Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Теоретические основы изучения иррациональных чисел в курсе алгебры средней школы с использованием самоподобных визуальных моделей 11
1.1. Проблема изучения иррациональных чисел в методической литературе и практике математического образования школьников 11
1.2. Обоснование целесообразности изучения иррациональных чисел в курсе алгебры средней школы с использованием самоподобных визуальных моделей 28
1.3. Методическая модель визуализации иррациональных чисел в курсе алгебры средней школы с использованием самоподобия 46
Выводы по главе I 60
Глава II. Методические аспекты изучения иррациональных чисел в курсе алгебры средней школы с использованием самоподобных визуальных моделей 63
2.1. Методические особенности введения иррациональных чисел в курсе алгебры средней школы с использованием самоподобных визуальных моделей 63
2.2. Специфика обучения учащихся действиям с иррациональными числами в курсе алгебры средней школы с использованием самоподобных визуальных моделей 83
2.3. Изучение иррациональных чисел на факультативных занятиях по алгебре с использованием самоподобных визуальных моделей 91
2.4. Постановка и результаты педагогического эксперимента 107
Выводы по главе II 119
Заключение 122
Список литературы 124
Приложения 141
- Проблема изучения иррациональных чисел в методической литературе и практике математического образования школьников
- Методическая модель визуализации иррациональных чисел в курсе алгебры средней школы с использованием самоподобия
- Специфика обучения учащихся действиям с иррациональными числами в курсе алгебры средней школы с использованием самоподобных визуальных моделей
- Постановка и результаты педагогического эксперимента
Введение к работе
Актуальность исследования. С переходом на новую образовательную парадигму возникает необходимость использования новых средств обучения, обеспечивающих более интенсивное интеллектуальное развитие школьников. Одним из таких средств в обучении математике выступают визуальные модели, позволяющие представлять объект изучения в наглядной форме. Понятие визуализации появилось в методике обучения математике сравнительно недавно, однако, вопросы, связанные с повышением наглядности процесса обучения математике в школе и развитием образного мышления учащихся, интересуют исследователей на протяжении довольно длительного времени. К работам, имеющим особо важное значение в исследовании наглядности процесса обучения школьников математике, следует отнести, прежде всего, труды П.А. Карасева, И.Ф. Шарыгина, В.А. Крутецкого, И.С. Якиманской, В.Г. Болтянского, А.Г. Гайштута, Э.Ю. Красса, П.Я. Дорфа, А.Я. Цукаря, Л.М. Фридмана и др.
Визуализация при обучении математике необходима, в первую очередь, там, где познавательная деятельность школьника предполагает работу с материалом, предметная (а, значит, и визуальная) основа которого является трудной для восприятия, а само знание - весьма абстрактным. Исследованием визуализации математических знаний занимались такие ученые, как В.А. Далингер, М.И. Башмаков, Н.А. Резник, А.В. Пчелин, Е.В. Никольский и др.
Особую методическую ценность визуализация имеет при изучении иррациональных чисел в школьном курсе алгебры. Это объясняется тем, что их полноценное усвоение предполагает преодоление учащимися высокого уровня абстрактности и объективной сложности содержания учебного материала, требует наличия знаний, скрытых от непосредственного восприятия, оперирования понятиями, не имеющими не только наглядных интерпретаций в учебно-методической литературе по математике, но и аналогов в опыте человека.
Значительный вклад в развитие учения об иррациональных числах в школьном курсе алгебры был сделан такими известными учеными, как И.К. Андронов, В.М. Брадис, К.С. Барыбин, Ю.М. Колягин, Ю.Н. Макарычев, А.А. Столяр, Н.Я. Виленкин, А.Г. Мордкович, В.В. Репьев, СЕ. Ляпин, В. Серпинский и др.
Работы этих и других авторов, касающиеся учения об иррациональных числах в школьном курсе алгебры, посвящены преимущественно вопросам совершенствования методов приближенного вычисление корней и преобразования выражений, состоящих из них, и направлены на раскрытие способов упрощения иррациональных выражений путем использования формул сокращенного умножения и некоторых других приёмов. При этом почти не затрагивается образная составляющая преобразований иррациональных выражений и, прежде всего, самих иррациональных чисел, а также визуальная основа арифметических действий с ними, в результате чего знания, которые получают школьники, нередко являются формальными.
В методической литературе по математике, несмотря на наличие научных работ и рекомендаций по изучению иррациональных чисел, проблема эффективных визуальных средств обучения, которые способствовали бы формированию правильных представлений школьников об иррациональных числах, не нашла достаточно полного решения, что, по-видимому, и является причиной недостаточности образной составляющей учебного материала школьных учебников.
Как следствие из данного обстоятельства, вопрос об исследовании методов и механизмов визуализации иррациональных чисел, которые позволили бы наглядно интерпретировать понятия, определяющие во взаимосвязи их природу, также является открытым.
