Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ АЛГОРИТМИЧЕСКОГО ПОДХОДА В УСЛОВИЯХ ДИФФЕРЕНЦИРОВАННОГО ОБУЧЕНИЯ 13
1.1. Проблема дифференциации обучения в психолого-педагогической и методической литературе 13
1.2. Психолого - педагогическое обоснование алгоритмического подхода в учебном процессе высшей школы 38
1.3. Алгоритмический подход как одна из составляющих компонент дифференциации обучения 50
1.4. Алгоритмический подход в обучении математике 59
Выводы по главе 70
Глава 2. МЕТОДИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ РЕАЛИЗАЦИИ АЛГОРИТМИЧЕСКОГО ПОДХОДА В ПРОЦЕССЕ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
2.1. Проблемы изучения фундаментальных понятий математического анализа 71
2.2. Методика реализации алгоритмического подхода в процессе преподавания математического анализа 83
2.3. Алгоритмический подход в организации самостоятельной работы студентов 108
2.4. Анализ результатов исследования 121
Выводы по главе 2 129
Заключение 130
Литература 132
Приложения 145
- Проблема дифференциации обучения в психолого-педагогической и методической литературе
- Психолого - педагогическое обоснование алгоритмического подхода в учебном процессе высшей школы
- Проблемы изучения фундаментальных понятий математического анализа
Введение к работе
В современных условиях формирования новых типов учебных заведений, создания системы непрерывного образования актуальной является задача подготовки учителя, обладающего достаточно глубокими научными знаниями, творческими умениями, педагогическим и методическим мастерством. Между тем, имеются реальные противоречия между объективными общественными потребностями в педагоге нового типа, осуществляющим свою профессиональную деятельность с учетом новых тенденций развития социальных отношений и качеством подготовки такого специалиста, отвечающего всем требованиям современного общества.
В настоящее время ведется интенсивный поиск путей совершенствования обучения математике в педвузе. Одним из направлений такого поиска является дифференцированное обучение. Сегодня оно рассматривается как система обучения, при которой обучающийся, овладевая некоторым типом общеобразовательной подготовки, являющейся общезначимой и обеспечивающей возможность адаптации в постоянно изменяющихся жизненных условиях, получает право и гарантированную возможность уделять преимущественное внимание тем направлениям, которые в наибольшей степени отвечают его склонностям.
Изучением особенностей применения алгоритмического подхода в процессе обучения занимались такие ученые, как В.А.Байдак, В.А. Далингер, В.И.Ефимов, Л.Н. Ланда, М.П.Лапчик, Ю.А. Макаренков, В.М.Монахов, А.А.Столяр, С.И.Шапиро и др. В своих работах они рассматривают применение алгоритмов при решении задач, отдельные аспекты составления алгоритмических предписаний в различных учебных ситуациях, общие подходы к решению проблемы формирования алгоритмической культуры обучаемых. Однако в этих работах затрагиваются в основном вопросы методики изложения отдельных тем курса или излагается опыт работы преподавателей, но не рассматривается применение алгоритмического подхода в условиях диф-
ференцированного обучения. Необходимо дать анализ современного состояния проблемы, систематизировать и обобщить имеющийся опыт, провести научно-теоретическое исследование, на основе которого разработать пути дальнейшего совершенствования подготовки будущих учителей.
Вместе с тем анализируя работы психологов, методистов и дидактов, можно отметить постепенное возрастание внимания, которое они уделяют алгоритмическим процессам мышления.
Известно, что понятие алгоритма - математическое. Однако, для «ослабления» математического понятия алгоритма в педагогике вводится понятие «предписание алгоритмического типа», что позволяет для процесса обучения в детерминированном алгоритме получить некоторую свободу выбора.
Наиболее широкое распространение в учебном процессе получили алгоритмы двух типов: функционирования и управления. Алгоритмы функционирования могут применяться в виде предписаний к решению различных учебных задач для формирования у студентов определенных приёмов познавательной деятельности (мышления, внимания, развития моторных навыков и т. д.) с сообщением студентам последовательности операций (алгоритма). К алгоритмам управления относят такие алгоритмы, по которым строятся учебные занятия различных типов (лекции, практические и семинарские занятия, консультации), а также организация самостоятельной работы студентов.
