Содержание к диссертации
Введение
Глава I Роль и место конструктивных геометрических задач в школьном курсе математики
1 Геометрические задачи на построение и их решение 9
2 Психолого-дидактические особенности конструктивных геометрических задач и процесса их решения 22
3 Ретроспектива и состояние постановки конструктивных геометрических задач в основной школе 41
4 О постановке конструктивных задач в зарубежной школе 62
Выводы по первой главе 79
Глава II Методика обучения решению конструктивных задач
1 Дидактическая типология конструктивных задач курса планиметрии 81
2 Основные принципы построения методики обучения решению конструктивных задач в курсе планиметрии 98
3 Обучение решению конструктивных задач в процессе изучения курса планиметрии в основной школе 122
4 Меж предметные и внутри предметные связи в процессе решения конструктивных задач 152
5 Эксперимент 165
Выводы по второй главе 170
Заключение 173
Список литературы 175
Приложения 185
- Геометрические задачи на построение и их решение
- Психолого-дидактические особенности конструктивных геометрических задач и процесса их решения
- Дидактическая типология конструктивных задач курса планиметрии
Введение к работе
Традиционно в системе математического образования в отечественной школе решается триединая задача обучения учащихся математическим знаниям, приемам и методам, воспитания их математической культуры, развития математического мышления школьников средствами математики. При этом, как известно, первостепенное значение имеет формирование и развитие у школьников таких математических знаний, умений и навыков, которые должны составить фундамент для их активной познавательной деятельности в обучении математике и другим школьным дисциплинам, для их дальнейшего самообразования, которые будут востребованы и найдут свое применение в их практической деятельности. То есть решается задача фундаментальной математической подготовки школьников.
Объективно одним из средств, способствующих достижению высокого уровня математической подготовки учащихся, является их деятельность по решению математических задач, в особенности, геометрических задач на построение. В самом деле, история преподавания геометрии в отечественной средней школе выявила особую значимость геометрических задач на построение. Геометрические построения являются неотъемлемой частью элементарной геометрии, органически сочетаясь с ее систематическим курсом. Конструктивные геометрические задачи составляют одну из содержательных линий школьного курса геометрии, они отличаются широкими возможностями выбора методов их решения и разнообразными приложениями в практической деятельности. Действительно, среди методов решения геометрических задач на построение обширную группу составляют методы геометрических преобразований, осуществляя тесную взаимосвязь конструктивных задач с линией геометрических преобразований, которые, в свою очередь, составляют важнейшее понятие в элементарной геометрии, реализуют связь с функциональной линией в математике. Кроме того, конструктивные геометрические задачи имеют богатые межпредметные связи, в первую очередь, с курсами черчения, алгебры (посредством так называемого алгебраического метода) и физики. Задача формирования навыков и умений геометрических построений, а в целом - графической культуры учащихся, является сквозной как для всего школьного курса геометрии, так и для курса черчения.
Геометрические задачи на построение играют особую роль в формировании и развитии мышления школьников, его различных компонентов, в первую очередь, пространственного и логического, а также - в развитии математической интуиции учащихся. В самом деле, рассматривая геометрические задачи на построение, традиционно, отечественная методика предлагает проводить ход их решения (а также запись решения) в четыре этапа: 1) анализ, 2) построение, 3) доказательство, 4) исследование. Уже одно это говорит о том, что конструктивные геометрические задачи аккумулируют в себе обучение поисковой деятельности, конструктивной деятельности, приемам логического мышления, формируют исследовательские навыки у учащихся.
Теоретические основы геометрических построений были разработаны еще в 19 веке швейцарским геометром Я. Штейнером, а в дальнейшем нашли отражение в трудах А. Адлера, Ю. Петерсона, О. Шатуновского, Н.Ф. Четверухина и др.
Конструктивные геометрические задачи традиционно занимали одно из ведущих мест в отечественной дореволюционной школе, школе первой половины XX века. Во многом это объясняется тем, что курс геометрии в отечественной школе самостоятельный и дедуктивный, а конструктивные задачи облегчают его усвоение.
