Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. ПРОБЛЕМЫ И ТЕНДЕНЦИИ В МАТЕМАТИЧЕСКОМ ОБРАЗОВАНИИ И ПОДГОТОВКЕ УЧИТЕЛЕЙ МАТЕМАТИКИ 21
1 Проблемы математической подготовки будущих учителей математики 21
2. СОВРЕМЕННЫЕ ТЕНДЕНЦИИ В МАТЕМАТИЧЕСКОМ ОБРАЗОВАНИИ И ПОДГОТОВКЕ УЧИТЕЛЕЙ ЗА РУБЕЖОМ 34
2.1. Французская «дидактика математики». Методика математики в некоторых других странах 36
2.2. Конструктивизм в теории математического образования. 56
2.3. Убеждения учителей и учащихся, касающиеся математики и ее преподавания 72
2.4. Новые направления в теории подготовки учителей математики 79
3. ПРОБЛЕМА ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ РАЗРАБОТКИ ГЕНЕТИЧЕСКОГО ПОДХОДА К ОБУЧЕНИЮ МАТЕМАТИЧЕСКИМ
ДИСЦИПЛИНАМ В ПЕДВУЗАХ 90
4. ПСИХОЛОГО-ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ПРЕДПОСЫЛКИ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ РАЗРАБОТКИ ГЕНЕТИЧЕСКОГО
ПОДХОДА К ОБУЧЕНИЮ МАТЕМАТИКЕ 94
ГЛАВА 2. КОНЦЕПЦИЯ ГЕНЕТИЧЕСКОГО ПОДХОДА К ОБУЧЕНИЮ МАТЕМАТИЧЕСКИМ ДИСЦИПЛИНАМ В ПЕДАГОГИЧЕСКОМ ВУЗЕ 124
1. Опора на естественные пути происхождения математического знания 124
2. ЛОГИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ГЕНЕТИЧЕСКОГО ПОДХОДА 131
3. ПСИХОЛОГИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ГЕНЕТИЧЕСКОГО ПОДХОДА К ОБУЧЕНИЮ МАТЕМАТИЧЕСКИМ ДИСЦИПЛИНАМ 149
3.1. Психология обучения и генетический подход 149
3.2. Развитие мотивации учения 157
4. КОНЦЕНТРИРОВАННОЕ ОБУЧЕНИЕ МАТЕМАТИКЕ 172
5. ПРИКЛАДНАЯ НАПРАВЛЕННОСТЬ В ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ 190
6. ПРЕДЛОЖЕНИЯ ПО МЕТОДИЧЕСКОЙ РАЗРАБОТКЕ СИСТЕМЫ ИЗУЧЕНИЯ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА 195
ГЛАВА 3. ОСУЩЕСТВЛЕНИЕ ГЕНЕТИЧЕСКОГО ПОДХОДА К ОБУЧЕНИЮ В РАЗРАБОТКЕ И ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ДИСЦИПЛИНЫ 201
1. Содержание, программа и общие подходы к преподаванию фундаментальной математической дисциплины на примере курса «алгебра и теория чисел» 201
1.1.Особенности содержания и программы курса 201
1.2. Применения принципа концентрированного обучения в построении программы 205
2. РАЗРАБОТКА СИСТЕМЫ ИЗУЧЕНИЯ ВАЖНЕЙШИХ ПОНЯТИЙ КУРСА АЛГЕБРЫ
2.1. Группы 225
2.2. Евклидовы кольца. 236
2.3. Отношения эквивалентности 240
2.4. Линейная зависимость 245
3. РАЗРАБОТКА И ПРЕПОДАВАНИЕ ОТДЕЛЬНЫХ ТЕМ ВВОДНОЙ И ТЕОРЕТИКО-ЧИСЛОВОЙ ЧАСТЕЙ 250
3.1. Вводные понятия и обозначения 250
3.2. Делимость в множестве целых чисел 256
3.3. Числовые функции 263
3.4. Системы счисления 266
3.5. Цепные дроби 267
3.6. Сравнения 270
3.7. Сравнения с неизвестными 281
4. РАЗРАБОТКА И ПРЕПОДАВАНИЕ ОТДЕЛЬНЫХ ТЕМ ЧАСТИ "МНОЖЕСТВА И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ".
4.1. Множества и отношения 284
4.2. Отображения и элементы комбинаторики. 289
4.3. Перестановки 293
4.4. Множества с операциями 297
4.5. Комплексные числа. 303
5. ОСОБЕННОСТИ МЕТОДИКИ ПРЕПОДАВАНИЯ ОТДЕЛЬНЫХ ТЕМ ДРУГИХ ЧАСТЕЙ КУРСА 306
5.1. Линейная алгебра. 307
5.2. Группы, кольца и поля 311
5.3. Многочлены 313
ГЛАВА 4. ОСУЩЕСТВЛЕНИЕ ГЕНЕТИЧЕСКОГО ПОДХОДА К ОБУЧЕНИЮ В РАЗЛИЧНЫХ ФОРМАХ ОРГАНИЗАЦИИ ОБУЧЕНИЯ 315
1 . ОСОБЕННОСТИ РАЗЛИЧНЫХ ФОРМ ОРГАНИЗАЦИИ ОБУЧЕНИЯ И ОЦЕНКИ УСПЕХОВ СТУДЕНТОВ 315
1.1.Организация практических занятий. Система задач 315
1.2. Организация самостоятельной работы студентов 322
1.3. Организация научно-исследовательской и учебно-исследовательской работы студентов...
