Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Методологические основы концепции интеграции алгебраического и геометрического методов в среднем математическом образовании 24
1.1. Понятие интеграции в философской и педагогической литературе
1.2. История и логика интегративных процессов в школьном математическом образовании
1.3. Особенности интеграционных процессов в современной математике 78
1.4. Предпосылки интеграции алгебраического и геометрического методов в среднем математическом образовании 89
Глава II. Концепция интеграции алгебраического и геометрического методов в среднем математическом образовании 120
2.1. Анализ категории «метод» .
2.2. Эволюция алгебраического и геометрического методов, .
их взаимосвязь 139
2.3. Содержание и объем понятий алгебраического и геометрического методов как способов познавательной деятельности учащихся 160
2.4.Понятие, модель и механизм интеграции алгебраического и геометрического методов 170
Глава III. Методическая система «Интеграция алгебраического и геометрического методов» и её компоненты 183
3.1. Цели и содержание интеграции алгебраического и геометрического методов 184
3.2. Способы интеграции алгебраического и геометрического методов 190
3.3. Формы и средства интеграции алгебраического и геометрического методов 199
3.4. Закономерности и принципы процесса интеграции алгебраического и геометрического методов 219
3.5. Уровни познавательной деятельности учащихся в условиях интеграции алгебраического и геометрического методов 233
Глава IV. Методика обучения математике в общеобразовательных учреждениях на основе интеграции алгебраического и геометрическо го методов 241
4.1. Методика формирования целостных математических знаний учащихся на уровне понятий
4.2. Методика обучения доказательству теорем в условиях интеграции алгебраического и геометрического методов 254
4.3. Методика обучения решению текстовых задач 268
4.3.1. Использование одномерных диаграмм в курсе алгебры 7 класса 275
4.3.2. Использование двумерных диаграмм при решении текстовых задач 287
4.3.3. Графический метод решения текстовых задач 315
4.3.4. Графико-геометрический метод решения текстовых задач... 328
4.4. Методические особенности обучения решению геометрических задач 337
4.4.1. Связь алгебраических и геометрических приемов решения планиметрических задач в одном методе '.
4.4.2. Сочетание алгебраических и геометрических методов решения задач в курсе планиметрии 347
4.5. Педагогический эксперимент и его результаты 356
Заключение 367
Литература .. 373
Приложения 407
- Понятие интеграции в философской и педагогической литературе
- Анализ категории «метод» .
- Цели и содержание интеграции алгебраического и геометрического методов
Введение к работе
Тенденции развития современного общества, его глобализация и тотальная информатизация, бурный рост информационных потоков и быстрое развитие компьютерных технологий, затрагивают все сферы общественного устройства, в том числе и одно из главных достижений цивилизации - образование. В последнее десятилетие кардинальные перемены происходят в его содержании, организации и методах обучения. Однако компьютеризация процесса обучения наряду с несомненными положительными достижениями несет с собой и ряд серьезных, негативных по своей сути, проблем. Как отмечают некоторые зарубежные и отечественные психологи и педагоги, в условиях широкого применения компьютерных технологий все чаще возникают тревожные симптомы «клиповости», «разорванности» мышления и сознания учащихся. Простейший анализ, осмысление внутренней диалектической взаимосвязи изучаемых фактов, явлений и событий, последующее сохранение их в памяти становятся все более проблематичными для школьников всех возрастных категорий.
В то же время глобальные проблемы, стоящие сегодня перед человечеством (создание новых энергетических ресурсов, преодоление угрозы всеобщего загрязнения окружающей среды и т.п.), требуют для своего разрешения большого количества интеллектуальных сил, высокоразвитого мышления. В достижении этих качеств личности, как известно, уникальную роль играет математика, которая является (и всегда являлась) фундаментом общего образования. Причем, в современных условиях необходимы не только глубокие математические знания, но, в первую очередь, владение математическим методом познания окружающего мира. Поэтому разработка научных основ обучения данному методу и его основным видам - алгебраическому и геометрическому - является одной из самых актуальных задач методики математики.
Практическое решение этой задачи находится в русле процесса гуманизации обучения - одного из основных направлений современной реформы среднего математического образования. Гуманистическое мировоззрение предполагает такую организацию учебного процесса, при которой математические знания имели бы для ученика личностный смысл, были для него лич-ностно значимы.
В то же время следует иметь в виду, что последовательная реализация идей гуманизма может привести (и приводит) к возникновению противоречия между требованием обучения всех учащихся по единой программе и необходимостью учета их разнообразных интересов и склонностей. В результате данное противоречие порождает проблему дифференциации обучения школьников, в том числе и в сфере математического образования.
Кроме гуманизации, важным направлением совершенствования школьного математического образования в настоящее время является его гуманитаризация. Как известно, она призвана способствовать приобщению ученика к достижениям мировой культуры, формировать у него навыки творческой деятельности, самостоятельного открытия нового, ранее неизвестного [145,339].
Однако гуманитаризация образования, как и его гуманизация, ведет, в конечном счете, к увеличению объема получаемых учащимися знаний. Этому же способствует появление в школе новых учебных дисциплин, отражающих бурное развитие различных отраслей научного знания, и стремление школьных педагогов как можно подробнее представить их достижения. В результате возникает новое противоречие - между растущим объемом знаний и ограниченностью учебного времени, предназначенного для овладения им.
В области математики данное противоречие ещё больше обостряется в связи с сокращением количества часов, отводимых на изучение этой дисциплины в общеобразовательных учебных заведениях.
Итак, как видно из вышеизложенного, объективные тенденции формирующегося информационного общества, общая направленность и содержание современной перестройки школьного образования делают особо актуальной проблему интеграции математических дисциплин.
В справочно-энциклопедической и научной литературе термин «интеграция» понимается как процесс развития, связанный с объединением в единое целое ранее разнородных частей и элементов. При этом интеграция математических дисциплин означает, в частности, взаимопроникновение и. взаимосвязь их содержания.