Вопросам постановки обучения геометрическим задачам на построение посвящены работы многих видных ученых-методистов, среди которых И.И. Александров, СИ. Шохор-Троцкий, Н.А. Извольский, Д.И. Перепелкин, Ж. Адамар и др.
Так, одним из основоположников методики изучения геометрических построений в средней школе заслуженно считается И.И. Александров. Ему принадлежат исследования в области теории элементарных построений и внедрения их в практику школьного преподавания геометрии. И.И. Александров первым построил систему конструктивных геометрических задач, выделив методы их решения; ему принадлежит идея использования задач на построение в качестве метода решения геометрических вопросов при обучении этому предмету в школе. Его достижения в области методики преподавания математики остаются востребованными и в наше время.
СИ. Шохор-Троцкий известен как автор метода целесообразных задач, посредством которого организуется взаимодействие индуктивного и дедуктивного метода в обучении математике. Он является автором комплекта учебных пособий «Геометрия на задачах» для учащихся и учителей, в которых немаловажная роль отведена геометрическим построениям, они используются для обоснования теоретических положений геометрии, здесь же СИ. Шохор-Троцкий применил разработанный им метод целесообразных задач.
Большой вклад в решение целого ряда проблем обучения учащихся геометрическим построениям внес Д.И. Перепелкин, достаточно подробно разработав вопросы содержания конструктивного материала и его распределения в пределах школьного курса геометрии. Кроме того, он внес значительный вклад в дело подготовки учителей математики, явившись автором учебников по элементарной геометрии, пользующихся большой популярностью среди студентов и учителей.
В дальнейшем методика обучения решению геометрических задач на построение получила развитие в трудах И. Ганчева, О.С. Куликовой, Г.Г. Масловой, Н.Н. Никитина, Г.И. Саранцева, А.Д. Семушина, А.А. Стражевского, И.Ф. Тесленко, А.И. Фетисова, А. Фуше и др.
Теория и методика обучения решению математических задач (в том числе конструктивных геометрических задач) рассмотрены в работах М.И. Зайкина, Г.Д. Глейзера, В.А. Гусева, Г.Л. Луканкина, О.В. Мантурова, Ю.М. Колягина, В.И. Кру-пича, И.М. Смирновой, А.А. Столяра и др.
Аспекты психологического развития пространственного воображения, логического мышления учащихся в процессе выполнения графической деятельности освещены в исследованиях Г.А. Владимирского, В.И. Зыковой, Е.Н. Кабановой-Меллер, В.А. Крутецкого, С.Л. Рубинштейна, Л.М. Фридмана, И.С. Якиманской и др.
Проблемы формирования графических знаний, умений и навыков, графической культуры учащихся в процессе выполнения конструктивной деятельности рассмотрены Б.Г. Ананьевым, А.Д. Ботвинниковым, Н.Д. Бурениным, Б.Ф. Ломовым, Т.П. Гора и др.
Геометрическим задачам на построение в школьном курсе математики, проблемам их постановки, обучения учащихся их решению посвящен целый ряд диссертационных исследований, большая часть из которых относится к 50-60 гг. XX столетия. Таковы, например, исследования А.А. Мазаника, Г.М. Олифера, Г.П. Сенникова и др.
В диссертационном исследовании А.А. Мазаника «Построения как органическая часть курса геометрии восьмилетней школы» (1961) разработаны вопросы методики обучения учащихся отысканию решений задач на построение, методики ознакомления со схемой решения конструктивной задачи и проведения ее каждого этапа, методики обучения учащихся специальным методам решения задач на построение. Описывая методику обучения учащихся отысканию решений конструктивных задач, автор предлагает опереться на приемы, изученные в арифметике, а именно - на ана-литико-синтетический метод, использовать принципы нарастания сложности предлагаемых задач и вариации простейших задач. Особое внимание А.А. Мазаник уделяет методике исследования решений задач на построение, а также устанавливает возможность и целесообразность применения расширенного набора чертежных инструментов и дает соответствующие рекомендации.