1.4. Применение информационных технологий в математической подготовке будущих учителей. 331
2. МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ ПРЕПОДАВАНИЯ СПЕЦИАЛЬНЫХ КУРСОВ «МНОЖЕСТВА.
КОМБИНАТОРИКА. ГРАФЫ» И «ЭЛЕМЕНТЫ ПРИКЛАДНОЙ АЛГЕБРЫ» 341
3. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ОСНОВА ИССЛЕДОВАНИЯ 344
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 358
БИБЛИОГРАФИЯ 361
ПРИЛОЖЕНИЕ 1 394
ПРИЛОЖЕНИЕ 2 404
ПРИЛОЖЕНИЕ 3 407
ПРИЛОЖЕНИЕ 4.
- Проблемы математической подготовки будущих учителей математики
- Опора на естественные пути происхождения математического знания
- Содержание, программа и общие подходы к преподаванию фундаментальной математической дисциплины на примере курса «алгебра и теория чисел»
Введение к работе
Общая характеристика исследования
В настоящее время, когда, с одной стороны, имеет место информационный бум, вызванный бурным развитием науки и техники, а с другой, происходят глубокие общественные и экономические преобразования в нашей стране, перед математическим образованием стоят важные и сложные задачи.
В частности, перестройка школы на принципах гуманизации и демократизации в соответствии с принятым в 1992 году Законом Российской федерации об Образовании, а также начавшийся процесс дифференциации школ предъявляют новые требования к качеству подготовки учителей математики. Необходимость работать в условиях вариативности программ и учебников, профильной и уровневой дифференциации требуют от учителей как более глубоких математических знаний, так и лучшей методической подготовки.
Между тем состояние математической подготовки учителей математики, выпускников математических специальностей педагогических вузов не соответствуют возросшим требованиям. Как отмечали многие авторы (А. Г. Мордкович, Г. Л. Луканкин, Г. Г. Хамов, В. А. Тестов, Л. В. Шкери-на), в деле математической подготовки выпускников педвузов имеются существенные проблемы. Наблюдаются серьезные пробелы в знании теоретического материала, формализм в знаниях, неумение применять теоретические знания на практике, слабая сформированность методических умений, недостаток общей и математической культуры; оторванность психолого-педагогических и методических знаний от математического содержания.
Требуют разрешения существенные противоречия в организации обучения математическим дисциплинам в педагогических вузах: между крупными теоретическими достижениями в методике и психологии преподавания математики в школе и слабым использованием, отсутствием показа этих достижений в преподавании математических дисциплин будущим учителям математики; между современными требованиями приоритета свободного развития личности в процессе обучения и преобладанием догматического и объяснительно-репродуктивного преподавания; между большой сложностью и глубиной содержания математических курсов в программах подготовки будущих учителей и малой разработанностью методических приемов для эффективного преподавания этих курсов; между высокими требованиями к математической подготовке преподавательских кадров по математическим дисциплинам для высшей школы и неразработанностью требований к их методической подготовке; между богатством и эффективностью накопленных человечеством методов математического познания и слабым использованием этих методов для организации процесса познания студентами математической науки.
Проблемы математической подготовки будущих (и работающих) учителей математики всегда интересовали математиков и деятелей в области математического образования. Этому, в частности, уделяли внимание такие крупные зарубежные математики и педагоги, как Ф. Клейн, Р. Курант, Д. Пойа, X. Фройденталь. Большое значение математической культуре учителей придавали выдающиеся российские и советские математики-педагоги Н. И. Лобачевский, М. В. Остроградский, Б. К. Млодзеев-ский, И. И. Жегалкин, Н. Н. Лузин, А. Н. Колмогоров, П. С. Александров, И. В. Арнольд, А. Я. Хинчин, П. С. Новиков, А. И. Мальцев, Б. В. Гнеден-ко, Н. Я. Виленкин, которые читали будущим и работающим учителям лекции, писали для них учебники и научно-популярные книги.
Систематическое исследование проблем математической подготовки будущих учителей предпринял М. В. Потоцкий (1975). Л. Д. Кудрявцев (1985) говорит о методических принципах преподавания математики в высшей школе, приходя, правда, к выводу «о невозможности формулирования здесь точных принципов, которыми следует руководствоваться» (с. 141). По мнению Л. Д. Кудрявцева, установление таких принципов, пожалуй, наиболее трудная задача при обучении: «Трудности при обучении любому предмету возникают уже при отборе материала, которому собираются учить и, быть может, еще больше при установлении принципов, которыми следует руководствоваться при обучении» (с. 11).
Таким образом, Л. Д. Кудрявцев наметил задачу разработки методических принципов преподавания математических дисциплин в вузах.
Как известно, методика преподавания математики находится «в определенном смысле... на стыке философии, математики, логики, психологии, биологии, кибернетики и, кроме того, искусства» (Колягин, Оганесян, Саннинский, Луканкин, 1975).. Поэтому наиболее плодотворными являются комплексные исследования теоретических основ методики преподавания математики, использующие современные достижения ряда научных дисциплин и направлений человеческой деятельности. Это в полной мере относится и к вузовской методике. В частности, комплексное применение знаний в области психолого-педагогических, логико-методологических, общественных и математических наук позволяет вести эффективные исследования в области математической подготовки будущих учителей в педагогических вузах.
В последние годы появился целый ряд трудов, посвященных тем или иным аспектам этой тематики. В частности, вопросам улучшения вузовской математической подготовки будущих учителей математики посвящены труды А. Г. Мордковича, Г. Л. Луканкина, Г. Г. Хамова, В. А. Кузнецовой, О. А. Иванова, А. В. Ястребова, Е. И. Смирнова, А. Г. Солониной, В.
