Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ КАК ОСНОВА РАЗВИВАЮЩЕГО ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ 18
1. Математические структуры и содержание обучения математике 18
1.1. Понятие структуры и системный подход в современной науке 19
1.2. Математические структуры в понимании Н. Бурбаки 23
1.3. Математические структуры в общенаучном понимании 28
1 4. Структуры математического мышления в теории Ж. Пиаже 33
1.5. Структуры в математическом образовании 39
1.6. Недостатки в изучении структур, проявившиеся в ходе реформы 60-70-х годов 48
2. Познавательные структуры в современной психологии и их роль в
развивающем обучении 53
2.1. Информационный подход в современной психологии 53
2.2. Понятие о репрезентативных когнитивных структурах 57
2.3. Основные законы развития когнитивных структур 64
2.4. Развитие когнитивных структур и принципы развивающего обучения69
2.5. Математическое развитие и схемы математического мышления 76
2.6. Выводы 80
3. Математические структуры и проблема математических способностей 81
3.1. Познавательные способности и умственное развитие 82
3.2. Математические способности и математические структуры 87
3.3. Основные виды схем математического мышления 97
3.4. Диагностика математических способностей 105
3.6. Выводы
ГЛАВА 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ КАК МЕТОДИЧЕСКАЯ ОСНОВА РЕАЛИЗАЦИИ ОСНОВНЫХ ДИДАКТИЧЕСКИХ ПРИНЦИПОВ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ КУРСОВ 113
1. Основные дидактические принципы построения математических курсов и роль математических структур в их реализации 116
1.1. Принцип генерализации и взаимосвязанности знаний 116
1.1.1. Генерализация знаний 116
1.1.2. Взаимосвязанность знаний 123
1.2. Принцип научности и доступности обучения 129
1.2.1. Научность обучения 129
1.2.2. Доступность обучения 134
1.3. Принцип систематичности и последовательности 140
1.4. Принцип практической и гуманитарной направленности 145
1.4.1. Практическая направленность обучения 145
1.4.2. Гуманитарная направленность обучения 149
2. Роль математических структур в реализации принципа преемственности 155
2.1. Единство непрерывности и дискретности обучения 155
2.2. Преемственность как общепедагогический принцип 156
2.3. Повторение в математических курсах 160
2.4. Упражнения в математических курсах 165
2.5. Значение пропедевтики в математических курсах 168
2.6. Преемственность между средней школой и вузом 174
2.7. Выводы 185
3. Принцип многоступенчатости формирования основных математических структур 186
3.1. Многоступенчатость формирования знаний как общедидактический принцип 186
3.2. Уровни сформированное математических структур 192
3.3. Формирование математических схем мышления 196
3.4. Многоступенчатость формирования теоретико-множественных понятий 204
3.5. Многоступенчатость формирования порядковых структур 210
3.6. Многоступенчатость формирования алгебраических структур 217
3.7. Специфичность ступеней формирования топологических структур225
3.8. Выводы 233
ГЛАВА 3. РЕАЛИЗАЦИЯ ОСНОВНЫХ ДИДАКТИЧЕСКИХ ПРИНЦИПОВ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ОТДЕЛЬНЫХ ВИДОВ МАТЕМАТИЧЕСКИХ СТРУКТУР 234
1. Формирование понятия о скалярной величине. 235
1.1. Величины и измерения 235
1.2. Первоначальное понятие о величине 239
1.3. Дальнейшие этапы формирования понятия о скалярных величинах242
1.4. Некоторые особенности в изучении теории неравенств 247
2. Формирование представлений о структуре натурального ряда 253
2.1. Порядковый и количественный аспекты натурального числа 253
2.2. Первоначальные этапы формирования понятия о натуральных числах 258
2.3. Система натуральных чисел как вполне упорядоченное множество262
2.4. Различные формы математической индукции 267
3. Формирование понятий о других числовых системах 273
3.1. Целые и рациональные числа 274
3.2. Действительные числа 281
3.3. Комплексные числа и кватернионы 287
4. Изучение отношения делимости и различных обобщений основной теоремы арифметики
4.1. Начальные этапы изучения отношения делимости 295
4.2. Изучение отношения делимости в моноидах 306
4.3. Отношение делимости в евклидовых полукольцах 315
5. Формирование понятий о нелинейных порядковых структурах 319
5.1. Начальные этапы изучения нелинейных структур 319
5.2. Решетки и их изучение в курсе алгебры 322
5.3. Изучение булевых алгебр 326
5.4. Изучение риссовых упорядоченных множеств 329
6. Экспериментальная основа исследования 331
6.1. Школьный блок экспериментальной работы 333
6.2. Вузовский блок экспериментальной работы 345
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 348
БИБЛИОГРАФИЯ 354
Приложения 387
1 .А. Программа спецкурса для 9-го класса 387
1 .Б. Сквозная программа изучения порядковых структур 389
2. Квадратичные алгебры и теорема Фробениуса. 392
3. Об аналоге основной теоремы арифметики в упорядоченных группоидах 396
- Математические структуры и содержание обучения математике
- Основные дидактические принципы построения математических курсов и роль математических структур в их реализации
- Формирование понятия о скалярной величине.