Отдельные вопросы визуализации иррациональных чисел отражены в работах таких отечественных ученых, как А.Я. Хинчин, В.И. Арнольд, М.И. Зайкин, В.В. Вавилов, а также в работах зарубежных ученых: А. Нивена, Д.М. Борвейна и П.М. Борвейна, С. Рамануджана и др. Но специальных исследований, посвященных визуализации иррациональных чисел в школе, практически нет.
Другими словами, в условиях отсутствия эффективных визуальных средств обучения школьникам достаточно сложно усвоить сам базис теории иррационального числа, необходимый для понимания его сущности, дальнейшего изучения материала, связанного с иррациональными числами, и формирования понятия действительного числа.
На основании проведенного анализа методической литературы по математике, посвященной проблеме изучения иррациональных чисел в средней школе, и практики математического образования школьников было определено противоречие между необходимостью визуализации иррациональных чисел в курсе алгебры средней школы и отсутствием методических средств, позволяющих наглядно представлять иррациональные числа, производить действия с ними и использовать полученные визуальные модели в процессе обучения.
Из этого противоречия логически вытекает проблема исследования: каким образом осуществлять визуализацию иррациональных чисел в школьном курсе алгебры, чтобы облегчить восприятие школьниками иррациональных чисел, обеспечить видимость скрытых закономерностей и отношений, свойственных им, способствовать пониманию учащимися сущности иррациональных чисел и их полноценному усвоению?
Объектом исследования является процесс обучения учащихся алгебре в средней школе.
Предметом исследования являются цели, объекты, формы, методы, механизмы и средства визуализации иррациональных чисел в курсе алгебры средней школы.
Цель исследования заключается в теоретическом обосновании и разработке методического обеспечения изучения иррациональных чисел в курсе алгебры средней школы с использованием самоподобных визуальных моделей.
Гипотеза исследования заключается в том, что облегчение восприятия школьниками иррациональных чисел, видимости скрытых закономерностей и отношений, свойственных им, понимание учащимися сущности иррациональных чисел и их полноценное усвоение в курсе алгебры средней школы могут быть обеспечены, если:
изучение иррациональных чисел осуществлять с использованием визуализации учебного материала, обогащающей его образную составляющую и способствующей активизации мышления учащихся;
разработать и задействовать в процессе обучения модель методической системы визуализации иррациональных чисел, включающую цели, объекты, формы, методы, механизмы и средства их наглядного представления, являющиеся самоподобными визуальными моделями иррациональных чисел;
в качестве основных математических объектов, составляющих самоподобные визуальные модели иррациональных чисел и способствующих их визуализации, использовать десятичные дроби, вложенные радикалы и логарифмы.
В соответствии с целью и гипотезой исследования были определены следующие задачи исследования:
Проанализировать проблему изучения иррациональных чисел в курсе алгебры средней школы с целью определения путей совершенствования методики обучения.
Обосновать необходимость использования самоподобных визуальных моделей при изучении иррациональных чисел в курсе алгебры средней школы как средства, позволяющего усилить образную составляющую учебного материала.
Раскрыть цели, объекты, формы, методы и механизмы визуализации иррациональных чисел и разработать модель методической системы визуализации иррациональных чисел в курсе алгебры средней школы.
Разработать методическое обеспечение к использованию самоподобных визуальных моделей при изучении иррациональных чисел в курсе алгебры средней школы.
Проверить экспериментально эффективность разработанного методического обеспечения.
Методологической основой диссертационного исследования являются исследования визуального мышления и восприятия (Р. Арнхейм, В.П. Зинченко, И.С. Якиманская и др.); научные работы, касающиеся наглядности математических знаний (В.Г. Болтянский, И.Ф. Шарыгин, П.А. Карасев и др.);фундаментальные положения фрактальной геометрии (Б.Б. Мандельб-рот, А.Д. Морозов, СВ. Божокин и др.); а также положения системного и личностно-деятельностного подходов и общефилософские положения об объективности причинно-следственных связей и законов природы.
Теоретической основой исследования являются
философские исследования знаково-символьной информации (А.В. Славин, К.А. Свасьян, М.К. Мамардашвили и др.);
математические работы, раскрывающие различные подходы к трак-
товке понятия иррационального числа (Евклид, Г. Кантор, Р. Дедекинд и др.);
работы педагогов-математиков по методике обучения алгебре в средней школе (Ю.М. Колягин, Н.Я. Виленкин, Ю.Н. Макарычев и др.);
исследования по визуализации математических знаний в процессе обучения (В.А. Далингер, Н.А. Резник, А.В. Пчелин и др.).
Методы исследования: изучение и анализ методической, математической, психолого-педагогической и философской литературы; наблюдение, анкетирование, тестирование; анализ контрольных и самостоятельных работ школьников по алгебре; методы математической статистики.