7 А. Тестова и др. Ими обоснованы такие направления в улучшении математической подготовки будущих учителей, как интегративность (совмещение в математических курсах содержательно-научной и методической линии), многоуровневость, моделирование научных исследований, наглядно-модельная технология, персонализация обучения.
А. Г. Мордкович и Г. Г. Хамов разрабатывали методические системы преподавания тех или иных математических дисциплин в педагогических вузах, охватывающие цели, содержание, формы, методы и средства обучения. А. Г. Мордкович (1984) первым обратил внимание на важную проблему: "Не исследованы возможности формирования методических взглядов будущего учителя в процессе преподавания математических дисциплин... При обучении а) математике, б) будущего учителя математики -проблема что преподавать, пожалуй, даже уступает по значимости проблеме как преподавать". Он же впервые рассмотрел проблемы математической подготовки будущих учителей с точки зрения профессионально-педагогической направленности, разработав соответствующие принципы.
Серьезное внимание математическому образованию учителей уделяется и в зарубежных исследованиях. Начиная с 1998 года выходит специализированный международный журнал "Journal of Mathematics Teacher Education", в котором рассматриваются и вопросы математической подготовки будущих учителей. Этой проблеме посвящены проведенные в последние десятилетия исследования А. Виттенберга, Э. X. Виттманна, Ф. Дэйвиса и других. Все они, как и отечественные ученые, отмечали необходимость создания интегративных математических курсов, в которые вплетались бы и методические элементы, а также отдельные темы и примеры из элементарной и школьной математики.
В проводимых до сих пор отечественных и зарубежных исследованиях математического образования будущих учителей главное внимание обращалось на профессионально-педагогическую направленность в аспек-
8 те интеграции методической и элементарно-математической подготовки в специальную математическую. При этом обучение собственно математическим понятиям порой предлагалось осуществлять по моделям, основанным на психологических теориях обучения, разработанных главным образом для основной и даже для начальной школы.
Правда, в 90-е годы некоторые западные ученые начали систематически изучать «продвинутое» математическое мышление, т. е. мышление, имеющее дело со сложными и абстрактными понятиями вузовской математики (Толл и др., 1991). Однако, их исследования носили несколько односторонний характер, следуя главным образом идеям Ж. Пиаже и не учитывая достижений деятельностного подхода Л. С. Выготского, А. Н. Леонтьева и таких достижений советской теории развивающего обучения, как концепция учебной деятельности В. В. Давыдова, системы Л. В. Занкова, П. Я. Гальперина и их учеников.
Как в отечественной, так и в зарубежной литературе недостаточно представлены исследования, посвященные проблемам реализации методических принципов преподавания математических дисциплин в высшей педагогической школе в виде системы методических приемов, научно обоснованных методических рекомендаций по построению вузовских математических курсов, по проектированию и осуществлению системы изучения сложных и абстрактных математических понятий. Мало разработаны вопросы, касающиеся средств выразительности, педагогического и эстетического воздействия на студентов в процессе преподавания математических дисциплин. А изучение этих проблем приобретает особенную важность сегодня, в связи с тенденцией к гуманитаризации и гуманизации математического образования, в том числе, разумеется, и образования будущих учителей математики.
Еще в 60-е годы М. В. Потоцкий (1963, с. 92)отмечал, что обучение понятиям вузовской математики требует иных подходов, нежели обучение
9 понятиям школьной математики. Он же писал, что «истинное и полное понимание абстрактных математических идей может быть достигнуто лишь на основе знания их происхождения...» (Потоцкий, 1975, с. 15).
Таким образом, речь идет о целесообразности генетического подхода (т. е. следования естественным путям происхождения и применения математического знания) к обучению сложным вузовским математическим курсам.
Однако, хотя генетический подход использовался в ряде методических работ, теоретически он мало разработан даже для обучения школьной математике.
Анализ работ в области теории познания, психологии, дидактики и методики показывает, что к настоящему времени сложились теоретические предпосылки для научно-методической разработки генетического подхода как основы построения и реализации системы обучения математическим дисциплинам в высшей педагогической школе.
Все вышеизложенное определяет актуальность нашего исследования.
Объектом исследования является процесс обучения математическим дисциплинам в педагогических вузах.
Предметом исследования являются методические принципы построения и реализации системы обучения педвузовским математическим дисциплинам с опорой на естественные пути происхождения и применения математического знания.
Научная проблема исследования состоит в теоретической разработке основанной на генетическом подходе концепции обучения математическим дисциплинам в высшей педагогической школе.