Данное исследование рассматривается в контексте требований дидактики высшей школы об усилении профессиональной направленности, индивидуализации и дифференциации процесса обучения в целях повышения уровня подготовки выпускников. Отметим, что сегодня дифференциация рассматривается как система обучения, при которой обучающийся, овладевая некоторым типом общеобразовательной подготовки, являющейся общезначимой и обеспечивающей возможность адаптации в постоянно изменяющихся жизненных условиях, получает право и гарантированную возможность уделять преимущественное внимание тем направлениям, которые наиболь-
шей степени отвечают его склонностям.
Анализируя методическую литературу, мы приходим к выводу о том, что многие авторы рассматривают различные аспекты дифференциации процесса обучения. Среди них А.К.Артемов, С.В.Алексеев, Р.Р.Бикмурзина, В.Г.Болтянский, М.М.Бунеев, А.А.Бударный, Г.Д.Глейзер, В.А.Гусев, М.И. Зайкин, Г.В.Дорофеев, Ю.М.Колягин, В.В.Куприянович, Е.С.Рабунский, Н.Л.Стефанова, Г.И.Саранцев, И.М. Смирнова, И.Э.Унт, Р.А.Утеева, Т.Н. Терешина и другие.
В этих работах дифференциация обучения трактуется зачастую как индивидуализация, под которой понимается учет в процессе обучения индивидуальных особенностей обучаемых. Это так называемая индивидуализация в широком смысле (или внутренняя индивидуализация), подразумевающая учет индивидуальных особенностей обучаемых в условиях работы в обычных классах и по типовым программам.
Многие авторы используют термины "индивидуальный подход", "индивидуализация обучения", "дифференцированное обучение", и др. Они нередко употребляются как синонимы, но в то же время в содержании каждого из этих понятий имеются свои существенные признаки. Одни исследователи говорят, что дифференцированное обучение есть учебно-воспитательный процесс, протекающий с учетом доминирующих особенностей групп учащихся. При этом индивидуализированное обучение рассматривается как один из видов дифференцированного обучения, его наиболее полное воплощение( В.А. Гусев, Е.С. Рабунский). Другие отмечают, что индивидуализация - это учет в процессе обучения индивидуальных особенностей учащихся во всех его формах и методах, независимо от того, какие особенности и в какой мере учитываются, а дифференциация - это учет индивидуальных особенностей учащегося в той форме, когда учащиеся группируются на основании каких-либо особенностей для отдельного обучения.(И.А.Акимова, И.В.Касторнов, И.Э.Унт). В этом случае обучение происходит по несколько различным учебным планам и программам. Третьи в качестве основных по-
6 казателей для дифференциации рассматривают "быстроту усвоения" и "активность мышления" (В.В. Куприянович).
Встречаются и другие подходы к решению проблемы дифференциации процесса обучения (Г.И. Саранцев, P.P. Бикмурзина). Так, например, за основу для распределения обучаемых на группы берется объект <М;, Bj, Ck>, включающий в себя мотивационный, содержательно-операционный, волевой компоненты личности и параметры, характеризующие уровни соответствующего компонента (i, j, k).
Таким образом, дифференциацию процесса обучения можно соотносить либо с отбором форм, методов и приемов обучения, либо с содержанием образования (созданием вариативных учебных планов, программ, составлением заданий, предъявляемых обучающимся), либо с построением школьной системы (формированием школ и классов различных типов).
Обучение в высшей школе является логическим продолжением среднего образования и правомерно будет рассматривать различные аспекты использования алгоритмического подхода при изучении математического анализа в условиях дифференциации процесса обучения применительно к студентам именно первого курса, проходящим адаптацию к новым условиям обучения, так как неизбежно возникает ряд проблем, одной из которых является, безусловно, психологическая адаптация студентов первокурсников к новым формам, методам и содержанию обучения. Им предстоит «привыкать» к лекционным и семинарским занятиям, лабораторным работам, больше времени уделять самостоятельной работе.
Однако в вуз приходят студенты с разным уровнем подготовки, что влечет необходимость дифференцированного подхода в организации учебного процесса в педвузе.