Этапы исследования:
2008 - 2009 гг. - изучение и анализ методической, математической, психолого-педагогической и философской литературы, а также школьной практики обучения математике; определение темы и проблемы диссертационного исследования; разработка структуры диссертации;
2009 - 2010 гг. - дальнейшее изучение проблемы исследования; разработка теоретических основ диссертационного исследования и модели визуализации иррациональных чисел в школьном курсе алгебры; формулирование основных положений;
2010 - 2011 гг. - разработка методического обеспечения к изучению иррациональных чисел на основе предложенной модели и его экспериментальная проверка; апробация предложенной модели; анализ и систематизация результатов исследования; оформление диссертационной работы.
Научная новизна исследования заключается в том, что к изучению иррациональных чисел в курсе алгебры средней школы предложен новый подход, основанный на расширении образной составляющей учебного материала с помощью самоподобных визуальных моделей, облегчающих восприятие школьниками иррациональных чисел, обеспечивающих видимость скрытых закономерностей и отношений, свойственных им, способствующих пониманию школьниками сущности иррациональных чисел и их полноценному усвоению.
Теоретическая значимость исследования:
обоснована целесообразность использования в качестве основного средства визуализации иррациональных чисел в школьном курсе алгебры самоподобных визуальных моделей;
раскрыта сущность понятия самоподобной визуальной модели иррационального числа;
разработана модель визуализации иррациональных чисел, изучаемых в школьном курсе алгебры, включающая цели, объекты, формы, методы, механизмы и средства наглядного представления учебного материала.
Практическая значимость исследования заключается в том, что разработанное методическое обеспечение к использованию самоподобных визуальных моделей при изучении иррациональных чисел может быть непосредственно применено в практике математического образования. Данное методическое обеспечение может быть использовано на уроках алгебры в 8-11 классах средней школы, а также на факультативных занятиях по математике.
Обоснованность и достоверность проведенного исследования, его результативность и выводы обусловлены опорой на теоретические разработки в области психологии, педагогики, теории и методики обучения математике, совокупностью задействованных методов исследования, а также положительными результатами проведенного эксперимента.
На защиту выносятся следующие положения:
Облегчение восприятия школьниками иррациональных чисел, видимости учениками скрытых закономерностей и отношений, свойственных им, понимание сущности иррациональных чисел и их полноценное усвоение могут быть обеспечены в обучении благодаря визуализации учебного материала, которая обогащает его образную составляющую и способствует активизации мышления учащихся.
Визуализацию иррациональных чисел в школьном курсе алгебры целесообразно осуществлять на основе целостной методической системы, включающей цели, объекты, формы, методы, механизмы и средства их наглядного представления, предметную основу которой образуют самоподобные визуальные модели иррациональных чисел.
В качестве основных математических объектов, составляющих самоподобные визуальные модели иррациональных чисел и способствующих их визуализации в школьном курсе алгебры, могут быть использованы десятичные дроби, вложенные радикалы и логарифмы.
На защиту выносится также методическое обеспечение к использованию самоподобных визуальных моделей при изучении иррациональных чисел, действий с иррациональными числами, а также при изучении иррациональных чисел на факультативных занятиях в курсе алгебры средней школы.
Апробация и внедрение результатов исследования осуществлялись в виде обсуждений на заседаниях кафедры математики, теории и методики обучения математике АГПИ им. А.П. Гайдара; а также в виде выступлений на: Всероссийской научной конференции «Методическая подготовка студентов математических специальностей педвуза в условиях фундаментализации образования» (Саранск; 2009); VII Всероссийской научно-практической конференции «Инновационные технологии в образовании и профессиональной деятельности» (Арзамас, 2010); Всероссийской научно-практической конференции с международным участием «Современный учитель сельской школы России» (Арзамас, 2010); VIII Всероссийской научно-практической конференции «Инновационные технологии организации обучения: на пути к новому качеству образования» (Арзамас, 2011); VI Межрегиональной научно-практической конференции «Современные проблемы информатизации образования, науки и техники» (Арзамас, 2009).
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, выводов по главам, заключения, списка литературы и приложений. Основное содержание диссертации изложено на 140 страницах машинописного текста. Список литературы включает 160 источников.
Проблема изучения иррациональных чисел в методической литературе и практике математического образования школьников
Проблема изучения иррациональных чисел в школьном курсе алгебры не является новой: ее содержание отражено в книгах по методике преподавания математики, пособиях для учителей, школьных учебниках и довольно значительном числе методических публикаций. Однако, несмотря на большое количество материала, связанного с изучением иррациональных чисел в средней школе, непериодичность десятичной записи иррациональных чисел и специфическая символика, которая введена для их обозначения, по-прежнему являются главными препятствиями для школьника при их изучении, определяя основу обозначенной выше проблемы.