Целью исследования является анализ теоретических и практических аспектов математической подготовки учителей, в частности, современных тенденций в зарубежном математическом образовании и подготовке учи-
10 телей математики, теоретическая разработка, с учетом достижений отечественных и зарубежных методико-математических, психолого-педагогических и логико-философских исследований, концепции генетического подхода к обучению математическим дисциплинам в педвузах и построение, на основе принципиальных положений предлагаемой концепции, приемов эффективного обучения этим дисциплинам, а также приложение этих принципов и приемов к различным формам обучения математике
Гипотеза исследования заключается в том, что существует принципиальная возможность эффективного построения учебного процесса по математическим дисциплинам в высшей педагогической школе, если:
1) в основе построения системы обучения математическим курсам лежит генетический подход;
2) разработана теоретическая концепция генетического подхода к обучению математическим дисциплинам в высшей педагогической школе; концепция генетического подхода к обучению математическим дисциплинам опирается как на все ценное из достижений отечественных и зарубежных методико-математических, психолого-педагогических и логико-философских исследований, так и на классический опыт и наблюдения за учебным процессом в высшей педагогической школе, строится с учетом современных тенденций в отечественном и зарубежном математическом образовании и подготовке учителей математики; обучение ведется с опорой на естественные пути происхождения математического знания, достигающейся учетом'происхождения, исторического пути становления и современного развития математических теорий; на основе логико-эпистемологического анализа учебного материала и выявления логической генеалогии понятий и утверждений, их роли в организации математических идей и конструкций осуществляются по- строение логической структуры взаимосвязей математической теории и создание проблемных ситуаций для обучения; психологической основой обучения математике служит деятель-ностный подход, на основе которого разрабатываются система действий по овладению понятиями, пути развития мотивации учения; при обучении выполняются требования предвосхищения, повторения на разных уровнях, основательности, совмещения функций и экономии, варьирования, контраста, воздействия на различные каналы восприятия материала студентами; устанавливаются связи изучаемого материала с естественнонаучными, техническими задачами, с элементами культуры, истории, общественной жизни, выявляются пути приложения математической теории внутри и вне математики.
Логика исследования определила необходимость решения ряда задач.
Задачи исследования подразделяются на четыре группы: I. Задачи, связанные с уточнением проблемы исследования и выявлением предпосылок для ее решения:
Рассмотреть современное состояние обучения математическим дисциплинам будущих учителей.
Выявить основные тенденции в математическом образовании и подготовке учителей за рубежом
Уточнить проблему теоретической разработки генетического подхода к обучению математическим дисциплинам в высшей педагогической школе.
4) выявить психолого-педагогические предпосылки теоретической разработки генетического подхода к обучению математике.
II. Задачи, связанные с теоретической разработкой концепции гене тического подхода к обучению математическим дисциплинам в педагоги ческих вузах:
Разработать теоретические основы построения системы обучения вузовским математических дисциплинам с опорой на естественные пути построения математического знания, достигающейся учетом происхождения и исторического пути становления математических теорий.
Исследовать пути логико-гносеологического анализа и логической организации учебного материала, создания проблемных ситуаций при генетическом подходе к обучению математике.
Исследовать психологические аспекты генетического подхода к обучению математическим дисциплинам.
Разработать принцип концентрированного обучения матматиче-ским дисциплинам, т. е. обучения, удовлетворяющего требованиям предвосхищения, основательности, повторения на разных уровнях, совмещения функций и экономии, варьирования, контраста, воздействия на различные каналы восприятия материала студентами.
III. Задачи, связанные с реализацией генетического подхода в разра ботке и осуществлении системы обучения математической дисциплине:
Построить систему изучения важнейших понятий курса алгебры.
Разработать последовательность и методику обучения математической дисциплине на примере педвузовского курса алгебры.
IV. Задачи, связанные с осуществлением генетического подхода в различных формах организации обучения:
1) Исследовать особенности генетического подхода в организации практических занятий и упражнений, самостоятельной работы студентов, их научно-исследовательской и учебно-исследовательской работы, в том числе с использованием современных информационных технологий.
13 2) Разработать методику преподавания новых интегративных спецкурсов.
Методологическая основа исследования', основные положения теории познания и логики науки. Психолого-педагогическая основа - концепция развивающего обучения, деятельностный подход к исследованию и осуществлению обучения. Мето дико-математическая основа - концепция профессионально-педагогической направленности обучения математике в педагогических вузах.
Методы исследования: анализ литературы по философии, психологии и педагогике, математике и методике ее преподавания, а также вузовских учебных программ, учебников и учебных пособий; анкетирование и интервьюирование студентов, преподавателей вузов, учащихся школ; массовые проверки и анализ математической подготовки студентов вузов; анализ современных тенденций развития отечественного и зарубежного математического образования и подготовки учителей математики; изучение вузовской практики и обобщение педагогического опыта; анализ собственного опыта работы в педагогическом вузе и других ученых заведениях; опытная проверка отдельных положений.
