Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Теоретические основы методики развития математических способностей учащихся старших классов через деятельностный подход в обучении математике 20
1.1 Проблема математических способностей и методики их развития в научно-методической литературе 20
1.1.1 Анализ взглядов ведущих математиков на понятие «математические способности» 20
1.1.2 Способности, структуры, виды математических способностей 23
1.1.3 Модели структур математических способностей 25
1.1.4 Признаки проявления математических способностей 31
1.1.5 Влияние возрастных особенностей учащихся на развитие математических способностей 36
1.1.6 Развитие способностей учащихся и соответствующие пути развития 3 9
1.2. Деятельностный подход к обучению как путь развития математических способностей 44
1.2.1 Деятельностный подход в педагогике и психологии 44
1.2.2 Деятельностный подход в научно-методической литературе и в практике школьного обучения 52
1.3 Технологии обучения, основанные на деятельностном подходе 5 6
1.3.1 Анализ понятий «дистанционное обучение», «дистантное обучение» 57
1.3.2 Характеристические черты дистантного обучения и возможности его использования в школе 62
Глава II. Изучение тригонометрии, направленное на развитие математических способностей старшеклассников 67
2.1 Изучение тригонометрии в современной школе 67
2.2 Технология обучения тригонометрии, способствующая развитию математических способностей старшеклассников 70
2.2.1 Система используемых методов 70
2.2.2 Управление процессом обучения 72
2.2.3 Технологическая схема обучения тригонометрии 77
2.2.4 Организация обучения тригонометрии 81
2.3. Учебно-дидактический комплекс как одно из средств
обеспечения технологии дистантного обучения тригонометрии 101
2.3.1 Характеристика структурных единиц УДК 104
2.3.2 Характеристика составной части УДК -
«Практические занятия» 114
Глава III. Постановка педагогического эксперимента и его результаты 124
3.1 Организация и проведение констатирующего эксперимента 124
3.2 Организация и проведение поискового эксперимента 134
3.3 Организация и проведение обучающего эксперимента 141
Заключение 148
Литература 154
Приложение 174
- Проблема математических способностей и методики их развития в научно-методической литературе
- Изучение тригонометрии в современной школе
- Организация и проведение констатирующего эксперимента
Введение к работе
На современном этапе развития общества учение школьника направлено, в основном, на овладение знаний, умений и навыков, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности. Для традиционного обучения характерен чаще всего пассивный характер, педагог выступает как передатчик и информации, что приводит к формальному усвоению знаний и не дает развивающего результата. В итоге формируется тип личности, привыкающий подчиняться, а не тип личности свободного человека, осознающего ответственность за свой выбор, свои действия. Российскому обществу нужны высококвалифицированные кадры, обладающие навыками творческой деятельности, имеющие развитую потребность в самообразовании, способные самостоятельно решать возникающие проблемы, высоко чтящие нравственные и гуманные ценности. Поэтому закономерно, что система образования должна работать на реформу российского общества и выступать в качестве движущей силы. Новое в науку и производство вносят, как правило, личности, обладающие нестандартным мышлением. Для создания творческой личности необходимы, в первую очередь, два условия: природный талант и г» благоприятные условия для его развития. Поэтому для того, чтобы способности дали о себе знать, нужна соответствующая среда, соответствующее обучение. Если этого нет, то возможности человека могут и не проявиться. Кроме этого, содержание знаний Ь постоянно возрастает. И поэтому учащиеся не в силах приобрести все эти знания. Наиболее доступный путь решения этих проблем - самостоятельное приобретение знаний. Для этого от школы требуется вооружить школьников приемами (способами) добывания знаний. Как построить процесс обучения, чтобы учащиеся могли овладеть этими приемами? Решение этой проблемы педагоги и психологи видят в новых подходах к процессу обучения.