Г.П. Сенников в своем диссертационном исследовании «Методика обучения решению задач на построение в VI - VIII классах» (1953) методы решения задач на построение предлагает рассматривать как единую систему средств анализа задачи, отмечая его особую роль в ее решении. Он классифицирует геометрические задачи на построение по следующим видам: 1) задачи положения, 2) метрические задачи. Такая классификация имеет значение при проведении этапа исследования конструктивной геометрической задачи, для которого он выдвигает два основных принципа исследования: принцип варьирования данных и принцип подсчета числа решений.
Диссертационная работа Г.М. Олифера «Основные принципы методики обучения решению планиметрических задач на построение в средней школе в свете задач политехнического обучения» (1953) освещает те из них, которые лежат в основе эффективного проведения этапов решения геометрической задачи на построение. Автор предлагает использовать задачи на построение как конструктивный метод трактовки геометрических вопросов, как средство установления связей геометрии с практикой. Г.М. Олифер проводит классификацию конструктивных планиметрических задач, в основу которой положено «искомое» в задаче. Согласно его классификации каждую планиметрическую задачу на построение можно отнести к одному из следующих видов: 1) задачи на построение многоугольников, 2) задачи на построение окружностей (или их дуг), 3) задачи на построение прямых (или отрезков), 4) задачи на построение точек. Кроме того, автором рассматривается вопрос о сложности геометрических построений.
Таким образом, круг тех вопросов и проблем, которые нашли решение в отечественной методике обучения школьников решению конструктивных геометрических задач, составляют следующие: содержание конструктивного материала в ппсольном курсе геометрии и его распределение в пределах этого курса, методика ознакомления учащихся со схемой решения геометрической задачи на построение и проведения каждого ее этапа, методика обучения учащихся отдельным методам решения конструктивных геометрических задач. Как показал анализ программ и учебников, задачам на построение в курсе геометрии отечественной школы вплоть до 60-х гг. нашего столетия уделялось значительное внимание, а в современном курсе математики основной школы внимание к ним существенно снизилось. Все меньше места находится таким задачам на страницах школьных учебников геометрии, да и в школьной программе по математике геометрическим построениям отводится неоправданно малое количество часов, их изучение становится эпизодическим при том, что роль таких задач в формировании пространственного мышления и графической культуры учащихся является общепризнанной и подтверждена фундаментальными исследованиями в области психологии и методики обучения математике. Таким образом, до сих пор не решена проблема представления конструктивных задач как органической части в курсе геометрии современной школы. Выявленное противоречие между большой психолого-педагогической значимостью конструктивных геометрических задач с точки зрения их содержания и особенностей процесса решения, с одной стороны, и незначительным вниманием к ним в современном школьном курсе геометрии, с другой, определяет актуальность проблемы нашего диссертационного исследования.
Проблема диссертационного исследования заключается в выявлении возможностей усиления конструктивной линии в современном курсе геометрии основной школы.
Цель исследования состоит в совершенствовании и дальнейшем развитии методики обучения школьников решению задач на построение, усиливающей конструктивную линию в обучении геометрии в современной школе.
Объект исследования: процесс обучения геометрии в основной школе.
Предмет исследования: методика обучения решению геометрических задач на построение. Гипотеза исследования: целенаправленное и целесообразное усиление конструктивной линии в современном курсе геометрии основной школы позволит повысить и теоретический, и практический уровень обучения геометрии.
Для решения выявленной проблемы, достижения поставленной цели и проверки сформулированной гипотезы были определены следующие основные задачи исследования:
1) Проанализировать состояние проблемы диссертационного исследования на основе изучения и обобщения психолого-педагогической, методической, учебной литературы, государственных документов по вопросам среднего образования.