Решение этой проблемы, хотя бы даже в некоторых частных вопросах, обусловлено необходимостью полноценного усвоения школьниками иррациональных чисел, предполагаемого учебной программой, формирования у них верных представлений о действительных числах в курсе алгебры средней школы, а также особым значением иррациональных чисел в математике.
Открытие иррациональных чисел способствовало развитию всей математики, т.к. «одной из первых побудительных причин к созданию математических теорий явилось открытие иррациональности, вначале в виде установления геометрического факта несоизмеримости двух отрезков» [116, с. 27]. Открытие существования несоизмеримых отрезков определило не только новое направление развития математики, но и затронуло ее фундаментальные основы: в частности, возникла необходимость пересмотреть важнейшее математическое понятие - число.
Для полноценного усвоения учащимися иррациональных чисел в курсе алгебры средней школы необходимо, чтобы они,
- во-первых, знали причину непериодичности и определение иррационального числа, приведенное в учебниках;
- во-вторых, умели пользоваться этим определением, т.е. идентифицировать иррациональные числа во множестве всех десятичных дробей, приводить примеры иррациональных чисел и сравнивать различные иррациональные числа (иррациональные и рациональные числа), непосредственно руководствуясь данным определением;
- в-третьих, могли оперировать иррациональными числами в рамках четырех известных им арифметических операций;
- в-четвертых, имели правильные представления об алгебраических иррациональных числах, изучаемых в школе, для того, чтобы у них была возможность применить полученные знания при дальнейшем изучении математики и решении конкретных практических задач (формирование правильных представлений школьников об алгебраических иррациональных числах во многом зависит от их соответствия требованиям первых трех пунктов; обеспечивается изучением иррациональных чисел в их связях с рациональными отношениями и между собой и предупреждением возможных типичных ошибок);
- в-пятых, имели более широкие представления о способах происхождения иррациональных чисел, не выходя за пределы содержания учебной программы по алгебре.
Перейдем к анализу проблемы изучения иррациональных чисел курса алгебры средней школы в методической литературе и практике математического образования школьников в соответствии с пятью перечисленными выше основными требованиями к усвоению иррациональных чисел, попытаемся раскрыть ее содержание более подробно и выяснить, каковы ее причины и следствия.
Обратим внимание, прежде всего, на то, как формулируется определение иррационального числа в различных научно-методических источниках,
В математической энциклопедии приводится следующее определение: «иррациональное число - число, не являющееся рациональным (т.е. целым или дробным) числом» [91, с. 666]. Такое определение иррационального числа является самым простым, именно с ним школьники знакомятся в первую очередь. Но вряд ли его стоит считать даже удовлетворительным, поскольку такая формулировка способствует пониманию только единственного факта: кроме рациональных чисел есть еще «нерациональные» числа, о природе которых ничего не говорится. Следовательно, такое определение нуждается в уточнении.
Рассмотрим еще одно определение: «действительное число а называется иррациональным, если оно отлично от всех рациональных чисел, т.е. а Ф - при всех целых а и Ь» [33, с. 67]. Такая формулировка, казалось бы, является более полной, т. к. в ней говориться о том, что иррациональное число является действительным и не может быть представлено в виде отношения двух целых чисел. Но в данном определении ничего не сказано о том, что же все-таки представляет собой иррациональное число; причем, важно учесть и тот факт, что понятие действительного числа может быть введено только при условии, что школьники уже знакомы и с рациональными, и с иррациональными числами.
Формулировка определения иррационального числа, которая приводится в школьных учебниках, такова: «иррациональным числом называют бесконечную десятичную непериодическую дробь» [100, с. 171], или «бесконечные десятичные непериодические дроби представляют числа, не являющиеся рациональными. Их называют иррациональными числами» [1, с. 62]; при этом в учебниках для углубленного изучения алгебры оно формулируется и вводится аналогичным образом [101, с. 40; 9, с. 113]. Но даже это определение иррационального числа не является таким простым и понятным учащимся, как может показаться. Это подтверждают и полученные экспериментальные данные: школьники быстро забывают определение иррационального числа, воспроизводят его неверно или неточно, что свидетельствует о том, что их знания по данному вопросу носят преимущественно формальный характер.
Так, 40% учащихся 9-х классов с углубленным изучением математики, принявших участие в тестировании, не смогли правильно сформулировать данное определение; а среди школьников 10-х классов, обучающихся по обычной программе, этот показатель практически равен 100%.
Попробуем разобраться, в чем заключается причина формального усвоения школьниками определения иррационального числа.