Проблема развития способностей учащихся всегда была актуальной для школы и для учителя, независимо от того какой предмет он преподает и какой раздел программы в данный момент изучается. Данная проблема не нова в психологии, но чрезвычайно сложна и далека еще от своего решения. В термин "развитие" каждый вкладывает свое особое содержание. В 20 веке были предложены две знаменитые теории развития - теория Л.С. Выготского и теория Ж. Пиаже. И тот, и другой сходятся во мнениях о том, что развитие человека есть, прежде всего, развитие его психики, хотя этим оно не исчерпывается. Математическое мышление в русле теоретического мышления изучалось В.В. Давыдовым, Л.К. Максимовым. С точки зрения Л.К. Максимова, «...показателем развития математического мышления у школьников...служит наличие у них возможности ориентироваться в его содержании путем его анализа, опирающегося на рефлексию и внутренний план действия» [107]. Эти ученые, а также С.Л.Рубинштейн, А.Н. Леонтьев, Л.Р. Лурия, Б.М. Теплов, Д. Брунер, А.В. Брушлинский, O.K. Тихомиров, Я.А. Пономарев, В.А. Крутецкий и др. внесли большой вклад в изучение психологических закономерностей мышления. Щ Щ 466, №и,#р.
Анализ психолого-педагогической и методической литературы показал, что проблема математических способностей учащихся нашла отражение в трудах Л.С. Рубинштейна, Н.С.Лейтеса, В.А.Крутецкого, А.Н. Колмогорова, З.И. Калмыковой и др. Всесторонне исследуется понятие способностей и особенностей их развития в работах Л.С.Выготского, А.В. Брушлинского. Е.Н. Кабановой-Меллер, А.Н.Леонтьева, Н.Ф. Талызиной и др. Различные модели структуры математических способностей предложили А.Н.Колмогоров, Н.В.Метельский. Анализу и развитию общих аспектов проблемы математических способностей посвящены диссертационные исследования Э.Ж. Гингуллис, З.П. Горельченко, И.И. Дырченко, Н.Н. Иванова, О.С. Чашечникова и др. С U Н, 6Z « ffiJ
Проблема развития математических способностей учащихся - одна из наиболее деликатных в методике обучения математике. В реальной практике не вызывает сомнений, что тот или иной ученик, который успешно занимается по математике, регулярно завоевывает первые призы на олимпиадах, научно-практических конференциях, проявляет математические способности, но любые попытки делать выводы об отсутствии математических способностей, давать прогнозы о будущих профессиональных успехах «явно способных» учащихся, предлагать тесты для выявления наличия или отсутствия математических способностей и т.п. вызывают бурную дискуссию. Анализ литературы, связанной с проблемой способностей вообще и математических в частности, показал, что в данной области спектр мнений весьма широк.
Исследованием способностей активно занимались многие психологи и педагоги. Истории этих исследований посвящена диссертация Л.Ю. Субботиной, которая, в частности, отмечала: «К сожалению, в теории способностей к настоящему времени отсутствует единство в понимании предмета психических способностей, методов их диагностики и развития»[116, С.1].
Тем не менее, в работах советских психологов можно выделить ряд моментов, пользующихся достаточно широким признанием. Так, считают, что способности «обнаруживаются, прежде всего, в быстроте, глубине и прочности овладения способами и приемами некоторой деятельности и являются внутренними психическими регуляторами, обусловливающими возможность их приобретения» [114, С.649].
В «Кратком психологическом словаре» принято следующее определение: «Способности - индивидуально-психологические особенности личности, являющиеся условием успешного выполнения той или иной продуктивной деятельности» [64, С.339].
Психологи выделяют общие, специальные, практические (в том числе и организаторские, педагогические) способности. Математические способности при этой классификации относятся к специальным способностям. Непосредственно изучением математических способностей занимались отечественные психологи В.И. Зыкова, В.А. Крутецкий, СИ. Шапиро, И.С. Якиманская, А. Анелаускене и др. Из работ зарубежных психологов можно указать работы Э. Торндайка, И. Верделина, Э Гефферт, Г. Пипига и др. Для всех этих авторов источником их выодов служит анализ математической деятельности учащихся, ess, т,зеи,д[і.]