2) Выявить роль и место геометрических задач на построение в школьном обучении, а также психолого-дидактические особенности процесса их решения.
3) Проследить эволюцию обучения решению геометрических задач на построение в отечественной средней школе, а также - в некоторых зарубежных школах.
4) Выявить типологию конструктивных геометрических задач, наиболее приемлемую для обучения геометрии в современной основной школе.
5) Разработать методическую систему обучения геометрии, усиливающую конструктивную линию в обучении, и экспериментально проверить эффективность разработанной методики.
Методологическую основу исследования составили основные положения диалектики, теории познания, логики науки, системный подход к данной проблеме.
Теоретической основой исследования явились труды известных ученых-математиков и методистов, фундаментальные исследования в области психологии, основные положения и принципы теории и методики обучения математике в школе.
Для решения поставленных задач были использованы следующие методы исследования:
1) Теоретические (анализ математической, психолого-педагогической, методической литературы по теме диссертационного исследования).
2) Общелогические (историко-логический анализ состояния исследуемой проблемы, логико-дидактический анализ действующих программ и учебников по геометрии).
3) Эмпирические (педагогические наблюдения, сравнение и обобщение педагогического опыта, беседы с учителями и др.).
4) Экспериментально-статистические (педагогический эксперимент, статистическая обработка его результатов и их анализ).
Достоверность и обоснованность результатов исследования обеспечена использованием многолетнего опыта преподавания геометрии в отечественной и зарубежной школе, достижений психолого-педагогических наук, теории и методики обучения математике, а также опытно-экспериментальной работой, применением разно образных методов исследования, адекватных поставленным задачам, подтверждением выдвинутой гипотезы.
Научная новизна исследования состоит в разработке методической системы обучения геометрии применительно к действующим учебникам для основной школы, позволяющей, не ломая традиционной методики обучения, усилить конструктивную линию курса и тем самым обеспечить более качественную геометрическую подготовку школьников.
Теоретическая значимость исследования состоит в разработке принципов построения методической системы геометрических задач (включающей их типологию), позволяющей обеспечить сознательное усвоение теоретического материала школьниками, формирование практически важных конструктивных геометрических навыков, развить их пространственное мышление, повысить интерес к изучению геометрии.
Практическая значимость исследования заключается в возможности существенного совершенствования системы геометрических задач в школьных учебниках по планиметрии, в усилении прикладной и практической направленности обучения геометрии в школе, а также - в возможности успешного использования его результатов в практике работы школ и подготовке будущих учителей математики в педагогических вузах.
Апробация результатов исследования проводилась в виде докладов и выступлений на заседаниях кафедры геометрии и методики преподавания математики ОГУ, на заседаниях научно-методического семинара физико-математического факультета ОГУ, научно-практических конференциях по итогам НИР ОГУ (1998 -2000 гг.), Всероссийской конференции "Методическое обеспечение сельской школы: теория, практика, эксперимент" (Орел, 1999 г.), межрегиональном научно-практическом семинаре "Сельская школа как региональный образовательно-культурный центр" (Арзамас, 2000 г.).
На защиту выносятся:
1. Система принципов построения методики обучения решению геометрических задач на построение.
2. Методическая система обучения решению задач на построение применительно к действующим учебникам, обеспечивающая более качественную геометрическую подготовку школьников.
Структура диссертации определена логикой и последовательностью поставленных задач. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы и приложений.
Геометрические задачи на построение и их решение
Жизненная деятельность человека и общества состоит из каждодневного решения различных задач, отличающихся своим содержанием, значимостью, применяемыми к их решению методами. Большинство задач решается человеком в процессе целенаправленной деятельности, некоторые из задач возникают случайно и требуют принятия незапланированных решений. Решение задач является специфической особенностью интеллекта, а интеллект - это особый дар человека, поэтому «решение задач следует рассматривать как одно из самых характерных проявлений человеческой деятельности» [ 101, С. 13 ].