Теоретические источники: литература по теоретическим проблемам математического образования (А. Пуанкаре, Ф. Клейн, Л. Д. Кудрявцев, Б. В. Гнеденко, С. П. Новиков, А. Я. Хинчин); литература, посвященная проблемам преподавания вузовской математики, в частности, профессионально-педагогической направленности преподавания математических дисциплин в педвузах (А. Г. Мордкович, М. В. Потоцкий, Г. Г. Хамов, Г. Л. Луканкин, О. А. Иванов, А. В. Ястребов, Е. И. Смирнов, В. А. Тестов, Э. Дубинский и др.); литература по дифференциации обучения математике (В. Г. Болтянский, Г. Д. Глейзер, В. А. Гусев, Г. В. Дорофеев, Ю. М. Коля-гин, И. М. Смирнова, В. В. Фирсов); по психологическому анализу дея-
14 тельности, системогенезу профессиональной деятельности (Л. С. Выготский, А. Н. Леонтьев, П. Я. Гальперин, В. Д. Шадриков), по психолого-педагогическим основам развивающего обучения (Ф. А. В. Дистервег, Л. С. Выготский, Ж. Пиаже, Л. В. Занков, А. Н. Леонтьев, П. Я. Гальперин, В. В. Давыдов, Н. Ф. Талызина, М. А. Холодная); по теории личностно-ориентированного обучения (В. В. Сериков, Н. Л. Стефанова, А. Г. Солонина); по организации многоуровневой подготовки специалистов (В. А. Кузнецова); по вопросам проблемного обучения (М. И. Махмутов, А. М. Матюшкин, М. А. Чошанов); по общей теории обучения в высшей школе (С. И. Архангельский, А. А. Космодемьянский, А. П. Минаков, В. И. Михеев); по методико-математическим проблемам (Н. М. Извольский, Н. М. Бескин, В. М. Брадис, Д. Пойа, X. Фройденталь, Г. Бруссо, В. Г. Болтянский, Н. Я. Виленкин, В. М. Тихомиров, Р. С. Черкасов, Л. М. Фридман, М. И. Башмаков, Г. В. Дорофеев, Г. Д. Глейзер, Ю. М. Колягин, В. С. Леднев, Г. Л. Луканкин, И. И. Мельников, А. М. Пышкало, Г. И. Саранцев, В. А. Далингер, Ю. В. Сидоров, М. И. Шабунин, М. К. Потапов, И. Д. Пехлец-кий, Н. Л. Стефанова, Т. А. Иванова, Т. С. Полякова, Л. В. Шкерина); учебники и задачники для высшей школы, изданные записи лекций классиков математики и математического образования (Б. К. Млодзеевский, А. А. Марков (старший), П. Л. Чебышев, И. И. Жегалкин, Н. Н. Лузин, А. Н. Колмогоров, П. С. Александров, А. И. Мальцев, А. Г. Курош, И. Р. Шафа-ревич, А. Я. Хинчин, Л. Я. Окунев, Л. А. Скорняков, Л. Я. Куликов, А. И. Кострикин, В. И. Арнольд, Ю. И. Манин, В. Л. Матросов, И. И. Баврин, А. Г. Мордкович, Р. Фейнман, Л. Чайлдс и др.).
Научная новизна исследования заключается в следующем: 1) На основе исследования философских, исторических, психолого-педагогических, математических и методических аспектов проблемы разработана концепция генетического подхода к обучению математическим дисциплинам в высшей педагогической школе, включающая: опору на естественные пути построения математического знания, достигающуюся учетом происхождения и исторического пути становления математических теорий; логико-эпистемологический анализ учебного материала как средство выявления логической генеалогии и гносеологической роли понятий и утверждений, организации логической структуры взаимосвязей математической теории и создания проблемных ситуаций; ориентацию предметной подготовки будущих учителей математики на психологические особенности усвоения студентами математического содержания разных уровней сложности в построении специально продуманной деятельности по формированию и развитию математических понятий, в обеспечении мотивации учения; концентрированное обучение математике, что включает в себя требования предвосхищения, основательности, повторения на разных уровнях, совмещения функций и экономии, варьирования, контраста, воздействия на различные каналы восприятия материала студентами.
2) Определены компоненты методической разработки системы изу чения важнейших понятий математической дисциплины, предложено строить такую разработку в два этапа, где первый этап представляет собой предварительный анализ учебного материала, а второй - проектирование процесса обучения.
Введено и раскрыто понятие «Генетическая разработка учебного материала», куда включается анализ учебного материала с исторической, логической, психологической и прикладной точек зрения.
3) Сформулированные автором принципиальные положения предла гаемой концепции обучения математическим дисциплинам в высшей педа гогической школе реализованы в виде новых методических рекомендаций по построению и способам преподавания курсов алгебры и теории чисел, по проектированию систем изучения важнейших понятий этого курса, а также интегративных спецкурсов и спецсеминаров, по руководству научно-исследовательской и самостоятельной работой студентов в педагогических вузах, по применению информационных технологий в математической подготовке будущих учителей.
С позиций генетического подхода, разработана система изучения таких ключевых понятий курса алгебры, как теория групп, отношения эквивалентности, линейная зависимость.
На основе авторской концепции, разработана трехэтапная система изучения линии «делимость целых чисел - евклидовы кольца - многочлены», являющейся стержнем курса алгебры и непосредственно связанной с важнейшими элементами содержания школьной программы.
Теоретическая значимость исследования заключается в следующем:
Актуализирована проблема теоретической разработки генетического подхода к обучению математическим дисциплинам в высшей педагогической школе и обоснована необходимость ее решения.
Разработана теоретическая концепция генетического подхода к обучению математическим дисциплинам в высшей педагогической школе, проанализированы ее исторический, логический и психологический аспекты.
Проанализированы основные новейшие тенденции зарубежной теории математического образования, в частности, теории подготовки учителей математики. Достижения зарубежной теории математического образования можно творчески использовать в дальнейшем развитии отечественной методики обучения математике.
Полученные результаты открывают возможности дальнейшей исследовательской работы с целью расширения сферы приложения предлагаемой концепции, разработки путей ее реализации в других дисциплинах математического цикла, а также иных естественно-научных циклов, в пе-
17 дагогических вузах и, более того, также и в вузах другого профиля. Кроме того, предлагаемые подходы могут найти применение и в разработке методических вопросов преподавания школьной математики.
Практическая значимость исследования определяется тем, что в нем:
Разработаны и проверены методические рекомендации по обучению курсам алгебры и теории чисел в педагогических вузах, учебные пособия и методические указания по алгебре и теории чисел для математических факультетов, по математике для факультета педагогики и методики начального образования;
Реализована система изучения таких ключевых понятий курса алгебры, как теория групп, отношения эквивалентности, линейная зависимость.
Реализована трехэтапная система изучения ключевой для курса алгебры линии «делимость целых чисел - евклидовы кольца - многочлены».
Разработаны новые интегративные спецкурсы и спецсеминары для педвузов, темы и рекомендации для научно-исследовательской работы студентов, в том числе с использованием информационных технологий.