Особого внимания заслуживает, на наш взгляд, проблема развития математических способностей учащихся 9-11 классов. Возрастные особенности подростков важны для становления личности: мышление приобретает более абстрактный характер, формируются и начинают активно проявляться склонности и способности. Проблема развития способностей учащихся тесно связана с проблемой деятельности, с выявлением условий, при которых деятельность становится средством развития личности в целом и способностей, в частном. Поэтому в последнее время педагоги и психологи обратились к деятельностному подходу в обучении. При деятельностном характере обучения формируются способы общения, мышления, понимания, рефлексии, действия.
Психолого-педагогические аспекты проблемы деятельностного подхода в обучении на современном этапе развития школы рассматривались в работах многих известных психологов и педагогов, таких как В.Г. Ананьин, Д.Н. Богоявленский, П.Я. Гальперин, Т.С. Гришина, Л.С. Выготский, В.В. Давыдов, Е.Н. Кабанова-Меллер, В.А. Крутецкий, А.Н. Леонтьев, Н.А. Менчинская, Н.Ф. Талызина, Т.Н. Шамова, Д.Б. Эльконин и др.
В исследованиях Ю.К. Бабанского, И.Я. Лернера, М.А. Данилова, Т.И. Шамовой, П.И. Пидкасистого, Б.Ф. Райского, А.В. Усовой, Г.И. Щукиной и др.деятельностный подход используется для разработки общеучебных умений и навыков. Данные исследования носят общепедагогический характер, т.е. они рассматривают общие пути ее разрешения.
Деятельностный подход к обучению по-новому поставил вопросы о соотношении знаний, умений и навыков учащихся и их развития в учебной деятельности (знания приобретаются и проявляются, развитие происходит только в деятельности, за умениями и навыками всегда стоит действие с определенными характеристиками; результат учебной деятельности - развитие ученика, качественные изменения в его психике; чтобы научить учащихся самостоятельно учиться и развиваться, надо дать им знания того, как рационально организовать и осуществить свою учебную деятельность и предоставить возможность применить эти знания на практике).
Средством реализации задач современной школьной реформы, направленной на реализацию развивающей функции обучения, является дифференциация содержания и учебных требований.
Психолого-педагогические аспекты дифференцированного подхода к обучению в школе отражены в трудах Ю.К. Бабанского [16 ], В.П. Беспалько [26], В.А. Далингера [51], В.П. Монахова [ 120] и др.Эти исследования касаются иаких аспектов этой проблемы как: особенности коллективного способа обучения; проблемы развития индивидуальных интеллектуальных способностей в процессе обучения; поиск приемов, средств и форм дифференциации и индивидуализации обучения и математического в частности.
Выделяется два основных вида дифференциации: уровневая и профильная. Основное содержание этих понятий известно: уровневая дифференциация дает возможность ученику изучать учебный материал в соответствии с его индивидуальными способностями и возможностями; профильная дифференциация реализует давнюю идею фуркации в средней школе.
На современном этапе в психологической, педагогической и методической литературе рассматриваются различные подходы к определению понятия «дифференциация обучения», позволяющие акцентировать либо психологический (учет всевозможных особенностей учащихся и создание соответствующих групп), либо педагогический (система обучения, отвечающая склонностям учащихся), либо методический (дифференциация содержания учебного материала) аспекты.
В рамках нашей работы идея уровневой дифференциации является основополагающей. Действительно, деятельностный подход к обучению позволяет реализовать идею уровневой дифференциации с учетом ее психологического и педагогического компонентов.
Творческая деятельность - одно из самых интересных, наиболее сложных и наименее изученных психических явлений. В специальной литературе синонимами понятия «творческая деятельность» выступают творчество, продуктивная деятельность, эвристическая деятельность, творческое мышление.