Для многих задач, возникающих в процессе жизнедеятельности человека, не существует алгоритмов решения. В этом случае успех в их решении зависит от знаний и опыта человека, от его умений действовать и мыслить критически, нешаблонно, находить наиболее оптимальные пути решения и т.п., то есть зависит от того, как человек подготовлен к деятельности творческого, исследовательского характера. Учебные задачи при правильной их постановке в школьном обучении математике являются наиболее важным и практически единственным средством подготовки учащихся к такого рода деятельности, средством формирования у школьников высокой математической культуры.
В практике современного обучения математике решению задач отведена первостепенная роль. Более половины учебного времени как на уроках, так и при выполнении домашних заданий школьники затрачивают на решение задач. Именно при решении математических задач они сознательно и прочно овладевают системой математических знаний, умений и навыков (как предусмотренных программой, так и расширяющих и углубляющих её содержание), приёмами эффективной умственной деятельности, направленной на развитие их мышления, формируют мировоззрение, воспитывают нравственные и эстетические качества личности, творческую активность.
1. Среди математических задач большую группу составляют геометрические задачи, которые имеют свои отличительные черты, обусловленные особенностями самой геометрии.
Во-первых, содержание любой геометрической задачи составляют объекты (фигуры, их элементы и совокупности, свойства и отношения их связывающие), которые, в свою очередь, являются математическими моделями объектов реального физического пространства. Геометрия в отличие, например, от алгебры, связана с реальной действительностью, с восприятием пространства, его структуры, пространственных форм. Она «является одной из лучших возможностей обучения математизировать реальную действительность» [133, Ч.П, С. 47].
Во-вторых, при решении практически любой геометрической задачи, будь то задача на вычисление, доказательство или построение, можно опереться на чертёж или выполнить модель той фигуры, о которой в ней идет речь. Именно с построения фигуры, которая в максимально возможной степени отвечает всем условиям задачи, приходится начинать поиск её решения. Подробный чертеж, отвечающий всем условиям и требованиям задачи, позволит выполнить измерение элементов изображенной фигуры или инструментальный поиск свойств фигуры и высказать соответствующие правдоподобные гипотезы, которые в дальнейшем необходимо доказать или опровергнуть.
В-третьих,, выполнение чертежа требует применения чертежных инструментов: линейки, угольника, транспортира, циркуля и других, особенно в задачах на построение.
Геометрические задачи на построение играют важную роль в евклидовой геометрии, в проективной геометрии.
Как известно, геометрическая задача на построение представляет такую задачу, в которой требуется по каким-либо данным найти некоторые геометрические элементы (точку, прямую, окружность, треугольник и т.д.), удовлетворяющие тем или иным условиям с помощью указанного набора чертежных инструментов. Зачастую таковыми являются циркуль и линейка, в отдельных случаях допустимый инструментарий может быть ограничен или же, наоборот, расширен.
Задачи на построение как раздел элементарной геометрии имеют своеобразные отличия от других математических задач.
Во-первых, не всякая задача, решенная математически, является задачей, решенной «конструктивно»; не всякая точка, прямая или какая-нибудь геометрическая фигура, математически вполне определенная, может быть «построена». Примером может служить одна из классических задач древности - задача о квадратуре круга: построить циркулем и линейкой квадрат, площадь которого была бы равна площади данного круга.
Пусть г - радиус данного круга, х - сторона искомого квадрата, тогда требование задачи математически выражается следующим образом: х2 жг2 , откуда x=rjn . Математически задача решена, сторона квадрата найдена, ее длина выражается трансцендентным числом. Но с точки зрения конструктивной геометрии задача не является решенной, так как с помощью циркуля и линейки (допустимого в условии задачи набора инструментов) нельзя построить отрезок х=г4л .
