Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Исследование алгебраических свойств основных выпуклых семейств нечетких мер в рамках вероятностного подхода . 42
1.1. Введение 42
1.2. Представление нечеткой меры в виде линейной комбинации примитивных нечетких мер 43
1.3. Вероятностная интерпретация нечетких мер 47
1.4. Обобщенные точные нижние вероятности 52
1.5. Статистическое порождение нечетких мер 57
1.6. Исследование статистически непротиворечивых нечетких мер 60
1.7. Свойства 2-монотонных нечетких мер 65
1.8. Два определения ^-монотонности 71
1.9. Алгебраические операции над фильтрами 75
1.10. Идеалы 77
1.11. Некоторые способы построения идеалов 80
1.12. Алгебраические операции над идеалами 86
1.13. Выводы 90
Глава 2. Исследование представлений нечетких мер с помощью функций агрегирования 92
2.1. Введение и постановка задачи 92
2.2. Характеризация ^-монотонных мер с помощью теории раз- 1 ностей 94
2.3. Исследование агрегирующих функций 101
2.4. Агрегирующие функции и нечеткие меры на алгебре нечетких множеств 108
2.5. Построение агрегирующих функций с помощью полилиней- ого расширения 114
2.6. Искаженные нечеткие меры 125
2.7. Выводы 132
Глава 3. Канонические последовательности нечетких мер 134
3.1. Введение 134
3.2. Основные понятия и определения 135
3.3. Канонические последовательности нечетких мер (конечный случай) 139
3.4. Канонические последовательности нечетких мер (счетный случай ) 155
3.5. Канонические последовательности нечетких мер (общий случай) 163
3.6. Выводы 173
Глава 4. Принятие решений в условиях неполной информации о функции полезности . 175
4.1. Введение 175
4.2. Основные определения и постановка задачи 176
4.3. Определение частичного порядка на множестве вероятностных распределений 177
4.4. Алгебраические операции на множестве вероятностных распределений 181
4.5. Индекс возможностного включения 184
4.6. Свойства индекса включения (регулярный случай) 189
4.7. Аксиоматический подход к построению индекса включения 193
4.8. Выбор оптимального решения с помощью индекса включе ния 200
4.9. Выводы " 204
Глава 5. Логический вывод в теории 1' возможностей, обоснованный в рамках теории неточных вероятностей 206
5.1. Введение 206
5.2. Основные определения 207
5.3. Комбинирование функций распределения возможностей . 208
5.4. Оценки неточности нечеткого высказывания 215
5.5. Постановка задачи вычисления максимальной дисперсии . 219
5.6. Решение оптимизационной задачи 221
5.7. Практическое вычисление максимальной дисперсии 228
5.8. Выводы 235
Глава 6. Обработка и анализ изображений с помощью мер информативности 236
6.1. Введение 236
6.2. Полигональное представление контура и его информативность 237
6.3. Способы определения нечетких мер информативности кон- тура 239
6.4. Выбор оптимального полигонального представления контура по мере информативности 247
6.5. Алгебраические свойства нечетких мер информативности 249
6.6. Алгоритмы выделения оптимального полигонального представления контура 265
6.7. Мера информативности кусочно-гладкого контура 270
6.8. Применение мер информативности для обработки и сглажи- {щ> вания изображений 280
6.8.1. Сглаживание полутоновых изображений с помощью ме ры информативности '. 280
6.8.2. Сглаживание контурных изображений с помощью меры информативности 282
6.8.3. Мера информативности сегментированных изображений 284
6.8.4. Реализация разработанных методов в системе обработки и анализа изображений 289
6.9. Выводы 292
Заключение 294
Литература 300
- Исследование статистически непротиворечивых нечетких мер
- Построение агрегирующих функций с помощью полилиней- ого расширения
- Канонические последовательности нечетких мер (счетный случай
- Определение частичного порядка на множестве вероятностных распределений
Введение к работе
Математика второй половины XX столетия подверглась сильному влиянию бурного развития вычислительной техники, открывшему новые возможности численного решения задач, которые до этого считались неразрешимыми. Так разработка первых экспертных систем стала одной из причин появления нечеткой математики, а распознающие системы дали толчок развитию статистической теории классификации. Особенностью этой новой математики стало рассмотрение нелинейных моделей, которые нашли применение в теории дифференциальных уравнений, в теории принятия решений, в робастных методах обработки и классификации статистических данных. Многие исследователи пришли к выводу, что ограничения классической вероятностной схемы оказываются малопригодными во многих реальных задачах для моделирования неопределенности и возникает необходимость создания новой теории, которая позволяла бы моделировать кроме случайности и другие виды неопределенности, включающие противоречивость, неточность и неполноту имеющейся информации. В этой новой теории вероятности событий следует задавать неточным образом с помощью монотонных функций множества (нечетких мер), таким образом определяя верхние или нижние границы вероятностей событий. При этом нечеткие меры в отличие от вероятностных мер не обладают свойством аддитивности в общем случае, а их продолжение на функциональные пространства приводит к построению нелинейных функционалов.
Именно развитию теории нечетких мер, направленному на исследование вопросов моделирования неопределенности и применению полученных результатов в различных прикладных областях - в теории принятия решений, в моделях приближенных рассуждений, в задачах обработки и распознавания изображений, и посвящена данная диссертационная работа.
Рассмотрим вначале основные положения предлагаемого подхода. } По-видимому, разрабатываемая теория нечетких (неаддитивных) мер должна:
1) наследовать основные принципы классической теории (аддитивных) мер и ее основные конструкции (измеримое пространство, измеримая функция, а -алгебра множеств, интеграл,...);
2) иметь качественное объяснение в рамках теории вероятностей, т.е. значения нечетких мер следует рассматривать как некоторые оценки вероятностей, и по аналогии вводить такие понятия как условная вероятность, независимые события, случайная величина и др.;
3) иметь прикладное значение, что означает реализуемость вводимых теоретических конструкций на практике.
Следует иметь в виду, что рассматриваемая конструкция, основанная на монотонной функции множества, исследовалась во многих приложениях. Имеются различные эквиваленты данного понятия - емкость Шоке в теории меры и потенциала [1,2], характеристическая функция игры в кооперативной теории игр [3,4], неаддитивная вероятность [5,6] в литературе по экономическим приложениям. Также иногда используют нейтральные термины [7,8]: монотонная мера или неаддитивная мера. Термин «нечеткая мера» был введен Сугено [9,10] и в настоящее время широко используется в приложениях искусственного интеллекта и теории принятия решений [11-14].
Основными первоисточниками данной работы являются:
• фундаментальная работа Шоке [1], где были введены и исследова- ны к -монотонные и к -альтернирующие емкости;
• работа Демпстера [15], где рассматривались многозначные случайные отображения (впоследствии названные случайными множествами) для описания экспериментов с неточными измерениями, и где были введены i верхние и нижние вероятности для описания исходов эксперимента. Верх ние и нижние вероятности Демпстера Шейфер [16] применил в теории принятия решений и назвал их функциями правдоподобия и доверия;
• теория возможностей, аксиоматические основы которой предложил Заде [17], и которая затем была детально разработана Дюбуа и Прадом [18];
• результаты, полученные Шепли [19,20] и Шмайдлером [21], описывающие важные свойства супермодулярных и точных игр;
• работа [22], где дается характеризация различных монотонных емкостей через обратное преобразование Мёбиуса;
• теория неточных вероятностей, независимо разработанная Питером Волли [23] (Peter Walley) и В.П.Кузнецовым [24]. Важные результаты по теории неточных вероятностей изложены в книге Хьюбера [25].
Некоторые варианты изложения теории нечетких (неаддитивных) мер можно найти в монографиях [7,12,26], теории возможностей [18,27,28], кооперативной теории игр [3,4]. Очень много полезных материалов по теории неточных вероятностей находятся на сайте ISIPTA http:// www.sipta.org. Основные направления современного развития теории нечетких мер хорошо отражены в книге [29]. Принимая во внимание, что основные результаты по теории нечетких мер опубликованы только на английском языке, автор пытался следовать самодостаточному изложению, может быть, в ущерб разумной краткости.
Кратко рассмотрим основные положения теории неточных вероятно- стей, обращая основное внимание на модели, в основе которых лежат функции множества. Пусть X = {xx,x2,...,xN] - конечное пространство и 21 = 2 -алгебра всех подмножеств X. Тогда любая вероятностная мера Р на 21 определяется своими значениями на одноэлементных множествах, т.е. значениями N Р{х,}, i = l,...,N, при этом Р{л;;} 0 и Р{х,} = 1. Отметим, что в класси ческой теории вероятностей предполагается, что в исследуемой модели всегда известен вероятностный закон, определяемый некоторой вероятностной мерой Р. Такая ситуация является вполне оправданной только на модельных задачах, когда вероятностную меру Р можно восстановить со сколь угодно заданной точностью, или же в классических задачах с идеальной колодой карт или игральной костью. На практике идеальные условия эксперимента не выполняются [23,30]. Вероятностное распределение мы можем восстановить лишь с некоторой точностью, которая оценивается, как правило, с помощью доверительных интервалов. Далее обычно выбирается самая правдоподобная гипотеза о виде распределения, и рассчитываются по ней необходимые характеристики, строится байесовское решающие правило и пр. Ясно, что данный переход зачастую оказывается не очень корректным с математической точки зрения. Более того, рассматриваемая вероятностная модель перестает быть адекватной, если экспериментальные измерения неточны [15], частоты наблюдаемых событий неустойчивы [31,32], получаемая информация неполна (может быть, например, ситуация, когда мы наблюдаем не все координаты многомерной случайной величины , в этом случае вероятностное распределение не может быть восстановлено однозначным образом [33]). В этом случае более оправданно моделировать возникающую неопределенность некоторым семейством вероятностных мер Е, т.е. таким образом мы не постулируем категорично, что рассматриваемый процесс или явление описывается определенной вероятностной мерой, мы выдвигаем более достоверную гипотезу о том, что к 4) вероятностный закон нам точно не известен, но он описывается одной из вероятностных мер, принадлежащих Н.