Введение к работе
В современных условиях в результате стремительного роста информации, вызванного научно-техническим прогрессом, возрастает значение и сложность проблемы содержания математического образования. Как отмечается в Меморандуме Международного симпозиума ЮНЕСКО (1994 г.), становится актуальной проблема поиска новой парадигмы образования, сущность которой во многом определяют фундаментальность, целостность и направленность на удовлетворение интересов личности. Следовательно, при отборе и построении содержания обучения речь должна идти об акцентировании внимания на освоении самых существенных, фундаментальных, устойчивых и долгоживущих знаний, лежащих в основе целостного восприятия научной картины современного мира.
Актуальность проблемы содержания математического образования и принципов его построения усиливается предоставленной общеобразовательным учреждениям свободой в разработке учебных программ в соответствии с принятым в 1992 г. Законом Российской Федерации об образовании и появлением в связи с этим большого числа авторских программ, разнообразия форм и методов обучения. Возникает опасение, что такое разнообразие программ, форм и методов обучения может привести к утрате на отдельных ступенях обучения необходимой преемственности и содержательности. Поэтому такая свобода должна предполагать выполнение целого ряда единых дидактических требований, среди которых одно из первых мест занимает обеспечение оптимального отбора содержания образования, построения и согласования учебных программ каждого уровня, что делает весьма актуальным исследование способов отбора содержания обучения математике и принципов его построения в любой модели обучения.
Современное состояние математической подготовки как учащихся школ, так и студентов вузов вызывает серьезные опасения. Наблюдается несоответствие современным требованиям знаний выпускников средних школ и студентов; формализм математических знаний, их недостаточная действенность; недостаточный уровень математической культуры и математического мышления. Во многих случаях изучаемый конкретный материал не складывается в систему знаний; учащийся (студент) оказывается "погребен" под массой обрушивающейся на него информации, будучи не в состоянии самостоятельно ее структурировать и осмыслить.
В результате значительная часть такой информации быстро забывается, и математический багаж значительной части выпускников средних школ, состоит из большего или меньшего числа слабо связанных между собой догматически усвоенных сведений и лучше или хуже закрепленных навыков выполнения некоторых стандартных операций и типовых заданий. Представление о математике как о единой науке со своим предметом и методом у них отсутствует.
В вузах также далеко не всегда удается добиться целостности представления о математике. Наоборот, в силу исторически сложившейся дифференциации этой науки, разобщенности ее по отдельным кафедрам и преподавателям, у студентов зачастую такая раздробленность представлений о математике даже усиливается.
Преодолеть разобщенность различных математических дисциплин, изолированность отдельных тем и разделов, обеспечить целостность и единство математики, как отмечали А.Н. Колмогоров и другие крупнейшие ученые, возможно на основе взгляда на математику как науку о математических структурах, которые подразделяются, согласно Н. Бурбаки, на алгебраические, порядковые и топологические. Идея математических структур, оказавшаяся весьма плодотворной, послужила одним из побудительных мотивов к радикальной реформе математического образования в 60-70-ых годах в школах и в вузах как за рубежом, так и в нашей стране. В основе этой реформы, предпринятой под руководством А.Н. Колмогорова, кроме идей Н. Бурбаки, лежали идеи Ж. Пиаже о структурах математичес 8 кого мышления и их соответствии математическим структурам (топологическим, алгебраическим и порядковым).
Однако эта реформа математического образования наряду с несомненными успехами имела и существенные недостатки. Ряд причин таких недостатков субъективного и объективного характера был вскрыт в исследовании В.А. Оганесяна и работах Н.Я. Виленкина, Р.С. Черкасова и др. К таким причинам можно отнести и односторонность, ограниченность понимания математической структуры Н. Бурбаки. Это заставляет приходить к более широкому пониманию этого понятия. В частности, Л.Д. Кудрявцев предложил включить в понятие математических структур структуры, являющиеся математическими моделями реальных явлений (т.е. структуры, образующиеся в теории информации, теории операций, теории случайных процессов и т.д.).