Во-вторых, сама постановка конструктивных геометрических задач, возможность их решения, существенно зависит от набора инструментов, который может быть использован для выполнения построений. Так, например, нельзя провести перпендикуляр к данной прямой через данную точку или разделить отрезок пополам, пользуясь только односторонней линейкой. Если же указанный инструментарий дополнить циркулем, то приведённые задачи становятся разрешимыми; их решения приводятся во всех школьных учебниках геометрии. Более того, эти построения являются одними из основных, выполняемых с помощью циркуля и линейки.
2. Перейдем теперь к рассмотрению инструментария и так называемых аксиом инструментов построения.
Наиболее употребительными инструментами геометрических построений являются линейка (односторонняя), циркуль, а также двусторонняя линейка (с параллельными краями), угольник, произвольный угол (прямой или острый) и др. Каждый инструмент может быть охарактеризован рядом свойственных ему операций, которые, в свою очередь, могут быть выражены в абстрактно-геометрической форме соответствующей системой аксиом [11, С. 268 - 269].
Психолого-дидактические особенности конструктивных геометрических задач и процесса их решения
В процессе обучения математике в школе решению задач отводится значительная часть времени (более 2/3). Решение математических задач подчинено как общим целям воспитания и развития личности школьника, так и формированию у него математической культуры, математического стиля мышления. «Решение задач является важным средством формирования у школьников системы ведущих математических знаний и способов деятельности, основной формой учебной работы учащихся в процессе изучения математики, одним из эффективных средств их математического развития» [69, С.7]. Математические задачи в процессе их решения выполняют разнообразные функции, определяемые целями обучения в целом, и обучения математике в частности. В качестве ведущих функций математических задач общепризнанными являются обучающая, развивающая, воспитывающая и контролирующая. При решении математических задач учащиеся приобретают математические знания, умения и навыки; они знакомятся с различными методами решения задач, с применением математической теории к практике. Решение задач способствует формированию и развитию умения учащихся ориентироваться в различных проблемных ситуациях, обогащению их знаний и опыта, учит математической деятельности, является средством приобщения учащихся к творческой деятельности, включение в которую развивает и воспитывает их творческий потенциал, творческую активность.
Не составляют исключения и геометрические задачи на построение. Их значение в методике обучения геометрии общепризнанно. Во многом это объясняется их большой психолого-педагогической значимостью. Рассмотрим некоторые психолого-педагогические закономерности, непосредственно связанные с решением геометрических задач.
1. Известно, что для школьника задача представляет собой форму контакта с проблемной ситуацией, она является источником процесса мышления. Так, С.Л. Рубинштейн пишет: «Мыслительный процесс начинается с того, что сама проблемная ситуация подвергается анализу. В результате этого анализ расчленяет данное, известное и неизвестное, искомое. Потребность в анализе человек обычно испытывает тогда, когда он не знает, как осуществить действие (решение задачи) ... или когда действие (решение задачи) оказывается неприменимым в новых обстоятельствах» [107, С. 85-86].
Выше отмечалось ( 1), что конструктивные задачи выделяются из всех геометрических задач в процессуальном плане достаточно четкой схемой их решения, разбитой на отдельные этапы, причем 1-ый этап - анализ задачи - характеризует решение любой учебной задачи. С.Л. Рубинштейн отмечал: «Общая схема решения всякой задачи заключается в соотнесении условий задачи с её требованиями и анализе условий и требований через их соотнесение друг с другом. Таким образом, уже самая общая схема решения задачи показывает, что оно представляет собой анализирование и синтезирование в их взаимозависимости и взаимосвязи. Сам же анализ условий и требований задачи осуществляется через синтез, через синтетический акт их соотнесения» [107, С. 98]. Рассмотрим, как осуществляется это важнейшее звено мыслительного процесса при решении геометрических задач на построение.
Задааа_і- Провести прямую, параллельную основанию данного треугольника так, чтобы ее отрезок, заключенный между боковыми сторонами, был равен сумме отрезков боковых сторон, считая от основания.