В процессе совершенствования среднего математического образования наблюдается сочетание двух вышеназванных тенденций - дифференциации и интеграции. Как отмечает академик B.C. Леднев, дифференциация содержания общего среднего образования достигла сегодня своего предела и может осуществляться только путем интеграции, то есть введение нового, курса обязательно должно сочетаться с сокращением других курсов, но не путем исключения их из образования, а путем объединения на основе содержательной интеграции [217, с. 52].
Таким образом, дифференциация содержания образования составляет одновременно и исходную точку его интеграции, а результат интеграции должен быть началом дифференциации.
Проблема дифференциации обучения в школе достаточно основательно разработана в методической науке и практике, ей занимались такие ученые, как В.Г. Болтянский, Г.Д. Глейзер, В. А. Гусев, Ю.М. Колягин, Г.Л.-Луканкин, Г.И. Саранцев, И.М. Смирнова, М.В. Ткачева, В.В. Фирсов, Р.А. Утеева и др.
Анализ проблем, касающихся интеграции школьных математических дисциплин проводится, главным образом, в рамках таких методико-математических направлений, как реализация внутри- и межпредметных связей (Н.Я. Виленкин, В.А. Далингер, В.М. Монахов, А.Г. Мордкович и др., разработка интегрированных курсов (А.И. Азевич, В.Ф. Бутузов, А.С. Симонов, Ю.М. Колягин, Г. Л. Луканкин, Т.С. Полякова и др.), прикладная направленность (П.Т. Апанасов, С.С. Варданян, И.В. Егорченко, Н.А. Терешин, И.М. Шапиро и др.), укрупнение дидактических единиц (А.К. Артемов, С.А. Атрощенко, Г.И. Саранцев, П.М. Эрдниев, Б.П. Эрдниев и др.), преемственность в обучении математике (Ю.М. Колягин, М.Л. Сагателян, Л.Ю. Нестерова и др.). В качестве средства реализации указанных направле ний рассматривается процесе математического моделирования.
Реализация внутри- и межпредметных связей в обучении математике (в том числе и при решении задач) рассматривается в диссертационных исследованиях В.А. Далингера, Т.А. Ивановой, В.А. Митягиной, З.Г. Муртазина Е.Н. Перевощиковой [102, 143, 266, 279, 299], а также в работах В.Н. Волоха, В.А. Гусева и С.С. Варданяна, Р.М. Китаевой, Г.И. Саранцева и др.[66, 96, 193, 332 и др.]. Однако большинство данных работ относятся к началу 80-х годов XX века, когда существовал теоретико-множественный подход к изложению школьного курса математики, и большое внимание уделялось изучению метода геометрических преобразований, координатного, векторного методов. В этот период связи между алгеброй и геометрией устанавливались в основном путем использования аналитических методов при решении геометрических задач.
Широкое использование алгебраического аппарата в школьном курсе геометрии, с одной стороны, расширило возможности учащихся в решении геометрических задач, с другой стороны, активное применение аналитических методов в геометрии нередко стало наносить урон формированию традиционных, чисто геометрических, умений и навыков школьников, тормозить развитию их пространственных представлений и воображения.
Отказ от теоретико-множественного подхода в школьном курсе математики привел к необходимости поиска новых путей установления связей между алгеброй и геометрией. Одним из таких путей является использование геометрического метода в алгебре. Усиление роли геометрии в среднем математическом образовании объясняется возросшей потребностью в развитии творческого мышления обучаемых, основными компонентами которого являются интуиция и воображение, неразрывно связанные с геометрическими представлениями и геометрическим методом.
В условиях ускорения научно-технического прогресса на основе информационных технологий геометрические знания необходимы каждому мыслящему человеку. В свое время академик А.Д. Александров писал по этому поводу: «Вся техника пронизана геометрией и начинается с геомет рий, ибо всюду, где нужна малейшая точность размеров и формы, где нужна структурность взаимного расположения частей — там вступает в силу геометрия» [15, с. 58].
И действительно, на протяжении всей истории развития технической мысли геометрический метод решения задач являлся её важнейшей неотъемлемой частью. Геометрия сегодня всё больше выступает как метод познания и образ мышления. Геометрический язык используется не только в науке и технике, но и в повседневной жизни. На практике геометрические модели, отражающие лишь структуру оригинала, находят широкое применение в связи с проектированием сложнейших территориальных комплексов. Эти модели, построенные на основе геометрического подобия, позволяют решать задачи, связанные с оптимальным размещением объектов, прокладкой трубопроводов и т.п.
Велико значение геометрии и в развитии личности. Особенность геометрического метода, идущего от наглядных представлений, создает благоприятные возможности для формирования у учащихся таких профессионально значимых качеств, как пространственное воображение и логическое мышление.
Развитое пространственное воображение - это важный элемент общей культуры человека. «Геометрия, - подчеркивал в связи с этим великий архитектор XX века Ле Корбюзье (1887 - 1965), - есть средство, с помощью которого мы воспринимаем среду и выражаем себя. Геометрия - это основа. Кроме того, она является материальным воплощением символов, выражающих всё совершенное, возвышенное. Она доставляет нам высокое удовлетворение своей математической точностью. Машина идет от геометрии. Следовательно, человек нашей эпохи своими художественными впечатлениями обязан в первую очередь геометрии. После столетия анализа современное искусство и современная мысль рвутся за пределы случайного, и геометрия приводит их к математическому порядку и гармонии. Эта тенденция усиливается с каждым днём» [215, с. 25].
Велика роль геометрии в развитии механики и физики, где геометрические представления играют фундаментальную роль, так как движение и процессы происходят в пространстве. Примерами могут служить кинематика и геометрическая оптика, строение кристаллов, пространственные модели сложных молекул, симметрия живых организмов и др.
Пространственные представления, геометрическая интуиция играют важную роль и в самой математике. «Общая роль геометрии в математике состоит в том, что с нею связано идущее от пространственных представлений точное синтетическое мышление, часто позволяющее охватить в целом то, что достигается анализом и выкладками лишь через длинную цепь шагов» [12, с. 313].