Как известно, понятие десятичной дроби вводится в 5-м классе как результат деления числителя обыкновенной дроби на ее знаменатель; в частности, первое определение десятичной дроби, с которым знакомятся учащиеся, формулируется так: «любое число, знаменатель дробной части которого выражается единицей с одним или несколькими нулями, можно представить в виде десятичной записи, или, как говорят иначе, в виде десятичной дроби» [89, с. 180]. В дальнейшем это определение становится более обобщенным; в 6-м классе вводится понятие бесконечной десятичной периодической дроби [90, с. 199-200], посредством которого определяются все рациональные числа, после чего в 8-м классе изучаются иррациональные числа как бесконечные десятичные непериодические дроби.
Школьники, приступающие к изучению иррациональных чисел, должны знать и уметь пользоваться тем, что любое рациональное число можно записать конечной или бесконечной периодической десятичной дробью: например, 0,125 = 0,1250000... = 0,125(0); = 0,33333... = 0,(3). Такое представление достигается с помощью известного алгоритма «деления углом», в частности, если число является целым, то после запятой в десятичной записи такого числа записывается нуль в периоде. Например, -7 = -7,00000... = -7,(0). С другой стороны, какое бы иррациональное число мы не рассматривали (скажем,V5 «2,2360679...), его десятичная запись также бесконечна по определению. Бесконечность препятствует восприятию учащимися иррациональных чисел.
Определяющая же сложность заключается в том, что иррациональное число имеет такую бесконечную запись, в которой нет повторяющейся группы цифр - периода; а это значит, что бесконечную непериодическую дробь нельзя представить в виде какого-либо другого числа или отношения так, как это возможно для бесконечных периодических дробей. Поэтому при изучении иррациональных чисел школьник уже не может пользоваться периодом как визуальной опорой, а истинная причина непериодичности остается для него не всегда понятной и тем более не наглядной.
Методическая модель визуализации иррациональных чисел в курсе алгебры средней школы с использованием самоподобия
В предыдущем параграфе было показано, что использование самоподобных визуальных моделей можно рассматривать в качестве одного из важных условий изучения иррациональных чисел школьного курса алгебры. В частности, был рассмотрен ряд задач, решение которых основано на этих моделях и является преимущественно визуальным.
Однако визуализацией отдельных иррациональных чисел решить проблему отсутствия эффективных средств обучения не представляется возможным. Решение этой проблемы может быть достигнуто только созданием целостной методической системы визуализации иррациональных чисел в курсе алгебры средней школы.
Известные исследователи (А.А.Богданов [23; 24], К.Л. фон Берта-ланфи [21], Н. Винер [36], Э.Г. Юдин [151; 152], Г.П. Щедровицкий [149] и др.), психологи (Б.Г.Ананьев [10], П.Я. Гальперин [43], Н.Ф.Талызина [127] и др.) и педагоги-математики (А.Н. Колмогоров [80], СИ. Шохор-Троцкий [146], Г.И. Саранцев [119; 118], В.М. Брадис [31] и др.) рекомендуют в таких случаях использовать системный подход. Сущность системного подхода в методике обучения заключается в рассмотрении педагогических объектов как целостной системы. Под системой понимают «совокупность элементов, находящихся в отношениях и связях друг с другом, которая образует определенную целостность, единство» [129, с. 610].
В методических исследованиях широкое распространение получила методическая система обучения А.М. Пышкало[114,с.3].
Для решения задач нашего исследования будем строить методическую систему визуализации иррациональных чисел на основе данной модели. Систему характеризуют ее компоненты, а также связи, существующие между ними.
Ведущим компонентом методической системы является ее целевой компонент, при рассмотрении которого необходимо ответить на вопрос: зачем визуализировать иррациональные числа в курсе алгебры средней школы?
Первоочередной целью визуализации иррациональных чисел является облегчение восприятия изучаемого материала.
С помощью визуализации различных иррациональных чисел школьникам можно показать многие факты, закономерности и отношения, скрытые от непосредственного восприятия, т.к. визуальные модели способны придать абстрактным знаниям наглядный смысл.
Визуализация иррациональных чисел способствует формированию более глубоких и научных знаний, поскольку с ее помощью могут быть достигнуты целостность и строгость изучаемого материала путем использования тех связей между его компонентами, которые обычно явно и непосредственно не прослеживаются.
Следовательно, визуализация может быть использована при изучении иррациональных чисел для того, чтобы
1) облегчить восприятие изучаемого материала и обеспечить процесс его усвоения;
2) обеспечить видимость скрытых зависимостей и отношений, свойственных изучаемому материалу;
3) способствовать пониманию сущности иррациональных чисел.
Следующим компонентом методической системы визуализации иррациональных чисел, по аналогии с методической системой обучения А.М. Пышкало, является содержательный компонент, который призван ответить на вопрос: что из учебного материала, связанного с иррациональными числами (в соответствии с целями визуализации), необходимо визуализировать?