Проблемы творчества в изучении математики волновали многих отечественных и зарубежных педагогов и психологов. Среди них можно назвать Ю.К.Бабанского, Дж. Брунера, П.Я. Гальперина, В.В. Давыдова, В.А. Крутецкого, З.И. Калмыкову, А.Н. Леонтьева, И.Я. Лернера, A.M. Матюшкина, Н.А. Менчинскую, П.И. Пидкасистого, М.Н. Скаткина, Л.М. Фридмана и др. 1% 40, 49, 5-0,35, WO, І02, H0J34, /ST6, /9 ua J
Традиционная школа пыталась и пытается решить проблему приобретения опыта творческой деятельности учащихся за счет индивидуализации обучения и постановки проблемных задач на уроке, вводя в практику работы олимпиады, организуя научные общества. Определенный положительный опыт в освоении этого элемента содержания образования имеют школы, работающие по методике развивающего обучения Д.Б. Эльконина - В.В. Давыдова. Но все эти приемы рассчитаны на усвоение усредненным учеником базисного компонента содержания образования. Запрос же государства, осуществляющею кардинальные реформы, требует от его гражданина способности мыслить вообще. Нужна думающая личность, без умственных потуг значащие проблемы не решить. Следовательно, как минимум, должна быть разработана система, прививающая навыки мышления, творения нового и внутреннего психологического настроя на напряженную творческую деятельность. Решение этой проблемы связано, прежде всего, с индивидуализацией обучения и включением учащихся в самостоятельное учебное или даже научное исследование:
В педагогической науке индивидуализация определяется как «организация учебного процесса, при которой выбор способов, приемов, темпа обучения учитывает индивидуальные различия учащихся, уровень развития их способностей к учению»[127].
В настоящее время приоритет получают новые технологии обучения, в которых учащиеся самостоятельно приобретают знания. В этом направлении ведутся активные разработки в нашей стране и за рубежом.
Одной из таких технологий является дистанционная система образования, направленная на формирование творчески мыслящих личностей.
Дистанционное образование является формой получения образования, при которой в образовательном процессе используются лучшие традиционные и инновационные методы, средства и формы обучения, основанные на компьютерных и телекоммуникационных технологиях.
Основу образовательного процесса при дистанционном образовании составляет целенаправленная и контролируемая интенсивная самостоятельная работа обучаемого, который может учиться в удобном для себя месте, по индивидуальному плану, имея при себе комплекс специальных средств обучения и согласованную возможность контакта с преподавателем по телефону, почте, а также очно.
Дистанционная система образования в школе - это система, позволяющая создать благоприятные условия для развития обучаемого как личности за счет увеличения времени на самостоятельное освоение изучаемых предметов при одновременном уменьшении количества теоретических занятий и при хорошем сервисном обеспечении и обслуживании учебного процесса.
Такой подход позволяет большинству школьников добиваться успехов в учебе без ущерба для здоровья, не подавляя других интересов и склонностей.
Дистанционное образование, являясь одной из форм системы непрерывного образования, призвано реализовать права человека на образование и получение информации, что позволит дать равные возможности при обучении школьников, студентов за счет более активного использования научного и образовательного потенциала ведущих университетов, институтов, центров повышения квалификации, других образовательных учреждений.
Из основ математической науки, излагаемых в средней школе, наиболее поверхностно и во многом формально приводится учение о круговых функциях, традиционно называемой тригонометрией. Как учебный предмет, тригонометрия уже несколько десятилетий отсутствует в ученом плане общеобразовательной школы, а сами разделы, связанные с изучением элементов тригонометрии, не только систематически перекочевывают из старшей школы в основную, и наоборот, но одновременно происходит их сокращение в содержательном плане.
И хотя нашей школой накоплен богатый опыт и имеются определенные успехи в преподавании тригонометрии, возникает множество проблем при обучении школьников тригонометрии, которые связаны, в первую очередь, с преобладанием алгоритмического характера данного учебного материала, который не способствует развитию способностей школьника. Разработке определенной системы изучения тригонометрических функций в средней школе посвящены диссертационные исследования Н.Н. ШоластеРа, Л.И. Жогиной, И.В. Баума и др., но эти работы посвящены отдельным вопросам изучения тригонометрии.