Проследим основные моменты влияния геометрии в математике.
1. Математический анализ
Геометрия, наряду с механикой, имела решающее значение в возникновении и развитии анализа. Интегрирование происходит от нахождения площадей и объемов, начатого ещё древними учеными, причем площадь и объем как величины считались определенными, никакое аналитическое определение интеграла не давалось до первой половины XIX в.
Одной из задач, породивших дифференцирование, была задача проведения касательных к данной кривой.
Графическое представление функций сыграло важную роль в выработке понятий анализа и до сих пор сохраняет своё значение. В самой терминологии анализа виден геометрический источник его понятий, как, например, в терминах: «точка разрыва», «область изменения переменной» и т.п.
Первый курс математического анализа, написанный в 1696 г. Лопиталем, назывался: «Анализ бесконечно малых для понимания кривых линий». Теория дифференциальных уравнений в большей части трактуется геометрически (интегральные кривые и т.п.). Вариационное исчисление возникло и развивается в большой мере на задачах геометрии, и её понятия играют в нем важную роль.
2. Теория функций комплексного переменного
Комплексные числа окончательно утвердились в математике на рубеже — XIX вв. только вследствие сопоставления их с точками плоскости, то есть путем построения «комплексной плоскости», что привело к стремительному развитию теории функций комплексного переменного в XIX веке. Алгебраический смысл уравнения хп = 1 прояснился с его геометрической интерпретацией, связью с построением правильного п-угольника. Само понятие аналитической функции w = f (z) может быть определено чисто геометрически: такая функция есть конформное отображение плоскости z (или области плоскости z) в плоскость w. Понятия и методы римановой геометрии находят применение в теории функций нескольких комплексных переменных.
3. Функциональный анализ
Основная идея функционального анализа состоит в том, что функции данного класса (например, все непрерывные функции, заданные на отрезке [0; 1]) рассматриваются как точки «функционального пространства», причем отношения между функциями истолковываются как геометрические отношения между соответствующими точками (например, сходимость функций истолковывается как сходимость точек, максимум абсолютной величины разности функций — как расстояние). Тогда многие вопросы анализа получают геометрическое освещение, которое во многих случаях является очень плодотворным.
4. Алгебра
Геометрия оказывает влияние на алгебру и даже на арифметику - теорию чисел. В алгебре используют, например, понятие векторного пространства. В теории чисел создано геометрическое направление, позволяющее решать многие задачи, едва поддающиеся вычислительному методу. Следует отметить также графические методы расчетов (номография) и геометрические методы современной теории вычислений и вычислительных машин.
5. Аксиоматический метод
Логическое усовершенствование и анализ аксиоматики геометрии играли определяющую роль в выработке абстрактной формы аксиоматического метода с его полным отвлечением от природы объектов и отношений, фигу рирующих в аксиоматизируемой теории. На том же материале вырабатывались понятия непротиворечивости, полноты и независимости аксиом.
Из всех областей математики «теорию множеств считают более абстрактной и строгой, чем вся предшествующая ей математика. Но и в ней идущие от геометрии понятия порядка и меры играют организующую роль», -отмечал Г. Фройденталь [388, с. 42].
Большое значение имело возникновение топологии, мощные алгебраические методы которой были применены к изучению простейших наглядных образов - полиэдров. Эти методы оказали сильное влияние на алгебру и анализ.
Важнейшие идеи и проблемы топологии имеют геометрическую основу, и в последние десятилетия в топологии были решены давно стоявшие проблемы путем применения прямых геометрических методов.
С другой стороны, алгебраические методы влияли на развитие геометрии. Под влиянием алгебры в XIX веке преобразовалось наивное представление о пространстве - возникли понятия «-мерного пространства, стали изучать многомерные пространства, состоящие из геометрических образов, точек и векторов. Понятие пространства было обобщено на случай бесконечного числа измерений - это сделали аналитики, которые стали рассматривать пространства, состоящие из функций, последовательностей и т.д. [там же, с. 43].
Приведенный обзор показывает тесную связь геометрического и аналитических методов в различных разделах математики.
В конце XIX в. возникает новая область математики - теория множеств, которая вместе с аксиоматическим методом дает общие приёмы определения понятий математики. Это позволило французским математикам, выступающим под псевдонимом «Никола Бурбаки» показать, что математика является единой наукой и различные, развивающиеся почти изолированно друг от друга, её разделы являются звеньями одного единого организма. Они поставили своей целью провести классификацию всей математики по принципу так называемых математических структур. В основу этой классифика было положено понятие множества и применение аксиоматического метода. Характеризуя этот период развития математики, некоторые исследователи (Д.А. Поспелов, Г. Фройденталь и др.) отмечали, что геометрический метод решения задач, доказательства теорем стал уступать аналитическим методам. «В системе современной математики Бурбаки для геометрии не нашлось места», - писал Г. Фройденталь [388, с. 41].
Первенство в математике аналитических методов по сравнению с геометрическим нашло отражение и в школьном курсе математики (подробнее об этом см. п. 1.4). .
Несмотря на вышесказанное, геометрический метод познания высоко оценивали многие ученые XX века. Так, например, известный шведский физик Олоф Сунден особо подчеркивал, что «можно ожидать качественно нового скачка в физике тогда, когда физикам удастся сменить господствующий ныне математически-статистистический подход на геометрический описательный, действительно способный объяснить суть и причину явлений» [352, с. 23]. Некоторые признаки такого движения в науке уже имеются. Например, известно, что материальный мир описывается механикой Ньютона и электродинамикой Максвелла, но вакуумное пространство описывать традиционными методами затруднительно и даже, полагают, невозможно. Поэтому в начале XX столетия были предприняты попытки дать геометрическую интерпретацию вакуума. Большую роль в изучении и исследовании пространства методами гео-метродинамики сыграли работы Галилея, Лоренца, Пуанкаре, Минковско-го, Эйнштейна, Римана, Картана, Зельдовича, Новикова, Шипова и других ученых [426, с. 85].