В 1.1 и 1.2 мы уже говорили о проблеме изучения иррациональных чисел, а также охарактеризовали те иррациональные числа, которые необходимо визуализировать для ее решения. Итак, объектами визуализации являются
1) бесконечные непериодические десятичные дроби, необходимые, как предполагается в диссертационном исследовании, для введения иррациональных чисел в курсе алгебры средней школы;
2) алгебраические иррациональные числа, с которыми работают школьники, обучаясь по традиционной методике, они необходимы для дальнейшего изучения математики и решения конкретных практических задач;
3) некоторые трансцендентные иррациональные числа, в частности, те, которые выражаются с помощью логарифмов, что важно для формирования целостных и непротиворечивых представлений об иррациональных числах.
Для того чтобы визуализировать то или иное иррациональное число с помощью самоподобной визуальной модели, необходимо определить, какую форму информации - геометрическую, графическую, символьную или другую - предпочтительнее выбрать для создания этой модели.
Поэтому еще одним важным компонентом методической системы визуализации иррациональных чисел является перцептивный компонент, позволяющий ответить на вопрос; в какой форме визуализировать иррациональные числа?
Каждая из перечисленных форм визуализации обусловлена существованием системы образов соответствующей природы. «В общегносеологическом смысле под образом понимают любой дискретный (отдельный) элемент знания, несущий содержательную информацию о некотором классе объектов» [122, с. 16]. Наиболее удобной формой для визуализации иррациональных чисел является символьная форма, хотя визуализировать иррациональные числа можно и геометрически, и графически.
Преимущество символьной формы над другими при визуализации иррациональных чисел можно объяснить тем, что геометрически и графически показать непериодичность дроби, а также особенности алгебраических иррациональных чисел очень сложно как с математической точки зрения, так и технической, когда построение модели занимает много времени или даже не может быть осуществлено без компьютера.
Несомненная польза геометрических моделей обнаруживается при рассмотрении школьниками задач, которые приводят к понятию иррационального числа; а графических - при изучении простейших иррациональных функций [58]. При этом обе категории моделей широко известны в науке и не нуждаются в серьезных методических комментариях.
Понятие символа нередко заменяется понятием знака, хотя в строгом понимании они не являются синонимами. Существуют различные классификации знаков. В частности, в соответствии с распространенной классификацией Пирса знаки можно разделить на три категории: иконические знаки, индексы и символы [118, с. 11]. Иконические знаки «создаются в человеческой культуре путем более или менее точного копирования реальных объектов или явлений» [112, с. 69], индексы представляют собой признаки объектов или явлений.
Итак, символы являются разновидностью знаков, но, в отличие от иконических знаков и индексов, они, по мнению М.К. Мамардашвили и А.М. Пятигорского, «мыслятся нами как репрезентации не предметов и событий, а сознательных посылок и результатов сознания» [86, с. 99].
Как уже отмечалось, основа символьной модели - образ, состоящий из одного или нескольких символов. Символу, как знаку (обозначению), свойственно определенное начертание, а также смысл, который ставится ему в соответствие. Сказанное находит свое подтверждение в толковом словаре, который трактует понятие символа следующим образом: символ -это «сокращение, перечень, полная картина, сущность в немногих словах или знаках» [50, с. 590].
Более точное определение символа дано в философском словаре: символ - «в широком смысле понятие, фиксирующее способность материальных вещей, событий, чувственных образов выражать идеальные содержания, отличные от их непосредственного чувственно-телесного бытия» [106, с. 614].
Для различных символов можно выделить три общих признака, которыми они характеризуются:
1) символ-это «смысловое отражение объективно данного»;
2) символ - это «смысловое построение действительности»;
3) символ «никогда не совпадает с собой при всем равенстве себе же» [120, с. 94].
Специфика обучения учащихся действиям с иррациональными числами в курсе алгебры средней школы с использованием самоподобных визуальных моделей
С помощью самоподобных визуальных моделей бесконечных непериодических дробей можно не только вводить иррациональные числа, но и обучать школьников действиям с ними, наглядно демонстрируя при этом процесс и результат той или иной операции. При изучении этого вопроса, прежде всего, необходимо рассмотреть замкнутость множества иррациональных чисел относительно четырех известных школьникам операций.
В большинстве школьных учебников сущность этого свойства множества иррациональных чисел поясняется примерами, в которых присутствуют не бесконечные непериодические десятичные дроби, а квадратные корни. При этом определение иррационального числа не используется, в результате чего полученные таким образом знания довольно часто воспринимаются формально.