Решение. На отрезке DE точку М нужно расположить так, чтобы DA=DMn ME = ЕС (рис. 1), тогда может быть выполнено условие DE = AD + ЕС. В этом случае AADMn АМЕС - равнобедренные. Так как DE \ \ АС и AM- секущая, то Z DMA = =ZMAC как внутренние накрест лежащие, аналогично ZEMO=ZMCA как внутренние накрест лежащие при параллельных DE кАСи секущей МС. Тогда заключаем, что AM и СМ- биссектрисы углов А и С соответственно.
Следовательно, для нахождения точки М необходимо построить указанные биссектрисы и найти их точку пересечения. Далее через точку М проводится прямая DE, параллельная прямой АС.
Проследим, каким должен быть ход рассуждения решающего задачу ученика, чтобы он достиг поставленной цели - построения прямой DE. Предположив задачу решенной и выполнив чертеж-набросок, соответствующий требованиям задачи, ученик устанавливает, что на прямой DE должна быть такая точка М, чтобы выполнялись условия: DM = AD, ME = ЕС. Далее эти соответственно равные отрезки ученик включает в треугольники ADMn МЕС, рассматривая их там как боковые стороны, в результате чего приходит к выводу, что AADMTA А МЕС равнобедренные по определению, тогда можно воспользоваться свойствами равнобедренного треугольника. В данной задаче таковым является равенство углов при основании равнобедренного треугольника. Далее основания AM и СМ рассматриваются уже в новом качестве, а именно - как секущие параллельных прямых DE и АС, что дает возможность установить равенства: /.DMA = ZMAC, ZEMC = A MCA. Как только эти равенства установлены, можно рассматривать AM и СМ как биссектрисы соответствующих углов. Таким образом, каждый раз, одни и те же прямые (отрезки) AM и СМ включаются решающим в новую систему связей, выступая в ней каждый раз в новом качестве и отражая их новые свойства. В рассмотренной задаче последовательность перехода от одного понятия к другому может быть представлена следующей схемой: AM и СМ- произвольные отрезки
Дидактическая типология конструктивных задач курса планиметрии
Решение задач является основным компонентом в деятельности учащегося в процессе обучения математике и выполняет целый ряд образовательных, воспитательных и развивающих функций. В связи с этим возникает вопрос, какие задачи (какого типа, уровня сложности и т.п.) и в каком объеме будут в наибольшей степени удовлетворять целям обучения математике в школе? То есть возникает необходимость каким-либо образом классифицировать задачи по той или иной теме, в частности, геометрические задачи на построение, и определить дидактическую ценность каждой группы (класса) задач, предлагаемых школьникам.
В математической литературе встречаются различные подходы к классификации конструктивных геометрических задач. Одной из наиболее распространенных является классификация геометрических задач на построение по методам их решения. Впервые такая классификация была предложена И. И. Александровым в его работе «Методы решений геометрических задач на построение» (1883 г.), которая доставила ему всеобщую известность и оставалась востребованной в течение всего XX столетия. До этого как в России, так и в других странах, культура решения таких задач стояла на весьма невысоком уровне: геометрические задачи на построение решались без системы, без общих методов. И. И. Александров классифицировал геометрические задачи на построение в зависимости от главных методов решений, выделив следующие: метод геометрических мест; метод подобия; метод симметрии; метод спрямления; метод параллельного переноса; метод вращения около точки; метод вращения около оси; метод инверсии (или метод обратных фигур); алгебраический метод.
Крупнейший отечественный специалист по конструктивной геометрии профессор Н. Ф. Четверухин предложил следующую классификацию геометрических задач на построение по методам их решения [137]: метод геометрических мест; метод геометрических преобразований (симметрия, вращение, параллельное перенесение, гомотетия, инверсия); алгебраический метод.
Как можно заметить, классификация Н. Ф. Четверухина не имеет принципиальных отличий от классификации И. И. Александрова: она отражает все преобразования фигур, форма ее подачи более компактна.