Далее по множеству Е можно оценить математическое ожидание произвольной функции /: X - Ш . В результате получим
1) нижнюю оценку E\f vaf 4f(xt)P{xl) математического ожи-дания /;
2) верхнюю оценку E[f] = sup f(xl)P{xl} математического ожи-дания /.
Обозначим через линейное пространство функций на X со значениями в R. Тогда функционал Е обладает следующими свойствами:
О E\Xf + c\ = XE_[f} + c, feJ, Л,сєШ, Л 0 (положительная однородность);
2) [/;] 72],если fx /2, fltf2ef (монотонность);
3) K[fi+f2] E[fx] + E[f2], fvf2 є J2" (супераддитивность).
При этом значения функционала Е полностью определяются значениями Е, так как E[f] = -[-/], f є 2.
Можно поставить вопрос, можно ли по функционалу Е восстановить семейство вероятностных мер Е, т.е. в каком случае семейство вероятностных мер Е = Р N 2 (х,)/ { ,} [/] длявсех/є?\ (В1) (=і совпадает с z.. Ясно, что ЕсЕ , причем равенство а = Е выполняется в том и только том случае [23,25], если Е является выпуклым замкнутым множеством в плоскости Ual,...,aN)eRN cct - 1 при отождествлении 1=1 Е с множеством векторов !(/ {#(},...JPJJC }) єЕ из R . Также можно показать [23,25], что всякий функционал Е, удовлетворяющий условиям 1), 2), 3) определяет некоторое непустое множество вероятностных мер Н по формуле (В1). На практике модель представления неопределенности с помощью нижних или верхних оценок математического ожидания является вполне приемлемой [23,34], т.е. можно ограничиться случаем выпуклого замкнутого порождающего множества вероятностных мер. Тем не менее, данная модель не получила широкого применения на практике [35] в силу того, что реализация «чистой» модели и механизма логического вывода, основанного на решении систем неравенств высокой размерности, не представляется оправданным как с вычислительной точки зрения, так и с точки зрения точности в том смысле, что точность выводов должна соответствовать надежности имеющихся статистических данных, экспертных оценок и пр. С учетом этого, на практике целесообразно строить, может быть, «грубые», но вычислительно нетрудоемкие правила логического вывода, например, как это делается в теории нечетких множеств [11, 36] на основе операций максимума и минимума, поскольку такое упрощение модели нисколько не отразится на качестве получаемых выводов. С другой стороны, по-видимому, нужно сохранить вероятностный смысл и обоснование получаемых правил вывода.
Первым естественным упрощением модели нижних (верхних) оценок математических ожиданий может быть задание функционала Е не на всех возможных функциях / є , а только на конечном подмножестве с &, в частности это может быть множество характеристических функций 1лЛє2і, тогда функция множества /J(A) = Е[іА], А є 21, дает точные нижние оценки вероятностей событий. Можно ввести также и функцию точной верхней вероятности ju(A) = Е[\А], Aesll. Данные функции связаны между собой отношением двойственности ju{A) = \ -/л{А), Л є 21, что является следствием свойств, перечисленных для Е, , а также 1) //(0) = //(0) = 0, /л(Х) = ju(X) = 1 (нормированность); . 2)//,//- монотонные функции множества;
3) //( ) + //(5) //(/1и5) при Аг\В = 0, А,Вє%1 (супераддив- ность);
4) jj(A) + ju{B) ju(AvB) при АпВ = 0, А,ВеШ (субаддивность).
Отметим, что на практике, как правило, не удается получить согласованные оценки вероятностей событий, т.е. для имеющейся функции g:2l —»[0,1], дающей нижние оценки вероятностей, мы можем потребовать, чтобы семейство вероятностных мер Е - [Р Р(А) g(A), А є 21} не было пустым, т.е. чтобы задание g было бы непротиворечивым. Далее Р теоретически можно построить согласованную функцию множества JU{A) = inf Р{А), А є 21, причем, очевидно, что g{A) ju(A), А є 21. Одна ко реализация данного уточнения вычислительно трудоемкая процедура [37] даже для конечного пространства X с относительно небольшим числом элементов A"j. Реализуемым уточнение.м для g может быть выбор уточненной оценки в классе монотонных или супераддитивных функций 4) множества. С учетом этого, мы приходим к модели описания неопределен ности, основанной на понятии нечеткой меры, т.е. функции множества //, обладающей свойствами нормированное™ (//(0) = 0, /л{Х) = \) и монотонности (//(Л) //(#), если Ас В), при условии, что значения ju дают нам нижние или верхние оценки вероятностей событий. При этом, если нечеткая мера // дает нижние оценки вероятностей, то двойственная ей нечеткая мера —,ju(A) = l-ju(A) дает верхние оценки вероятностей, т.е. построение основных теоретических конструкций мы можем проводить для нечетких мер нижней вероятности. Результаты для верхних вероятностей всегда можно получить с помощью отношения двойственности.
Отметим, что не построено таких простых необходимых и достаточных условий принадлежности нечеткой меры к классу точных нижних ве Е (см. условия 1), 2), 3)). Таїв кие условия достаточно сложны или не являются достаточными. Поэтому имеет смысл найти подкласс нечетких мер точной нижней вероятности, обладающий регулярными свойствами. Такие функции множества независимо были введены Шоке [1] (2-монотонные емкости) и Шепли [19,20] (супермодулярные или выпуклые игры). Мы будем называть их 2- монотонными мерами. Они обладают характеристическим свойством:
ju(A) + ju(B) ju(AnB) + ju(AvB) для всех А, В є Ш.
Можно показать [19,20,22], что 2-монотонные меры принадлежат семейству точных нижних вероятностей. Более того, пусть ju — 2 монотонная мера, тогда для любой максимальной цепи множеств г = { ЛГ=о 5о = 0 5і=К} 2 = К ,2} --- ={Х . Х 2 - } = Х веР°" ятностная мера Рг, определяемая равенствами: Рг{Вк} = /и{Вк), k = 0,...,N, обладает свойством: РГ(А) ju(A) для всех АеШ. При этом вероятностные меры указанного вида являются экстремальными точками [22] и образуют систему образующих выпуклого множества вероятностных мер Е = {Р\Р(А) ju{A),Aes}\). Это свойство позволяет получить аналитическую формулу =1 о для неотрицательной функции f е . Впоследствии правая часть последнего выражения, вычисляемая для произвольной функции множества была названа интегралом Шоке [7,39]. В практических приложениях широкое применение нашли важные ,i\ подклассы 2-монотонных мер: функции доверия [15,16] (и им двойствен ные функции правдоподобия), меры необходимости [18] (и им двойственные меры возможности). Важное теоретическое значение имеют к монотонные меры [1] (емкости), введенные Шоке. Они обладают характеру ристическим свойством:
Ku:,c,)+ z ы)"Цг,с,) о (В2) х Вс{1„ ,т},В 0 которое должно выполняться для произвольной системы множеств Сх,...,Ст є 21, т к. Отметим, близость формулы (В2) к формуле включения-исключения из комбинаторики [40]. Если нечеткая мера является к- монотонной для любого к = 1,2,..., то она называется полностью монотонной или функцией (мерой) доверия. Функции доверия являются основой теории свидетельств [16], представляющей одно из направлений современ- Ч) ной теории принятия решений. В теории свидетельств часто используется другое эквивалентное описание функций доверия и правдоподобия, основанное на выражениях:
&?/(Л) = 2 (Д), Р1(А) = т(в) (вз) ВсА АпВ ) где т - это неотрицательная функция множества, обладающая свойством т(В) = \ и называемая основным вероятностным назначением [16] (Ьа-sic probability assignment). Отметим, что функцию т всегда можно восстановить с помощью преобразования т{А) = Y, (-1)]АЩВе1(В) ,АеШ, ВаА называемого преобразованием Мёбиуса [22]. Данное преобразование и обратное к нему можно применять для произвольных функций множества, однако функция т является неотрицательной в том и только том случае [16], если преобразование Мёбиуса применено к мере доверия.
( Пусть Bel - это мера доверия на 21 и т - ее преобразование Мёбиу са. Тогда {Л є 211 т(А) Ф 0} называется множеством фокальных элементов.
Если это множество образует цепь в алгебре 21, то Bel называется мерой необходимости [18], а двойственная ей - мерой возможности [18]. Рас смотрим меру возможности П на 21. Тогда функция 7г(х) = П{х}, хеХ, f называется функцией распределения возможностей. С ее помощью можно выразить меру возможности ЩА) = тахх(х) при А 0 (П(0) = О), хеА а также меру необходимости N{A) = \-Yl{A) = mm[\-n(x)] при А Х (N(X) = l). хеЛ
Отметим, что меры возможности и необходимости широко применяются в различных моделях логического вывода [11,18], принятия решений [11,17,18], но без вероятностного обоснования, предлагаемого в данном щ исследовании. В указанных моделях в большей степени используется «ин туитивное» понимание нечетких множеств, предложенное Заде [41].