Кроме этого, в связи с тем, что в обязательном минимуме содержания основного общего образования по математике, утвержденного приказом Мин образования России №1236 от 19.05.98г., из основной школы полностью исключаются все вопросы, связанные с изучением элементов тригонометрии в курсе алгебры, (а именно синус, косинус, тангенс произвольного угла, основные тригонометрические тождества и формулы приведения), этот материал должен теперь рассматриваться в старшем звене, где он логически соединяется с основным содержанием тригонометрического курса. Поэтому возникает необходимость внесения определенных корректив в традиционную методику обучения тригонометрии.
Все вышесказанное обусловливает актуальность нашего исследования, которое состоит в разрешении противоречия между декларируемыми целями образования и его реальными результатами; между необходимостью дифференциации образования и единообразием технологии обучения; между преобладающими в школе фронтальными формами обучения, объяснительно-иллюстративным характером преподавания и личностно-деятельным характером учения и усвоения знаний; между неизбежными результатами обучения традиционными методами (доминированием памяти над мышлением, пассивностью в учебной работе, перегрузке учащихся) и стремлением достичь развития учащихся средствами учебного предмета.
С учетом возникших противоречий была определена проблема исследования: на основе имеющегося практического и теоретического опыта разработать методическую основу развития математических способностей учащихся старших классов в процессе изучения тригонометрии, а также создать необходимое сервисное обеспечение и обслуживание учебного процесса для изучения тригонометрии.
Цель исследования заключается в разработке и обосновании технологии развития математических способностей учащихся в процессе изучения тригонометрии.
Объект исследования: процесс обучения тригонометрии.
Предмет исследования: развитие математических способностей при изучении тригонометрии.
В ходе исследования была выдвинута следующая гипотеза: применение технологии дистантного обучения и деятельностного подхода в изучении тригонометрии будет способствовать развитию математических способностей учащихся.
Исходя из цели исследования и гипотезы, были поставлены следующие задачи:
1) изучить состояние изучения тригонометрии в средней школе;
2) выявить психолого-педагогические и методические проблемы развития математических способностей учащихся старших классов общеобразовательных школ;
3) разработать технологию обучения тригонометрии, способствующую развитию математических способностей школьников;
4) разработать учебно-дидактический комплекс для учащихся по курсу тригонометрии;
5) подготовить методические рекомендации по использованию учебно-дидактического комплекса средствами дистантного обучения для учителей;
6) провести экспериментальную апробацию разработанного курса и методики его преподавания;
7) выполнить анализ полученных результатов.
Для решения поставленных задач использовались следующие методы исследования:
1) анализ психолого-педагогической, методической, исторической литературы по проблеме диссертации;
2) наблюдение за учащимися, анкетирование, тестирование учителей и учащихся различных образовательных учреждений, беседы с ними;
3) психолого-педагогический анализ учебно-познавательной деятельности учащихся;
4) опытная работа;
5) наблюдение за ходом учебного процесса;
6) поисковый, констатирующий и формирующий педагогический эксперимент;
7) статистическая обработка полученных результатов.
Научная новизна исследования состоит в том, что в нем проблема развития математических способностей школьников решается путем индивидуализации изучения тригонометрии с помощью технологии дистантного обучения и деятелъностного подхода.
Теоретическое значение исследования состоит в том, что в нем уточнено содержание понятий «математические способности», «математическая деятельность», «критерий измерения развитости математических способностей», «коэффициент пространства деятельности», «принцип min max» применительно к обучению учащихся тригонометрии в школе; выявлены условия и средства развития математических способностей школьников; разработаны методические рекомендации к обучению тригонометрии старшеклассников на основе деятелъностного подхода и технологии дистантного обучения.
Практическая значимость исследования определяется тем, что разработанная технология обучения тригонометрии, трехуровневые задания по тригонометрии могут быть использованы для профильного обучения учащихся общеобразовательных школ. Кроме этого, учебно-дидактический комплекс по тригонометрии может быть использован для самостоятельного изучения тригонометрии.
