Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. МЕТОД ПЛОЩАДЕЙ И ОБЪЕМОВ И ЕГО ИСПОЛЬЗОВАНИЕ В КУРСЕ ГЕОМЕТРИИ
1. Методы решения геометрических задач 9
2. Метод площадей и объемов 27
3. Сравнительный анализ школьных учебников математики на 55
основе анализа теоретического содержания и системы задач и упражнений по темам «Площади» и «Объемы»
Выводы по главе I 74
ГЛАВА II. ОБУЧЕНИЕ РЕШЕНИЮ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ ПЛОЩАДЕЙ И ОБЪЕМОВ 75
4. Методика обучения методу площадей и объемов при решении планиметрических задач 75
5. Методика обучения методу площадей и объемов при решении стереометрических задач 96
6. Результаты педагогического эксперимента 111
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 120
ЛИТЕРАТУРА 121
- Методы решения геометрических задач
- Метод площадей и объемов
- Методика обучения методу площадей и объемов при решении планиметрических задач
Введение к работе
В концепции развития школьного математического образования подчеркивается, что в настоящее время одной из важнейших целей обучения математике в школе является интеллектуальное развитие учащихся, включающее в себя способность человека к усвоению новых знаний. Ориентация на личность ученика выдвигает как одну из тенденций в направлении разработки эффективной методики преподавания математики перенос акцентов с обучения математическим фактам на обучение методам решения задач, что формирует умения анализировать, продуцировать и использовать информацию.
Важна эта проблема и при обучении геометрии. Изучение геометрии, базирующейся на воображении и интуиции, с одной стороны, и на логике, с другой стороны, способствует интеллектуальному развитию учащихся, развитию их познавательных интересов. Развивающий потенциал геометрии заложен, в том числе, и в геометрические задачи. Работы Б.П. Белоцерковского, В.Г. Болтянского, В.А. Гусева, В.А. Жарова, Ю.М. Колягина, Ф.Ф. Нагибина, А.Д. Семушина, З.А. Скопеца, Д.Пойа посвящены проблеме обучения учащихся решению геометрических задач, формированию у них рациональных приемов учебной работы при решении задач. Эту проблему рассматривают в диссертационных исследованиях Э.Г. Готман, Г.Б. Кузнецова, Л.М. Ноздрачева, Е.В. Потоскуев, Ю.А. Розка, Г.И. Саранцев и другие.
Несмотря на постоянное внимание к данной проблеме, умения учащихся решать геометрические задачи остаются на невысоком уровне. Об этом свидетельствует систематическое изучение качества знаний учащихся и результаты вступительных экзаменов в вузы, где каждая задача по геометрии является «камнем преткновения» для учащихся. Так, при осуществлении попыток решения задачи у школьников отсутствует гипотеза о возможном пути решения, что во многом определяется не владением методами решения геометрических задач.
Так, долгие годы высокое качество геометрической подготовки школьников нашей страны определялось системой обучения, связанной с именем А.П.Киселева, выдающегося педагога, по учебникам которого изучало геометрию не одно поколение российских школьников. Достоинством учебника была сложившаяся с годами система упражнений, насыщенность собственно геометрическими эвристическими методами и приемами решения задач, воспитывающими активный творческий подход к изучению геометрии.
Позднейшие реформы школьного математического образования, связанные с алгебраизацией, а так же и переход на всеобщее среднее образование, фактически свели геометрию к решению вычислительных задач, а освоение учащимися наиболее ценными в эвристическом плане методами решения задач практически выпало из содержания обучения геометрии. В 70-е годы осуществлено введение в курс векторного и координатного методов, но это не решило проблему геометрического образования, потому что они являются не собственно геометрическими, а более универсальными.
Преодоление трудностей, испытываемых учащимися при решении геометрических задач, остается актуальной проблемой и в настоящее время. Одним из путей решения которой в русле гуманитарной концепции школьного образования является включение в школьный курс геометрических методов решения задач. Это направление нашло отражение в диссертации В.Е.Куценка, где на основе активного использования метода вспомогательной окружности обоснована концепция усиления роли окружности в курсе геометрии. Мы в своей работе рассматриваем необходимость и возможность включения в школьный курс метода площадей и объемов, играющего особую и очень важную роль в методах геометрии, позволяющего решать широкий круг задач.