Подчеркнем, что хотя нечеткие меры представляют более простые модели по сравнению с функционалами Е и Е для моделирования неопределенности, тем не менее, непосредственное применение нечетких мер может оказаться затруднительным при решении реальных задач. Это связано с тем, что даже в конечном случае задание нечеткой меры связано с Щ) у хранением 2 - 2 значений на алгебре 21. Можно использовать меры возможности и необходимости, тогда, как и для вероятностных мер, требуется знать значения нечеткой меры только на одноэлементных множествах, т.е. объем хранимых данных оценивается как \Х\. Однако в реальных задачах выразительных свойств мер возможности и необходимости может оказаться явно недостаточно [34,35].
Рассмотрим известные упрощения задания нечетких мер.
Разложимые меры [18,42-45]. Исследователи обратили внимание, что как при определении вероятностных, так и возможностных мер используется некоторая бинарная коммутативная и ассоциативная операция 1 на [0,1], которая в случае вероятностных мер является обычным сложе нием, а для мер возможности операцией «max». Данная операция должна обладать свойством монотонности аЛЬ max {а, 6}, a, be [0,1]. Тогда, задавая значения нечеткой меры /л на одноэлементных множествах таким образом, чтобы //(х,)±//(х2)J L/i(xN)-l, мы можем определить значение ju для произвольного множества А = \х, ,—,х, ) как ju(A) = ]u\xh J J L /л x, J. Отсюда видно, что разложимые меры обладают характеристическим свойством: ju(AuВ)-ju(A)JL/л{В) при АпВ=0. Основываясь именно на этих рассуждениях, Сугено предложил класс Я-мер [9], а затем независимо друг от друга была независимо введена концепция разложимой меры в работах [42,43]. Отметим, что разложимые меры основаны на операциях триангулярных норм и конорм [46], которые используются для определения операций над нечеткими множествами, и которые не обязательно являются традиционными операциями максимума и минимума, предложенными Заде [41].
Искаженные вероятности (distorted probabilities) [7,45]. Пусть #?:[0,1]— [0,1] - монотонно возрастающая функция на [0,1], для которой (р{0) = 0 и (р{\) = 1, Р - вероятностная мера на 21. Тогда функция множества /и-сроР называется искаженной вероятностью; при этом, если функция р выпукла вниз [7], то нечеткая мера ц является 2-монотонной. Такой способ моделирования неопределенности нашел широкое применение в робастной статистике [47], страховании и экономике [8,48-50]. Покажем, что искаженные вероятности являются частным случаем разложимых мер, если (р ИхМеет единственную обратную функцию на [0,1]. Определим бинарную операцию 1 как а X b = (р ( p l (a) + (p l (b)j для всех допустимых значений а,Ь из [0,1]. Тогда при АпВ = 0 М(А uB) q (Р(А) + Р(В)) = р{(р-{ (р(А)) + ср х (ju(B))) = М(А) 1 р{В). к -аддитивные меры ввел в рассмотрение Грабиш (Grabisch) [51,52] применительно к многокритериальным задачам п ных задачах аддитивность функции множества интерпретируется как отсутствие взаимодействия критериев [13], которое приводит к выбору функции агрегирования в виде взвешенной суммы. При этом для построения агрегирующей функции обычно используется интеграл Шоке [13,14]. Переход к нелинейным функциям агрегирования, как правило, объясняется наличием взаимодействия критериев. Для оценки взаимодействия критериев Грабиш ввел преобразование взаимодействия и [51-54], которое просто рассчитывается через преобразование Мёбиуса т нечеткой меры ju:
Отметим, что значения этого преобразования на одноэлементных множествах (L {X,},...,L»{XJV}) образуют вектор Шепли [3,4,20], который хорошо известен в теории кооперативных игр. Значение и(В) имеет качественную интерпретацию - оно показывает «положительное» или «отрицательное» взаимодействие критериев в коалиции В. Аксиоматическое обоснование преобразования взаимодействия в кооперативной теории игр можно найти в [55].
Пусть ju - нечеткая мера на 21 и v (т) - ее преобразование взаимодействия (преобразование Мёбиуса). Тогда согласно определению нечеткая мера /л называется к -аддитивной (к є N), если и(Я) = 0 (т(Я) = 0)для всех В є 21, \В\ к и существует множество А є 21, л = &, что и(А) 0 (т(А) О). Таким образом, &-аддитивная мера соответствует случаю, когда для всех коалиций В є 21, Z? &, нет взаимодействия, и существует коалиция Л є 21, /і = А:, в которой присутствует отрицательное или положительное взаимодействие. В математическом плане [13] обычно ищут неизвестную нечеткую меру в классе -аддитивных мер как решение оптимизационной задачи на основе некоторого количественного критерия, включающей систему ограничений на вид функции множества, в частно-. сти, одним из ограничений является аксиома монотонности нечеткой меры.
Отметим, что А:-аддитивные меры дают достаточно гибкий способ представления нечетких мер. Множество 1-аддитивных мер совпадает с семейством вероятностных мер, 2-аддитивные меры несколько сложнее, чем вероятностные меры, поскольку требуют задания (?)+(/ коэффициентов. Это число для произвольного к равно г), причем любая нечет кая мера на 31 является &-аддитивной для некоторого ke{l,...,N}. Аппроксимация произвольной функции множества на 31 А;-аддитивной функцией множества аналогична аппроксимации действительной функции многих переменных полиномом степени к, поскольку полиномы степени т к, так и т-аддитивные функции множества для т к образуют ли т нейное подпространство, и в этом подпространстве необходимо найти наилучшую аппроксимацию. Основной трудностью данного подхода является то, что не найдено легко проверяемых необходимых и достаточных условий, при которых А:-аддитивная функция множества является монотонной, тем более принадлежит классу, например, 2-монотонных мер.
Рассмотренные подходы представления нечетких мер позволяют ут- верждать, что до сих пор не создано моделей, которые были бы универ сальными в смысле выразительных свойств и простыми при практической реализации. Решение данной проблемы может заключаться, по-видимому, в следующем.
1. Вначале нужно выбрать семейство нечетких мер, которое в дальнейшем будет использоваться для моделирования неопределенности. Данное семейство должно обладать свойством замкнутости относительно правил логического вывода, т.е. обладать каким-то набором свойств. Напри- {%\ мер, рассмотренные семейства нечетких мер, включающие точные нижние вероятности, 2-монотонные меры, функции доверия (за исключением большинства разложимых мер), обладают свойством выпуклости.
2. Необходимо исследовать алгебраические свойства выбранного семейства нечетких мер, позволяющие в дальнейшем построить реализуемые алгоритмы идентификации, аппроксимации и др. Например, если рассматриваемое семейство нечетких мер М выпуклое, т.е. замкнутое относительно операции взвешенной суммы: ajux +(l-a)ju2 еМ, если fix,/n2eM, а є [0,1], то одной из важнейших задач является описание экстремальных точек множества М. Если М - замкнутое множество и число экстремальных точек конечное (теорема Крейна-Мильмана [56]), то любая мера из М может быть представлена в виде линейной выпуклой комбинации экстремальных точек. Можно показать, что экстремальными точками множества всех нечетких мер на алгебре 31 являются примитивные меры [57,58], т.е. принимающие значения из {0,1}, экстремальными точками семейства мер доверия являются примитивные меры необходимости. Задача же описания экстремальных точек других семейств нечетких мер, например, 2-монотонных мер достаточно трудна. Попытки ее решения для 2-монотонных мер, принадлежащих классу искаженных вероятностей, можно найти [59]. Другими алгебраическими свойствами могут быть замкнутость семейства относительно операции сужения, т.е. /л є М = цв є М при ju(B) 0, где juB(A) = , ЛєЗІ; для нижних вероятностей - свой ju{B) ства ядра E = {P\P ju), состоящего из вероятностных мер, мажорирующих нечеткую меру ju сверху и др. Может оказаться перспективным также исследование выпуклых семейств нечетких мер, которые замкнуты относительно других алгебраических операций, в частности относительно произведения или минимума. Операция произведения позволит наделить выпуклое семейство нечетких мер свойствами алгебраической структуры, которая близка к структуре кольца или идеала, рассматриваемого в алгебре. Операция «min». также интересна, так как "очевидно, что любая точная нижняя вероятность ц на 31 может быть представлена как минимум веро ятностных мер, являющихся экстремальными точками ядра .=. для меры /и, т.е. jj. можно выразить через вырожденные вероятностные меры Рг (fj{x,} = l), i = \,..,N, используя взвешенную сумму и операцию минимума. Обобщением данных бинарных операций является использование монотонно возрастающих функций вида: p:[0,lf - [0,1], 3(0,0) = 0, )(1,1) = 1. Тогда можно получить нечеткую меру /л с помощью композиционного преобразования /л{А) = (р(/лх(А),/лг(А)), Ае%1, нечетких мер /у,,//2. Следующее обобщение связано с переходом от бинарных операция к я-нарным ju(A) = q (jux(A),...,/un{AJ), А є 21, при этом агрегирующая функция ср: [0,1]" -» [0,1], должна быть монотонно возрастающей, а также )(0,...,0) = 0, )(1,...,1) = 1. Исследование агрегирующих функций должно быть связано с изучением условия замкнутости, т.е. если цх,...,/лп еМ, где М - исследуемое семейство нечетких мер, то и /л&М. Такие условия были детально исследованы для возможностных и разложимых мер [60,61], в частности показано [62,63], для вероятностных мер единственно возможной операцией агрегирования является взвешенная сумма. При этом основным способом доказательств является нахождение решений функциональных уравнений типа Коши [64]. Отметим, что данные исследования проводились в рамках теории принятия решений. Задача ставилась, как получение агрегирования оценок (например, группы экспертов), заданных разложимыми мерами. В данной постановке задачи обычно вводят следующую дополнительную аксиому на вид функции (р\ (р{с,...,с) = с, с є [0,1]. Показано [65], что если эта аксиома выполняется, то единственно возможной функцией агрегирования для мер доверия является взвешенная сумма.