С другой стороны, математический анализ - одна из важнейших математических дисциплин в педвузе, при изучении которой студенты сталкиваются с рядом трудностей логического характера, исходящих из самой сущности математического анализа и из особенностей его понятий, так как определе-
ния определенных понятий даются на формальном языке с помощью различных символов. Следующие трудности неизбежно возникает у студентов в связи с высокой абстракцией изучаемого материала.
Подводя итог сказанному, отметим необходимость рассмотрения применения алгоритмического подхода в новых условиях - условиях дифференциации процесса обучения. Для этого сформулируем цели дифференциации процесса обучения с различных точек зрения:
а) с психолого-педагогической - это индивидуализация процесса обуче
ния, основанная на создании оптимальных условий для выявления задатков,
развития интересов и способностей каждого обучающегося;
б) с дидактической - это решение назревших проблем школы путем
создания новой методической системы дифференцированного обучения, ба
зирующейся на принципиально новой мотивационной основе;
в) с социальной - это целенаправленное воздействие на формирования
творческого, интеллектуального, профессионального потенциала общества.
Итак, дифференциация процесса обучения способствует направленности образовательного процесса на личностное развитие обучающегося, на совершенствование форм и методов обучения, на формирование новых подходов в осуществлении профессиональной подготовки.
Использование алгоритмического подхода в отмеченных условиях будет способствовать не только лучшей адаптации студентов к процессу обучения в вузе, но и выработке у них алгоритмических умениях, позволяющих в дальнейшем совершенствовать профессиональную подготовку.
Таким образом, противоречие между потребностью в научно-обоснованной методике использования алгоритмического подхода в процессе обучения математике и ее реальным состоянием определяет актуальность проблемы исследования, которая заключается в выявлении и обосновании методов и средств совершенствования подготовки будущего учителя.
Цель исследования состоит в разработке теоретических и методических аспектов алгоритмического подхода в условиях дифференцированного
обучения и условий реализации данного подхода в практике обучения студентов педвуза.
Объектом исследования является процесс обучения математическому анализу в педвузе.
Предметом исследования является содержание, методы, формы, средства алгоритмизации в условиях дифференцированного обучения.
Гипотеза исследования состоит в следующем: если разработать концепцию подготовки будущего учителя, основанную на использовании алгоритмического подхода при формировании фундаментальных понятий математического анализа в условиях дифференциации процесса обучения и внедрить данную концепцию в практику обучения студентов, то это позволит улучшить качество подготовки будущего специалиста.
Проблема, цель, предмет и гипотеза исследования обусловили следующие задачи:
Изучить состояние проблемы по литературным источникам и практике обучения в педвузе, провести анализ школьных учебников алгебры и начал математического анализа, а также вузовских учебников и сборников задач по математическому анализу.
Выявить теоретические основы алгоритмического подхода при изучении математического анализа в педвузе в условиях дифференцированного обучения.
Разработать методику построения и применения алгоритмов в курсе математического анализа в педвузе.
Экспериментально проверить эффективность использования разработанной методики.
Для решения поставленных задач применялись следующие методы исследования:
- изучение и анализ психолого-педагогической, методической лите рату-
ры;
- анализ школьных учебников и сборников задач по алгебре и началам анализа и вузовских учебников и сборников задач по математическому анализу;
- беседы с преподавателями, учителями и студентами;
- констатирующий и обучающий эксперимент со студентами физико-
математического факультета Мордовского педагогического института;
- статистическая обработка и анализ результатов проведенного эксперимента.
Полученные результаты обрабатывались с использованием критерия хи-квадрат.
Методологическую основу исследования составили диалектика, дея-тельностный подход, системный анализ концепции личностно-ориентированного обучения, основные положения теории и методики обучения математике, принцип единства и диалектического взаимодействия теории и практики в научном познании, теории развития личности.
Исследование проводилось поэтапно.
На первом этапе осуществлялся анализ психолого-педагогической и методической литературы по проблеме исследования, изучалось состояние исследуемый проблемы в вузовской практике, проводился констатирующий эксперимент.
На втором этапе проводился поисковый эксперимент, в процессе которого разрабатывались алгоритмы решения задач курса математического анализа, осуществлялся подбор задач по отдельным темам курса математического анализа, подходящих для построения алгоритмических предписаний.