Как известно, сумма двух иррациональных чисел может быть как иррациональным, так и рациональным числом. Пример, иллюстрирующий первую возможность, может быть приведен на основе доказательства иррациональности каждого из слагаемых суммы, являющихся радикалами, а также иррациональности самой суммы. Однако, как уже было отмечено, в таких случаях в значительной мере теряется визуальная составляющая самого процесса сложения чисел, и, следовательно, школьник лишается, по выражению Б.В. Гнеденко, оперативной наглядности [45]. С другой стороны, показать, к примеру, чему равна иррациональная сумма v2 + V3 можно, складывая соответствующие приближения с избытком и недостатком чисел л/2 и л/з [92, с. 58-59]. Но это требует дополнительных, довольно громоздких вычислений и, главное, не может наглядно показать иррациональность числа V2 + л/3, даже если этот факт предварительно доказать логическим путем и использовать большое число приближений.
Для визуализации случая, когда сумма двух иррациональных чисел является иррациональной, обратимся, например, к дробям 3,100020003... и 1,000100020003... (в их записях все натуральные числа разделяются тремя нулями).
Полученное число 4,10012002300340045... является иррациональным, что не так сложно доказать, учитывая принцип расположения цифр его десятичной записи. Причем, сам процесс сложения осуществляется так же, как и в случае конечных дробей, - поразрядно; он понятен школьникам, поскольку они уже знают, как складывать десятичные дроби.
В приведенном примере сумма цифр иррациональных чисел в каждом случае не превышает 9-ти, поэтому принцип самоподобия суммы остается таким же, что и принцип самоподобия обоих ее слагаемых, - натуральные числа десятичной записи следуют по возрастанию и разделяются одним и тем же числом нулей. Сумма оказалась рациональным числом, и это не логический вывод, а наглядная иллюстрация этого факта, вскрывающая причину рациональности суммы иррациональных чисел рассматриваемого вида. Попутно вскрывается и тот факт, что множество иррациональных чисел не является замкнутым относительно операции сложения, т.е. сумма иррациональных чисел может являться как иррациональным числом, так и рациональным. Приведем еще один пример, когда сумма двух положительных иррациональных чисел равна натуральному числу.
Таким образом, множество иррациональных чисел не является замкнутым относительно сложения и вычитания, что, впрочем, можно показать и относительно двух других операций.
Например, 0,242242224...: 0,1212212221... = 2.
Другие важные случаи действий с иррациональными числами заключаются в рассмотрении операций, в которых участвуют и иррациональные, и рациональные числа; результат этих операции всегда иррационален (за исключением случая умножения на нуль и деления нуля на иррациональное число).
После того, как школьники усвоят действия с иррациональными числами, им необходимо показать, что далеко не все иррациональные числа можно записать непосредственно с помощью бесконечных непериодических десятичных дробей и что на практике часто используют другие иррациональные числа, для которых в математике существует специальная символика.
Этот факт можно доказать традиционно - введением арифметических квадратных корней, основываясь при этом, например, на попытке решить уравнение х2 = 2 в рациональных числах.
Когда будет показано, что решение данного уравнения - число V2 -не является рациональным и, значит, не может быть представлено бесконечной периодической дробью, школьникам будет проще понять то, что есть бесконечная непериодическая десятичная дробь, поскольку они уже знакомы с этим понятием и знают, что каких-либо других чисел, кроме периодических и непериодических десятичных дробей, нет; и это в силу проведенных рассуждений вполне логично.
При этом важно то, что на момент знакомства с квадратными корнями школьники будут уже знать сущность иррациональных чисел и уметь оперировать ими в пределах четырех рассмотренных выше арифметических операций.
Итак, благодаря бесконечным непериодическим дробям, которые могут быть записаны в виде самоподобных визуальных моделей, школьникам можно наглядно показать существование иррациональных чисел и особенности оперирования ими. Затем с помощью доказательства существования квадратных корней можно показать, что не все иррациональные числа могут быть записаны такими дробями. При этом иррациональные числа должны усваиваться школьниками более естественным образом по сравнению с традиционным изложением этого материала.
Таким образом, в данном параграфе было разработано методическое обеспечение, позволяющее использовать символьные модели бесконечных непериодических десятичных дробей, которым свойственно самоподобие, в качестве эффективного средства обучения школьников действиям с иррациональными числами, а также действиям с иррациональными и рациональными числами в рамках четырех арифметических операций.
Достоинствами данного методического обеспечения являются, прежде всего, простота восприятия и наглядность визуальной основы производимых операций над иррациональными числами и получаемых результатов, а также довольно широкий спектр функциональных возможностей используемых самоподобных визуальных моделей в вопросах изучения действий с иррациональными числами.
Усвоение действий с бесконечными непериодическими десятичными дробями с помощью самоподобных визуальных моделей необходимо школьникам и для изучения алгебраических иррациональных чисел в целях формирования верных представлений о них и предупреждения распространенных ошибок.
Постановка и результаты педагогического эксперимента
Важной составляющей настоящего диссертационного исследования является проведенная экспериментальная работа, которая планировалась и организовывалась для проверки истинности гипотезы исследования, а также эффективности разработанного методического обеспечения к изучению иррациональных чисел в курсе алгебры средней школы с использованием самоподобных визуальных моделей.