Метод площадей и объемов, базирующийся на интуитивно понятных рассуждениях, вводится при изучении фундаментальных тем «Площади фигур» и «Объемы тел», которые во всех трех федерально поддерживаемых курсах геометрии играют концептуально различные роли. Полноценное выражение каждой темы неотделимо от двоякой роли понятий площади и объема в геометрии. Они, во-первых, являются источниками геометрической теории измерения величин, а во-вторых, служат действенным инструментом для решения задач.
Вопросы изучения теории площадей и объемов в школьном курсе подвергались всестороннему анализу многими педагогами и методистами. Было установлено фундаментальное значение этих тем для дальнейшего изучения математики, найдены эффективные пути и средства формирования данных понятий. Методике изучения геометрических величин в средней школе посвящен целый ряд кандидатских диссертаций. Диссертации М.С.Мацкина, В.Н. Шишлянниковой целиком посвящены детальной разработке содержания и методики изложения основных разделов, связанных с измерением геометрических величин. В исследовании А.Ф.Спасского и И.С.Климова разработаны приемы привития учащимся практических навыков измерения: дана методика работы с измерительными инструментами, система практических работ по измерению геометрических величин. Математическое обоснование теории скалярных величин и в частности, геометрических величин, излагается в диссертации К.Ф.Рубина. Наконец, в диссертации З.И. Турлаковой излагается методика изучения в старших классах таких разделов, как «Длина отрезка», «Длина кривой» и «Площадь геометрической фигуры». В диссертационном исследовании В.Ф.Филатова осуществлена попытка решения следующей методической проблемы - построить логически стройную систему изучения геометрических величин в старших классах средней школы на основе тесной органической связи с элементами математического анализа и векторной алгебры.
Вторая сторона, а именно, применение площадей и объемов в качестве инструмента для решения задач в современной методической литературе проявлена очень слабо. Э.Г.Готман, И.А.Кушнир, И.Д.Новиков, В.В.Прасолов, И.Ф.Шарыгин показывают в своих работах возможность использования метода площадей и объемов для решения некоторых видов задач. Метод площадей и объемов в единстве применения для планиметрических и стереометрических задач не рассматривался, он не описан, не сформирована система обучения этому методу.
Таким образом, в существующих работах не рассматривается изучение вопросов, связанных с площадями и объемами в единстве теории и практики, не прослеживается связь теории с системой задач, нет выхода на метод решения задач, что делает наше исследование актуальным.
Проблема исследования состоит в совершенствовании методической системы обучения геометрии на основе введения в школьный курс методов решения задач.
Цель исследования состоит в разработке методики обучения учащихся методу площадей и объемов.
Объект исследования: процесс изучения школьного курса геометрии.
Предмет исследования: метод площадей и объемов, применяемый при решении геометрических задач.
Гипотеза исследования состоит в том, что эффективность решения учащимися геометрических задач повысится, если специально выделить в содержании и изучать в школьном курсе геометрии метод площадей и объемов и особым образом организованные серии задач, направленные на овладение этим методом.
Задачи исследования:
1) Исследовать целесообразность и возможность специального изучения в курсе геометрии методов решения геометрических задач, в частности, метода площадей и объемов.
2) Описать метод площадей и объемов, определить его характеристики и диапазон применимости.
3) Разработать классификацию задач, решаемых с применением метода площадей и объемов, и серии задач, направленные на овладение этим методом.
4) Разработать методику обучения учащихся решению геометрических задач с использованием метода площадей и объемов.
Для решения поставленных задач были использованы различные методы исследования: анализ психолого-педагогической, научно-методической литературы, в том числе анализ программ, учебных пособий и задачников по геометрии, наблюдение за процессом обучения, беседы с учителями, преподавателями вузов, поисковый и обучающий эксперименты.
Научная новизна и теоретическая значимость исследования состоит в том, что описан метод площадей и объемов, выделены его характеристики; разработана классификация задач, решаемых с применением метода площадей и объемов; посредством введения в содержание обучения метода площадей и объемов и соответствующей серии задач, направленной на овладение этим методом, разработана методика преподавания школьного курса геометрии.
Практическая значимость исследования выражается в том, что разработаны учебные задания и методические рекомендации для обучения методу площадей и объемов в школьном курсе геометрии, которые могут быть использованы в педагогической практике для увеличения массива решаемых геометрических задач, создания методических пособий.
На защиту выносятся описание и характеристика метода площадей и объемов; классификация задач, решаемых с его применением; методика обучения методу площадей и объемов, включающая в себя серии планиметрических и стереометрических задач, направленных на обучение методу.