На третьем этапе проводился обучающий эксперимент с целью проверки эффективности и корректировки предлагаемой методики, были обобщены результаты, полученные в ходе теоретического и экспериментального исследования.
Научная новизна выполненного исследования состоит в том, что в
нем проблема совершенствования обучения математическому анализу в условиях дифференцированного обучения решается на новой основе, заключающейся не только в использовании алгоритмизации в обучении математическому анализу, но и в организации учебного процесса, в развитии творческого мышления студентов, приучении их к самостоятельному пополнению знаний, росту профессионального мастерства.
Теоретическая значимость диссертационного исследования заключается в:
обобщении понятия «учебный алгоритм»;
обобщении алгоритмических умений студентов;
представлении алгоритмизации как средства дифференцированного обучения математике;
разработанной методике внедрения алгоритмического подхода в процесс обучения математическому анализу.
Практическая значимость состоит в том, что результаты исследования могут быть использованы при составлении пособий для практических занятий со студентами, сборников задач для математических факультетов педвузов.
Обоснованность и достоверность проведенного исследования, его результатов и выводов обеспечиваются опорой на теоретические разработки в области методики обучения математике, психологии, с учетом современных достижений в практике обучения математике, совокупностью разнообразных методов педагогического исследования, а также итогами проведенного эксперимента.
На защиту выносятся следующие положения:
1. Алгоритмическая форма представления учебного материала курса математического анализа способствует созданию основы для выработки навыков усвоения действий, адекватных понятиям и теоремам математического анализа.
Использование алгоритмов позволит дифференцированно управлять процессом усвоения математических знаний.
Формирование алгоритмических умений, заключающихся в построении алгоритмических предписаний и схем, анализе и коррекции действий по выполнению и составлению алгоритмов, являющихся составляющими профессиональной подготовки студентов педвуза.
Реализация алгоритмического подхода при изучении математического анализа в педвузе должна предусматривать корректировку содержания лекций, практических занятий, консультаций.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованной литературы и приложений.
Во введении обосновывается актуальность исследованная, определена проблема научного поиска, намечены задачи теоретического и экспериментального характера, показана новизна, теоретическая и практическая значимость работы, сформулированы положения, выносимые на защиту, раскрыты этапы и методы исследования.
В первой главе «Теоретические основы дифференцированного обучения математике в педвузе» на основе анализа психолого-педагогической и методической литературы, школьных и вузовских сборников задач рассмотрено использование алгоритмического подхода при изучении математического анализа в педвузе в условиях дифференциации процесса обучения, дано обобщение алгоритма обучения, обосновано применение учебного алгоритма в учебном процессе высшей школы.
Во второй главе «Методические аспекты реализации алгоритмического подхода в процессе преподавания математического анализа» анализируются проблемы изучения фундаментальных понятий математического анализа, излагается методика построения и применения алгоритмов как при решении конкретных математических задач, так и при организации учебного процесса, описывается алгоритмический подход в организации самостоятельной работы студентов, а также ход экспериментальной проверки эффективности
предлагаемой методики и дается статистическая обработка результатов эксперимента.
В заключении подводятся итоги проведенного исследования, результаты, полученные в ходе эксперимента, излагаются в единстве с выводами, полученными в теоретическом исследовании.
Приложения включают в себя разработки формирования алгоритмов на практических и лекционных занятиях.
Проблема дифференциации обучения в психолого-педагогической и методической литературе
Среди важнейших факторов перестройки высшей школы на современном этапе особое значение имеет дифференциация обучения, как составная часть и необходимое условие гуманизации и демократизации образования, его перевода на новую культурную базу. Дифференциация обучения является залогом предоставления каждому студенту равно высокого шанса усвоения всех дисциплин учебных курсов.
Проблемы дифференциации обучения рассматриваются в работах А.К.Артемова[ 15 ], В.Г. Болтянского[34 ], М.М. Буняева[ 40 ], Т.Д. Глейзера [48], В.А. Гусева[65, 66], М.И. Зайкина[79 ], Ю. М. Колягина[ 95 ] В. И. Куз-нецова[ 83 ], Е. И. Лященко[ 111], Г.И. Саранцева[ 150 ], И.М. Смирновой [ 163 ], Н.Л. Стефановой [ 165 ], Т.Н. Терешиной[ 171 ], М.В. Ткачевой[ 172 ], Н.Е.Федоровой[ 173 ], Н.Э. Унт[ 174 ], Р.А. Утеевой[ 175 ] и др.