3. Необходимо построить правила логического вывода, позволяющие производить обновление и обработку имеющейся неточной, неопределенной информации. При этом вводимые правила должны удовлетворять условию замкнутости и быть практически реализуемыми. Такие правила мо гут включать аналоги правила Байеса, уравнения полной вероятности и др., т.е. некоторые обобщения классической теории вероятностей: условные вероятности и «математические ожидания, случайные величины и др. Подчеркнем, что данные конструкции разработаны в теории неточных вероятностей, однако, как отмечалось ранее, они сложны для практической реализации. Выходом из данной ситуации является построение моделей, может быть, менее точных, но использующих более простые модели логического вывода. Это означает, что вычисления следует проводить не обязательно в классе точных верхних или нижних вероятностей или функционалов Е или Е. Например, для оценок математических ожиданий можно ис • пользовать интеграл Шоке, который дает точные нижние оценки матема тического ожидания только для 2-монотонных мер.
4. Создать модели «верхнего уровня» связанные с выбором числовых характеристик степени неопределенности, противоречивости, а также неточности информации, моделируемой с помощью нечетких мер. В классической теории вероятностей такой характеристикой является энтропия. В [66,67] можно найти достаточно полный обзор основных достижений в данной области, рассматривается система аксиом, которым должны удовлетворять указанные характеристики. Показано, что наилучшими свойствами обладают мера Хартли (Hartley) для оценки неточности информации, и максимальная энтропия для оценки полной неопределенности. Следует отметить, что большинство результатов получено для мер возможности и функций доверия.
Мы рассмотрели вопросы моделирования неопределенности с помощью нечетких мер на конечной алгебре. Как и для теории вероятностей, Ъ) при решении реальных задач возникает потребность распространения ос новных результатов теории на общий случай, когда нечеткая мера определена на сг-алгебре 21 множеств некоторого измеримого пространства X. Основными особенностями этого случая являются:
1) практическая неосуществимость логического вывода, предложенного в «чистых» моделях теории неточных вероятностей;
2) теоретически трудная проблема идентификации нечетких мер. Если следовать аксиоматике Колмогорова, то нечеткие меры (точной) нижней вероятности должны наследовать некоторые свойства непрерывности. При этом определить принадлежит или нет нечеткая мера, например, классу верхних или нижних вероятностей не представляется возможным. Известны достаточные признаки [25,68] только для частных видов 2-альтернирующих емкостей Шоке. (Нечеткая мера называется к-альтернирующей, если двойственная ей мера является к -монотонной.);
3) в практических реализациях в основном используются наиболее простые модели: меры возможности, А-меры Сугено, искаженные вероятности.
Зададимся вопросом - в какой аксиоматике рассматриваемая теория нечетких мер была бы в большей степени приемлемой для инженерных разработок? Конечно, известные результаты для емкостей Шоке при различных топологических предположениях являются красивыми в математическом плане, но мало пригодными, чтобы предложить реальный алгоритм или метод. Большинство доказательств, основанных на трансфинитной индукции, лемме Цорна, включая теорему Хана-Банаха [69], являются неконструктивными, т.е. в них доказывается существование, скажем, линейного функционала с требуемыми свойствами, но не дается его конструктивного описания. Поэтому, по-видимому, целесообразно при расширении введенных понятий на произвольные измеримые пространства руководствоваться наиболее простыми определениями, основанными на обычной индукции. Исходя из этого, мы будем говорить, что нечеткая мера является (точной) нижней вероятностью (вероятностной или 2-монотонной мерой), если она обладает этим свойством на любой конечной подалгебре исходной алгебры
21. Это приводит к тому, что расширением вероятностных мер на произвольную алгебру являются конечно аддитивные меры, которые в обще м случае не являются счетно-аддитивными. Следует иметь в виду, что существуют теории вероятностей [70,71], в которых аксиома счетной аддитив ности опускается. Кроме того, согласно теореме Стоуна [72,73] можно всегда построить вложение вероятностного пространства (Х,Ш,Р) с конечно аддитивной мерой Р в вероятностное пространство (X ,%V,P J, так чтобы вероятностная мера Р , являющаяся расширением Р, была счетно-аддитивной на 21 . С этой точки зрения, свойство непрерывности просто дает в математическом плане некоторые удобства задания вероятностных мер, поскольку позволяет и при том единственным образом продолжить [73] счетно-аддитивную меру с полукольца К на минимальную а-алгебру, содержащую К. Подчеркнем, что не следует умалять достоинства топологической теории, которая может быть полезной в задачах построения нечетких мер с заданными топологическими свойствами. Здесь только приводится обоснование того, что наряду со счетно-аддитивными мерами следует рассматривать более общий случай конечно-аддитивных мер.
Отметим, что как и для случая конечной алгебры важное значение имеет описание ядра E0 = {P\P ju0} произвольной нечеткой меры /л0. В качестве Р могут быть согласно соглашению либо счетно-аддитивные, либо конечно-аддитивные вероятностные меры. Для случая произвольной алгебры задача описания ядра уже не решается обычным способом, основанным на решении системы нелинейных неравенств, например, методами линейного программирования. Приемлемым способом установления того, что Е 0 можно было бы считать построение монотонно возрастающей последовательности нечетких мер {Мк}к_0 Mo-Mi - — которая бы сходилась к аддитивной мере Р. Пусть Р является экстремальной точкой выпуклого множества Е0. Известно (это следует из теории линейных неравенств [74]), что для конечного случая множество Wl = {Ae%\ju0(A) = P(A)} полностью определяет вероятностную меру Р, .л т.е. минимальная алгебра, содержащая 9Л, совпадает с 21. Можно ожи дать, что такое свойство может выполняться и для других алгебр, например, со счетным базисом. Теперь рассмотрим следующее преобразование функции множества /J0 : Hx{A) = nQ{A )B) + 0{Ar\B)-fiQ{B), B =W, А&Ш. Нетрудно проверить, что функция множества //, удовлетворяет всем аксиомам для нечеткой меры, кроме того, в силу того, что //0(2?) = Р(В) и fi0 Р, ядро Е, нечеткой меры /лх будет содержать вероятностную меру Р. При этом JUQ JU{, если нечеткая мера ju0 является 2-монотонной. Предай положим, что множество Ш счетное, т.е. ЯН = {-# }" тогда последовательность нечетких мер [/лк} , порождаемая по правилу:
назовем канонической последовательностью нечетких мер. Исследование таких последовательностей представляет интерес, поскольку дает индуктивное описание ядер 2-монотонных мер, кроме того, позволяет исследо «? вать свойства аддитивности нечеткой меры на подалгебрах. Действитель но, аддитивность может быть выявлена, если juk = juk_x для некоторого к,
т.е. множество Вк ведет себя аддитивным образом по отношению к другим элементам алгебры.
Рассмотрим применение теории нечетких мер в моделях принятия решений, приближенных рассуждений, а также обработки изображений.
Теория принятия решений. Пусть (Х,Щ - измеримое пространство и ? - линейное пространство измеримых функций на 21 со значениями в ) R. В классической теории полезности [75-77] каждое решение идентифи цируют с некоторой функцией из , и вводится линейный квазипорядок на , удовлетворяющий определенной системе аксиом, которая гаран л 1» тирует существование вероятностной меры Р на 21, что для любых fvf2 выполняется f{ f2o\fxdP \f2dP (В4) X X Отметим, что решение f є можно интерпретировать в качестве случайной величины, а интеграл \fdP как математическое ожидание дохода (по х лезности) при принятии решения /. Заметим, что любая функция ft є У также индуцирует вероятностное распределение Рх {Pl(A) = Pif l(A)\, / 1(А)є%1) на т-алгебре множеств интервала (-оо,+оо), тогда условие (В4) эквивалентно filf2 J xdP{{x) J xdP2(x) (B5) (—00,-K») (-00,+ao) Выражение (В5) дает основание утверждать, что получается более общая постановка задачи (рассмотренная в [78]), когда мы идентифицируем решения с вероятностными распределениями, определенными на некотором измеримом пространстве (Х,Щ, а линейный квазипорядок на этом множестве вероятностных распределений 2Р определяется с помощью измеримой функции и : X — (-оо,+оо): Рх dt Р2 = \udP\ \udP2, PVP2 є У, X X которая называется функцией полезности. В условиях неопределенности классическая схема может обобщаться в различных направлениях. 1. Было замечено [79,80], что в некоторых задачах лицу, принимающему решение, (ЛПР) свойственно более осторожное поведение. В результате отношение на 21 начинает обладать другими свойствами. Это приводит к другим формулам для ожидаемой полезности [61,81-83], в частности, основанным на интеграле Шоке [5,80] или Сугено [61,84] по нечеткой мере."