Обоснованность и достоверность результатов исследования обеспечена опорой на теоретические разработки в области психологии, педагогики, методики преподавания математики, использованием разнообразных методов исследования, адекватных поставленным задачам, данными педагогического эксперимента.
Апробация и внедрение. Основные положения и результаты диссертационного исследования докладывались на заседаниях отдела математического образования Института общего среднего образования Российской Академии образования (г. Москва, 1996-2000 гг.), на заседаниях кафедры методики преподавания математики Московского педагогического государственного университета (г. Москва, 2002г.), на заседаниях кафедры математического анализа, алгебры, геометрии и методики преподавания математики Нижнетагильского государственного педагогического института (г. Н.Тагил, 1996-1999 гг.).
Методы решения геометрических задач
Целевые установки, соответственно и содержание школьного курса геометрии, не остается неизменным, а видоизменяется в зависимости от развития общества.
Уже в начале 70-х годов группа видных педагогов, психологов, деятелей культуры из разных стран под руководством Эдгара Фора провела глубокий анализ состояния образования в мире и пришла к заключению, что «академическая модель школы, в которой доминирующее место занимали письменное слово, запоминание, развитие формально логического мышления, устарела и не отвечает современным требованиям» (183, с.7). В подготовленной учеными книге «Учиться быть» с учетом новейших данных философии, психологии, социологии, педагогики, антропологии, культурологии, представлена новая, гуманистическая модель школы, ориентированная на разностороннее развитие всех творческих сил ребенка. Ученик здесь - не пассивный объект воздействия со стороны взрослых: он играет возрастающе активную роль в своем образовании и воспитании; учится учиться так, чтобы впитывать знания всю жизнь; учится мыслить свободно и критично; учится любить мир и делать его более гуманным; учится творчеству посредством творческой деятельности (183, с.69, 119)
В 70-80 годы заметно выросло число дидактических исследований, направленных на активизацию учебного процесса, его переориентацию на ребенка, превращение ученика в активный субъект обучения. Работы Ж.Пиаже, Б.Блюма, Дж.Бруннера, Ж.Ганье, С.Эриксона, Л.С.Выготского и многих других формировали общественное и педагогическое сознание, в частности понимание необходимости радикального изменения процесса обучения. В настоящее время такая перестройка системы образования и воспитания проходит по пути гуманизации и гуманитаризации образования
По мнению Г.В.Дорофеева формой гуманитаризации математического образования является идея развивающей функции обучения математике, выраженная в «переносе акцентов с увеличивающегося объема информации, предназначенной для усвоения учащимися, на формирование умений использовать информацию, т.е., в самых общих терминах, переходе от экстенсивного школьного образования к интенсивному» (57, с. 4).
Необходимость реализации развивающего потенциала математического образования ведет к уточнению целей математического образования, которые затем реализуются в реальных учебниках и учебных пособиях. Основные цели математического образования относятся и к его геометрической составляющей.
Уточнение целей геометрического образования, переход к интенсивному образованию приводит к необходимости накопления не только фактов, необходимых для решения задач, но и методов решения задач. Такой подход позволяет избежать ситуации, когда ученик много знает, но мало умеет. Известный педагог-математик У.У.Сойер по этому поводу писал: «Математические знания - это инструмент и не имеет смысла овладевать им, если не иметь в виду и не уметь его использовать» (184, с.З). Преподавание школьного курса геометрии имеет взаимосвязанные образовательные, воспитательные и развивающие цели, причем в реализации каждой из этих групп целей изучение методов решения геометрических задач играет важную роль, убеждает учеников в силе математического метода.
Отметим, что традиционно в содержание школьного курса алгебры входят кроме алгебраических понятий, утверждений и методы решения задач (например, основные методы решения уравнений: разложение на множители, замена переменной, использование свойств функций и другие), так как научные способы деятельности являются ведущим компонентом этого учебного предмета. Предметом изучения общеобразовательного курса геометрии являются геометрические модели, геометрические величины и отношения, но не методы геометрии, использование которых, безусловно, просматривается в задачах учебников. Подразумевалось, что школьникам они известны, доступны и понятны из теоретического материала. Изучение метода рассредоточено по нескольким темам курса или даже по годам обучения, поэтому в представлении учащихся чаще всего метод так и остается в виде разрозненных элементов. При такой организации обучения учащиеся не усваивают методы решения задач, а лишь знакомятся с ними, их деятельность сводится к выполнению упражнений. Исключение делается для двух общепринятых в построении школьного курса - векторного и координатного. Но и эти общие методы в школьных учебниках чаще всего представлены не как методы, использование которых возможно даже в тех задачах, в которых нет векторов или координат, а как отдельные разделы геометрии. Хотя отметим, что существует распространенное мнение, что с помощью метода координат или векторного метода можно решить любую геометрическую задачу, чем подчеркивается универсальность этих методов. Конечно же, в этом случае речь идет не о красивом изысканном решении.