Разработаны и реализованы циклы лекций для повышения квалификации школьных учителей, программа специального курса для учащихся старших классов школ с математическим уклоном.
Результаты исследования могут быть использованы авторами программ и учебных пособий по математическим дисциплинам для высшей школы, методистами и преподавателями математики педагогических и других вузов.
Достоверность результатов исследования обеспечивается следующими основаниями: опорой на фундаментальные исследования из областей психологии, педагогики, методики преподавания математики, философии математики; длительным характером опытно-экспериментальной деятельности в процессе личного преподавания и руководства работой других преподавателей кафедры, анализом этой деятельности; обобщением большого объема теоретических данных и практических наблюдений, опыта многих поколений деятелей математического образования; научной глубиной, доказательностью и обоснованностью теоретических положений, на которые опирается данное исследование; соответствием полученных результатов общим тенденциям в отечественной и мировой теории и практике математического образования.
Положения, выносимые на защиту. На защиту выносятся:
Теоретическое обоснование трактовки понятия «генетический подход к обучению математическим дисциплинам в высшей педагогической школе», который понимается как следование естественным путям происхождения и применения математического знания в построении, методической разработке и осуществлении системы обучения математическим курсам и включает в себя исторический, логический, психологический и прикладной аспекты.
Теоретические положения концепции генетического подхода к обучению математическим дисциплинам в высшей педагогической школе.
3. Методическое обеспечение выдвинутой концепции, включающее: компоненты методической разработки системы изучения важнейших понятий математической дисциплины; систему компонентов генетической разработки учебного материала. методику изучения ключевых понятий курса алгебры: теории групп, отношений эквивалентности, линейной зависимости. трехэтапную систему изучения ключевой для курса алгебры линии «делимость целых чисел - евклидовы кольца - многочлены». реализация концепции генетического подхода к обучению математическим дисциплинам в учебном процессе по математическим дисциплинам в высшей педагогической школе (разработка, на основе генетического подхода, курса алгебры и интегративных спецкурсов, реализация принципов генетического подхода к обучению математическим дисциплинам в различных формах организации учебного процесса).
4. Результаты анализа основных тенденций зарубежной теории математического образования, ведущими направлениями в которой являются французская «дидактика математики» и психологически ориентированный конструктивизм и достижения которой целесообразно творчески использовать в дальнейшем развитии отечественной методики обучения математике.
Апробация работы. Различные аспекты и результаты исследования докладывались автором и обсуждались на ряде научных мероприятий: на региональных межвузовских конференциях в Набережных Челнах (1995, 1996 гг.) и Уфе (1997 г.), на XVI, XVII и XVIII Всероссийских семинарах преподавателей математики университетов и педвузов (Новгород, 1997 г.; Калуга, 1998; Брянск, 1999 г.), на 51-х Герценовских чтениях (С.Петербург, 1998 г.), на Международной конференции "Математическое образование на пороге 21-го века" (Самара, 1999 г.), на международных конференциях по дидактике математики в Фрибуре (Швейцария, 1993 г.), Дуйсбурге (Германия, 1994 г.), Регенсбурге, Лейпциге, Мюнхене (Германия, 1996-1998 г.), Потсдаме (Германия, 2000 г.), на 2-м Гауссовском симпозиуме (Мюнхен, 1993 г.), на 47-й (Берлин, 1995 г.) и 50-й (Невшатель,
20 Швейцария, 1998 г.) конференциях CIEAEM (Международной комиссии по изучению и усовершенствованию математического образования), на международном семинаре по изучению взглядов на математику и ее преподавание (Хельсинки, 1996 г.), на 8-м (Севилья, Испания, 1996 г.) Международном конгрессе по математическому образованию, на 21-й (Лахти, Финляндия, 1997 г.) и 23-й (Хайфа, Израиль, 1999 г.) международных конференциях по психологии математического образования, на 1-й конференции Европейского общества исследователей математического образования (Оснабрюк, Германия, 1998 г.).
Внедрение результатов исследования в практику. Разработанные в исследовании положения, программы обязательных и специальных курсов, рекомендации по методике преподавания математических дисциплин, по организации самостоятельной и научно-исследовательской работе студентов внедрены в учебный процесс Набережночелнинского, Башкирского (г. Уфа), Елабужского педагогического институтов, Института непрерывного педагогического образования г. Набережные Челны. На основе материалов диссертации разработаны курсы алгебры и теории чисел, числовых систем, математической логики, элементарной математики (с практикумом по решению задач), математики для дневного и заочного отделений специальности «педагогика и методика начального обучения», специальные курсы для студентов-математиков, циклы лекций для учителей и кружковые занятия для учащихся школы с математическим уклоном. Материалы работы также неоднократно использовались при написании курсовых и дипломных работ студентами. В учебном процессе и самостоятельной работе студентов используются написанные автором учебное пособие и методические указания по алгебре и теории чисел, методические пособия, аннотированные программы отдельных курсов и государственных экзаменов.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографии, предметного указателя и приложений.