В решении проблемы определения математической структуры, в выяснении того, насколько представление Н. Бурбаки о математических структурах соответствует современному их пониманию, необходимо опираться на общенаучное понимание структуры, выработанное в рамках общей теории систем. Системный анализ позволил по-новому осмыслить многие важные категории методики, вскрыть ряд закономерностей в формировании понятий, обучении решению задач и т.д. Системный подход оказался весьма плодотворным в исследованиях проблем преподавания математики как в школе (А.М.Пышкало, В.А. Оганесян, ВИ. Крупич, В.А. Далингер и др.), так и в вузе (А.Г. Мордкович, Г.Г. Хамов и др.).
Настала пора вернуться к идеям о структурах математического мышления и их соответствии математическим структурам и критически их переосмыслить на основе одного из центральных в современной психологии понятии - понятии когнитивных структур или когнитивных схем, выяснить, какие внутренние психологические структуры соответствуют реальным математическим структурам, какова их роль в обучении и по каким принципам они должны формироваться. Для того, чтобы обучение было разви вающим, необходимо, чтобы оно строилось с учетом общих законов развития структур, поэтому эти общие законы прежде всего должны быть четко сформулированы. Один из таких законов - закон дифференциации структур, т.е. закон развития от общего к частному, является одним из принципов системы В.В. Давыдова и в последнее время интенсивно разрабатывается Н.И. Чуприковой.
Следует признать, что научно-методические исследования, направленные на выявление средств и способов реализации развивающей роли обучения математике, совершенно недостаточны. Чрезмерное увлечение чисто информационной стороной обучения приводит к тому, что многими школьниками и студентами не воспринимается богатое содержание математических знаний, заложенных в программе. Поэтому одна из центральных задач - определение таких видов математических структур, формирование которых эффективно влияет на математическое развитие.
Эти структуры должны представлять собой определенные качества математического мышления, которые являются прежде всего средствами, методами познания. Для таких структур мы будем использовать термин "математические схемы мышления". Выделить такие специфические математические схемы мышления можно пытаться на основе деятельностного подхода, разработанного П.Я. Гальпериным, Н.Ф. Талызиной и др. и успешно применяемого во многих методических исследованиях. При этом важно подчеркнуть роль формирования математических схем мышления и в общем интеллектуальном развитии человеческой личности, причем не только логического мышления, но и в развитии образного мышления, правого полушария головного мозга.
Уровень сформированное™ у человека схем математического мышления, уровень их развития проявляется в математических способностях личности. Проблема развития математических способностей и их диагностики занимает важное место как в научно-теоретических исследованиях, так и в практике всей системы математического образования. Значитель 10
ный вклад в исследование проблемы математических способностей внесли крупные отечественные психологи В.А. Крутецкий, А.Ф. Лазурский, Н.А. Менчинская, Н.Ф. Талызина, М.А. Холодная, П.А. Шеварев, И.С. Якиманская и др., а также крупные математики-педагоги Б.В. Гнеденко, АН. Колмогоров, А.И. Маркушевич, А.Я. Хинчин, СИ. Шварцбурд. Этой проблеме посвящены также исследования В.А. Гусева, Н.В. Метельского, A.M. Радь-кова и др. При рассмотрении этого вопроса представляется также весьма важным выявление тех видов математических структур, которые в первую очередь являются средством для развития и диагностики математических способностей.
Принцип развивающего и воспитывающего обучения - это только один из дидактических принципов отбора содержания обучения математике, которые должны образовывать целую методическую систему (В.А. Оганесян). Целый ряд авторов (В.А. Далингер, А.Н. Колмогоров, А.Г. Мордкович, Г.Г. Хамов, Р.С. Черкасов и др.) выдвигают и ряд дополнительных дидактических принципов (генерализации знаний, внутрипредметных связей, построения программы "по спирали" и др.). Необходимо показать роль и значение формирования когнитивных репрезентативных структур в реализации всех этих принципов.
Математика занимает особое место среди других предметов и по объему и по времени изучения и по своей трудоемкости. Процесс обучения математике следует рассматривать как многоуровневую систему с обязательной опорой на нижележащие, более конкретные уровни научного познания. Без такой опоры обучение может стать формальным, дающим знание без понимания. Те или иные уровни, ступени в таком последовательно-повышаемом содержательном познании рассматривались как учеными-дидактами (СИ. Архангельский, В.П. Беспалько, И.Я. Лернер, М.Н. Скаткин и др.), так и математиками-педагогами (Г.Д. Глейзер, А.Н. Колмогоров, А.А. Столяр, П.М. Эрдниев, Ф. Клейн, Г. Шоке, и др.). Таким образом, необходимо отдельно рассмотреть многоступенчатость процесса формирова 11
ния когнитивных математических структур, как необходимое условие реализации основных дидактических принципов и прежде всего принципа доступности.