Данная технология обучения тригонометрии может быть внедрена не только в школы, но и в практику пединститутов для повышения качества профессиональной подготовки будущих учителей математики.
Основные этапы исследования. Педагогическое исследование по теме диссертации проводилось с 1997 по 2001гг. и включало несколько этапов. Первый этап (1997-1998гг.) носил поисково-теоретический характер. На основе теоретического анализа психолого-педагогической, социологической, философской литературы осуществлялось изучение различных аспектов проблемы исследования, определились исходные параметры исследования, его предмет, гипотеза, методология и методы, понятийный аппарат.
Второй этап - опытно-экспериментальный, входе которого была разработана программа констатирующего и формирующего эксперимента, определены критерии эффективности проводимой работы, методы исследования, проводился в 1998 - 2000 на базе школ города Новокузнецка № 4, № 17, № 91. Констатирующий этап экспериментальной работы позволил определить исходные параметры (наличный уровень развития школьников). С целью выявления влияния технологии дистантного обучения и деятельностного подхода к обучению на уровень развития математических способностей был проведен формирующий эксперимент. На основе результатов, полученных в процессе проведения констатирующего эксперимента, и теоретического анализа научной литературы были уточнены и обогащены методы и методика дистантного обучения как средства развития ее природных данных. В ходе формирующего эксперимента научно обосновывались и апробировались элементы дистантного обучения на разных этапах обучения в условиях различных школ - общеобразовательных, гимназий, лицеев.
На третьем, обобщающем, этапе осуществлялся анализ и систематизация результатов исследования, проведено уточнение теоретических и экспериментальных данных, сформулированы основные выводы и рекомендации, были проведены итоги экспериментальной работы, позволяющие судить о подтверждении гипотезы диссертационного исследования и объективности его результатов.
Обоснованность и достоверность результатов исследования обеспечены использованием системно-деятельностного подхода и взаимосвязанного комплекса теоретических и эмпирических методов исследования; применением методов, адекватных целям, задачам и логики исследования, опытно-экспериментальной проверкой выводов и практических рекомендаций, сочетанием количественного и качественного анализа материалов исследования, использованием методов теории вероятностей и корреляционного анализа.
Апробация и внедрение результатов исследования. Основные теоретические положения и результаты диссертационного исследования докладывались автором на районном методическом семинаре учителей математики (Новокузнецк, 1999г.); на заседаниях кафедры алгебры и геометрии НГПИ (Новокузнецк, 1998-200ІГ.); на методическом объединении учителей математики средних школ № 91, № 17 г. Новокузнецка (1998-2002г.).
Экспериментальная проверка теоретических положений диссертации и их внедрение проводились в 1998-2001г. на базе школ № 91, № 17 г. Новокузнецка. В эксперименте участвовало около 300 учащихся старших классов.
Проведенный эксперимент показал, что в процессе обучения учащихся тригонометрии возможна такая организация деятельностного подхода к обучению с использованием элементов дистантного образования, которая позволит развивать математические способности, что в конечном счете будет способствовать созданию творческой личности.
На защиту выносятся следующие положения:
1) использование технологии дистантного обучения и деятельностного подхода обеспечивает индивидуализацию обучения тригонометрии, организацию самостоятельной работы и рефлексивной деятельности учащихся, что повышает познавательную активность школьников и ведет к развитию их математических способностей;
2) систематическое отслеживание сформированности таких основных параметров математических способностей как содержательный анализ математического текста, содержательное планирование на математическом материале и содержательная рефлексия оснований своих действий, примененных способов решения задач позволяет измерять уровень развития математических способностей учащихся.
Проблема математических способностей и методики их развития в научно-методической литературе
Известно, что математические способности - это определенная совокупность некоторых качеств творческой личности, сформированных и применяемых в процессе математической деятельности [157].