2. В условиях неопределенности отношение квазипорядка X может потерять свойство линейности, т.е. могут наблюдаться несравнимые решения. Такая ситуация может моделироваться с помощью семейства вероятностных мер [85,86] Е, при этом fx f2, если Ж[/і] [Л] и [/] [ ], где f{,f2e?. В противном случае решения считаются несравнимыми.
3. Решения из измеряются не в числовой, а в порядковой шкале. В этом случае каждая функция из есть отображение - R, где R - это некоторое линейно упорядоченное множество. Такая ситуация свойственна качественным суждениям об окружающем мире. Отметим, что один из подходов решения данной задачи связан с введением порядковых интегралов [8,87], которые дают лишь частичное упорядочение решений. Другая постановка задачи аналогична (В4). Можно заметить, что функции fx є индуцируют вероятностные распределения Pt (РІ(Л) = РІ/ 1(Л)\, / 1(Л)е$1) на измеримом пространстве R. Однако в данном случае пространство R является только линейно упорядоченным, и возникает задача упорядочения вероятностных распределений. Эта задача может решаться, например, следующим образом. Обозначим через U - множество всех ограниченных измеримых функций «:/?- (-оо,+оо), которые согласованы с порядком - на R, т.е. и{х) и(у) при х у, x,yeR. Тогда полагаем, что РХ Р2 = (уи є U) \udPx \udP2 для вероятностных мер РХ,Р2. R R Отметим, что таким образом введенный порядок дает только частичное упорядочение решений, и мы «знаем» функцию полезности только с точностью до возрастающего преобразования. Это случай неопределенности, который можно характеризовать как неполное или частичное задание функции полезности. Также отметим, что, как правило, порядковые шкалы приводят к конструкциям, которые хорошо описываются в теории возможностей [27,28,88].
Модели приближенных рассуждений. Одним из простейших видов классической аристотелевой логики является представление информации с помощью высказываний вида хеА, означающих, что интересующий нас объект х принадлежит множеству А. Можно показать [89], что такая теоретико-множественная интерпретация является достаточной для описания большинства моделей пропозициональной логики. При практической реализации данной схемы используются правила логического вывода следующего вида:
хеА1,хеА2,..,,х Ап - -хеВ, п если f )Ak с В, т.е. в данном случае алгебра логики эквивалентна булевой алгебре обычных множеств. Заде [41] предложил для описания размытости, неточности и неопределенности информации использовать понятие нечеткого множества. Согласно определению произвольное нечеткое подмножество А базового множества X определяется функцией принадлежности juA:X- [0,1], при этом значение juA(x), хєХ, интерпретируется как степень принадлежности элемента х множеству А. Для нечетких множеств можно получить правило логического вывода, аналогичное (В5), если использовать, например, традиционные операции над нечеткими множествами, основанные на операциях максимума и минимума. Критики теории нечетких множеств [90], в частности, отмечают следующие сложности аргументированного применения данной теории.
1. Субъективность при определении функции принадлежности. Как правило, данная задача решается эвристически инженером-разработчиком системы принятия решений или интеллектуальной системы. Хотя и существуют методики построения функций принадлежности на основе психометрических измерений [ 11, 91, 92].
2. Недостаточно обоснованный выбор операций над нечеткими мно- $ жествами. Предпочтение min-max операциям отдается лишь по причине близости их алгебраических свойств к обычным теоретико-множественным операциям. Хотя следует отметить, что есть множество работ [93-96], где отдается предпочтение вероятностной логике Лукасеви-ча или другим операциям, основанным на триангулярных нормах или ко-нормах.
С другой стороны, известна практическая реализуемость и эффективность моделей, основанных на нечеткой логике [11,92,97]. Поэтому, по- видимому, было бы разумным пытаться искать общие связи теории нечет- ких множеств и теории вероятностей и на основе этого строить реализуе мые и вычислительно эффективные модели, например, с помощью конструкций теории неточных вероятностей. В этом случае можно использовать одну из известных вероятностных интерпретаций [90,98,99] нечеткого множества. Наиболее обоснованной в теории возможностей [18,88,99] является следующая схема.
Пусть (Х,Щ - это измеримое пространство и А - нормальное не четкое подмножество X с измеримой функцией принадлежности /г. Тогда п интерпретируется как функция распределения возможностей, по которой можно рассчитать меру возможности Х\(А) = ъщ я{х) при А є ЯП, хеА А Ф 0 ( П(0) = 0), а также меру необходимости N(A) = 1 - П( А), А є 21. С учетом этого, считаем, что А индуцирует семейство вероятностных мер E = {P\N(A) P(A) n(A),Ae$l}. Теперь рассмотрим правило логического вывода х є А{,х є А2,...,х є Ап- х є В (В6) Предположим, что нечеткие множества Ак индуцируют семейства вероятностных мер Ек, к = \,...,п, а с нечетким множеством В ассоциировано семейство вероятностных мер Бв. Тогда справедливость правила (В6) оз начает, что [ ] сЕй. Подчеркнем, что реализация вероятностных прин ципов логического вывода в теории возможностей особенно актуальна, когда возникает необходимость обрабатывать разнородную лингвистическую и статистическую информацию, имеющую вероятностную интерпретацию. Анализ изображений является, по-видимому, одной из наиболее сложных, трудно формализуемых областей для применения математических методов [100-103]. Неопределенность в задачах обработки плоских изображений трехмерных объектов может быть вызвана следующими причинами:
1) неточностью и неопределенностью исходной информации, которая может быть вызвана как дискретизацией, так и зашумлением обрабатываемого изображения;
2) неполной информацией об объекте на изображении. Известно, что изображение является лишь двумерной проекцией трехмерного мира и задача восстановления трехмерности в общем случае не поддается решению;
ys 3) искажениями, которые могут быть вызваны неточной фокусиров кой видео-камеры, бликами, частичным слиянием анализируемых объектов с фоном, перекрытием объектов.
С учетом этого, задача распознавания изображений может быть качественно решена только при условии использования в полном объеме всей статистической, априорной и эвристической информации. В качестве эвристик могут служить: симметрия объектов искусственного происхождения, априорная информация о возможном положении объектов в пространстве, представления о «правильных» геометрических формах объектов. Так, на-пример, благодаря эвристикам, человек видимые круглые объекты воспринимает как шарообразные, пытается восстановить геометрическую форму полиэдральных объектов, пользуясь эвристикой, что плоские углы в боль- шинстве ситуаций являются прямоугольными. Данные рассуждения позволяют говорить, что существует некоторая иерархия объектов по критерию сложности, и когда информация о распознаваемых объектах не полна или искажена, человек выбирает самую простую гипотезу о геометрической форме объекта, которая не противоречит исходной статистической и априорной информации.
Как правило, обработка изображений представляет собой некоторую последовательность процедур, позволяющих получить набор представлений исходного изображения [100-102]. При этом каждое представление можно рассматривать как инвариантное относительно исходных неизвестных параметров. Фильтрация или сглаживание изображений очищает изображение от помех, контурные изображения инвариантны относительно освещенности сцены, векторные представления контуров, основанные на дескрипторах Фурье [104,105], инвариантны относительно подгруппы аффинных преобразований.
I?1 Пусть 3- - это множество различных представлений исходного изо бражения, и иерархия данных представлений может быть описана количественно с помощью функционала Q:3- [0,+со). Значение Q(f), / є?, будем интерпретировать как степень информативности представления /. Для векторных представлений множество 3 можно рассматривать как некоторую область пространства R". Далее в силу неточности, неопределенности и неполноты исходной информации мы можем лишь гарантировать, что интересующее нас представление / принадлежит области J2" . Тогда, пользуясь эвристикой выбора наиболее простого представления из всех допустимых, мы можем «восстановить» /, полагая, что • / = argmin2(g).
1 Такой подход можно использовать в алгоритмах сглаживания полутоновых и контурных изображений, выбирая подходящим образом функционал Q.
При анализе геометрической информации, например, контуров требуется решать другую задачу [106-110] - упрощения исходного векторного представления. Например, если рассматривать полигональные представления контуров, координатами векторного представления f = (fv—,f„) являются координаты / вершин многоугольников (полигонов), и задача сводится к упрощению векторного представления, т.е. снижению его размерности. Упрощение представления f = (/{,..-,/„) заключается в исключении из рассмотрения некоторого множества малоинформативных вершин из полигонального представления. Эту задачу можно также решать с помощью меры информативности Q. Будем считать, что индексы координат оставленных вершин принадлежат множеству Ас: {1,...,«}, т.е. {/ /є А). Далее условно считаем, что координаты вершин, индексированных множеством А, известны, а множеством А = {\,...,п}\А - не известны. Тогда наименее информативное представление /А с фиксированными значениями координат с индексами из множества А следует искать во множестве представлений Jr(f,A) = {(gl,...,gn)e \g, - ft,ieA , тогда / =arg min 0(g).
С учетом этого, можно поставить задачу поиска наиболее информативного представления /А, для которого \А\ = т, т п. Отметим, что данная задача может быть сформулирована в рамках теории нечетких мер. Действительно, каждому представлению fA или множеству А можно поставить в соответствие меру информативности - М/(А)= min 0(g).