Изменения, происходящие в системе школьного образования, его усиливающаяся дифференциация открывают новые возможности взаимодействия вузов со школами, способствуют совершенствованию и развитию системы непрерывного образования. Возникает настоятельная необходимость в проведении научно-методических исследований, в которых проблема преподавания математики в школе и вузе изучалась бы с позиций системного анализа, т.е. в которой математическое образование школьников и студентов, его содержание рассматривалось бы как единая система, как комплексная проблема, затрагивающая методологические, психологические, внутрипредметные и другие аспекты. В таком целостном виде (в связке школа - вуз) эта проблема мало изучена. Имеются лишь исследование М.И. Шабунина, посвященное проблеме углубленной математической подготовки, и исследование Ю.В. Сидорова, посвященное проблеме преемственности. Основой реализации преемственности образовательных программ разных уровней и ступеней непрерывного образования является его фундаментальное содержание. Применительно к учебному предмету "математика" такой основой содержания являются математические структуры.
Актуальными остаются и вопросы улучшения математической подготовки будущих учителей математики. Вопросам совершенствования подготовки учителей математики в вузах посвящены исследования Г.Л. Лу-канкина, А.Г. Мордковича, Г.Г Хамова и др. Однако эти исследования в первую очередь касались профессионально-педагогической направленности обучения и почти не касались вопросов содержания обучения математике, принципов отбора и построения математических курсов. Изучение математических структур, построенное на научно обоснованных принципах, может в деле улучшения математической подготовки будущих учителей сыграть решающую роль.
Все вышесказанное определяет актуальность нашего исследования.
Объектом исследования является процесс обучения математике в школе и в вузе.
Предметом исследования являются математические структуры и складывающиеся в процессе их изучения внутренние мыслительные структуры, их роль в реализации дидактических принципов построения математических курсов и создании системы изучения основных математических понятий.
Целью исследования является выявление роли различных видов математических структур в развитии математического мышления, в реализации основных дидактических принципов построения математических курсов, а также разработка на этой основе системы изучения некоторых основных математических понятий.
Научная проблема исследования состоит в теоретическом обосновании роли изучения математических структур для развития математического мышления, в реализации принципов построения математических курсов, а также в разработке на этой основе методики изучения отдельных видов порядковых структур.
Гипотеза исследования заключается в том, что математические структуры могут служить основой построения любого математического курса. Формирование соответствующих им внутренних мыслительных структур позволяет обеспечить единство в изучении различных математических дисциплин и их разделов, реализацию основных дидактических принципов (развивающего обучения, генерализации и взаимосвязанности знаний, спиралевидного процесса формирования знаний и т.д.) с целью повышения эффективности обучения, а также разработать систему изучения важнейших математических понятий.
Реализация поставленной цели потребовала решения ряда конкретных задач, а именно; 1) Изучить и проанализировать опыт применения идеи математических структур в ходе реформы математического образования 60-70-х годов.
2) Уточнить понятие о математических структурах и соответствующих им внутренних психологических структурах.
3) Модернизировать на этой основе концепцию обучения математике как процесса изучения математических структур и формирования соответствующих им внутренних психологических структур.
4) Выделить те математические структуры, которые в наибольшей сте пени способствуют решению задачи развития математического мышления, математических способностей.
5) Показать роль изучения математических структур в реализации принципов построения содержания математических курсов, исходя из большой длительности и единства непрерывности и дискретности процесса обучения математике.
6) Рассмотреть процесс формирования отдельных видов математических структур, практическую реализацию принципов преемственности и многоступенчатости при построении математических курсов на примере порядковых структур, как относящихся к основным типам математических структур и охватывающих всю школьную и вузовскую математику.
7) Разработать систему изучения таких важнейших видов порядковых структур, как скалярные величины и отношение делимости с учетом принципов преемственности и многоступенчатости
8) Разработать структуру и содержание ряда математических курсов, как вузовских (алгебры, теории чисел, числовых систем, спецкурсов), так и некоторых специальных школьных курсов с учетом предложенных принципов изучения математических структур.
Методологической основой данного исследования явились теория системного подхода и ее применение к обучению математике (В.И. Крупич, B.C. Леднев, A.M. Пышкапо и др. ); деятельностный подход и теория развивающего обучения (Л.С. Выготский, П.Я. Гальперин, В.В. Давыдов, Л.В. Занков, Н.Ф.Талызина, Д.Б. Эльконин и др.); теория непрерывного обучения и образования (СИ. Архангельский, Ю.К. Бабанский, B.C. Леднев, М.Н. Скаткин и др. ); работы по методологии математического познания и математического образования (А.Д. Александров, В.Г. Болтянский, Н.Я. Виленкин, Б.В. Гнеденко, А.Н. Колмогоров, Л.Д. Кудрявцев, А.И. Марку-шевич, А.Я. Хинчин и др.); теоретические исследования по проблемам содержания как школьного (М.И. Башмаков, Ґ.Д. Глейзер, В.А. Гусев, В.А. Далингер, Г.В. Дорофеев, Ю.М. Колягин, В.А. Оганесян, Г.И. Саранцев, А.А. Столяр и др.), так и вузовского образования (Г.Л. Луканкин, А.Г. Мордкович, ГГ. Хамов, М.И. Шабунин и др.).