Крутецкий В.А. предложил следующее определение математических способностей: «индивидуально-психологические особенности (прежде всего особенности умственной деятельности), отвечающие требованиям учебной математической деятельности и обуславливающие при прочих равных условиях успешность творческого овладения математикой как учебным предметом, в частности относительно быстрое, легкое и глубокое овладение знаниями, умениями и навыками в области математики» 5]
Будем исходить из следующего определения: математические способности есть способности к математическому творчеству, т.е. способность самостоятельно получать решение математических задач, выходящих за рамки более или менее тривиальных применений известных алгоритмов и теорем.
Отметим, что, принимая это определение, мы встаем на точку зрения, согласно которой и ученик, самостоятельно решивший новую для него трудную задачу, и математик, справившийся с решением проблемы, проявляют математические способности.
Аналогично, в качестве основного критерия эффективности методики, ориентированной на развитие математических способностей мы принимаем практическую состоятельность. Другими словами, такая методика признается эффективной в том случае, если в результате ее применения в обучении школьников появились выпускники, своими математическими успехами убедительно демонстрирующие наличие у них математических способностей в указанном выше смысле.
Анализ литературы по обсуждаемой проблеме начнем с анализа взглядов на математическое творчество ведущих математиков, доказавших своими работами наличие у них математических способностей. Наиболее полные высказывания на этот счет принадлежат французским математикам А. Пуанкаре и Ж. Адамару, русскому ученому-академику А.Н. Колмогорову.
Анри Пуанкаре (1854-1912) в своей работе «Ценность науки» отмечал, что, по его мнению, «математиками родятся, а не делаются» [10, С. 159]. Значительную роль, как в понимании математики, так и в математическом творчестве, он отводил математической интуиции. Среди выдающихся математиков А.Пуанкаре выделял «логиков» (К. Вейерштрасс) и «интуистов» (Б. Риман). Согласно А. Пуанкаре, «логики» в своем математическом творчестве стараются избегать наглядных представлений и тяготеют к построению логических схем, а у «интуистов» главную роль в творчестве играет интуиция (геометрическая, в частности).
Жак Адамар (1865-1963) отрицал деление математиков на «логиков» и «интуистов». Он писал: «...говоря строго, практически не существует чисто логических открытий. Вмешательство бессознательного необходимо по крайней мере для того, чтобы стать отправным пунктом логической работы» [1, С. 106]. У некоторых математиков, по мнению Ж. Адамара, интуиция находится дальше от сознания, поэтому в их работах не остаются следы способов, которые привели к выбранным методам. У других математиков интуиция и бессознательное более активно связаны с сознанием, поэтому их работы частично хранят следы пути, приведшего их к полученным результатам.
А.Н. Колмогоров (1903-1987) в своей известной брошюре «О профессии математика» выделил три основные группы математических способностей, встречающихся в разных комбинациях. Это, в первую очередь, вычислительные или «алгоритмические» способности, применяемые, например, при разложении многочленов на множители и решении уравнений, преобразований выражений и т.д. Это геометрическое воображение; «... везде, где это возможно, математики стремятся сделать изучаемые ими проблемы геометрически наглядными» [83, С. 10].
Изучение тригонометрии в современной школе
Разработке определенной системы изучения тригонометрии с средней школе посвящены диссертационные исследования Н.Н. Шоластера «Изучение тригонометрии в курсе математики средней школы», Л.И. Жогиной «Построение изложения учения о тригонометрических функциях в курсе математики средней школы», И.В. Баума «Система изучения тригонометрических функций на векторной основе в курсе алгебры средней школы», А.И. Янцевич «Система изучения тригонометрических функций в старших классах средней школы».
При традиционном изучении у учеников создается впечатление, что большое число формул слабо или вовсе не связаны между собой и , следовательно, требуют специальных способов заучиваня и запоминания. Это создает значительные трудности. «Обилие формул очень затрудняет поступающим изучение тригонометрии. Формулы надо помнить, но главное -необходимо научиться быстро выводить каждую из них, так как умение вывести нужную формулу - большее достоинство, чем заучивание их без понимания вывода. Необходимо твердо знать определения тригонометрических функций, основные соотношения между ними и формулы сложения. На этой базе уже можно довольно быстро получить любую другую формулу.» [64]. Следовательно, необходимо построить такую систему изучения тригонометрии, которая давала бы возможность выводить различные формулы из небольшого числа их.