В целом, многие зарубежные и отечественные исследователи предполагают, что наука развивается по схеме, в которой в научных подходах попеременно преобладают две тенденции: одна - математически-статистическая и неописательная, другая — геометрически-описательная. Наглядным примером такой схемы может служить генетика: законы Г. Менделя о наследственности были типично статистическими, сегодня больше ис кода ДНК/РНК, что дает возможность генетикам «конструировать» живые организмы с новыми заранее заданными свойствами [364, с. 63].
Следует заметить, что необходимость интеграции алгебраического и геометрического методов познания обусловлена не только самой логикой развития науки, но и потребностями формирования профессионально-значимых качеств современного специалиста. В условиях активного распространения новых компьютерных и информационных технологий от него требуются умения применять знания в комплексе, способность привлекать, объединять, суммировать большое число разнообразных компонентов научного знания.
Таким образом, объективные тенденции развития современной науки и потребности формирующегося информационного общества настоятельно требуют соответствующей перестройки школьного математического образования. Одним из перспективных её направлений является интеграция основных математических дисциплин, идущая в направлении от алгебры к геометрии. Геометризация математических знаний уже заметна в современном поколении учебников математики (подробнее об этом см. п. 1.2).
Необходимость интеграции математических дисциплин диктуется также и направленностью обшего образования на профилизацию. Профильное обучение предполагает изучение в старших классах базовых, профильных и элективных курсов. При этом интегрированные математические курсы могут выступать как в роли профильных (усиливающих математическую подготовку учащихся), так и в роли элективных курсов, то есть курсов по выбору (например, интегрированный математический курс у гуманитариев и т.д.).
Итак, потребность в научно-обоснованной концепции интеграции алгебраического и геометрического методов возрастает.
Всё вышесказанное позволяет говорить о наличии противоречий между:
- необходимостью повышения качества математических знаний учащихся и сокращением количества часов, отводимых на изучение математики в общеобразовательных учреждениях;
- продолжающейся дифференциацией содержания среднего математического образования и необходимостью интеграции математических курсов, как основы этой дифференциации;
- потребностями формирования целостных математических знаний и представлений о математике, её методах и существующим предметным построением учебного плана, создающим опасность изоляции в сознании ученика знаний одного предмета от знаний другого;
- той огромной ролью, которую играет геометрия в науке и технике, в формировании профессионально-значимых качеств личности и недостаточным использованием геометрического метода в школьном курсе математики, особенно в алгебре;
- направленностью на профилизацию среднего (полного) общего образования, требующей объединения родственных дисциплин, и отсутствием научно обоснованной концепции интеграции математических знаний в процессе обучения математике в общеобразовательных учреждениях.
Разрешение названных противоречий составляет проблему исследования.
Объектом исследования являются интеграционные процессы в среднем математическом образовании, а его предметом — методическая система «Интеграция алгебраического и геометрического методов», включающая личность ученика, цели, содержание, способы, формы и средства интеграции алгебраического и геометрического методов.
Цель исследования заключается в разработке концепции интеграции алгебраического и геометрического методов в среднем математическом образовании и методики её реализации в школьном учебном процессе.
Гипотеза исследования: если провести анализ категории «метод» и выделить единицу этого анализа, то это позволит раскрыть содержание и объемы понятий «алгебраический метод» и «геометрический метод», выделить компоненты и построить модель интеграции алгебраического и геометрического методов, объясняющую механизм этого процесса и позволяющую определить уровни интеграции данных методов в среднем математическом . Если затем на этой теоретической основе построить методическую систему, включающую личность ученика, цели, содержание, способы, формы и средства интеграции алгебраического и геометрического методов, разработать условия её функционирования в школьном учебном процессе и внедрить их в практику, то это позволит повысить качество знаний и умений учащихся по математике, формировать у них целостные знания и представления о математике и её методах.
Цель, предмет и гипотеза исследования определили его основные задачи, которые состоят в следующем:
1. Используя историко-генетический подход, выявить логику интегра-тивных процессов в среднем математическом образовании.
2. Исследовать эволюцию предмета математического знания- и выявить особенности интеграционных процессов в современной математике.
3. На основе анализа современных целей и задач общего среднего и математического образования, состояния школьной практики обучения математике, а также анализа психолого-педагогической, методической и учебной литературы по математике установить предпосылки интеграции алгебраического и геометрического методов в среднем математическом образовании.
4. Разработать понятийный аппарат и построить модель интеграции алгебраического и геометрического методов, объясняющую механизм этого процесса.
5. Построить методическую систему «Интеграция алгебраического и геометрического методов», раскрыть содержание её компонентов, выявить закономерности и принципы её функционирования в школьном учебном процессе.
6. Разработать методику обучения математике в общеобразовательных учреждениях, основанную на интеграции алгебраического и геометрического методов и провести экспериментальную проверку её эффективности.