Данная функция множества является монотонной, причем всегда можно добиться, чтобы juf(0)=O, / ((1,..., )) = 1, соответствующим образом выбирая строго возрастающее преобразование функционала Q. Тогда преды дущая задача связана с выбором множества В с: {1,...,п}, Щ = т, удовле- творяющего условию:
/(5) = ,,maL /( ) J AQ{U ,пЦВ\=т J
Отметим, что нечеткие меры широко используются при обработке и анализе изображений [111-113], в частности, в моделях нелинейной фильтрации [114], основанных на различных интегралах по нечеткой мере, при распознавании образов [115], где в качестве решающих функций используются интегралы Сугено или Шоке, а также для агрегирования информации [111,112], например, полученной с помощью различных алгоритмов , классификации [116]. Рассмотренная здесь концепция меры информатив ности близка по своей сути к мерам сложности, рассматриваемых в теории систем [117]. Своеобразный подход к распознаванию изображений в рамках теории возможностей предложен в работах [118,119].
Целью настоящей диссертационной работы является получение алгебраического описания и эффективных способов представления различных выпуклых семейств нечетких мер, интерпретируемых как нижние или верхние оценки вероятностей, на конечной алгебре и т-алгебре, и приме нение полученных результатов для построения моделей принятия решений, логического вывода и анализа изображений в условиях неопределенности.
В связи с поставленной целью необходимо было решить следующие задачи:
• исследовать алгебраические свойства основных выпуклых семейств нечетких мер, интерпретируемых как верхние или нижние оценки v вероятностей, на конечной алгебре;
• разработать и исследовать модели представления нечетких мер на основе функций агрегирования;
о разработать и исследовать математический аппарат канонических последовательностей нечетких мер для изучения аддитивных свойств 2 монотонных и других нечетких мер на а -алгебрах;
• разработать и исследовать возможностную модель принятия решений при неполной информации о функции полезности;
• разработать и исследовать возможностные модели логического вывода в рамках понятия «верхняя-нижняя» вероятность;
разработать и исследовать модели обработки изображений и представления контурной графической информации на основе мер информа тивности.
Методы исследований основаны на использовании теории неаддитивных мер и интеграла Шоке (в частности, классической теории меры и теории вероятностей), теории возможностей, теории линейных неравенств, функционального анализа, теории полезности, теории нечетких множеств.
Материалы диссертационной работы распределены по главам в соответствии перечисленными задачами.
В главе 1 исследованы алгебраические свойства различных выпуклых семейств нечетких мер на конечной алгебре, такие как (точные) нижние вероятности, 2-монотонные меры, меры доверия, а также семейства обобщенных точных нижних вероятностей и статистически непротиворечивых мер, которые до этого не рассматривались в литературе. Были найдены новые необходимые и достаточные признаки того, что нечеткая мера принадлежит классам (обобщенной) точной нижней вероятности, А:-монотонных мер, статистически непротиворечивых мер. Полученные свойства позволила ли исследовать теоретико-множественное включение указанных семейств.
В частности, показано, что любая 2-монотонная мера является статистически непротиворечивой, с другой стороны, не всякая точная нижняя вероятность является статистически противоречивой, и обратно, не каждая стати стически непротиворечивая мера является точной нижней вероятностью. $ Была введена алгебраическая структура, замкнутая относительно взвешен ной суммы и обычного произведения нечетких мер и названная идеалом. Показано, что все основные выпуклые семейства мер нижней вероятности являются идеалами. Рассмотрены способы порождения идеалов, основанные на введенных операциях пересечения, объединения и произведения идеалов. Исследованы условия того, когда замкнутый идеал, порождаемый одной нечеткой мерой, имеет конечное число экстремальных точек.
В главе 2 рассмотрена и исследована модель представления нечетких мер на основе функций агрегирования. Исследованы необходимые и дос ) таточные условия, накладываемые на функцию агрегирования, которые га рантируют, что результирующая мера будет принадлежать тому же семейству нечетких мер, что и агрегируемые меры. Такое исследование проведено для нижних вероятностей, (обобщенных) точных нижних вероятностей, для А:-монотонных мер. С учетом этого, введены классы функций агрегирования, которые наследуют свойства указанных семейств нечетких мер. Показано, что данные классы функций являются замкнутыми относительно операции композиции функций. С другой стороны, функции агрегирования можно рассматривать как монотонные функции нечеткого множества или как нечеткие меры на алгебре нечетких множеств. Это позволяет определить основные семейства нечетких мер с теми же названиями на алгебре нечетких множеств. При этом для сужений нечеткой меры с алгебры нечетких множеств на алгебру четких множеств выполняется свойство сохранения принадлежности основным семействам нечетких мер, т.е., например, если исходная обобщенная нечеткая мера является точной нижней вероятностью, то и ее сужение на алгебру четких множеств также является точной нижней вероятностью. Поэтому можно рассматривать задачу продолжения нечеткой меры с алгебры четких множеств на алгебру нечетких множеств так, чтобы, например, точная нижняя вероятность продолжалась бы на точную нижнюю вероятность. Показано, что такое продолжение существует для всех рассматриваемых семейств нечетких мер и в качестве этого расширения можно взять полилинейное расширение функции множества. Показано, что интеграл Шоке, используемый в качестве продолжения, не обладает такими хорошими свойствами. В качестве важных промежуточных теоретических результатов получены характеризация к- монотонных функций множества с помощью теории исчисления разностей, а также экономный необходимый и достаточный признак к -монотонности. Рассмотрены также упрощения полученных результатов для функций агрегирования одной переменной, когда результирующая нечеткая мера назы- вается искаженной нечеткой мерой (в частности, искаженной вероятно стью).
В главе 3 дается определение и исследуются свойства канонических последовательностей нечетких мер. Показано, что такие последовательности порождаются посредством последовательного применения к исходной мере линейных операторов определенного вида, причем каждый оператор ассоциирован с некоторым элементом алгебры. Действие оператора на не- четкую меру приводит к тому, что она становится аддитивной относительно указанного ассоциированного элемента. Множество аддитивных элементов образует алгебру, на которой нечеткая мера аддитивна. Показано, что условие перестановочности операторов эквивалентно линейной упорядоченности ассоциированных множеств, получены формулы преобразования последовательности операторов, с помощью которых любую конечную последовательность операторов можно преобразовать в эквивалентную последовательность, в которой ассоциированные множества линейно «упоря- i}, дочены. Для случая линейно упорядоченных ассоциированных множеств получена явная формула, выражающая значения нечетких мер в канонической последовательности. Для каждой нечеткой меры из канонической последовательности можно рассматривать алгебру, состоящую из аддитив ных элементов, на которой она аддитивна. Показано, что таким образом t? генерируется последовательность вложенных алгебр, причем действие оператора состоит в том, что к предыдущей алгебре добавляется аддитивный элемент, являющийся ассоциированным множествОхМ для данного оператора. Показано, что для 2-монотонных мер каноническая последовательность нечетких мер является монотонно возрастающей, а для 2- альтернирующих - монотонно убывающей. Исследован вероятностный смысл канонических последовательностей для данных случаев. Это позволило расширить понятие канонической последовательности для 2- монотонных (2-альтернирующих) мер для произвольных (не обязательно » счетных) цепей множеств и получить для них аналогичные свойства (на пример, перестановочности операторов), как и для конечных канонических последовательностей. Данные результаты позволили дать описание ядра 2-монотонных (2-альтернирующих) мер. Для счетного случая также исследованы условия равномерной сходимости канонической последовательности, которые гарантируют, что предельная мера сохраняет свойства непрерывности порождающей нечеткой меры.
Г/
В главе 4 рассмотрена и исследована возможностная модель принятия решения при неполной информации о функции полезности. Постановка задачи состоит в том, что функция полезности неизвестна, а известен лишь индуцируемый ею линейный порядок на пространстве доходов, и необходимо упорядочивать вероятностные распределения, ассоциированные с решениями. Показано, что в данном случае удается лишь частично упорядочить решения, и этот порядок изоморфен отношению включения ко- монотонных нечетких множеств или отношению доминирования соответ- f» ствующих им мер возможности. Из вероятностных соображений на поро ждаемых нечетких множествах вводится индекс -включения, предоставляющий ЛПР дополнительную информацию по принятию решения в условиях несравнимости альтернатив. Данный индекс включения вводится вна чале для так называемого регулярного случая, когда просто вычисляются $ вероятности строгих срезов генерируемых нечетких множеств. Для общего случая индекс включения строится аксиоматически. Для этого исследуются свойства индекса включения для регулярного случая через вводимую функцию предпочтения, обладающую свойством билинейности. А затем это свойство используется в аксиомах для функции предпочтения и индекса включения. Показано, что введенные аксиомы определяют индекс включения для общего случая однозначно. Рассмотрен процесс принятия решения, основанный на анализе метризованного отношения, построенного по значениям индекса включения или функции предпочтения.
• В главе 5 рассмотрена возможностная модель логического вывода, обобщающая классическую модель пропозициональной логики. В этой модели высказывания задаются нечеткими множествами, однако в них вкладывается вероятностная интерпретация - каждое нечеткое множество задает распределение возможностей на базовом измеримом пространстве, а значение меры возможности интерпретируется как верхняя оценка вероятности. Показано, что известные схемы вывода, основанные на нечеткой логике, не обоснованы в рамках предлагаемого подхода. С учетом этого проведено исследование, связанное с выделением необходимых и достаточных условий противоречивости высказываний и построения правил логического вывода. Рассмотрена также задача выбора показателей неточности имеющейся информации, когда высказывания описываются нечеткими интервалами, на основе вероятностных принципов. В частности, для этого предложено использовать максимальную дисперсию нечеткого интервала, вычисление которой приводит к дополнительному математическому ис- ф следованию.