По поводу трудностей изучения тригонометрии, касаясь даже физико-математических школ, СИ. Шварцбурд писал: «...к тригонометрическим функциям учащиеся должны долго привыкать, одного понимания здесь мало, нужно время для того, чтобы тригонометрические функции «улеглись» в сознании учащихся. Этого не избежать, если мы хотим, чтобы все учащиеся получили фундаментальные знания.» Сказанное в полной мере относится также к общеобразовательной школе. Изучение тригонометрических функций должно сопровождаться достаточным числом умело подобранных и систематически проводимых упражнений, направленных не только на усвоение получаемых знаний, но и на развитие математических способностей учащихся.
По примерным программам на тригонометрию в 10 классе отводится 42 ч. (уч. «Алгебра и начала анализа, 10-11» авт. Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин и др.), примерно столько же времени уделяется этому разделу алгебры и по учебнику автора М.И. Башмакова. В связи с тем, что из обязательного минимума содержания основного общего образования по алгебре, утвержденного приказом Мин Образования России № 1236 от 19.05.98, в основной школе полностью исключены все элементы тригонометрии, то теперь этот материал рассматривается в старшем звене, где он изучается целостно и компактно, что отвечает и реальной практике преподавания: курс алгебры и начал анализа учителя, как правило, начинают с полного прохождения вводной части раздела «Тригонометрические функции». В связи с указанными изменениями в содержании в старшем звене необходимо внести определенные коррективы в традиционную методику обучения тригонометрии.
Одна из главных задач при изучении тригонометрических функций в школе - сформировать у учащихся представления о периодических процессах и способах их математического моделирования. При традиционной методике преподавания тригонометрии решение этой задачи сталкивается с серьезными объективными трудностями. Понятно, что моделирование периодических процессов должно опираться на графические образы. В школе, особенно в сельской, по техническим причинам последовательное использование графических представлений затруднено. Во-первых, построение сложных графиков при «бумажно-карандашной» технологии невозможно (даже при хорошей подготовке учащихся).
Организация и проведение констатирующего эксперимента
Констатирующий эксперимент проводился с 1997 года по 1998 год. На этом этапе была начата активная работа по анализу состояния преподавания тригонометрии ученикам старших классов общеобразовательных школ через: осмысление и систематизацию собственных наблюдений в процессе преподавания в школе и на физико-математическом факультете педагогического института; изучение предлагаемых исследователями современных методов и форм преподавания.
Целью этого этапа было также выявление препятствий на пути организации эффективного личностно-ориентированного процесса обучения школьников и предварительное выявление системы условий, необходимых для разработки, внедрения и функционирования технологии обучения, базирующейся на увеличении самостоятельной работы и нацеленной на развитие математических способностей ученика.
Изучение исходного уровня развития математических способностей велось как с помощью наблюдения за работой учеников, абитуриентов, студентов, так и с помощью бесед, анкетных опросов, тестов.
Констатирующие эксперименты проводились фронтально, с группами в составе до 25 испытуемых. Фронтальные эксперименты дали возможность предварительной дифференциации испытуемых и их отбор, что позволило проведение дальнейшей целенаправленной индивидуальной работы с ними. В некоторых случаях констатирующие эксперименты проводились в индивидуально-групповом варианте, т.е. в группах с 2-5 испытуемыми разного или одинакового профиля обучения, работающих чаще с разными заданиями с возможностью индивидуальной работы экспериментатора с каждым испытуемым и с максимальным исключением их взаимных контактов.
Для определения наличия компонент математических способностей (алгоритмический, логический, геометрический) мы пользовались тем фактом, что в каждом из перечисленных компонентов имеются в обязательном порядке такие параметры математического мышления как содержательный анализ, планирование и рефлексия.