Общество требует от школы обучать хорошо всех и каждого ученика. Решение этой задачи связано с необходимостью создавать оптимальные условия для учения каждого учащегося при коллективном обучении. С одной стороны характер усвоения учебного материала индивидуален для каждого учащегося, а с другой - преобладающей формой обучения является коллективная. Одним из путей разрешения этого противоречия является дифференцированное обучение.
Остановимся подробнее на психолого-педагогических основах дифференцированного подхода в обучении. В России попытка дифференциации была предпринята еще в 1864 году. Цели дифференциации были направлены на: 1) выбор учащимися профессии в соответствии с их склонностями и интересами; 2) удовлетворение интереса учащихся к определенному циклу предметов; 3) повышение эффективности учебно-воспитательного процесса в школе; 4) подготовку к продолжению образования в высшей школе.
В практике обучения распространен дифференцированный подход, основанный на учете типичных особенностей групп учащихся. Хотя, кроме уровневой дифференциации ( по способностям, по интеллекту, и др.) современная трактовка дифференциации обучения предусматривает и профильное обучение. Так, в целях осуществления предпрофессиональной подготовки учащихся уже в средней школе, функционируют школы и классы с углубленным изучением отдельных учебных предметов.
В условиях высшей школы особую роль играет профильная дифференциация, осуществление которой помогает будущим специалистам решать задачи своей профессиональной деятельности. Например, использование прикладных задач обеспечивает осознанное овладение математической теорией, учит самостоятельному выполнению учебных заданий, приемам поиска, исследования и доказательства. Решение таких задач позволяет углубить стремление студентов находить практические приложения в специальных дисциплинах, сформировать отрицательное отношение к механическому заучиванию математики.
Задачи должны комбинироваться с учетом индивидуальных особенностей студентов. Им предоставляется возможность решать задачи разной степени трудности по своему выбору. Свободный выбор студентами задач сочетает элемент обязательности и добровольности. Практика показывает, что слабые студенты не берут задач повышенной трудности, а лишь те, которые могут решить, т. к. понимают, что не обладают теми знаниями, умениями и навыками, которые необходимы для решения трудных задач.
При свободном выборе задач разной степени трудности познавательная деятельность студентов не ограничена только требованиями программы, каждый имеет возможность решить сначала задачи менее трудные, а затем более сложные, тем самым, развивая свои способности.
Зачастую же понятие дифференциации обучения трактуется как его индивидуализация.
Так, в одних исследованиях под индивидуализацией понимается «учёт в процессе обучения индивидуальных особенностей обучаемого во всех его формах и методах. Это так называемая индивидуализация в широком смысле (или внутренняя дифференциация), подразумевающая учёт индивидуальных способностей обучаемых в условиях работы в обычных классах и по типовым программам. Однако не следует забывать, что индивидуализация, прежде всего, философская категория, которая означает развитие таких качеств личности, как способность к анализу явлений окружающей действительности, саморегулированию, сохранению своей устойчивости [ 50, 54, 80]. Человеческая индивидуальность не только не означает разобщение человека и общества, но и напротив создаёт основу для их более тесного единства. Таким образом, неправомерно толковать индивидуализацию как только единичное и неповторимое.
Психолого - педагогическое обоснование алгоритмического подхода в учебном процессе высшей школы
Известно, что при обучении студентам необходимо прививать навыки учебного труда. Они должны владеть общими и специфическими приемами интеллектуальной и практической деятельности. Анализ психолого-педагогической и методической литературы, а также опыт работы показывает, что многие математические понятия удобно представлять в виде алгоритмов. Кроме того, необходимо учитывать еще и специфику математических знаний, вытекающую из особенностей самой их природы.
Поэтому безусловно, нужно остановиться на стиле изложения математического анализа. Выбор стиля является весьма существенным. Здесь надо идти по пути разумного компромисса между строгостью, доступностью и прикладной направленностью, не забывая ни об одной из этих сторон.