В главе 6 рассмотрены модели обработки и анализа изображений на основе мер информативности. Показано, как применять меры информативности для сглаживания изображений и контуров. Но наиболее нас.мщеігноГ:
математически оказалась задача анализа контурных изображений с помо- л щью мер информативности. Меры информативности вводятся аксиомати чески для полигональных представлений контуров. Рассмотрены примеры мер информативности, построенные по длине контура и по площади, ограниченной контуром. Данные меры обладают свойствами монотонности и нормированности, т.е. являются нечеткими мерами на множестве вершин исходного полигонального представления. Некоторые особенности есть у меры по площади, ограниченной контуром, поскольку она обладает свойством монотонности только для выпуклых контуров. С учетом этого, возникает проблема продолжения данной меры на невыпуклые контуры. Эта задача была решена с помощью вводимой функции веса вершин, которая определяется как изменение меры информативности полигонального контура при удалении вершины. Предлагаемый подход состоял во введении эвристической положительной функции веса вершин и построении меры информативности таким образом, чтобы конструируемая мера информативности сохраняла в наибольшей степени свойства функции веса. Функция веса также использовалась при решении практической задачи поиска наиболее информативного, но в тоже время наиболее простого полиго нального представления. С учетом этого, были введены понятия п-оптимального, є -обусловленного, -точного контура. Теоретически было показано, что наиболее хорошими свойствами при решении этой задачи обладает мера информативности, обладающая свойством субмодулярности (2-альтернируемости). Было показано, что свойствами, близкими к субмодулярности, обладает мера информативности по длине выпуклого контура. Для меры информативности по площади контура также найдены аналогичные условия. Завершает исследование введение указанных мер информа-тивности для кусочно-гладких контуров и исследование их дифферент!-альных свойств. •
Исследование статистически непротиворечивых нечетких мер
В формуле (1.5) используется обычное произведение функций множества. Выпуклые семейства нечетких мер, замкнуть є огносителі но операции пгремноа гпр.я і ечеті их мер, казиьгкпся ггеглг"и. Их свонсна исслсд)ізіся t С"ГЛ ІС:;ІІ!Х р. плеігл лаппзГ. г лег п. Доказательство. Докажем первое утверждение теоремы. Пусть /л є М , тогда меру ц можно представить в виде: выпуклой суммы примитивных нижних вероятностей. Теорема доказана. Пример 1.2. Теорема 1.9 дает возможность проверки того является ли точная нижняя вероятность статистически непротиворечивой. Покажем, что существует geJt3, что g&MA. Выберем вероятностные меры PXYL Р2 на алгебре 2Ї = 2 пространства X - {х1,х2,х3,х4} (см. таблицу 1.1). Построим точную нижнюю вероятность g = mm(Pl,P2), значения которой приведены в таблице 1.2. На рис. 1.1 изображена структура нечеткой меры g (изображены только те множества, на которых нечеткая мера g не равна нулю). Покажем, что мера g не представляется в виде выпуклой суммы примитивных нижних вероятностей. Предположим противное, что g є Лл, тогда согласно теореме 1.9 можно построить систему вероятностных мер Рв, В є 21, которая удовлетворяет условиям 1) и 2).
В данном разделе рассматриваются свойства 2-монотонных мер. Некоторые из свойств (теоремы 1.10, 1.13) являются следствиями интеграла Шоке для 2-монотонных мер (см., например, [8]). Аналоги данных свойств известны в кооперативной теории игр [4, 19], хорошо покрывает результа-ты по 2-монотонным мерам (емкостям) работа [22]. Подчеркнем, что перечень рассмотренных свойств, а также доказательства позволяют увидеть общие свойства и отличия 2-монотонных мер от более широких семейств нечетких мер, исследованных в предыдущих разделах.
Теорема 1.10. Нечеткая мера g является нижней вероятностью в том случае, если обладает свойством 2-монотонности, т.е.
Доказательство приведено в приложении 1. Замечание. Нечеткую меру доверия можно рассматривать как ниж нюю вероятность, так как она удовлетворяет свойству полной монотонно сти7 [7, 8,16]: Лемма 1.11. Множество нечетких мер, обладающих свойством 2-монотонности, является выпуклым. Любая 2-монотонная мера является точной нижней вероятностью. Доказательство приведено в приложении 1. Пример 1.3. Не каждая точная нижняя вероятность обладает свойством 2-монотонности. Например, таким свойством не обладает точная нижняя вероятность g из примера 1.5, а именно, Следующие теоремы дают вероятностное описание 2-монотонных ч нечетких мер.
Теорема 1.12. Нечеткая мера g является 2-монотонной в том и только том случае, если для любых А,ВєШ,АсіВ, найдется такая вероятностная мера, что Р(А) = g(A),Р(В) = g(B) и g P. Теорема 1.13. Пусть нечеткая мера g является 2-монотонной. Тогда для любой цепи множеств 0сДс..,с с1 найдется такая вероятностная мера Теорема 1.148. Пусть нечеткая мера g является 2-монотонной и И = [Р є Мр g Р]. Тогда образующими или порождающими элементами выпуклого множества Е являются вероятностные меры Ру, где Функция v,( ) = //(/4)-//( (}) называется функцией веса элемента дгд. во множестве Л по мере //.
Теорема 1.15 . Мера // является 2-монотонной в том и только том случае, если функция веса обладает свойством монотонности:
Аналогичные результаты можно получить и для 2-альтернирующих мер. Для этого можно использовать отношение двойственности нечетких мер. Лемма 1.12. Пусть мера р. является 2-монотонной, тогда функция множества является нечеткой мерой. Доказательство. Проверим аксиомы, которым должна удовлетворять нечеткая мера. Аксиома нормировки, очевидно, выполняется. Докажем монотонность. Для этого достаточно показать, что При Вп {xk} = 0 последнее неравенство, очевидно, справедливо. Если В п {хк} = {хк}, то это неравенство преобразуется к виду: и является истинным в силу теоремы 1.15 и свойства 2-монотонности нечеткой меры ц. Теорема 1.16. Пусть нечеткая мера g является 2-монотонной, тогда ее можно представить в виде выпуклой суммы примитивных нижних вероятностей. Последняя формула, очевидно, остается справедливой, если ак = g(Bk)-g(Bk_{) = 0 для некоторых к. В этом случае выбираем нечеткую меру /лк произвольно. Таким образом, g MA по теореме 1.8.
Пример 1.4. Из леммы 1.11 и теоремы 1.16 следует, что M2-DH2 И MA"DH2, т.е. Мгг\МА-эН2. Покажем, чго МъГ\МА ФН2. Для этого построим точную ниясшою вероятность g по вероятностным керсч
Построение агрегирующих функций с помощью полилиней- ого расширения
Нетрудно заметить, что, если нечеткая мера фєМг на алгебре 21, то можно рассматривать ее сужение (р на алгебру 2Ї, причем ръ.Мъ (см. лемму 1.5). Причем, это свойство выполняется для всех рассматриваемых семейств нечетких мер (см. также теорему 2.1). С учетом этого, возникает вопрос можно ли продолжить нечеткую меру ср с алгебры 21 четких множеств на алгебру 21 нечетких множеств, так чтобы точные нижние вероятности отображались в точные нижние вероятности, 2-монотонные меры - в 2-монотонные меры и т.д." Таким образом, критерий оптимального продолжения заключается п следующем: если (ръМк или рсН,, їо нечеткая мера ф, являющаяся продолжением р, должна сохранять свою принад щ) ЛСУХІЮСТЬ семействам Мк, = 0,1,2,3,/7 или Нк /: = 0,1,2,...,со соответст венно. В гаасснчеекон теории меры такое продолжение определяется од нозначно и называется интегралом Лебега. Оно позволяет построить ли
Нейный функционал на множестве измеримых функций пространства (Z,2l), т.е. с помощью интеграла Лебега мы продолжаем вероятностную меру РєМр до линейного функционала РєМр. В теории неаддитивных мер продолжение ф неаддитивной меры р в общем случае строится неод нозначным образом. В качестве продолжений можно использовать инте гралы Шоке [7,8] и Сугено [9-11], естественное продолжение [23] из тео И рии неточных вероятностей, или полилинейное расширение [53] (multilin ear extension). Как показывает анализ, в рамках рассматриваемого подхода наилучшими свойствами обладает полилинейное расширение. В этом заключается основная задача данного раздела. Заметим, что интеграл Сугено в данном случае подходит только для мер из MQ в силу своей монотонности, интеграл Шоке - для Мк, & = 0,1,Р, естественное
Продолжение - для Мк, к = 3,Р.В другим случаях указанные продолжения Wf не дают положительных результатов. Перейдем к исследованию полилинейного расширения. Будем рассматривать функции множества (в частности, нечеткие меры) р на алгебре 2l = 2z пространства Z = {1,2,...,«}. Обычно считаем, что р(0) = О. Центральным моментом описания полилинейного расширения является преобразование Мёбиуса т функции множества ср : Как и ранее, ф может рассматриваться как функция нечеткого множества на алгебре 21. С учетом предыдущих выводов, ф{А) = (р(А) для четких множеств А є 21 как для интеграла Шоке, так и для полилинейного расширения, т.е. интеграл Шоке и полилинейное расширение являются продолжениями функции множества (р на алгебру 21.