Метод площадей и объемов
Универсального метода для решения всех задач на площади многоугольников или объемы тел нет, но существуют приемы, применимые ко многим задачам. Понятие площади или объема мы используем даже при решении тех задач, в формулировках которых отсутствует упоминание площади или объема. Поэтому можно говорить о методе площадей и объемов в геометрии.
Этот метод редко упоминаются в методической и научно-популярной литературе, хотя в олимпиаднои и конкурсной практике часто встречаются задачи, решаемые методом площадей и объемов.
В учебно-методической литературе имеется достаточно большое число работ (10, 22, 35, 48, 56, 58, 75, 85, 96, 131, 132, 140, 171, 177), связанных с площадями. В большинстве своем эти статьи посвящены сравнению площадей, использованию свойств равновеликости и равносоставленности. Работы И.Ф.Шарыгина (176), И.Д.Новикова (117), Э.Г.Готмана (49), В.В.Прасолова (136) посвящены практическим вопросам использования метода площадей. В работах демонстрируется решение некоторых видов задач этим методом, но сам метод практически не описан, нет и системы обучения решению задач методом площадей.
Метод площадей и объемов состоит в применении различных свойств площадей и объемов соответственно для составления соотношений, связывающих данные задачи и неизвестные. Обычно используют свойства аддитивности площади или объема и отношений площадей или объемов, которые помогают свести задачу либо к решению уравнения, либо к прямому вычислению.
Отметим, что метод площадей и объемов используется при решении задач, в условии которых идет речь о площадях или объемах, и особенную важность имеет в тех, где такого упоминания нет. В последних площадь или объем вводится в задачу в качестве вспомогательного элемента.
«Идея метода вспомогательного элемента заключается во включении в решение задачи некоторого дополнительного объекта, прямо не фигурирующего в условии, получении с его помощью новых умозаключений и результатов с последующим исключением объекта» (94, с. 27)
Для удобства в последующем тексте метод площадей и объемов, применяемый для решения планиметрических задач, мы будем называть «методом площадей», а, соответственно, для решения стереометрических задач - «методом объемов».
Метод площадей и объемов, несмотря на его кажущуюся очевидность, неизвестен большинству учителей и учащихся, что вполне объясняется положением вещей с изучением геометрии и методов решения геометрических задач в школе.
Будем рассматривать различные задачи, определяя в каждой характер включения в решение метода площадей и объемов. Остановимся подробнее на характеристике и диапазоне применимости метода площадей. Характеристики метода будут уточняться по мере накопления теоретических сведений, связанных с площадями и объемами.
Методика обучения методу площадей и объемов при решении планиметрических задач
Рассмотрим подробно организацию работы по изучению учащимися метода площадей и обучению их решению задач этим методом. Для направления деятельности учащихся на овладение методом площадей мы составили серию задач, взаимосвязанных методом решения. Сформулируем требования, которых мы придерживались, составляя серию задач:
1) предлагаемые задачи не должны выходить за рамки действующей программы;
2) каждая задача должны быть "ярким представителем" одного из классов задач предложенной выше классификации;
3) все задачи должны быть разделены на четыре блока, содержательное наполнение которых определила предложенная в 2 главы 1 рассмотренная классификация задач;
4) внутри блоков задачи нужно распределить по принципу от простых задач к более сложным;
5) задачи в совокупности должны отражать характеристики и диапазон применимости метода площадей и объемов, описанные в 2 главы 1;
6) серия задач должна быть направлена на те умения и навыки, которые реально применяются в практике решения планиметрических задач методом площадей и объемов.
В начале обучения решению и планиметрических, и стереометрических задач методом площадей и объемов мы рекомендуем включать в проводимые уроки задачи, в которых очевидно использование метода площадей и объемов. В этот период важно акцентировать внимание учащихся именно на методе решения задачи, на осознании действий по поиску решения задачи. Как показали исследования Е.И. Машбица (106), усвоение способа решения задачи происходит успешно, если целью действий учащихся будет структура способа решения задачи, а не само решение отдельной задачи. Такая постановка обучения методу ставит целью не только овладение методом, но и является средством развития мышления ученика.