Решение-поставленных задач потребовало привлечения следующих методов исследования: анализ философской, психолого-педагогической, математической и методической литературы, работ по истории математики и математического образования, школьных и вузовских программ по математике, учебников и учебных пособий; изучение опыта отечественной и зарубежной школ по обновлению содержания обучения, обобщение опыта работы учителей и преподавателей ряда школ и вузов, а также собственного опыта работы автора в школах и педагогическом университете; интервьюирование, анкетирование, тестирование учащихся, студентов, учителей, преподавателей; применение экспертных оценок полученных результатов; педагогический опыт по проверке основных теоретических положений исследования.
Научная новизна исследования заключается в том, что в нем:
- расширено понятие математической структуры в соответствии с общенаучным пониманием структуры;
- выделены те виды математических структур, которые играют первостепенную роль в развитии математических способностей и их диагностике;
- показана роль математических структур в реализации основных дидактических принципов; - обоснована необходимость многоступенчатости процесса формирования представлений об основных типах математических структур;
- показана практическая реализация процесса формирования представлений о порядковых структурах, начиная с самых первых шагов обучения математике в школе и кончая выходом на спецкурсах в вузе на самый современный научный уровень;
- разработана система изучения на разных этапах и на разных уровнях положительных скалярных величин, а на их основе основных числовых систем {натуральных, целых, рациональных и действительных чисел);
- разработана система изучения отношения делимости на разных ступенях обучения в различных числовых и алгебраических системах, в том числе, центрального места в теории делимости - теоремы об однозначном разложении на неприводимые множители;
Практическая значимость исследования определяется тем, что в нем разработаны и проверены:
- структура и содержание курсов алгебры, теории чисел, числовых систем и спецкурсов для педвузов;
- содержание циклов лекций по изучению отдельных видов математических структур;
- с учетом принципов преемственности и многоступенчатости учебные пособия для студентов педвузов, охватывающие изучение некоторых видов математических структур, начиная с обязательного учебного материала, включенного в программу 1-го курса, и кончая дополнительным материалом для спецкурсов;
- программа углубленного развивающего обучения математике для 3-7-х классов и учебные материалы к ней;
- программы специальных курсов для старших классов с математической специализацией;
- методические рекомендации для учителей по изучению отдельных видов математических структур в школе. На защиту выносятся:
- расширение понятия математической структуры в соответствии с общенаучным пониманием структуры и выявление различных видов математических структур;
- выделение тех видов математических структур, которые играют первостепенную роль в развитии математического мышления, математических способностей, их диагностике и обоснование этой роли;
- теоретическое обоснование роли формирования представлений и понятий о математических структурах в реализации основных дидактических принципов (генерализации и взаимосвязанности знаний, научности и доступности, спиралевидного процесса формирования знаний и т,д.) в школьном и вузовском обучении математике;
- обоснование необходимости многоступенчатости процесса формирования представлений об основных типах математических структур;
- разработка в единой системе курсов алгебры, теории чисел, числовых систем и спецкурса с учетом многоступенчатости и преемственности формирования математических структур;
- комплексное рассмотрение порядковых структур в школьной и вузовской математике и практическая реализация основных дидактических принципов (многоступенчатости, преемственности и др.) в процессе формирования отдельных видов порядковых структур;
- система изучения на разных этапах и на разных уровнях положительных скалярных величин, а на их основе основных числовых систем (натуральных, целых, рациональных и действительных чисел);
- разработка круга проблем вокруг теоремы об однозначном разложении на неприводимые множители и различных обобщений этой теоремы, позволяющих студентам, изучающих соответствующий спецкурс, выйти на современный научный уровень и принять участие в научно-исследовательской работе; - система изучения комплексных чисел и кватернионов на основе теории квадратичных алгебр;
- разработка спецкурсов "Порядковые структуры" и "Теория делимости".