Отметим, что последняя классификация геометрических задач на построение используется многими авторами учебников и задачников [10,11,28,31,44,45,137].
Проиллюстрируем применение перечисленных выше методов к решению геометрических задач на построение. 1. Метод геометрических мест
Метод геометрических мест является наиболее часто употребляемым в школьной практике решения конструктивных задач. Метод основывается на понятии геометрического места точек; оно является одним из важнейших понятий геометрии, играет большое методическое значение, широко используется при изучении аналитической геометрии в высшей школе. Задачи на геометрические места точек являются опорными при решении геометрических задач на построение этим методом, а также составляют исключительно интересный материал при доказательстве теорем самими учащимися. Кроме того, в задачах на геометрические места естественно используется идея движения, так как различные положения точек геометрического места можно рассматривать как след от перемещения точки по плоскости. Подобные задачи иллюстрируют функциональную зависимость между переменными величинами.
Геометрическим местом точек (ГМТ) на плоскости называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, обладающих определенным свойством. Если фигура является геометрическим местом точек, то любая точка этой фигуры обладает указанным свойством и все точки с указанным свойством принадлежат этой фигуре.
Сущность метода геометрических мест заключается в следующем. Решение задачи на построение сводят к отысканию некоторого множества точек, подчиненного двум независимым условиям. Отбрасываем одно из этих условий и ищем множество всех точек, удовлетворяющих второму условию. Пусть это будет фигура 02. Затем отбрасываем второе условие и ищем множество всех точек, удовлетворяющих первому условию; это будет фигура Ф/. Обоим условиям будет удовлетворять каждая точка пересечения фигур Ф/ и 02, поэтому каждая точка фигуры Ф]Г\Ф2 дает возможность найти некоторое решение задачи. Проиллюстрируем сказанное на примере.
SaaiaaaJL Построить точку М, находящуюся на расстоянии а от данной точки А и на расстоянии d от данной прямой т.
Решение. Искомая точка М должна удовлетворять двум условиям: 1) она должна находиться от данной (фиксированной) точки А на данном расстоянии а; 2) искомая точка должна находиться на данном расстоянии d от фиксированной прямой т. Отбросив условие (2), получим множество точек, удовлетворяющих условию (1); они образуют окружность с центром в точке А и радиусом а - фигуру Ф;. Условию (2) удовлетворяют все точки, лежащие на двух прямых, которые параллельны данной прямой т и находятся от нее на заданном расстоянии d. Эти две прямые образуют фигуру Ф2- Таким образом, точка М, удовлетворяющая обоим требованиям задачи, должна принадлежать обеим фигурам Ф} и Фг, то есть их пересечению. Так как окружность Ф] может пересекать пару параллельных прямых Ф2 не более чем в четырех точках, то задача может иметь от нуля до четырех решений в зависимости от данных расстояний a,dn взаимного расположения точки А и прямой т.
Итак, метод геометрических мест применяется в тех случаях, если условие задачи может быть расчленено на два независимых требования, каждое из которых определяет какое-либо геометрическое место. Кроме того, метод определяет и сам способ построения искомой фигуры, а вместе с тем, как показывает рассмотренный пример, облегчает исследование задачи относительно числа ее решений.
Для применения метода геометрических мест к решению задач на построение важно создать у учащихся правильное представление о разнообразии типов тех множеств точек, которые подпадают под понятие геометрического места. Геометрическое место может быть линией, состоять из нескольких линий, представлять собой часть линии (например, отрезок, дугу) или состоять из нескольких таких частей и т.д. При решении даже сравнительно несложных задач методом геометрических мест требуется сравнительно большое их число. В связи с этим возникает вопрос о перечне тех геометрических мест, которые желательно рассмотреть в школьном курсе геометрии. Анализ задач на построение и задач на нахождение геометрических мест, рассматриваемых в отечественных учебниках и задачниках по геометрии для основной школы, показывает, что означенный перечень составляют следующие геометрические места.