К научно-теоретическим предпосылкам исследования, относятся: - гносеология математики, раскрывающая методы математического познания, его движущие силы и источники развития (Ж. Адамар, Д: Гильберт,
М. Клайн, Ф. Клейн, И. Лакатос, Д. Пойа, А. Пуанкаре, Г. Фройденталь, А.Д. Александров, Б.В. Гнеденко, Л.Д. Кудрявцев, В.М. Тихомиров, В.А. Молодший, Г.И. Рузавин, В.И. Арнольд, М.М. Постников и др.);
• - психолого-педагогические исследования интегративных процессов головного мозга (Б.Г. Ананьев, П.К. Анохин, Л.С. Выготский, П.Я. Гальперин, И.П. Павлов, С.Л. Рубинштейн, Ю.А. Самарин, Н.И. Чуприкова и др.);
- концепции интеграции науки и интеграции образования (Б.М. Кедров, И.Б. Новик, Н.Р. Ставская, B.C. Тюхтин, П.Н. Федосеев, И.Т. Фролов, А.Д. Урсул, М.Г. Чепиков, А.Я. Данилюк, К.Ю. Колесина, В.Т. Фоменко и др.); межпредметных и внутрипредметных связей (Н.С. Антонов, В.А. Гусев, В.А. Далингер, И.Д. Зверев, Т.А. Иванова, Ю.М. Колягин, П.Г. Кулагин, М. М. Левина, Н.А. Лошкарева, Г.Л. Луканкин, В.Н. Максимова, А.Г. Мордкович, Е.Н. Перевощикова, А.В. Усова, В.Н. Федорова и др.); укрупнения дидактических единиц (П.М. Эрдниев, Б.П. Эрдниев, А.К. Артемов, Г.И. Саранцев и др.); использования задач в обучении математике и формирования методов их решения (Д. Пойа, Л.С. Понтрягин, Ю.М. Колягин, Г.И. Саранцев, Л.М. Фридман, М.И. Зайкин, А.Б. Василевский, Э.Г. Готман, В.В. Орлов, О.И. Плакатина, Я.П. Понарин и др.);
- методологические положения, определяющие развитие системы среднего математического образования в русле концепции его гуманизации и гуманитаризации, личностно-ориентированного обучения математике (Т.А. Иванова, Т.Н. Миракова, А.Х. Назиев, Г.И. Саранцев и др.), индивидуализации и дифференциации, в частности профилизации обучения (Г.Д. Глейзер, В.А. Гусев, Г.Л. Луканкин, Г.И. Саранцев, И.М. Смирнова, Р.А. Утеева и др.).
Для решения поставленных задач использовались следующие основные методы исследования:
- историко-генетический подход, который служит основой для рассмотрения интеграции алгебраического и геометрического методов как характеристики развивающейся системы, позволяющей на основании анализа этапов её развития в прошлом исследовать особенности её развития в настоящем и , а также определить источники возникновения взаимосвязей между алгебраическим и геометрическим методами;
- системный анализ и моделирование интеграции алгебраического и геометрического методов на различных этапах обучения;
- деятельностный подход в разных его смыслах;
- педагогический эксперимент и обработка полученных результатов методами, используемыми в педагогических исследованиях.
Основные этапы исследования:
I этап (1985 -1989 гг.) включал в себя установление исходных фактов и осознание замысла исследования. На этом этапе исследовалась целесообразность и возможность использования геометрического метода в алгебре, в частности при обучении учащихся решению текстовых задач. Было выявлено состояние исследуемой проблемы в теории и практике обучения математике, проведен педагогический эксперимент на базе школ №№ 25, 34, 35 г. Саранска и № 232 г. Ленинграда, включающий констатирующий, поисковый и обучающий этапы.
Результатом этой части исследования явилась разработка теории и методики использования геометрического метода при обучении учащихся решению текстовых алгебраических задач.
IIэтап (1990 -1996 гг.). На этом этапе осуществлялось внедрение разработанной методики в практику подготовки будущих учителей математики как на лекциях и практических занятиях, так и в виде специального курса по методике преподавания математики. Были подготовлены и опубликованы программа и методические рекомендации к занятиям по спецкурсу «Методика использования геометрического метода при обучении учащихся решению алгебраических задач».
Одновременно продолжалось теоретическое исследование проблемы. Развернувшаяся в этот период гуманизация математического образования значительно усилила роль дифференциации обучения математике, а дифференциация, в свою очередь, явилась началом новых интеграционных процессов в .-В связи с этим расширяется предмет нашего исследования, актуальность его возрастает.
III этап (1997 — 2001). На этом этапе были выявлены социальные, психолого-педагогические, математические и методические предпосылки интеграции алгебраического и геометрического методов в школьном математическом образовании, установлены теоретико-методологические основы решения данной проблемы. Осуществлялось построение теоретической модели интеграции алгебраического и геометрического методов и разрабатывались условия её эффективного функционирования в школьной практике.
Главным результатом этого этапа стала подготовка и публикация статей и учебного пособия по теме исследования, а также апробация данных научно-методических материалов в школьной практике.
IV этап (2002 - 2004 гг.) включал построение методической системы «Интеграция алгебраического и геометрического методов», выявление закономерностей и принципов её функционирования, а также выполнение работы по уточнению и коррекции теоретических и методических аспектов и условий решения проблемы исследования. В результате возникла необходимость в подготовке и публикации ещё одного учебного пособия по теме исследования и внедрения его в практику. Анализ полученных теоретических и экспериментальных результатов позволил сформулировать окончательные выводы.
На этом этапе осуществлялись оформление диссертации и подготовка к публикации монографии.
Апробация и внедрение результатов исследования выполнялись в ходе целенаправленной и систематической работы с учителями школ на научно-методических семинарах и курсах повышения квалификации работников образования на базе Мордовского республиканского института образования; в процессе обучения математике учащихся средних общеобразовательных школ (№№ 25, 34,35), гимназии № 23, лицея № 26 г. Саранска, школы № 1 г. Красно-слободска, школы № 2 г. Теньгушева, Сивинской средней школы Красносло-бодского района, Болынеполянской средней школы Кадошкинского района Мордовия; при работе со студентами педагогического института в рамках спецкурса, на занятиях по методике преподавания математики, в период руководства педагогической практикой, при написании курсовых и дипломных работ.