Пример 2.6. Покажем, что для интеграла Шоке ф&Нк, если реНк, к = 2,3,...,оо, в общем случае. Для этого рассмотрим примитивную меру необходимости p = f]/z\ для Z = {1,2}. Заметим, что реН . Тогда агрегирующая функция ф, получаемая с помощью интеграла Шоке, имеет До казываемое свойство истинно в силу единственности представления Мёбиуса и полилинейного расширения. Так как формула (2.10) будет играть важную роль в последующих выводах, докажем ее также непосредственно, раскрывая скобки в (2.10). Нетрудно заметить, что
Доказательство. Пусть рх ?2, тогда так как по условию (рх(В) (р2(В) для всех В є 21 и х-є [ОД]". Поскольку полилинейное расширение индуцирует бесконечно диф ференцируемые функции (полиномы порядка «), можно использовать дифференциальные признаки того, что феНк, к = 1,2,..., х . Рассмотрим, как доказать Нк— — Нк, к = 1,2,...,со (РЕ обозначает полилинейное расширение). Заметим, что из определения семейства Нк следует, что Дд (Л) 0,если (реНк и Я /, 1 к. Свойство 2.4. Пусть ф - полилинейное расширение функции множества р на алгебре 2Z и A{lt j }ф - полилинейное расширение функции множества A{lj)(p на алгебре 2ЛС, C = {ix,...,im). Тогда Доказательство. Согласно определению Далее рассмотрим следующую функцию множества на алгебре 2ZX{k] \к) р{А) = р(А и
Таким образом, можно рассматривать в качестве полилинеи ного расширения функции множества А[к] р(А) на алгебре 2гчк) пространства Z \ {к}. Без проблем данный результат обобщается для случаев в доказываемом свойстве. Действительно, вычисляя частные производные, получим, что Следствие. Пусть используются обозначения из свойства 2.5 и (р є MQ. Тогда среНк в том и только том случае, если Ав р(А) О для всех непересекающихся множеств А, В є2ї при \B\ k.
Канонические последовательности нечетких мер (счетный случай
Очевидно, Г, Г2. Далее по правилу из теоремы 3.1 последовательности В последней теореме, можно считать, был практически решен вопрос об эквивалентности последовательностей множеств в смысле построения канонических последовательностей 2-монотонных нечетких мер. Две последовательности Г, и Г2 являются эквивалентными вне зависимости от выбора нечеткой меры juQ, если данные последовательности порождают одинаковую алгебру событий ЯН, кроме того , если их эквивалентным образом можно преобразовать к виду {С,,С2,...,СИ}, где {С,,С2,...,СП} - разбиение X, порождающее алгебру ЯН. В некоторых случаях вместо раз-биения удобнее использовать возрастающую последовательность мно жеств {Вх,В2,...,Вп}, в которой Вк = [Jc,, к = 1,2,...,«. В этом случае полуді чаем, что ju0(Bk) = /лп{Вк), к = 1,2,...,«, т.е. получается аддитивная мера jun на алгебре ЯН, при условии совпадения ее значений с мерой /л0 на возрастающей последовательности множеств {BltBz,...,Bn}.
Полученные результаты позволяют сделать вывод, что в конечном случае канонические последовательности нечетких мер можно исследо вать, рассматривая лишь монотонно возрастающие или убывающие после довательности множеств, что важно, поскольку можно анализировать формулу для результирующей нечеткой меры из утверждения 3.2. Следующая на которых 2-монотошгая мера g аддитивна, т.е. рассматриваются системы -, множеств, на которых 0 = В0 с: В cz В2 с... а Вп = X, порождающих алгебру Ш. Обозначим через G = {Г(} - произвольный класс эквивалентности.
Тогда система множеств вида N - \j Г, является дистрибутивной решеткой относитель Г,єС но операций пересечения и объединения множеств, содержащей нуль (0) и единицу (X), причем g(A) + g(B) = g(AnB) + g(AuB) для любых Доказательство. Ясно, что система множеств N содержит 0 (0) и 1 (X), т.е. требуется проверить основное свойство решетки, состоящее в том, что система множеств N замкнута относительно операций пересечения и объединения множеств. Доказательство. Пусть р является 2-монотонной. Тогда требуется показать, что для любого В є 2Ї существует вероятностная мера Р, что Р > р и Р(В) = р(В). Выбирая р0 = L{B} [р], рассмотрим каноническую по- *'; следовательность {/*„}"„ нечетких мер, порожденную счетным базисом Г = {Вп}=1 алгебры 21. Тогда согласно теореме 3.3 и следствию 3.4 предельная мера рг, р^рг является непрерывной и аддитивной на а- алгебре Ш с 2Ї, которая содержит базис Г. Учитывая выбор системы множеств Г ЗИ = 21, поэтому рг - это вероятностная мера на алгебре 21, кроме того, р{В) = р0(В) = рг(В), так как В є ЯЯ0 (см. теорему 3.3). Справедливость случая, когда мера р является 2-альтернирующей, устанавливается с помощью отношения двойственности. Следствие доказано.
Далее мы будем исследовать условия равномерной сходимости канонических последовательностей нечетких мер. При этом оказывается полезной следующая лемма.
Лемма 3.13. Пусть нечеткая мера g является 2-альтернирующей на алгебре 21, {Вп} с: 21 - это возрастающая последовательность мно-
Отметим, что обобщение формул, данных в леммах 3.11 и 3.11*, требует изучения свойств ядра Е, состоящего из аддитивных мер, 2-монотонных и 2-альтернирующих мер для случая произвольной а-алгебры 21. Ясно также, что это исследование можно проводить только, например, для 2-альтернирующих мер. Все результаты для 2-монотонных мер можно получить используя отношение двойственности. Следующие результаты можно было бы также получить, используя свойства интеграла Шоке [7] для 2-альтернирующих мер.пространства X. Тогда существует аддитивная мера Р на 21, что Р<р.
Доказательство. Обозначим через M = {/ut} множество всех 2-альтернирующих мер на 21, для которых //,
Определение частичного порядка на множестве вероятностных распределений
В данной главе рассматривается модель принятия решений [146,147], основанная на вводимых индексах включения, в условиях неполной ин Р формации о функции полезности. Точнее предполагается известной ин формация о линейном порядке, индуцируемом функцией полезности на пространстве доходов, однако этот порядок неизвестен на более широком множестве возможных решений, которые описываются вероятностными распределениями. Такая ситуация свойственна качественной информации о решениях, последствия которых измеряются на порядковой шкале. Это приводит к тому, что на решениях или вероятностных распределениях можно обосновать и построить только частичный порядок, и возникает проблема выбора «наилучшего» решения среди множества несравнимых альтернатив. Для этого в данной главе предлагается использовать индексы включения решений, которые позволяют оценить степени предпочтитель ности решений и тем самым отразить свойства указанного частичного по рядка.
Данная глава организована следующим образом. В начале даются основные определения и постановка задачи, связанная с описанием частич ного порядка на вероятностных распределениях, исследуются свойства данного порядка, в частности дается его описание в рамках теории воз можностей и теории нечетких множеств, показывается, что он обладает принципов, вводится индекс включения нечетких множеств, которые описывают решения, для так называемого регулярного случая, когда вероятности строгих срезов нечетких множеств известны.
Далее анализ свойств индекса включения позволяет найти набор аксиом, определяющих индекс включения для общего случая. Завершают главу результаты, связанные с практическим применением индексов включения при принятии решения. Основные определения и постановка задачи Пусть (Я,21) - измеримое пространство с а -алгеброй 21, на котором задано отношение линейного порядка . В дальнейшем будем использовать термины из теории полезности [78] и называть элементы пространства R доходами, а само пространство R пространством доходов. Отношение должно удовлетворять стандартным требованиям: рефлексивности, антисимметричности, транзитивности, и наконец, для непрерывного случая будем предполагать существование точных верхних и нижних граней для любых множеств из 21. Более того, считаем, что если inf{В} = х, swp{B} = у, то всегда существуют последовательности {.xj сі?, максимальный фиксированный доход. Обычно ЛПР может выбрать вероятностное распределение из некоторого класса вероятностных распределений на т -алгебре 21 пространства R, т.е. доход, получающийся после принятия решения, является случайной величиной. По t этому возникает задача упорядочения вероятностных распределений. Следует отметить, что отношение - без проблем переносится на множество вырожденных вероятностных распределений Рп /){?;} = 1, которые сосредоточены в точках rt, т.е. можно считать, что если rt
Рассмотрим параметрическое семейство классификаторов {[-оо,є),[є,+со]}, єєЯ, позволяющее оценить качество принимаемого решения dt с вероятностной мерой Р( на 21. Будем считать, что если в результате принятия решения dt получаемый доход rt оказался меньше значения є, то решение dt характеризуется как неудачное, и удачное - в противном случае. С каждым классификатором, учитывая случайность получаемых доходов, можно связывать вероятность успешного Р,[,+оо] и неудачного Pt[-co,) выбора решения dt. Последние рассуждения позволяют установить частичное упорядочение на множестве вероятностных распределений, определенных на сг-алгебре 21. Будем считать, что Pt Pj, если для любого є є R имеет место
Отношение порядка на множестве вероятностных распределений нетрудно выразить на языке теории нечетких множеств. Действительно, можно считать, что вероятность /J[f,+oo] определяет нечеткое подмножество Ft пространства R с функцией принадлежности //,() = Pt[є, +со] и значит Рг Ру, если F.cF,. Однако более содержательные результаты можно получить в рамках тсорш: rc:"o;\ Jvc, Г "V этого нам понадобятся следующие лемнп