Проблемы математической подготовки будущих учителей математики
Проблемы математической подготовки будущих (и работающих) учителей математики всегда интересовали математиков и деятелей в области математического образования. Этому, в частности, уделяли внимание такие крупные зарубежные математики, как Ф. Клейн (1987) и К. Литцман (см. Виттман, 1992, с. 274), Р. Курант (Курант, Роббинс, 1967), Д. Пойа (1959 и 1976), X. Фройденталь (1982). Большое значение математиці ческой культуре учителей придавали выдающиеся российские и советские математики-педагоги Н. И. Лобачевский, М. В. Остроградский (см. Пруд ников, 1956), Б. К. Млодзеевский, И. И. Жегалкин, Н. Н. Лузин, А. Н. Кол могоров, И. В. Арнольд, А. Я. Хинчин, П. С. Новиков, А. И. Мальцев, Б. В. Гнеденко, Н. Я. Виленкин, которые читали будущим и работающим учите лям лекции, писали для них учебники и научно-популярные книги. Систематическое исследование проблем математической подготовки будущих учителей предпринял М. В. Потоцкий (1975). Он одним из первых высказал ряд важных положений, не все из которых получили достойное развитие в трудах его последователей:
необходимо сделать методику преподавания математики в педагогиче ских институтах предметом специальных исследований, издавать моно графии на эту тему;
методика преподавания высшей математики должна основываться на исследовании закономерностей усвоения знаний и мышления, т. е. на психологии;
в преподавании и усвоении математики важна роль общей культуры;
следует прилагать максимум усилий к тому, чтобы сделать преподавание математики и учебники интересными.
К сожалению, еще долгие годы после выхода книги М. В. Потоцкого (1975) монографии по проблемам преподавания математики в педагогических институтах, да и вообще в вузах, не издавались. Правда, надо отметить, что одновременно или почти одновременно с книгой Потоцкого вышли книги А.А.Космодемьянского (1975), В. П. Лишевского (1975) и Л. Д. Кудрявцева (1977), глубоко затронувшие вопросы преподавания в высшей школе математики и механики. При этом две из этих книг - А. А. Космодемьянского и В.П.Лишевского, по существу посвящены изложению и анализу уникального опыта одного и того же человека - профессора механики МГУ А.П.Минакова, достигшего, по мнению авторов этих книг, исключительных успехов в преподавании теоретической механики - предмета, близкого к высшей математике по содержанию и по сложности преподавания. Л.Д.Кудрявцев (1985) говорит о необходимости выработать методические принципы преподавания математики в высшей школе, делая, правда, вывод «о невозможности формулирования здесь точных принципов, которыми следует руководствоваться» (с. 141). По мнению Л.Д. Кудрявцева, установление таких принципов, пожалуй, наиболее трудная задача при обучении: «Трудности при обучении любому предмету возникают уже при отборе материала, которому собираются учить и, быть может, еще больше при установлении принципов, которыми следует руководствоваться при обучении» (с.11). Л.Д.Кудрявцев, как и М.В.Потоцкий, подчеркивает важность стиля в написании учебников высшей математики (с. 139).
Следующим фундаментальным трудом по методике преподавания математических дисциплин в педагогических институтах стала докторская диссертация А.Г.Мордковича (1986). А.Г.Мордкович, опираясь на цифры и документы, поставил вопрос о недостатках в деле профессиональной подготовки выпускников педагогических институтов, особенно в части математической подготовки. Проанализировав отчеты председателей государственных экзаменационных комиссий педвузов РСФСР за 1982 и 1983 годы, он выявил следующие недостатки: "формализм в знаниях; неумение приводить примеры и контрпримеры, применять теорию к предложенным примерам, выходить за рамки узкого круга заученных стандартных примеров практического применения того или иного математического утверждения" (Мордкович, 1984, с. 42). Далее, А. Г. Мордкович отмечал, что на госэкзамене по методике преподавания математики "ответы многих выпускников сводятся к простому пересказу материала школьного учебника; студент говорит о том, что надо рассказывать, а не о том, как и почему надо излагать данный материал на уроке" (там же). А. Г. Мордкович первым обратил внимание на важную проблему: "Не исследованы возможности формирования методических взглядов будущего учителя в процессе преподавания математических дисциплин... При обучении а) математике, б) будущего учителя математики - проблема что преподавать, пожалуй, даже уступает по значимости проблеме как преподавать 1 (с. 43).
А. Г. Мордкович выдвинул четыре основополагающих принципа, определяющих профессионально-педагогическую направленность математической подготовки будущих учителей: 1) фундаментализма (необходимость фундаментальной математической подготовки учителя математики), 2) бинарности (необходимость объединения общенаучной и методической линий как основы построения математических дисциплин в педвузе), 3) ведущей идеи (ведущей идеей каждого математического курса педвуза должно стать осуществление связей вузовского курса математики со школьным курсом математики), 4) непрерывности (все математические курсы должны участвовать в процессе непрерывного постижения студентами элементов педагогической деятельности).
Опора на естественные пути происхождения математического знания
В поисках естественных путей построения и изложения математических дисциплин, педагоги прошлого - сторонники генетического подхода, чаще всего обращали свои взоры к истории предмета. Так, Дистервег (1971, с. 427) писал: «Способ и путь, каким были открыты предметы науки, является действительно образовательным методом... Путь всего человечества указывает также направление для обучения и образования отдельного человека».
Ф. Клейн, говоря о генетическом подходе, ссылался на сформулированный в 1866 году основной биогенетический закон Геккеля : «...индивид в своем развитии пробегает в сокращенном виде все стадии развития вида... Этому основному закону, я полагаю, должно было бы следовать - по крайней мере в общих чертах - и преподавание математики... Преподавание должно идти по тому же самому пути, по которому все человечество, начиная со своего наивного первобытного состояния, дошло до вершин современного знания! Необходимо всегда повторять это требование, так как всегда находятся люди, которые по примеру средневековых схоластов начинают свое преподавание с самых общих идей и защищают этот метод как якобы единственно научный. А между тем это основание неправильно: научно обучать значит учить человека научно думать, а не оглушать его с самого начала холодной, научно напряженной систематикой. Существенное препятствие к распространению такого естественного и поистине научного метода обучения представляет собой, несомненно, недостаток в знакомстве с историей математики. Чтобы с этим бороться, я охотно вплетал в мое изложение многочисленные исторические моменты. Пусть это покажет вам, как медленно возникали все математические идеи, как они почти всегда всплывали сперва скорее в виде догадки и лишь после долгого развития приобретали неподвижную выкристаллизованную форму систематического изложения. Пусть это знание... окажет продолжительное влияние на характер вашего собственного преподавания в школе!» (Клейн, 1987, с. 381).