Апробация теоретических положений и результатов исследования осуществлялась на международных и всероссийских научно-практических конференциях: «Гуманизация и гуманитаризация математического образования в школе и вузе» (Саранск, 1998), «Провинция: процесс международной интеграции в XXI веке» (Киров, 2001), «Интеграция региональных систем образования» (Саранск, 2001 и 2003), «Проблемы качества подготовки учителя математики и информатики» (Нижний Новгород, 2002), «Гуманитаризация среднего и высшего математического образования: методология, теория и практика» (Саранск, 2002), «Актуальные проблемы обучения математике (К 150-летию со дня рождения А.П. Киселёва)» (Орёл, 2002), «Предметно-методическая подготовка будущего учителя математики, информатики и физики» (Тольятти, 2003), «Проблемы математического образования и культуры» (Тольятти, 2003); на Герценовских чтениях (С.-Петербург, 1995, 1998, 2000, 2001, 2004); на XXI Всероссийском семинаре преподавателей математики университетов и педагогических вузов «Модернизация школьного математического образования и проблемы подготовки учителя математики» (С- Петербург, 2002), а также в процессе выступлений среди участников круглого стола «Учитель для национального региона: каким ему быть» журнала «Педагогика» (Саранск, 2002), на региональной научно-практической конференции «Развивающий потенциал математики и его реализация в обучении» (Арзамас, 2002), на ежегодных итоговых научных конференциях преподавателей и сотрудников МГПИ имени М.Е. Евсевьева (1993 - 2003), на научно-методических семинарах кафедры методики преподавания математики в Мордовском государственном педагогическом институте.
Внедрение научных результатов осуществлялось также через публикацию монографии, учебных пособий, учебных программ и методических реко , статей в научных сборниках, журналах «Интеграция образования» и «Математика в школе» общим объемом более 55 п.л.
Научная новизна исследования заключается в том, что в нем проблема совершенствования среднего математического образования решается на принципиально новой основе - концепции интеграции алгебраического и геометрического методов как процесса их сочетания или связи, осуществляемого учеником путем перевода учебной информации с алгебраического языка на геометрический или с геометрического языка на алгебраический и обратно. В условиях интеграции алгебраического и геометрического методов формирование математических понятий, обучение доказательству теорем и решению задач осуществляется в единстве алгебраических и геометрических действий и направлено на интенсификацию обучения, сущность которой заключается в приобретении учащимися качественно новых знаний, недоступных вне единого подхода.
Новыми в исследовании являются и сами трактовки понятий «алгебраический метод», «геометрический метод», а также предложенная классификация алгебраических и геометрических методов в среднем математическом образовании, построенная модель интеграции алгебраического и геометрического методов, состоящая из объектов вида АіІ СкНі (где АІ -алгебраический метод, Tj - геометрический метод, Сь - способ интеграции, Hi - направленность интеграции), позволяющая объяснить механизм этого процесса и определить уровни интеграции данных методов.
Теоретическая значимость исследования состоит в:
- историко-генетическом подходе к исследованию интегративных процессов в школьном математическом образовании;
- выявленных социокультурных, психолого-педагогических, математических и методических предпосылках интеграции алгебраического и геометрического методов;
- разработанной концепции интеграции алгебраического и геометрического методов в среднем математическом образовании, включающей содер и объемы понятий «алгебраический метод» и «геометрический метод» в обучении математике, трактовку понятия «интеграция алгебраического и геометрического методов», модель и механизм этого процесса, а также формы интеграции названных методов;
- построенной методической системе «Интеграция алгебраического и геометрического методов» и характеристике её компонентов: целей, содержания, способов, форм и средств интеграции, а также личности ученика как носителя сознания.
- выявленных закономерностях и принципах интеграции алгебраического и геометрического методов;
- разработанной методике обучения математике учащихся общеобразовательных учреждений, основанной на интеграции алгебраического и геометрического методов и направленной на овладение алгебраическим и геометрическими методами познания мира, реализацию деятельностного подхода, формирование целостных математических знаний учащихся.
Практическая значимость исследования заключается в том, что его результаты могут быть использованы
- при разработке типовых стандартов, программ, учебников и учебных пособий по математике для средней школы;
- при написании учебников и учебных пособий по теории и методике обучения математике для студентов педвузов и учителей;
- при разработке концепций интеграции методов в других образовательных областях, а также методики интегрированного обучения родственным учебным дисциплинам (не обязательно математическим) в. школах различного типа и вузах.
Обоснованность и достоверность полученных выводов обеспечивается согласованностью методологических и теоретических положений, составляющих концепцию исследования, их адекватностью целям, предмету и задачам исследования, положительными результатами педагогического эксперимента.
защиту выносятся следующие положения:
1. Интеграция алгебраического и геометрического методов представляет собой сложный феномен, основными компонентами которого являются: алгебраический метод, геометрический метод, способ интеграции, направленность интеграции («от алгебры к геометрии» или «от геометрии к алгебре»). Алгебраический и геометрический методы при этом трактуются как способы познавательной деятельности учащихся, основанные соответственно на системе алгебраических и геометрических знаний и на геометрических (наглядных) представлениях (в случае геометрического метода), а также на способах деятельности, адекватных этим методам.
2. Основу механизма интеграции алгебраического и геометрического методов составляет перевод учебной информации с алгебраического языка на геометрический или с геометрического языка на алгебраический и обратно. Основными приемами перевода учебной информации в первом случае являются приемы использования графиков функций, одномерных и двумерных диаграмм; во втором случае - приемы использования метода площадей, метода подобия треугольников, метода окружностей, векторного, координатного методов и др.
3. Интеграция алгебраического и геометрического методов осуществляется двумя способами: путем сочетания данных методов или связи их в одном методе. Она проявляется в следующих формах: совокупности алгебраических и геометрических методов решения одной и той же задачи, упорядоченности данных методов, организации (когда в объединении методов появляются связи) и системы, представляющей собой хорошо организованное (органическое) множество алгебраических и геометрических методов или их приемов, образующее целостное единство.
4. Модель интеграции алгебраического и геометрического методов реализуется в учебном процессе посредством задач, объединяемым в блоки по определенным принципам, таким как: принцип целостности, то есть наличия в блоке алгебраических и геометрических задач; решения каждой задачи алгебраическими, так и геометрическими методами или одним методом, включающим алгебраические и геометрические приемы; интеграции одинаковых методов; использования одинаковых способов интеграции и др.
Структура диссертации определена логикой и последовательностью решения задач исследования. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы (429 наименований); включает 94 рисунка (в том числе 9 схем), 15 таблиц и 7 приложений.