Какого уровня строгости придерживаться, что и как доказывать? Дело в том, что нет и не может быть абсолютных понятий строгости доказательства. Даже внутри математики эти понятия существенно менялись с течением времени, а сейчас они значительно различаются, например, в математической логике и в практике приложений математики. Доказательство - это не что иное, как убедительная мотивировка справедливости утверждения. Но нет и не может быть какого - то абсолютного понятия убежденности, пригодного для всех времен и всех людей, для всех областей человеческой деятельности. Подобным образом нет абсолютной строгости, и абсолютной точности. Строгость того или иного рассуждения есть средство избежать ошибочных выводов, так что она подчинена неформальным целям этого рассуждения. Поэтому уровень строгости различен в различных областях и все время меняется, стихийно складываясь в соответствии с задачами и методами этих рассуждений.
Существует несколько форм организаций умственной деятельности или форм мышления. Среди них наиболее известны дедуктивная и индуктивная формы мышления.
По определению СИ. Архангельского, дедуктивная форма мышления в учебном процессе «отражает полную определённость. Эта форма наиболее выразительна в тех случаях, когда частное действие, вывод, определение вытекают из общего правила, закона и являются следствием»[ 18 ]. Индуктивная форма организации мышления характеризуется выводом общего положения о явлении, закономерности, классе предметов на основе рассмотрения всех элементов или части признаков и явлений.
Другими формами мышления являются продуктивная и эвристическая. При продуктивной форме организации мыслительной деятельности суждения и выводы исходят из знания определённой степени общности и перехода к новым знаниям той же степени общности, а при эвристической форме -решение поставленных задач не ограничивается точными методами, а выполняется на основе свободных размышлений. Еще одной формой организации умственной деятельности является алгоритмизация обучения, т. е. разработка и обучение алгоритмам решения определённых задач, а так же построение алгоритмов самого обучения, т. е. алгоритмов которые использует преподаватель в своей учебной работе [ 176 ].
И.Т. Огородников [ 136 ] алгоритмический подход в учебном процессе определяет как предписание учителя, позволяющее учащимися самостоятельно определять способы изучения тех или иных вопросов или овладения теми или иными навыками и умениями. Эти способы включают в себя последовательно развёртывающиеся логические действия и практические приёмы.
Алгоритмический подход в исследовании мышления и актов поведения в педагогике занимает достаточно большое место в работах исследователей Б. В. Бирюкова [ 32 ], А. М. Довгялло [ 42 ], Е. И. Машбица [ 116 ], Н. Д. Ни-кандрова [ 133 ], А. А. Ляпунова [ 110 ] и др.
Анализируя работы психологов и дидактов, можно отметить как постепенно возрастало внимание к алгоритмическим процессам мышления, что послужило основанием для введения термина «алгоритм» в психологию и дидактику.
Определённый интерес представляют раОоты Г. Паска [ 139 ] , в которых с помощью обучающих машин моделировался алгоритмический процесс обучения. Г. Паск считает, что подавляющее большинство навыков является структуированными, поэтому его система обучения может быть распространена и на интеллектуальную деятельность человека. Система обучения Г. Паска является адаптивной, т. к. она позволяет учитывать возможности обучаемых, уровень развития и особенности обучения в течении всего учебного курса.
Проблемы изучения фундаментальных понятий математического анализа
Проблема изучения фундаментальных понятий математического анализа начинается еще в школе. Не овладев основательно многими понятиями начал анализа по ряду причин (психологических, организационных, методических), учащиеся, став абитуриентами, а затем студентами, не могут в полной мере применить полученные знания на занятиях по математическому анализу. Об этом подробно говорилось в 1.2. В связи с этим зачастую преподавателям приходится начинать изучение фундаментальных понятий для большинства студентов практически «с нуля».
Но кроме трудностей в обучении для самих студентов, к сожалению, приходится констатировать еще и следующий факт. Сегодняшние студенты первого курса после окончания обучения придут работать в школу, где им придется преподавать и этот раздел математики, и также столкнуться с определенными трудностями. Свою же задачу мы видим в разработке методики обучения студентов фундаментальным основам математического анализа таким образом, чтобы затем они, в свою очередь, смогли преподавать этот раздел математики на должном уровне.
