скалярных и векторных величинах, вводятся понятие вектора и правила сложения и вычитания, которые используются дальше.
В программе по математике для советской средней школы, изданной в 1925 году в Ленинграде, предусматривалось систематическое изучение векторов (12, с. 217-218). Однако в 30-е годы при введении единых обязательных программ в практику школы векторы так же, как и другие элементы высшей математики (производная, геометрические преобразования), не вошли в программу (12, с.263).
Впоследствии это вызвало критику программы 30-х годов за отсутствие в ней связей с современной наукой и практикой (12, с.230). За введение основ аналитической геометрии и векторов в курс математики средней школы высказались тогда Я.С.Дубнов, А.Я.Хинчин, В.Л.Гончаров, А.М.Лопшиц, Н.Ф.Четверухин, П.С.Александров, А.И. Маркушевич и др. При их участии в 1947 году в АПН был разработан проект программы по математике, включающий и элементы аналитической геометрии (65, с.321-322).
В настоящее время векторный метод широко используется как в математике, так. и в ее приложениях. Без понятия "вектор" невозможно представить себе современную науку, так же как и без понятия "функция" или "число". Поэтому при реформе школьного математического образования понятие "вектор" вошло в программу, и, хотя подходы к его изучению и подвергались серьезной критике, это понятие вместе с элементами векторной алгебры осталось в средней школе.
Психолого-педагогические предпосылки обучения приложениям векторов в курсе геометрии
Знания и умения - это основные, тесно связанные между собой компоненты содержания образования. Знания дают средства для усвоения навыков и умений, которые в свою очередь обеспечивают возможность использования знаний в качестве средства познания и практической деятельности.
Знания о способах деятельности еще не обеспечивают умения ими пользоваться. Чтобы учащийся овладел способом деятельности, чтобы знание об этом способе деятельности превратилось в умение или навык, необходимо реально осуществить этот способ деятельности и тем самым приобрести опыт его практической реализации. Этот опыт по своему содержанию не тождественен знаниям об этих способах. Знать еще не значит уметь. Как отмечает И.Я.Лернер, умение или навык - это единство знания о способе деятельности и опыта его реализации (56, с.46).
При организационной подготовке обучения необходимо определить не только систему знаний, подлежащую усвоению, но и систему навыков и умений, то есть способов деятельности, воспроизведение которых, после соответствующей информации, позволяет ими овладеть (56, с.68).
Определение умений. Вели в вопросе о значении умений в содержании образования в педагогической литературе фактически нет разногласий, то трактовки самого понятия "умение" у различных авторов различны. (См., например, (79), (76), (29), (55).
Для нашего исследования представляется наиболее целесообразным принять определение умения как владения определенными приемами деятельности ( (36), (37), (6) ). Более подробно это определение сформулировано в книге Б.А.Крутецкого, где понятие ".умение" определяется как успешное выполнение какого-либо действия или деятельности с применением правильных приемов и способов (49).
Такое определение позволяет наметить пути организации конкретной работы с учащимися по овладению ими соответствующими приемами (способами) деятельности, а также проверить сформирован-ность соответствующего умения по результатам выполнения действий с использованием приемов.
Формирование умений. В работах советских дидактов Ц.А.Данилова (28), Б.П.Есипова (32) подчеркивается, что образование умений происходит в процессе упразднений. В книге "Педагогика школы" (под ред. Г.И.Щукиной) отмечается, что умения образуются в результате упражнений, которые варьируют условия деятельности, предусматривают ее усложнение (78, с.262). При этом под упражнениями понимают многократное выполнение определенных действий или видов деятельности, имеющее целью их освоение, опирающееся на понимание и сопровождающееся сознательным контролем и корректировкой (то есть упражнения носят целенаправленный характер и осуществляются на основе понимания и тщательно продуманного педагогического руководства).
Аналогично понимается процесс формирования умений и в пособии "Дидактика средней школы" (под ред. М.Н.Скаткина) - для превращения действия, заданного извне, в умение необходимо первоначально однообразное его повторение, а затем вариативное, то есть в разных, существенных для данного действия ситуациях (29, с.144). В книге "Педагогика" Т.И.Ильиной этот процесс раскрывается более подробно. Автор утверждает, что при овладении любым умением большую роль играет как показ всего действия в целом, так и расчленение его на ряд последовательных операций (35). Таким образом, традиционно процесс формирования умений заключался в том, что учитель проводил показ образцов действий, а затем происходило упражнение учащихся в практическом выполнении этих действий.