Понятие интеграции в философской и педагогической литературе
Понятие интеграции в современной философской и другой научной литературе трактуется аналогично. Так, в «Словаре современных иностранных слов» (М., 1993) дана следующая трактовка: «Интеграция - [ лат. integratio восстановление, восполнение integer целый] - объединение в целое каких-либо частей, элементов (противоположенное дезинтеграции)» [344, с. 240].
В «Большом энциклопедическом словаре» (М.,1998) представлены разные значения термина «интеграция»: 1) понятие, означающее состояние связанности отдельных дифференцированных частей и функций системы, организма в целое, а также процесс, ведущий к такому состоянию; 2) процесс сближения и связи наук, происходящий наряду с процессами их дифференциации [47, с. 452].
В философской литературе интеграция трактуется как сторона процесса развития, связанная с объединением в целое ранее разнородных частей и элементов. Наряду с этим указывается, что процессы интеграции могут иметь место как в рамках уже сложившейся системы - в этом случае они ведут к повышению уровня её целостности и организованности, так и при возникновении новой системы из ранее несвязанных элементов. Отдельные части интегрированного целого могут обладать различной степенью автономии. В ходе процессов интеграции в системе увеличивается объем и интенсивность взаимосвязей и взаимодействий между элементами, в частности надстраиваются новые уровни управления. Иногда под интеграцией понимается интег-рированность, то есть некоторый результат процесса интеграции, состояние упорядоченного функционирования частей целого [14, с. 210].
Длительное время термин «интеграция» употреблялся прежде всего в отношении наук и научных знаний.
В истории развития науки проблема интеграции - одна из старейших. Идея о единстве научных знаний находила отражение в работах древних мыслителей. Мудрость, по словам Гераклита, в том, чтобы знать всё как одно [382, с. 199].
Проблему интеграции пытались решать с различных исходных позиций Платон, Аристотель, И. Кант, Г. Гегель, Д. И. Менделеев, А. Энштейн; Т. Павлов, Н. Винер, Д. Бернал и др. По мере развития и прогресса науки интегративные тенденции к взаимовлиянию и взаимопроникновению различных областей знания проступали всё" ярче. Эту особенность развития науки впервые подметил и проанализировал Ф. Энгельс. Он писал: «Уразумение того,.что вся совокупность процессов природы находится в систематической связи, побуждает науку выявлять эту систематическую связь как в частностях, так и в целом» [416, с. 35 - 36]. Ф. Энгельс теоретически обосновал и предсказал неизбежность дифференциации и интеграции наук. Он указал, что причина этой закономерности заключается во всё более и более глубоком проникновении естествознания в диалектику природы, проявляющуюся в единстве её многообразия, в силу чего все предметы, процессы, явления, составляющие природу, взаимосвязаны, взаимообусловлены, соединяются тысячами различных нитей, переходов, превращений; эти взаимосвязи, взаимопереходы познаются и всё точнее раскрываются научным естествознанием. Поскольку природа представляет собой единое взаимосвязанное целое, то и науки, её изучающие могут действовать и прогрессировать в единстве и взаимосвязи, т.е. составлять при всём своем многообразии единую систему научных знаний [417].
Дальнейшее развитие и прогресс науки полностью подтвердили мысли Ф. Энгельса. Со всё возрастающей стремительностью и интенсивностью происходит процесс взаимопроникновения наук. В основе его лежат познанные человеком связи между различными системами знаний, которые в свою очередь обусловлены существованием отношений взаимной зависимости и взаимообусловленности предметов и явлений объективной действительности.
Обратимся к истории науки и проследим глубинные процессы развития научной мысли в период с конца XIX в. до настоящего времени, а также зависимость от этих процессов содержания школьного образования, а точнее, использования идеи межпредметных связей (одной из форм интеграции).
В конце XIX в., разрабатывая важнейшие проблемы философии естествознания, в том числе и проблему классификации наук, Ф. Энгельс в «Диалектике природы» подверг тщательному анализу состояние знаний о природе и различные системы классификации наук, показал несостоятельность старых систем и обосновал необходимость создания новой классификации наук, адекватной современному знанию человека о мире. Стремясь подчеркнуть качественно отличные стороны новой классификации наук от бытовавших ранее, Ф. Энгельс выдвигает на первый план диалектический характер новой классификации: «... так как теперь в природе выявлена всеобщая связь развития, то внешняя группировка материала в виде такого ряда, члены которого прикладываются один к другому в настоящее время столь же недостаточна, как и гегелевские искусственные диалектические переходы. Переходы должны совершаться сами собой, должны быть естественными. Подобно тому, как одна форма движения развивается из другой, так и отражения этих форм, различные науки, должны с необходимостью вытекать одна из другой» [416, с. 565]. Эти мысли Ф. Энгельс подтверждает многочисленными примерами, набросками схемы будущей полной классификации наук.
Анализ категории «метод»
Алгебраический и геометрический методы можно рассматривать как методы наук соответственно алгебры и геометрии, как методы решения задач и как специальные методы обучения математике. Для того, чтобы определить содержание понятий названных методов в каждом из трёх смыслов, проведем сначала анализ категории «метод». В научной литературе имеются различные трактовки этого понятия. Некоторые из них представлены в таблице 2.
В современной энциклопедической литературе метод (от греческого methodos - путь исследования, теория, учение) трактуется как способ достижения цели, решения конкретной задачи; совокупность приемов и операций практического или теоретического освоения (познания) действительности [47, с. 452; 67, с. 634]. В науке - способ познания действительности; приемы исследования [419, с. 24].
В философии (гносеологии) понятие метода соотносится с научным познанием (в первую очередь) и с практической деятельностью.
В «Философской энциклопедии» метод трактуется как «форма практического и теоретического освоения действительности, исходящего из закономерностей движения изучаемого объекта, система регулятивных принципов преобразующей практической или познавательной теоретической деятельности ... в педагогике - система воспитательных и образовательных средств; в науке - способы исследования и изложения материала» [378, с. 409].