Под термином «фундаментальные понятия» мы понимаем, в первую очередь, понятие действительного числа, функции, предела функции, а также связанные с ним понятия числовой последовательности и непрерывности функции. Детальное рассмотрение этих понятий связано с тем, что именно с них начинается изучение математического анализа в педвузе. Кроме того необходимость изучения этих понятий в школьном курсе алгебры и начал математического анализа раскрывается в следующих аспектах:
I. Научный аспект.
Фундаментальность этих понятий сточки зрения математики не вызывает сомнений. А.Я. Хинчин отмечал: «...Важнейшее, основоположное понятие математического анализа - понятие функциональной зависимости, в котором, как в зародыше, уже заложена вся идея овладения явлениями природы и процессами техники с помощью математического аппарата» [ 141 ]. Действительные числа являются для функций математического анализа той областью, тем полем, на котором они действуют и проявляют свои свойства. "Именно с понятием иррационального числа проходит та грань, которая отделяет элементарную математику от высшей», - писал П.С. Александров [Ю ].
Идея предельного перехода является ведущей в математическом анализе. В связи с этим понятие предела играет фундаментальную роль во всех его разделах.
И. Общекультурный аспект. В понятиях действительного числа, функции, предела функции заложен ряд идей, которые характеризуют сущность математического анализа, его отличие от других разделов математики (идея измерения, идея зависимости, идея движения, идея бесконечности и стремления). Их осознание важно, так как время изучения этих вопросов связано с тем возрастным периодом студентов, когда наиболее активно формируется научное мировоззрение. В. В. Мадер отмечает: «Математическое образование не может быть полноценным, если оно сводится к изучению одного только математического аппарата. Совершенно необходимо, чтобы одновременно были рассмотрены и соответствующие философские и методологические аспекты математики. Ведь методология - это фундамент мировоззрения, это ориентир для обнаружения верного направления научных поисков, это основа для осмысления природы математики» [ -І2.0].
III. Предметный аспект.
На протяжении всего школьного курса одной из ведущих линий является линия числа. Понятие действительного числа находится на вершине этой линии и позволяет стать переходным этапом от изучения элементарной математики к изучению математического анализа.
Подобно понятию действительного числа функция также связывает изучение математики в 10 - 11 классах с предшествующим опытом, который включает знания различных видов элементарных функций и некоторых их свойств.
Традиционно в школьном курсе введение производной осуществляется на основе понятия предела функции в точке, поэтому невозможно игнорировать изучение предела в начале курса математического анализа.
IV Прикладной аспект.
Средствами математического анализа исследуют движения, непрерывные изменяющиеся состояния, процессы. Моделью таких процессов является функция. В различных областях человеческой деятельности решаются задачи, в которых используются свойства функции, методы дифференциального и интегрального исчислений. Фундаментальные понятия математического анализа имеют широкую область приложений.
Анализ предшествующих исследований по методике обучения фундаментальным понятиям математического анализа, позволил сделать следующие выводы:
1. В ходе предыдущих исследований в основном решены организационные вопросы изучения фундаментальных понятий математического анализа: определено время и место их изучения в школьном курсе математики.
2. Выявлены трудности, с которыми сталкиваются студенты при изучении математического анализа. Решение части этих проблем (преодоление затруднений психологического характера) сдерживалось недостаточной разработкой в психологии особенностей мышления студентов, взаимосвязи различных типов мышления.
3. Идейная взаимосвязь понятий действительного числа, функции и предела функции не была использована для создания методики изучения этих понятий в едином целостном блоке, предваряющем другие вопросы школьного курса математического анализа.
4. Исследована роль образного мышления обучающихся при изучении математических понятий и переводе математического содержания из одной формы представления в другую, но методика использования этого компонента мышления для наглядно-интуитивного и содержательного изучения фундаментальных понятий математического анализа до настоящего времени не разработана.
В процессе формирования фундаментальных понятий математического анализа можно выделить несколько уровней:
1) наглядно-иллюстративный,
2) операционный,
3) формально-логический.
Наглядно - иллюстративный уровень достигается посредством предъявления обучаемым понятий в виде таблиц и схем. На этом уровне обучаемые, в основном, знакомятся с различными понятиями.