Проведенный педагогический эксперимент состоял из трех этапов -констатирующего, поискового и обучающего. В нем принимали участие 88 учащихся 9-х классов с углубленным изучением математики (50 школьников) и 10-х классов (38 школьников), обучающихся по обычной программе, а также учителя математики МБОУ: «Лицей», «Гимназия», СОШ № 2 г. Арзамаса.
На этапе констатирующего эксперимента, проведенного в 2008 -2009 учебном году, была проведена работа по исследованию проблемы изучения иррациональных чисел школьного курса алгебры в практике математического образования школьников 8-11 классов. Было проанализировано более 30 уроков алгебры. При этом основными методами исследования на данном этапе экспериментальной работы являлись наблюдение, анкетирование и тестирование.
Анализ посещенных уроков позволил сделать выводы о том, что при изучении иррациональных чисел школьники часто сталкиваются с трудностями, основная причина которых заключается, прежде всего, в недостаточности образной составляющей понятия иррационального числа. Это приводит к тому, что школьники нередко забывают определение иррационального числа, воспроизводят его со значительными неточностями или же приводят лишь фрагменты данного определения; испытывают трудности с идентификацией иррациональных чисел во множестве всех бесконечных дробей, ассоциируют иррациональные числа только с корнями, а сами корни отождествляют не с числами, а, преимущественно, с операцией извлечения корня; что, в свою очередь, является источником неполных и искаженных знаний школьников.
Недостаточность образной составляющей учебного материала определила направление в преодолении указанных выше трудностей с помощью визуализации закономерностей и отношений учебного материала, содержащего иррациональные числа в курсе алгебры средней школы.
Основным средством обучения учащихся была определена задача, информационная структура которой содержит визуальную самоподобную модель иррационального числа.
На этапе поискового эксперимента, который проводился в 2009 -2010 учебном году, разрабатывались средства и методическое обеспечение визуализации иррациональных чисел.
Основное средство визуализации иррациональных чисел представляется в качестве самоподобной визуальной модели, которая может быть получена с помощью модели методической системы визуализации иррациональных чисел, разработанной в диссертационном исследовании.
На этапе обучающего эксперимента (2010 - 2011 учебный год) велась работа с контрольными и экспериментальными классами. В контрольных классах процесс обучения проходил по традиционной методике, а в классах экспериментальных использовалось разработанное в данном исследовании методическое обеспечение к изучению иррациональных чисел в курсе алгебры средней школы с помощью самоподобных визуальных моделей.
Экспериментальная проверка разработанного в данном исследовании методического обеспечения производилась с использованием критериев: а) уровень усвоения учащимися темы «Иррациональные числа», б) интерес учащихся к иррациональным числам, в) уровень математической подготовки учащихся.
Уровень усвоения учащимися темы «Иррациональные числа» определялся на основе срезовой работы, состоящей из 5-ти заданий с иррациональных чисел.
Оценка решения каждой из задач с иррациональными числами осуществлялась по 4-бальной шкале (от 2 до 5 баллов), затем полученные результаты суммировались. В итоге низкому уровню усвоения учащимися темы «иррациональные числа» соответствовал интервал от 10 до 16 баллов, среднему уровню - интервал от 17 до 21 балла, а высокому - интервал от 22 до 25 баллов.
Для определения статистической значимости экспериментально установленных различий в уровне усвоения учащимися темы «Иррациональные числа» использовался критерий Пирсона %2 [109].
Количественная оценка уровня усвоения учащимися 9-х классов с углубленным изучением математики темы «иррациональные числа» приведена в таблице 3.
Таким образом, с достоверностью 99% существуют различия между уровнями усвоения учащимися темы «Иррациональные числа» в контрольных и экспериментальных группах учащихся 10-х классов.
Определение изменения интереса учащихся 9-х и 10-х классов к иррациональным числам осуществлялось по методике И.М. Смирновой [123] на начальной и конечной стадиях педагогического эксперимента (в ноябре и январе соответственно). В контрольных и экспериментальных классах учащимся были предложены карточки, на которых они должны написать цифру «о», если им не нравятся иррациональные числа, и «1», - если им нравятся иррациональные числа.
Уровень математической подготовки учащихся 9-х и 10-х классов определялся по результатам выполнения комплексной контрольной работы, состоящей из 6-ти заданий, каждому из которых начислялось от 2 до 5 баллов. Для оценки комплексной контрольной работы была использована следующая шкала:
- от 12 до 20 баллов - низкий уровень;
- от 21 до 26 баллов - средний уровень;
- от 27 до 30 баллов - высокий уровень математической подготовки.
Количественная оценка уровня математической подготовки учащихся 9-х классов с углубленным изучением математики приведена в таблице 10.