А. Пуанкаре в своей книге «Наука и метод» также, не называя прямо, ссылается на биогенетический закон: «Зоологи утверждают, что эмбриональное развитие животного резюмирует вкратце историю его предков в разные геологические периоды. Воспитатель должен заставить ребенка пройти через те ступени, которые были пройдены его предками, пройти быстрее, но без пропуска промежуточных этапов. В этом смысле история науки должна быть нашим первым руководителем» (Пуанкаре, 1990, с. 463).
Из крупных советских педагогов сторонником взгляда на генетический подход как на исторический был В. М. Брадис: «Обеспечить генетический характер изложения легче всего на основе истории данного раздела науки. Полное понимание любого теоретического вопроса достигается лишь тогда, когда становится ясной его история» (Брадис, 1949, с. 45).
Уже в 60-е годы, на Э. Геккеля ссылался и Д. Пойа (1976; с. 325-326; оригинальное издание вышло в 1965 г.):
«Генетический принцип находит себе поддержку в одной аналогии, заимствованной из биологии. Индивидуальное развитие каждого животного повторяет историю эволюции рода, к которому принадлежит данное животное... Если вместо слов «индивидуальное развитие каждого животного» мы употребим научный термин «онтогенез», а вместо выражения «история эволюции биологических форм» - термин «филогенез», то придем к сжатой формулировке «основного биогенетического закона», принадлежащей немецкому биологу Эрнсту Геккелю: «Онтогенез повторяет филогенез».
Содержание, программа и общие подходы к преподаванию фундаментальной математической дисциплины на примере курса «алгебра и теория чисел»
Курс алгебры и теории чисел, на наш взгляд, целесообразно начинать с теоретико-числового материала. Такой подход имеет целый ряд преимуществ. Во-первых, теория чисел с самого начала направлена на решение конкретных ясно формулируемых задач: исследование вопросов делимости и поиск остатков, вычисление наибольших общих делителей и наименьших общих кратных; решение уравнений в целых числах, проверка арифметических действий; приближения чисел обыкновенными дробями. Более того, даже те задачи в теории чисел, которые не направлены непосредственно на решение практических задач (например, вычисление остатков, решение сравнений и т. п.), конкретностью формулировок, ясностью и привлекательностью вычислительных алгоритмов и способов решения могут увлечь студентов и обеспечить постепенный переход от приемов школьной работы к вузовской. Таким образом, обеспечивается опора на школьный опыт, преемственность обучения при переходе из школы в вуз. У студентов есть возможность интуитивного восприятия идей и понятий курса, что облегчает усвоение материала на первых порах обучения в вузе.
Еще важнее то, что теоретико-числовой материал содержит доступные для понимания примеры многих объектов, понятий, идей и конструкций абстрактной алгебры, которую поэтому целесообразно изучать после теории чисел. Кольцо целых чисел Z с отношением делимости и алгоритмом Евклида - прекрасный вводный пример евклидова кольца. Изучив основные идеи теории делимости в Z , студенты могут легче овладеть понятиями и результатами теории евклидовых колец, что позволит им успешнее разобраться в теории многочленов. Тем самым будет осуществляться генетический подход к преподаванию алгебраического материала.
В частности, такой подход осуществлен в учебнике «Конкретное введение в высшую алгебру» Чайлдса (1979).
Заметим, что такой же подход - предварительное изучение элементов теории чисел, использование параллелей между теорией чисел и теорией многочленов - использовался в первых изданиях пединститутского учебника по высшей алгебре Л. Я. Окунева (1937). К сожалению, в последних изданиях почему-то произошел отказ от такого подхода, и элементы теории чисел были удалены из учебника (Окунев, 1966). Возможно, это произошло из-за выделения теории чисел в отдельный предмет, изучавшийся в 50-60-е годы на старших курсах педвузов.
Отметим еще некоторые особенности наших общих подходов к составлению программы и преподаванию курса.
Важным проявлением генетического подхода в нашем варианте курса алгебры является проблемность. В лекциях и учебных пособиях это выражается как проблемное изложение. Вот как это осуществляется, например, на начальном этапе построения теории чисел. Вводится понятие отношения делимости на множестве целых чисел, однако выясняется, что не всякие два числа, даже если первое по абсолютной величине больше второго, а второе отлично от нуля, находятся в этом отношении (т. е. возможно, что первое не делится на второе). Возникает противоречие. Понимая, что деление имеет важные практические приложения, задаемся вопросом: чем заменить деление в случае его невозможности? Так возникает понятие деления с остатком (заметим, что одновременно мы опираемся на оставшиеся со школы и интуитивные представления студентов о делении с остатком). Между прочим, это одна из фундаментальных идей развития математических теорий - идея расширения: для того, чтобы лучше изучить тот или иной объект, надо его расширить. Например, чтобы лучше изучить возможности множества действительных чисел, в частности, научиться находить действительные корни кубических уравнений с действительными коэффициентами, необходимо работать с множеством комплексных чисел и т. п.