Апробация работы. Различные аспекты и результаты исследования неоднократно докладывались автором и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: на научно-методических конференциях преподавателей математических кафедр педвузов Северо-Западной зоны (1978, 1980, 1982, 1986, 1990 гг.), на Межрегиональной научно-практической конференции "Содержание, методы и формы развивающего обучения математике в школе и вузе" (Орехово-Зуево, 1995 г.) на XV и XV1 Всероссийских семинарах преподавателей математики- педвузов (С.-Петербург, 1996 г. и Новгород, 1997 г.), на Федеральной научно-практической конференции "Математическое образование: традиции и современность" (Нижний Новгород, 1997 г.), на международной конференции "Математика в вузе" (Вологда, 1995 г.), научно-практической конференции "Государственные стандарты высшего профессионального образования и новые технологии обучения в вузе" (Вологда, 1996 г.), на научно-методических семинарах преподавателей математики в МПГУ (1985 и 1989 гг.), в ВГПУ (1994, 1997 гг.). Автор периодически выступал с лекциями и докладами по теме исследования перед учителями г. Вологды и Вологодской области.
Внедрение результатов исследования в практику. Выдвинутые в работе положения, программы, учебные материалы, методические рекомендации по содержанию преподавания математики и построению математических курсов внедрены в учебный процесс более двух десятков школ и других учебных заведений Вологодской области. Курсы алгебры, теории чисел и числовых систем внедрены в учебный процесс Вологодского государственного педагогического университета дневного и заочного отделений, промежуточный курс алгебры и теории чисел в колледжных группах комплекса педучилище-педуниверситет. Материалы исследования неоднократно использовались при чтении спецкурсов и проведении спецсеминаров по теме диссертации, при написании курсовых и дипломных работ студентами. Разработанные научно-методические и учебные материалы и опыт работы по ним-отражены в 40 публикациях.
Математические структуры и содержание обучения математике
Как отмечается многими крупными учеными (Н. Бурбаки [50], А.Н. Колмогоров [170], Л.Д. Кудрявцев [189] и др.), математика - это наука о специальных структурах, называемых математическими. Некоторые из математических структур могут являться непосредственными моделями реальных явлений, другие - связаны с реальными явлениями лишь посредством длинной цепи понятий и логических структур. Математические структуры второго типа являются продуктом внутреннего развития математики. Из такого взгляда на предмет математики вытекает, что в любом математическом курсе должны изучаться математические структуры (Л.Д. Кудрявцев [189 , с.70]).,
С другой стороны, в процессе изучения математики и реальных явлений в мозгу человека, его мышлении и памяти складываются внутренние структуры. Внутренние психологические структуры, образующиеся при изучении математики, впервые были выделены крупнейшим швейцарским психологом Жаном Пиаже в одной из его последних работ, посвященных теории обучения [278]. В этой работе Ж. Пиаже выдвинул принципиально новый подход- к обучению математике, явившийся своего рода синтезом результатов исследований по психологии умственного развития и достижений современной математики, нашедших отражение в трудах Н. Бурбаки и других математиков. Возможность этого синтеза обусловлена тем, что и в психологии и в математике одним из центральных становится понятие структуры.
Ж. Пиаже писал, что основой общего здания математики долгое время считались некоторые простые объекты, рассматриваемые более или менее изолированно друг от друга: целое число, точка, линия. Соответственно этому строилось и обучение математике. Однако в XX столетии было осознано, что различные разделы математики тесно взаимосвязаны между собой, являются как бы звеньями единого организма. Выявление этих связей (гносеологических, функциональных, методических и др.) между отдельными понятиями, выделение внутренних структур, базирующихся на таких связях, есть применение системно-структурного подхода к определению содержания обучения.
Понятие структуры и системный подход в современной науке
Понятие структуры является одним из центральных в современных системных исследованиях. Системные исследования, системный подход являются одной из характерных особенностей развития современной науки. Системный подход явился одним из тех методологических направлений современной науки, становление которых было связано с преодолением кризиса, охватившего научное познание на рубеже 19-20 вв, своего рода реакцией на бурный и длительный процесс дифференциации в науке. В той или иной степени многие системные принципы нашли отражение в работах таких выдающихся ученых 20 в., как В.И. Вернадского, Н. Винера, У. Росс Эшби, О. Ланге, А.А. Богданова и др.
Системный подход первоначально возник в биологии, где сравнительно давно была осознана недостаточность чисто эволюционного подхода для объяснения ряда феноменов. В дополнение к идее развития в качестве одной из ведущих была выдвинута идея системности, организованности. Эта идея оказалась весьма плодотворной и привела к формулированию ряда важных принципов во многих науках.
Теоретико-философские исследования общей теории систем в нашей стране велись такими учеными, как А.Н. Аверьянов, И.В. Блауберг, В.Н. Садовский, А.И. Уемов, Э.Г. Юдин и др. [2], [36], [307]. На результаты этих исследований и основные положения современной общей теории систем, изложенные в трудах основоположника этой теории Л. фон Берталанфи [31], [32] мы и будем опираться.