Метод соотносится в первую очередь с научным познанием. Однако следует отметить, что практическая сторона есть и у метода познания. В статье о методе, помещенной в БСЭ (т. 16, 1974), отмечается, что своими генетическими корнями метод восходит к практической деятельности, приёмы которой должны были, однако, сообразоваться с законами действительности. В связи с этим представляется необходимым рассмотреть понятие метода, которым оперирует логика науки.
Логика науки рассматривает вопрос о методе как методе научного исследования. Здесь самое общее философское понятие метода получает дополнение и конкретизацию. Эти дополнения касаются как раз той стороны метода, которая делает его способом деятельности. В работе «Логика научного исследования» (М., 1965) отмечается: «С внешней стороны всякий научный метод выступает процессом применения некой рациональной системы к разнообразным предметам во время теоретической и практической деятельности субъекта... В таком случае метод осмысливается в качестве определенной процедуры, совокупности приёмов действия над изучаемым объектом... Поэтому на поверхности метод выступает чем-то субъективным, противоположным объекту» [222, с. 302 - 303].
Выбор и применение методов исследования предопределяются и вытекают из природы изучаемого явления, из задач, которые ставит перед собой исследователь. В истории науки методы возникали как результаты открытий, создания новых теорий. Искусство открытия, по словам Ф. Бэкона, росло вместе с самим открытием. Формируясь в практике прошлого исследования, метод выступает как исходный пункт последующих исследований, как объединяющее начало практики и теории.
Метод находится в неразрывном единстве с теорией: любая система объективного знания может стать методом. Неразрывная связь метода и теории находит своё выражение в методологической роли научных законов. Любой закон науки, отражая то, что есть в действительности, вместе с тем указывает и на то, как нужно мыслить о соответствующей её сфере. [348, с. 452].
В логике научного познания в методе выделяют (различают) две стороны: объективную и субъективную. Первая обращена к гносеологической природе метода и означает, что метод основан на знании сущности и закономерностей познаваемого или преобразуемого объекта, адекватен сущности объекта. Вторая сторона связана с деятельностью по применению метода, с конкретной целью деятельности над изучаемым объектом. В связи с этим применительно к деятельности возникает критерий правильности, т. е. соответствия правилам метода. Однако применительно к методу, как таковому, действует критерий истинности - критерий соответствия метода сущности объекта. «Отличие правильности от истинности состоит в том, что ... истинность определяется только объектом» [222, с. 304]. Для эффективности метода необходимо, чтобы он удовлетворял обоим указанным требованиям.
Цели и содержание интеграции алгебраического и геометрического методов
Цели интеграции алгебраического и геометрического методов включают в себя три группы целей: образовательные, воспитательные и развивающие. Образовательные цели включают:
1) усвоение системы математических знаний, умений и навыков;
2) формирование умений осуществлять моделирование в различных математических ситуациях (при решении уравнений, неравенств и их систем, текстовых задач, при доказательстве теорем и решении геометрических задач);
3) обобщение и систематизация знаний, которые связаны с данными методами, формирование целостности математических знаний.
К воспитательным целям относятся:
1) формирование научного мировоззрения: благодаря интеграции алгебраического и геометрического методов, с одной стороны, появляется возможность показать проникновение математики в другие науки, в практику; с другой стороны, формировать понимание единства математики и её методов, выделить то общее, что объединяет все методы математики (единый подход в применении, этапы применения методов), а через них показать единство составляющих школьного предмета математики: алгебры и геометрии;
2) воспитание математической культуры, рациональности умственной деятельности учащихся;
3) эстетическое воспитание школьников: интеграция алгебраического и геометрического методов позволяет сравнивать методы решения одной и той же задачи, выбирать наиболее рациональный из них, дает возможность получать иногда оригинальные, красивые решения задач.
Развивающие цели включают:
1) развитие творческого мышления учащихся, компонентами которого, по мнению психологов, методистов и математиков, являются динамичность, системность умственной деятельности, воображение, интуиция и т.д.;
2) развитие математических способностей учащихся, структуру которых составляют: алгоритмические, или вычислительные, способности, геометрические и логические способности (подробнее о них говорилось в п. 1.4);
3) гармоничное психофизиологическое развитие обучаемьгх;
Содержанием интеграции являются алгебраический и геометрический методы, рассматриваемые в обучении математике как способы познавательной деятельности учащихся, основанные соответственно на системе алгебраических и геометрических знаний. Любой метод состоит из приемов. Прием будем рассматривать как способ вьшолнения метода. Каждый алгебраический и геометрический метод имеет свой состав приемов (см. Приложение 4).
Одна из основных целей обучения математическим методам (и вообще обучения математике в средней школе) состоит в показе возможностей использования математики для решения практических задач, в обучении школьников реализации этих возможностей на производстве, в научной работе, в быту.
Самым существенным компонентом процесса решения практических задач методами математики является математическое моделирование. Поэтому достижение указанной цели должно быть обязательно связано с формированием у учащихся умений строить и исследовать математические модели.
Целенаправленная работа по реализации поставленной цели будет способствовать овладению моделированием не только как методом решения практических задач, но и как методом научного познания, будет решать вопросы формирования у учащихся научного мировоззрения, понимания значимости абстрактных научных понятий (научных моделей) в познании реальной действительности. В настоящее время моделирование очень широко применяется не только в научных исследованиях, но и при решении задач, возникающих в технике, экономике, геологии, медицине и т. д. Поэтому понятия «моделирование» и «модель» рассматривают в широком смысле.
Объект В, являющийся моделью некоторого объекта А (оригинала) выбирается или специально строится человеком для одной из следующих целей:
1) заменить оригинал А в мысленном или реальном действии. Такая замена производится тогда, когда для действия в данных условиях объект В более удобен (в этом случае мы имеем дело с моделью-заместителем);
2) создать представление об оригинале А с помощью объекта В (модель -представление);
3) истолковать объект А в виде объекта В (модель-интерпретация);
4) исследовать объект А с помощью объекта В, посредством объекта В (исследовательская модель).