По мере овладения методом можно перемежать задачи на метод площадей задачами на другие методы, а потом и просто добавлять отдельные задачи из нашей подборки при изучении других тем, чтобы метод оставался в активном запасе учащихся и разрушались формирующиеся стереотипы решения.
Перейдем к описанию методики обучения методу площадей.
Основными целями изучения темы на первом этапе являются: дать преставление о методе площадей; познакомить с возможностью применения аддитивности площади и свойств отношений площадей на примерах использования метода площадей при решении различных видов задач.
Знакомство с методом площадей начинается с первого блока задач, включающего простейшие или подготовительные задачи (см. подробнее 2 главы 1) на этот метод, которые помогают сформировать умения и навыки, необходимые для решения более сложных задач методом площадей. Появление достаточного количества таких задач вызвано тем, что на начальном этапе эксперимента экспериментальное преподавание строилось на более сложных задачах, но только в достаточно подготовленных классах (с углубленным изучением математики) ученики смогли овладеть методом площадей. Таким образом, мы пришли к выводу, что ученики должны видеть применение метода в динамике от совсем простых задач до достаточно сложных, сложность решаемых задач должна увеличиваться по мере овладения материалом. Нам пришлось дополнить нашу серию задач рядом достаточно простых, в которых требуется минимальное привлечение
теоретического материала, зато хорошо выявляется использование метода площадей.
Целесообразно изучать отдельно возможность применения свойства аддитивности площади и свойств отношений площадей при решении задач методом площадей, останавливаясь на их характерных особенностях и видах задач, решаемых с их помощью.
Знакомство с применением аддитивности площади при решении задачи методом площадей можно начинать сразу после изучения формулы площади треугольника через сторону и основание. Простейшие задачи на метод площадей сводятся к вычислению площади треугольника двумя способами.
1. Стороны АВ и ВС треугольника ABC равны 8 и 11, а высота, проведенная к стороне ВС, равна 4. Найдите высоту, проведенную к стороне АВ.
2. В прямоугольном треугольнике катеты равны 6 и 8. Найдите длину высоты, проведенной к гипотенузе.
3. В равнобедренном треугольнике сторона основания равна 8, а боковые стороны - 10. Найдите длину высоты, проведенной к боковой стороне.
4. В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны 12, а основание 16. Найдите расстояние от середины основания треугольника до боковой стороны.
5. В треугольнике стороны относятся как 1:2. Высота, проведенная к большей из этих сторон, равна 10. Найдите длину высоты, проведенной к меньшей из этих стороне.
6. В равнобедренном треугольнике ABC основание АС равно 6. а
высота, опущенная на основание, равна 4. Найдите периметр треугольника
СКВУ где СК - высота, опущенная на боковую сторону.
Отметим, что для решения некоторых из перечисленных задач, требуется знание теоремы Пифагора. Если учащиеся еще не знакомы с ней, то можно изменить данные стороны и задать для нахождения гипотенузы угол в треугольнике в 30. После изучения формул площади параллелограмма, ромба целесообразно решить подобные задачи, для того, чтобы учащиеся поняли общность принципа нахождения высоты через выражение площади двумя способами. Такими задачами могут быть следующие.
1. Найдите высоту параллелограмма, если две его стороны равны 8см и 15см, а другая высота - 5см.
2. Найдите расстояние между двумя параллельными сторонами ромба, если его диагонали равны 6 и 8.
Предлагаемые нами задачи не обязательно должны быть решены все, это зависит от усмотрения учителя. Это замечание относится и ко всем остальным задачам нашей серии. Конечно, учитель ограничен во времени, но рекомендовать ему жесткую совокупность задач, которые необходимо решить с учениками для овладения ими методом, в любом случае не оправдано. Ведь учитель в своей работе учитывает особенности продвижения по материалу своего класса, да и свои собственные пристрастия. Столь подробная подборка задач нами составлена в интересах наиболее слабых учащихся, при работе с более сильными учитель имеет возможность продвигаться более крупными шагами, исключая, по своему усмотрению, ряд дублирующих или промежуточных задач. Конечно, было бы хорошо выделить минимальную совокупность задач, которые необходимы и достаточны для овладения методом площадей, но минимальность в данном случае абстрактное понятие, о котором не имеет смысла говорить безотносительно к конкретному классу.