Под системой в современной науке понимается совокупность взаимно связанных элементов, взаимодействующих друг с другом. Поведение систем подчиняется принципам целостности и структурности.
Принцип целостности предполагает, во-первых, что по отношению к внешней среде система взаимодействует как единое целое, во-вторых, каждый из элементов внутри системы считается неделимым. Изменение любого элемента оказывает воздействие на все другие элементы системы и ведет к изменению всей системы, и наоборот, изменение любого элемента зависит от всех других элементов системы.
Принцип структурности предполагает, что элементы системы находятся в некоторых отношениях и образуют между собой устойчивые связи. Совокупность этих устойчивых связей, обеспечивающих целостность объекта (системы), называется структурой [БСЭ]. Как отмечают Н.Ф. Овчинников и Э.Г. Юдин [270], в науке нет единой точки зрения на соотношение между понятиями системы и структуры. Однако в большинстве случаев понятие системы характеризует все множество проявлений некоторого сложного объекта (его элементы, строение, связи, функции и т.д.), а понятие структуры выражает лишь то, что остается устойчивым, относительно неизменным при различных преобразованиях системы, т.е. структура - это внутреннее устройство системы, характеризуемое наличием устойчивых связей между элементами системы, обеспечивающие ее неизменность в процессе функционирования.
Основные дидактические принципы построения математических курсов и роль математических структур в их реализации
Принцип генерализации знаний означает, что начинать построение курса надо с выделения основных структур и понятий и организовывать материал обучения в порядке логического развертывания этих структур и понятий по мере их конкретизации в систему математической науки. Изучение конкретных математических структур должно осуществляться таким образом, чтобы в первую очередь выявлялись наиболее их общие, фундаментальные свойства; для этого начинать ознакомление с главного, с общего, не с элементов, а со структуры.
Используя этот принцип, можно сформировать не только отдельные знания, отдельные качества какого-либо вида мышления, но и всю его структуру, раскрыть внутренние связи и отношения фундаментальных понятий, показать их проявления на конкретных фактах и явлениях действительности.
Фактически это положение содержалось еще в учении Я.А.Коменского, согласно которому, что мы отмечали в первой главе, в обучении, с самого его начала, в ум ребенка должны быть вложены некоторые фундаментальные, базовые "корневые и стволовые" общенаучные основания. Это значит, что расположение изучаемого материала должно быть таково, чтобы все последующее вытекало из предыдущего, было его развитием, а не представляло бы собой совсем нового знания..
Американский психолог Дж. Брунер также считает, что целью обучения должно стать овладение учащимися прежде всего структурой того или иного предмета. Учебные программы следовало бы составлять исходя из наиболее общих принципов, которые отражают структуру того или иного предмета. Эти общие принципы и самые основные понятия каждого курса следует изучать в первую очередь, освободив их от конкретного содержания [46]. Как отметил А. Пуанкаре, "именно в изложении основных принципов нужно избегать излишних тонкостей. Здесь они и не привились бы и к тому же были бы бесполезны" [292, с. 361].
Особое значение этот принцип имеет в математическом образовании будущего педагога. Говоря об отличии математического образования математика-исследователя и математика-педагога, Б.В. Гнеденко пишет: "Если от математика-исследователя требуется, помимо широкого математического образования, глубокое проникновение в какой-нибудь ее узкий раздел, то от математика-педагога требуется нечто иное. Прежде всего он должен представлять себе структуру современной математики в целом" [95, с. 40].
Фактически принцип генерализации знаний, но в несколько ином толковании - "выделение главного", как один из важнейших принципов обучения математике, был выдвинут И.Д. Пехлецким [277]. В его контексте "главное" - это любая математическая идея (конструкция, формула, формулировка и т.п.), которая должна быть рассмотрена на данном этапе обучения ради достижения важной цели. Эти цели, так и "главное" образуют сложную иерархическую структуру, имеющую много уровней по всем своим характеристикам и параметрам. "Главное" определяет выбор тех форм или методов обучения, которые позволяют заложить наиболее прочные знания об основах изучаемых структур.
Этот принцип находится в соответствии с основным положением теории В.В. Давыдова: чтобы развивать у школьников теоретическое мышление, обучение каждому учебному предмету должно начинаться с наиболее общих неразвитых простых образований, однако содержащих в себе все потенции перехода к развитым целостным структурам.