Исследования психологов и дидактов (П.Я.Гальперина, Д.В.Эль-конина, В.В.Давыдова, М.А.Данилова, И.Я.Лернера, М.Н.Скаткина и др.) показали, что формирование умений - это сложный процесс, представляющий собой овладение всей системой операций по выявлению и переработке информации, имеющейся в знаниях и получаемой от предмета, а также по сопоставлению и соотнесению информации с действиями. При этом обращается внимание на то, что важное значение для формирования умений имеют: установка учащихся на решение задачи, выделение исходных данных и существенных для данной задачи отношений, возможность охватывания всей ситуации в целом и др. Например, Ю.К.Бабанский отмечает, что в описываемом им эксперименте обнаружено, что при установке внимания на общий подход к решению задач было достаточно двух-трех задач, чтобы понять и научиться решать задачи данного типа. Без концентрации же внимания на общем подходе, даже большое число однотипных упражнений не приносило желаемых результатов (4, с. 222).
Конкретизация программных требований по теме "Векторы на плоскости" до уровня системы задач
В первой главе была раскрыта специфика темы "Векторы на плоскости", которая обусловлена тем, что программа по математике определяет аппарат векторной алгебры как вспомогательный для доказательства теорем и решения задач. Поэтому при изучении темы "Векторы" учащиеся должны овладеть двумя группами умений, В первую группу входят умения, связанные о усвоением собственно аппарата векторной алгебры, т.е. умения, связанные с прямым применением этого аппарата,, когда векторы и векторные соотношения уже заранее заданы. Однако, поскольку приложения векторов не сводятся к решению "чисто" векторных задач, то учащиеся должны овладеть второй группой специфических умений, связанных о применением векторного аппарата во "вневекторных" ситуациях, т.е. в ситуациях, требующих предварительного перевода на векторный язык.
Следует отметить, что существенная детализация умений первой группы дается уже в программе по математике (в разделе "Требования к математической подготовке учащихся" перечисляются основные из этих умений, а в разделе "Содержание обучения" зафиксированы соответствующие им знания). Таким образом,основной состав умений первой группы является бесспорным.
Умения второй группы, связанные с применением векторов, программой не фиксируются. Поэтому при определении этих умений необходим другой подход. Чтобы сформулировать в общем плане умения второй группы, приходится использовать накопленный тра 46 диционный материал по теме "Векторы". В методической и учебной литературе накопилось значительное число задач, предназначенных как для закрепления теоретических фактов векторной алгебры, так и для иллюстрации возможности применения векторов к решению физических и геометрических задач (особенно к решению стереометрических задач).
Для определения умений второй группы мы использовали анализ задач, содержащихся в методической и учебной литературе, и со-постановление умений, выделенных в результате анализа, с целями изучения темы "Векторы" в школьном курсе геометрии.
Рассмотрим более подробно этапы указанного анализа. В качестве источников использовались современные учебники и пособия по геометрии ( (44), (41), (17),(16), (27) и др.), а также учебники и пособия прошлых лет издания (предназначенные как школы (19), (18), так и для вузов и техникумов (7), (31), (33), (48), (74) и др.). Кроме этого использовался задачный материал, приведенный в статьях в журнале "Математика в школе" (начиная с 1967 года). Умения, связанные с векторной алгеброй, необходимые для курса физики, выделялись при анализе учебника физики (40) и использовались выводы, полученные в исследованиях (3), (95), (102), а также результаты, изложенные в статьях и пособиях (II), (58), (75), (82), (101) и др.
Кроме этого были проанализированы сборники геометрических задач (97), (96) и др. с точки зрения возможностей применения векторов к решению геометрических задач из этих сборников.
При проведении анализа мы сравнивали векторное и традиционное решение каждой задачи, и векторное решение принималось во внимание только тогда, когда оно было более простым или, во всяком случае, не более сложным,чем традиционное, т.е. не приводящим к резкому увеличению числа логических шагов в решении и не требующим использования сведений, далеко выходящих за рамки программы Так как задача выделения минимального уровня геометрических задач, решаемых векторным методом, рассматривалась позже, то на этом этапе специальных критериев для оценки сложности решения мы не вводили.
В результате этой работы было выделено около тысячи геометрических задач, для решения которых целесообразно применение векторов. Все выделенные задачи были расклассифицированы на типы на основе требований этих задач. Таким образом выделились следующие типы задач: I) задачи, связанные с доказательством параллельности прямых и отрезков; 2) задачи, в которых доказывается, что некоторая точка делит отрезок в заданном отношении, или находится отношение, в котором точка делит отрезок; 3) задачи на доказательство принадлежности трех и более точек одной прямой. Векторное решение задач этих типов возможно без применения скалярного произведения векторов. Кроме отмеченных типов были выделены: 4) задачи, связанные с доказательством перпендикулярности прямых и отрезков; 5) задачи на вычисление длин отрезков; б) задачи на вычисление величин углов. Задачи 4-6 типов обычно решаются с использованием скалярного произведения векторов.
Следующей задачей анализа было выделение знаний и умений, необходимых для успешного применения векторов к решению геометрических задач, для доказательства теорем и решения упражнений по теме "Векторы".