Этот принцип соответствует и основным положениям современной когнитивной психологии, согласно которым чем лучше развита и струкурно организована когнитивная система, тем дольше и прочнее сохранение материала в памяти. В более развитой и сложной по структуре когнитивной системе идет более глубокий и всесторонний анализ поступающей информации. А это является одной из главных предпосылок прочного и длительного запоминания любого материала. Аналогичные мысли высказывал и Дж. Брунер; "Быть может самое главное, что можно сказать о памяти человека после столетия интенсивных исследований, это то, что до тех пор, пока какой-либо частный факт не согласован со структурой, он быстро забывается. Отдельные детали материала сохраняются в памяти посредством включения их в определенную структуру или схему... Обучение общим или основным принципам способствует сохранению материала в памяти, позволяет нам восстановить отдельные подробности, когда это необходимо. Хорошая теория является не только средством понимания явлений, но и средством их последующего воспроизведения в памяти." [46, с. 25-26].
Формирование понятия о скалярной величине
Состояние и формы развития учебного процесса и прежде всего содержания обучения, как отмечает известный специалист в области дидактики высшей школы СИ. Архангельский, можно охарактеризовать единством соединения и разграничения, взаимосвязи непрерывного и дискретного. Дискретность характеризует прерывистое состояние динамики того или иного компонента учебного процесса, степень их дифференциации в виде определенных объемов информации, определенного действия, связанных с определенным временем. Дискретность в учебном процессе выражается ступенчатым характером изменения и развития его компонентов. Непрерывное в учебном процессе и его развитии относится ко всему тому, что определяет целостность и относительную стабильность как всей системы, так и ее компонентов. Непрерывное интегрирует все дискретные элементы системы, их связи и придает системе целостность и закономерную уравновешенность развития [16, с. 50-51].
Дискретная форма при изучении предмета не дает выявления сущности в целом, обедняет познание, связи и отношения понятий. В то же время необходимость выделения частных признаков, элементарных составляющих, требует дискретной формы изучения.
Дискретное и непрерывное в динамике системы обучения определяют, по мнению СИ. Архангельского, единство и обособление главных связей и малых связей. Главные связи относятся к коммуникациям стратегии, выражают условия ориентации и направления в решении основных задач обучения. Малые - выражают коммуникации тактики обучения, относятся к внутренним, анализирующим и синтезирующим частные акты построения и действий в системе обучения [16, с. 52].
Единение непрерывного и дискретного в обучении обеспечивает развертывание процесса обучения по спирали. Принцип построения программы "по спирали" выдвигали многие ученые (Дж. Брунер, А.Н. Колмогоров, П.М. Эрдниев и др.). Развитие по спирали предполагает, таким образом, наличие двух неотъемлемых качеств этого процесса: непрерывности и дискретности - перехода с одной ступени на другую. Поэтому этот принцип разбивается на две взаимосвязанные части: преемственности, выражающей непрерывность процесса обучения, и многоступенчатости обучения, выражающей его дискретность.
Преемственность как общепедагогический принцип
Проблема преемственности рассматривалась уже давно многими учеными, как в общедидактическом и психологическом плане (Б.Г. Ананьев, Ю.К. Бабанский, СМ. Родник, Е.Н. Кабанова-Миллер, В.С Леднев, Н.А. Менчинская, М.Н. Скаткин и др.), так и в методическом (Н.Я. Виленкин, В.А. Гусев, В.А. Далингер, Г.Л. Луканкин, А.Г. Мордкович, К.И. Нешков, A.M. Пышкало и др.). Соблюдение принципа преемственности - одно из важнейших требований методической системы преподавания математики.
Однако одна из причин трудностей, возникающих как перед школьникам (при переходе из одного звена обучения в другой), так и перед студентами вузов при изучении математических курсов, состоит в том, что в практике школьного преподавания учителя фактически не руководствуются идеей преемственности преподавания. То же самое можно сказать про преподавателей вузов, учебники и программы по математике: изучение вузовских математических курсов зачастую строится без учета знаний учащихся, полученных в школе.
Преемственность разные исследователи понимают по-разному. Одни рассматривают ее как связь между отдельными предметами в процессе обучения (математикой и черчением, математикой в 5-6-х классах и алгеброй в 7-м классе и т.д.), другие как простое использование полученных ранее знаний при дальнейшем изучении того же самого предмета, третьи как постоянство и единообразие требований, предъявляемых учащимся при переходе из класса в класс, четвертые как средство реализации принципов научности и систематичности и т.д.
Г.В. Дорофеев под принципом преемственности понимает традиционность и разумный консерватизм при отборе содержания обучения, что обусловлено, по его мнению, тем объективным фактом, что традиционное содержание обучения математике, сложившееся в течение многих десятилетий и даже столетий, отражает тот объем математических знаний, который, с одной стороны, является фундаментом математической науки, а с другой - в принципе доступен большинству учащихся [120].
